Neues Planimeter. System Goethe

Paper-ID: VGI 191035

Neues Planimeter. System Goethe

Friedrich Goethe

¹

1

k. k. Obergeometer in Melk, N.- ¨ O.

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen ¨ 8 (8), S. 269–275 1910

BibTEX:

@ARTICLE{Goethe_VGI_191035,

Title = {Neues Planimeter. System Goethe}, Author = {Goethe, Friedrich},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {269--275},

Number = {8}, Year = {1910}, Volume = {8}

}

269

. . . ' . . 42)

Die Q ua

dr

a

t

e der Punktkoordinaten

der sphtirischen

C4 si n d wegen

4 1 ) durch

qua

dr

a

t

ische Formen von ·v darstellbar.

Der Schnittwinkel

der

der G

l

eichu

n

g

4 1 ) geni.igcndcn Kurven

U

und

V ist ver

ä

n

d

erl ich.

Man

kann n un

lei�ht

ei

ne

. neue sphärische

K urve

ableiten,

wen n

man

j ^ed

^er

U ^{diejenige V} als en tsprechende z

uweist, w elche jene or

t

hogo

n

al sch

n

eide t..

Die

Bedi ngung

ist

dann bekann tlich

Wegen 42)

erhält man als den gesu chten Ort,

m w

e

lc

h

en sich ein e U und eine V �ech twinkl.ig schneiden, die

sp

^h

ä r i

^s

ch e l�

i i

+

^{·• ö1 i i • • 61 i 2} ₀

₄₄₎

cos <r1

x z cos

2 v

^{z -sm}

2 x

^{J1 = . . . . . . . . . .}

Mit o. = 901) werde

n aus 3 9) u n d 40)

konzentrische Kreise,

bezw.

^gleich·

sei tige

Hyperbel n . Die Gleichung 44) gib t

wieder

den Ort für den Orthogonal­

schnitt der

entsprechenden

sphä

r

i

s

che

n Kegelschnitte

^- die einen sind dann ebene Kurven, also Kreise.

Der

rcsucht e Ort besteht dan n aus zwei

ebenen

Schnitten mit der

K ugel ; die

Ebenen gehen durch Y und schließen mit X Y u n d YZ gl

e

iche Winkel e111.

Neues · Planimeter.

Sy

stein. - Goethe.

Von Fr ledrlch Goethe, k. k. Obergeometer in Melk> N.·Ö.

1.

Das Q1.1crprofilplanimcter für geneigtes Terrain.

Nach einem bekannten

Lehrsatze findet man d

en

Flächeninhalt eines Drei·

e c

kes, wenn zwei Seiten und

· der

von ihnen ei ngeschlossene

Winkel geg

e

b

en sind. D a nun bei einem best i m m te n Böschungsverhältnisse der Winkel y,

d

en

die

Böschu ngslinie

mit der

vom Rande

der Dam mkrone

(Sohle) gezogenen Loth-

.o:f ^•

270

rech ten st ets konstant bleibt^, so hängt die Fl äche dieses Bösch u n gsdrei eckes lediglich von -d·er Länge der Böschungslinie b und der Lothrechten a ab.

h'g.

^{1 •}

Das�elbe g 'il t für A nsd1ni ttsfiä.chen, nur ist statt der Loth rechten _a die Horinzontale l1' zu nehmen.

Auf obiges bas.ierend und unte_r· der Annahme n'trr der gebräuchlichsten Böschuilgsverhiil tn isse 1 :- 1, ]„; l ·25, 1 : l ^· 5 wurde der Q uerprofilpian irneter ko n · stru i ert,

doch·

^kann sdbstverst ä n d l i c h tiir jeden Wi nkel 1' cl i e Länge a ( E i n he.its�

-fläche) gerechnet

und das

I nstrument sodann verwe n u e t \\· enlen oder ^{d e r}

Winkel r. cinkestcl l t und die Fläche graph isch oh n e R ech n u ng besti m m t wer­

den , welches Verfahren u n ter dem Titel : '» P l a n i m e t e r fü_r D r e i e c k e « später beschrieben· ist.

1 1

n_, ' ₁

Fig. 2.

1 :

l .

1' = 450 a = b = 1 .

F = } a b _{sin y} = 0·35356 . .

1 ; 1 ·25

r = s 1 °

20' 2411

a = b ^::::; 1 .-

1 ^• • •

. .

l )

F =

·� ab'si n y

^{= 0·39043}

^.

^{. . . 2)}

1

: t ^·

s

1' = 56° 18' 30"

a = b = I .

F = t

ab sin 71 =

0·41602

^{. . . .}

³⁾

/ / /

2 7 1

Tr�igt m an cli ge fu n denen FHi.chcn ^{. .}

l )

^{. .}

2)

^{. .} 3) mit Berücksicht ig·ung d r en tsprechenden Wi nkel von dem A n fangspu nkte ei nes 1'.oordinatensystems

nach rechts

aqf,

so bilden die Endpunkte dieser Flächenlängen m , n, s mit

dem

. A nfa.ng punkte 0 des Achsensystems einen Kreis, dessen Radius 1· bestimmt ist aus

daher

Beweis :

1·2

+

^{�-t . o.m2 =} 0·353569,

1' = 0·25.

x:

t

^{sin y =} sin (90-y) : sin 2 71 + sin y cos y

t

sin 1' cos r 1

z = = ^---- =^-·

sin 2 r 2 si n r cos r ^•

. i. sin r' cos r'

y - 1

- sin

^{2 r'} -- . . . . . ^{- t} - 4

Der zum Winkel r = 4.5° gehörige Bogen b ist bei r = 0·35356 gleich 0·2777, desgleichen bei

und

bei

r = 5 l Q 201 24''

'" ::=: o· 34986

71 = 56° 1 8' 3Qi•

b" = 0·40885.

Fig. ;.

!J

"7 .

- 3

im We

i

tere

n sei

hier nur das

Böschungsverlüiltni

^{1 :}

1

mi

t

1' = 45° erörtert,

<la für die anderen ^Winkel derselbe Vorgang

a

nzuwenden ist.

B : b = o m' : o m ; n

a

c

h

d

e

m

01111

= 2 0 111 , ist B = 2 b u .

s. ""

In der Linie o m'

ist das Produkt

fl

s

in 71

(r

⁼ 45°)

e

nthalt

e

n und en tspricht jedem a

eine

entsprechende Bogenlänge b.

Bei

einem Rn<lius von 3 · 5356

(/'

^{= 45°)} i

s

t die

zugehörige Länge

^des

Viertelbogens :

2 ,. ,,; ^· rn ^· n ₁ ^{• .}

5 5 5 3

2

^{l l)}

-4 ·

⁼

2

⁼

^{{- sl ll r--2}

= ' 7t sl ll r ⁼ . = � = ^.>.

\Ven n �

u

n die L

ä

nge

des

V i ertel bogens

a

l

s Fnich�

3· 5356 m 2 angenommen

. d

_{. 1 1 ')}

. B

!" ^{5 ·} 5 5 3

1 � 708 ' ' 1 d wir , so entspnc lt m� erner ogen ange

von 3.5356

^{= · ::i} 0 1 ei e

er

^ur-

sprün

g

lich angenoril menen

Maßeinheit.

Das

s

elb

e

Resul tat, nämlich l ·57080 kommt beim g

l

e

i

c

h

en Verfahren auch für die anderen ·2 I· älle, respektive

für

alle 9::: 1' hera

u

s, daher beliebig rX l · 5 7080 Länge des Viertel bogens.

Trägt man

n

un von der Linie oy oder o :r ab- oder

aufwärts auf bel ie­

bigen

Viertelb

ö

gen m i t dem l\'lit

t

elp

u

nk

te

0 d i e Teile l · 5 7080 hintereinander auf, so bilden die V

e

r

bi

ndungen der so

g

efundenen Punkte krumme Fläche

n

­ l i n ien , deren jeder Punkt von ^den

gewählten

Achsen o y oder o x a m B o _g e·n . g e m e s s e n gleich wei t

abs

teht und ergeben die

s

^e Linien fortlau fend von y

oder .:l' an numeriert die m2.

Die Bogenlänge l ^·5 7 in 1 0 Teil e g

e

te

i

lt

gibt

u ns

l OXO·

l m'J.

Wird nun cler Viertelbogen x y (beliebiger

[f adius)

in 1 0 Teile geteilt, überträgt m a n das au f der Linie 0 m'

(a sin y)

gefundene a (z . B.

m)

auf die Verbindu ngslinie lies am Viertelkreise y z zu fi ndenden b (z. ß. 1 ) _{mit dem K reis­}

mittelpunkte 0,

so

fäll t ^m auf f und ze

i

gt uns die Uinge y'f direkt die

Fläche

i n m9 für die

Formel

F ⁼

i- a b

^{sin 1',}

wobei a und b ⁼ 1

und

1' = 450 angenommen

ist.

D

e

r Arbeitsvorgang ergibt si

c h

daher wie folgt.

·

Es

ist die l• läche ei

ne

s J : J geböschten Dreieckes mit den Sei

t

enUi.nge n a = 3 u n d

b

⁼ 4 z u bestim'tlnen.

Man legt den Arm A an die Linie l : 1 (a) a n ,

stel l t

den Schieber S au f 3 _un d

dreht

sodann den Arm A

bis au f

4 (am Bogen). Der Schni tt des

Jndexes

am Schieber mit

d

en Flächenlinien gi

b

t uns die gesuchte Fläche.

Hat

man daher die Flächen von Querprofilen bei ^stetig

g

eneigtem

Terrain, also

trapezoidischer Form zu bestimnjen, s o grei

f

t man am gezeichneten Quer·

pr

of

t

l

e die

UL11g

e

n ^a u

n

d a, b und

b

un<l lt ab, bestimmt die Flächen

von

l und II n ach vorstehender Art,

d

ie Kernfläche l l l mit Hilfe des R echenschiebers för trapezförmige Que

r

profile1

) (

nur das H echteck ohne Böschungsdreiecken) und ergib

t

uns d ie Sm me dieser Daten d ie ge

s

am

t

e Fläch e.

') Wurde gleichfalls vom Verfasser konstruiert und wird der Artikel darüber demnächs t veröff ^·ntlicht^.

274

Um die Instrumente nicht oft zu wechseln, Ist es angezeigt

,

zuerst alle Kern füichen, sodann die Böschungsdreiecke zu rechnen , ebenso hat m an vor dem Ffächenrech ncn alle nötigen Daten am gezeichneten Profi l e einzu­

tragen.

.T{,.„„t'

Fig. 6.

Ei n e andere Art der Flächenberechnung t�apezoidischer Querprofile

wäre

die, daß man die Quersch ni ttsfläcl1e nach Figur 6 in zwei Teile zerlegt und

l� mit

^{dem- vorher erwahnten} Rechenschieber für

1rnpezförmige Querprofile, 1'�

^{dagegen mit} 'dem Querprofilplanimeter für geneigtes Terrain abschiebt (siehe Ansch nittsflächen), wodurch man nur

2

zu summierC'nde Flächenansätze erhält.

Diese Art ist j edenfalls die raschere, da man am gezeichneten Querprofil nur h, a' u nd b abzugreifen braucht.

A n s c h n i t t fl ä c h e n .

Der Vorgang zum Berechnen von Anschnittsflächen ist derselbe, nur ist

a' statt a zu nehmen und entfäll t die Absch iebung ei ner KernHäche.

II.

Planimeter für Dreiecke.

Da die Länge der Sehne 0 m (FHicheneinheit) für jeden beli ebigen Winkel r durch den mit dem Radius 0·2s gezogenem Kreisbogen 0 III x' ge­

geben ist, kann man die vorstehende Methode durch Anlegen der

L

inie Oy an eine Dreiecksseite und des Armes A an die

2.

Dreiecksseite anwenden, w o b e i d i e G r ö ß e d e s W i n k e l s y z i f f e r n m ä ß i g

n i c h t

b e k a n n t z u sein b r a u c h t.

Sucht man am eingestellten Arme A auf der durch Kreise i n 1 0 gleiche Teile getei lte n Linie Om das a und dreht den Arm mit eingeschobenem a

(

Index am Schieber

)

auf /, (Äußere Kreisteilung) , so gibt d e Schn itt des Indexes m i t den FHicll enlinien die gesuchte Fläche .

Vorausgesetzt ist jedoch hier

,

daß die V iertelbogenscheibe durchsichtig (aus Zelluloid) ist, um durch dieselbe die

2.

^Dre

i

^eckssei

t

^e wahrneh men zu können.

2 7 5

ilt.

Entwurf eines Flächeninstrumentes.

Gerade so wie man am Papier bei bekan nten Uingen der Dreieckssei t e n d ie Fliichc direkt ermi ttel n kan n , kiin nte d ies auch a m Felde gesc hehen 1

Es m iißte die

! - Alh idade

_eines Tachymeters m i t J e n F Lich e n l i n i c n u n d

d i e } Alhi dade m i t d e n 1Ju Kreisbögen, sowie d e r

�

Limbus m i t d e r

1\1

Tei l u n g

versehen werden.

. ' .

'

f

Fig-. 7.

Zur Flächenau fnahme wird das Instru men t beiEiufig in die i\l i l te tlf

(hei

Rechtecken u n d Dreiecken etc. au f eine Ecke

E)

der aufz u nehmenden Fbchc

gestellt, tachymet risch die Lingen i\l ¹ M ² best i m m t, �I ^� a m Bod c n : trm , d e r

!/ m i t der r�ohrnxe iibcr der A l h idade lieg-t", ei ngeschoben, snd a 1111 d i t'Ser ^i\rm auf d ie en tsprechende Teilung am

} Limbus ci11�cstcll t .

lJer I ndex

am ßo<leparm

_{zeig-t sodan n} d i e Fhichc.

M i t welcher Genauigkeit vorstehend ski:r,ier tes l nstrn menl arbeiten wiir<lc, miißte natürlich erst gcpriift werden u n c.l k ö n n t e die G e na.u i g -keit <lurch A n brin­ gu ng von entsprechenden Nonien wesc n t lieh vergTiif.lert wer lcn .

Jedenfalls w;ire es angeze i g t , d i e s e s c r s t c J J

ro j e

^{k t c}

ⁱ

^{1 1 c � F 1 iL c h c n·}

m e ß i n s t r u m e n t e s ei ner genaueren w isse nsc h a ft l ic h e n E r:�rii n d u n � u n d 1 rti fu 11g zu unterziehen.

1t

Ein Beitrag zur Vermarkungsfrage.

Von Wilhelm Saller, Geometer der k . k. St:ntsbahnen.

Der Eisenbahngeometer erscheint an der so h:iufig au fgeworfenen Ver·

markungsfrnge i n einem derart hohen Maße i n t er essiert, daß es gewiß n i d 1 t

unbegründet erscheinen wird, wenn d iese Frage auch von sei nem Standpu n k t e aus einer klei nen Erörterung unterzogen w ird.

Hiezu ist c.· aber u nerläßlich , jene gesetzlich e n Best immu ngen bzw. Vor­ schriften kurz zu erwäh nen, welche auf di esen G egenstand Bezug haben, oder mit and eren \Vorten gesagt, welche

bei

Herstellung der b r u ndeinl ösun g-splii 11e für Eisenbahn bau ten von m aßgebendem Einfl uß sind,

die

Rich t ·ch u u r h iefiir b i l' l e n.