Voronoi Diagramm, Sweep , O(n log n)

Zusammenfassung Sweep f¨ ur VD

Elmar Langetepe University of Bonn

Voronoi Diagramm, Sweep , O(n log n)

• Deterministisch in O(n log n)

• Sweepl. ¨uber Punkte, X-sortiert

• Links Sweepline entsteht Voronoi-Diagramm

• Problem: Sweepline kennt nur Punkte links der Linie

• Punkte rechts k¨onnen weit hineinragen

• Abbhilfe: Sweepline selbst ist auch ein Objekt, simuliert m¨ogliche Punkte weiter rechts

p

s

r

q

Voronoi Diagramm, Sweepline als Objekt

• Bisektor B(p, L) zwischen L und p: Parabel (Tafel)

• Punkte rechts k¨onnen die Parabel zwischen p und L nicht mehr betreten

• Parabel ist bereits korrekt bez¨uglich Zuteilung links

p

x q

B(p,L) L

SSS: Wellenfront mit Verl¨ angerungen

• Wellenfront: Mehrere St¨ucke B(p_j, L) aneinandergereiht

• Links der Wellenfront:

V R({p₁, . . . , p_i−1) fertig

• Gebiet rechts der Wellenfront geh¨ort L

• Zwischen den Parabeln:

Spikes, Bisektoren zwischen Punkten

• Im weiteren Verlauf: Voronoi Knoten

v W

p₁ p₂

p₃ p₅ p₄ p₆

L

Formale Beschreibung SSS Wellenfront

• Parabelst¨ucke geordnet nach Y -Richtung

• Dazwischen Spikes geordnet nach Y -Richtung

• Geordnet nach Punkten:

p₁, p₅, p₃, p₄, p₆, p₄, p₂

• Abgespeichert in einem Baum

• Schl¨ussel (Parabeln/Spikes)

v W

p₁ p₂

p₃

p₅ p₄ p₆

L

Wellenfront ist zusammenh¨ angend!

Lemma 6.10 Die Wellenfront ist zusammenh¨angend und Y -monoton.

• Eigenschaften der Parabeln!

• Definiert ¨uber gesamtes Intervall: Je zwei schneiden sich immer!

• Alle Parabeln sind monoton!

• Datenstruktur: Baum mit dynamischen Schl¨usseln

Ereignisse des Sweeps

Wann ver¨andert sich die Wellenfront?

Nur diskrete Zeitpunkte!

1. Parabelst¨uck kommt hinzu: Ein neuer Punkt wird getroffen! Punkt-Ereignis, neue Parabel entsteht

2. Parabelst¨uck verschwindet: Die Welle erreicht den Schnittpunkt zweier Spikes, Spike-Ereignis, Voronoi-Knoten entsteht

v W

p₁ p₂

p₃

p₅ p₄ p₆

L

Behandlung: Punkt-Ereignis, SSS akt.

• Zwei F¨alle: Innerh. Parabelst., Schnittpkt von Parabelst¨ucken

• Zwei neue Spikes, ggf. neuer Voronoi Knoten

• Parabelst¨ucke sortiert im Baum: Schl¨ussel B(L, p_j) Parabel

• Zugriff O(log m), m Anzahl der Parabeln, Akt.: O(log m)

r

q q

p p r p

W

L L' L L'

p

p r

V

q rq

r

W' ^WW'

(i) (ii)

Behandlung: Spike-Ereignis, SSS-akt

• Parabelst. verschwindet, Spikes schneiden sich, Voronoi-Knoten

O(n) viele

• Zeitpunkt des Ereignisses (Position L₂)

weiter zur¨uck

• Parabel B(L, p_j)

entfernen: O(log m)

• Ein neuer Spike zwischen neuen Nachbarn: O(1)

• Vorderster Schnittpunkt,

q p

v u

r

L_1 L_2

Ereignisstruktur akualisieren: m Parabeln

• Sei m Kompl. Wellenfront

• Priority Queue,

O(n) Punktereignisse, sortieren: O(n log n)

• Spike-Ereign. (Voro-Knoten O(n)):

Schnittpunkte der Spikes, jeweils die vordersten!

• Wie Segment-Schnitt-Sweep:

Schnitte nur mit Nachbarn, nachgelagerte Events

• Stets nur ersten Schnitt

einf¨ugen, andere entfernen, Anzahl: O(m),

Einf./Entf. O(log m)

v p

q

r u

L_1

Gesamtlaufzeit/Gesamtkomplexit¨ at

• m Parabeln in SSS

• Max. O(n + m) Ereignisse in ES

• Maximal O(n) Ereignisse finden statt:

Punktereign./Voronoi-Knoten

• Einf¨ugen/Entfernen Events, Einf¨ugen/Entfernen Parabelen

• n-mal O(log(n + m)) Laufzeit!

• Komplexit¨at der Wellenfront: m ∈ O(n)

• Begr¨undung!

Komplexit¨ at der Wellenfront

• n Parabeln, von denen sich zwei maximal

zweimal schneiden k¨onnen

• Definiert auf dem gesamten Intervall

• DSS von n Buchstaben der Ordnung 2:

λ₂(n) ∈ O(n)

Ergebnis

Theorem 6.11 Das Voronoi Diagramm von n Punkten l¨aßt sich mit dem Sweep Algorithmus in Zeit O(n log n) und mit Platz O(n)

berechnen, das ist optimal.

Beweis: O(n) Events in je O(log n) Zeit

Korrektheit: Algorithmus schreibt Voronoi-Diagramm links der Wellenfront in den Sand

Kapitel Buch

Kapitel 6 Seite 281 mitte – 294 mitte