Formelsammlung. Stochastik Lineare Algebra Analysis. für die Allgemeine Hochschulreife an Beruflichen Schulen. Klaus Schilling, Jens Helling

(1)

Stochastik Lineare Algebra Analysis

Klaus Schilling, Jens Helling

Formelsammlung

für die Allgemeine Hochschulreife an Beruflichen Schulen

1. Auflage

Bestellnummer 53017

(2)

.

service@bv-1.de

www.bildungsverlag1.de Bildungsverlag EINS GmbH

Ettore-Bugatti-Straße 6−14, 51149 Köln ISBN 978-3-427-53017-6

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(3)

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Zeichen und Symbole. . . 6

Griechisches Alphabet . . . 11

Taschenrechnersymbole. . . 11

Analysis

. . . 12

1 Rechenarten, Rechengesetze . . . 12

1.1 Grundrechenarten . . . 12

1.2 Höhere Rechenarten . . . 12

1.3 Rangfolge bei Ausführung mehrerer Rechenarten . . . 12

1.4 Vorzeichenregeln . . . 13

1.5 Elementare Rechengesetze . . . 13

1.6 Rechnen mit Brüchen . . . 14

1.7 Potenzieren . . . 15

1.8 Radizieren . . . 16

1.9 Logarithmieren . . . 17

2 Funktionen . . . 18

2.1 Funktionsgraph im Koordinatensystem . . . 18

2.2 Lineare Funktionen . . . 18

2.3 Quadratische Funktionen . . . 21

2.4 Potenzfunktionen . . . 22

2.5 Ganzrationale Funktionen . . . 22

2.6 Gebrochenrationale Funktionen . . . 23

2.7 Exponentialfunktionen . . . 26

2.8 Trigonometrische Funktionen . . . 28

2.9 Umkehrfunktionen . . . 32

2.10 Verkettete Funktionen . . . 33

2.11 Betragsfunktionen . . . 33

3 Differenzialrechnung . . . 34

3.1 Grenzwerte . . . 34

3.2 Grundbegriffe . . . 35

3.3 Ableitungsregeln (Differenziationsregeln) . . . 36

3.4 Ableitung der Grundfunktionen . . . 37

3.5 Extrempunkte und Monotonie . . . 37

3.6 Wendepunkte und Krümmung . . . 39

3.7 Progressiv oder degressiv steigender oder fallender Verlauf eines Graphen . . . 40

3.8 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . 40

4 Integralrechnung . . . 41

4.1 Grundbegriffe . . . 41

4.2 Grundintegrale und weitere Integrale . . . 42

4.3 Integrationsregeln . . . 43

4.4 Flächenberechnungen . . . 44

(4)

Inhaltsverzeichnis

4.5 Uneigentliche Integrale . . . 47

4.6 Rekonstruktion von Beständen . . . 48

4.7 Mittelwerte von Funktionswerten . . . 48

4.8 Bogenlänge . . . 48

4.9 Rotationskörper . . . 49

5 Wachstumsmodelle und Differenzialgleichungen . . . 50

5.1 Lineares Wachstum . . . 50

5.2 Exponentielles Wachstum . . . 51

5.3 Begrenztes Wachstum . . . 52

5.4 Logistisches Wachstum . . . 53

5.5 Vergiftetes Wachstum . . . 54

6 Wirtschaft . . . 54

6.1 Kosten, Erlös, Gewinn . . . 54

6.2 Minimalkostenkombination . . . 58

6.3 Angebot und Nachfrage, Marktgleichgewicht . . . 59

6.4 Elastizität . . . 61

6.5 Produktlebenszyklus . . . 62

Lineare Algebra

. . . 64

1 Matrizen und Vektoren . . . 64

1.1 Definitionen . . . 64

1.2 Besondere Matrizen . . . 65

1.3 Grundlegende Rechenoperationen mit Matrizen und Vektoren . . . 67

2 Lineare Gleichungssysteme . . . 70

3 Mehrstufige Produktionsprozesse . . . 71

3.1 Darstellungsarten . . . 71

3.2 Mengenvektoren . . . 72

3.3 Produktionskosten und Gewinn . . . 73

4 Käufer- und Wählerverhalten . . . 74

5 Populationsentwicklung . . . 76

6 Leontief-Modell . . . 78

7 Lineare Optimierung . . . 80

Stochastik

. . . 82

1 Beschreibende Statistik . . . 82

1.1 Häufigkeiten . . . 82

1.2 Lagemaße . . . 82

1.3 Streuungsmaße . . . 84

1.4 Lineare Regression . . . 85

2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . 86

2.1 Mengen . . . 86

2.2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . 88

2.3 Baumdiagramme und Pfadregeln . . . 89

(5)

Inhaltsverzeichnis

2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . 90

2.5 Kombinatorik . . . 91

2.6 Bernoulli-Experiment . . . 92

2.7 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . 92

2.8 Binomialverteilung . . . 93

2.9 Sigma-Regeln (Intervalle um den Erwartungswert) . . . 95

2.10 Normalverteilung . . . 96

2.11 Standardnormalverteilung . . . 98

2.12 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung . . . 101

3 Beurteilende Statistik . . . 102

3.1 Vertrauensintervalle . . . 102

3.2 Hypothesentests . . . 104

Anhang

. . . 106

1 Binomialverteilung,Bn;p(k), Dichtefunktion . . . 106

2 Binomialverteilung,Fn;p(k), Verteilungsfunktion . . . 110

3 Tabelle der Standardnormalverteilung . . . 114

Sachwortverzeichnis . . . 115

(6)

Mathematische Zeichen und Symbole

Elementare Symbole

Zeichen, Symbol Sprechweise und Bedeutung Beispiel

⫽ gleich 4⫽4

⬆ ungleich 3⬆4

艐 ist ungefähr gleich 冪2艐1,41

⬍ kleiner als 3⬍4

⬎ größer als 5⬎4

ⱕ kleiner gleich

ⱖ größer gleich xⱖ3

冷冷 Betrag vonoderAnzahl der 冷⫺3冷 ⫽3oder

Elemente in einer Menge S⫽{3; 5; 7; 9}⇒ 冷S冷 ⫽4

, unendlich

⇒ daraus folgt n⫽{0; 1; 2; 3; …}⇒{1}僆n

⇔ gilt genau dann, wenn; ist 2x⫽4⇔x⫽2

äquivalent mit

∧ und

∨ oder

僆 Element von {1}僆n

僆 nicht Element von {⫺1}僆n

傽 Schnittmenge/geschnitten {1; 2; 3}傽{2; 3; 4}⫽{2; 3}

傼 Vereinigungsmenge/vereinigt {1; 2; 3}傼{2; 3; 4}⫽{1; 2; 3; 4}

mit

債 ist Teilmenge von {1; 2; 3}債{1; 2; 3}

傺 istechteTeilmenge von {1; 2}傺{1; 2; 3; 4}

\ ohne {1; 2; 3} \ {3}⫽{1; 2}

씮 gegen, nähert sich x씮,

(7)

Zahlenmengen

n Menge der natürlichen Zahlen n⫽{0; 1; 2; 3; …}

einschließlich 0

z Menge der ganzen Zahlenein- z⫽{…;⫺3;⫺2;⫺1; 0; 1; 2; 3; …}

schließlich 0

q⫽

冦

^ab

冨

^a^僆^Z;^b^僆^Z*

冧

q Menge der rationalen Zahlen

einschließlich 0

r Menge der reellen Zahlenein-

schließlich 0

n*,z*,q*,r* Zahlen der jeweiligen Menge z*⫽{…;⫺3;⫺2;⫺1; 1; 2; 3; …}

n,z,q,rohne 0

z⫹,q⫹,r⫹ positive Zahlen der jeweiligen z⫹⫽zⱖ0⫽{0; 1; 2; 3; …}

(zⱖ0,qⱖ0,rⱖ0) Mengez,q,reinschließlich 0

z⫹*,q⫹*,r⫹* positive Zahlen der jeweiligen z⫹*⫽z⬎0⫽{1; 2; 3; …}

(z⬎0,q⬎0,r⬎0) Mengez,q,rohne 0

z⫺,q⫺,r⫺ negative Zahlen der jeweiligen z⫺⫽zⱕ0⫽{…;⫺3;⫺2;⫺1; 0}

(zⱕ0,qⱕ0,rⱕ0) Mengez,q,reinschließlich 0

z⫺*,q⫺*,r⫺* negative Zahlen der jeweiligen z⫺*⫽z⬍0⫽{…;⫺3;⫺2;⫺1}

(z⬍0,q⬍0,r⬍0) Mengez,q,rohne 0

{1; 2; 3} Menge mit den Elementen A⫽{1; 2; 3}

1, 2, 3

{x冷…} Menge allerxfür die gilt … {x冷0⬍x⬍3}_r

Menge allerxfür die gilt 0⬍x⬍3 {(x;y)冷…} Menge aller Zahlenpaare (x;y) {(x;y)冷y⫽3x}

für die gilt … Menge aller Zahlenpaare (x,y) für die gilty⫽3x

L Lösungsmenge x⫽3⇒L⫽{3}

⭋ ⫽{ } leere Menge x⫽冪⫺9⇒L⫽{ }

[a;b] geschlossenes Intervall vonein- {x 冷 aⱕxⱕb}

schließlichabiseinschließlich b

(a;b) offenes Intervall vonausschließ- {x 冷 a⬍x⬍b}

lichabisausschließlichb

[a;b) halb offenes Intervall vonein- {x 冷 aⱕx⬍b}

schließlichabisausschließlich

(a;b] {x 冷 a⬍xⱕb}

b(bzw. umgekehrt)

(8)

Analysis

f:f(x)⫽… Eine Funktionfmitf(x)⫽… f:f(x)⫽2x⫹1

auch: fist Name der Funktion; oder:

fmitf(x)⫽… f(x)⫽… ist die Funktionsglei- fmitf(x)⫽2x⫹1 chung

D(f) Definitionsbereich, Defini- D(f)⫽r

tionsmenge der Funktion f

W(f) Wertebereich, Wertemenge der W(f)⫽r

Funktion f

D_max(f) mathematisch maximal mögli- D_max(f)⫽r cher Definitionsbereich der

Funktionf

W_max(f) mathematisch maximal mögli- W_max(f)⫽r cher Wertebereich der Funk-

tionf

D_ök(f) ökonomisch sinnvoller Defini- D_ök(K)⫽[0;x_Kap] tionsbereich der Funktionf

W_ök(f) ökonomisch sinnvoller Wertebe- W_ök(K)⫽[K(0);K(x_Kap)]

reich der Funktionf

lim Grenzwert (Limes) lim

x씮,f(x)⫽a,

Der Grenzwert vonf(x) fürxgegen unendlich ist gleicha

Dy deltay; Differenz zweiery- Dy⫽y₂⫺y₁

Werte

f⬘(x) fStrich vonx; f(x)⫽2x²⇒f⬘(x)⫽4x

erste Ableitung vonf(x)

f⬙(x) fzwei Strich von x; f(x)⫽2x²

zweite Ableitung vonf(x) ⇒f⬘(x)⫽4x⇒f⬙(x)⫽4

df Differenzial vonf beliebig kleines Teilstück vonf

dfnach dx df

dx

df dx⫽f⬘(x) Der Differenzialquotient ist die

Ableitung vonf.

unbestimmtes Integral vonf(x)

兰

^f^{(x) dx}

兰

^{f(x) dx}^⫽^F^(x)^⫹^C

(bestimmtes) Integral vonf(x)

兰

^b

a

f(x) dx

兰

^b

a

f(x) dx⫽

冤

^F(x)

冥

^b_a^⫽^F^(b)^⫺^F^(a)

vonabisb

(9)

Matrizen und Vektoren

A MatrixA

A⫽

冢

^{4 2}^{5 1}

冣

A^T transponierte MatrixA

A^T⫽

冢

^{4 5}^{2 1}

冣

A^⫺1 Inverse (Matrix) zur MatrixA

A^⫺1⫽

冢

^⫺¹⁶⁵⁶ ^⫺¹³²³

冣

A冷vជ Um den Vektorvជerweiterte Mat-

A⫽

冢

^{4 2}^{5 1}

冨

⁷⁸

冣

rixA

E EinheitsmatrixE

E_3⫻₃⫽

冢

^{1 0 0}^{0 1 0}^{0 0 1}

冣

O NullmatrixO

O⫽

冢

^{0 0 0}^{0 0 0}

冣

T Technologie-Matrix

T⫽

冢

^{0,2 0,3}^{0,4 0,1}

冣

(E⫺T)^⫺1 Leontief-Inverse

T⫽

冢

³²²³ ¹²⁴³

冣

vជ Vektorvជ vជ⫽

冢

⁷⁸

冣

Stochastik

n Stichprobenumfang n⫽100

p Wahrscheinlichkeit p⫽0,25⫽25 %

q Gegenwahrscheinlichkeit fürp⫽0,25⫽25 % ist

q⫽1⫺p q⫽0,75⫽75 %

x_i Merkmalx_i

x arithmetisches Mittel (Durch-

schnitt)

x˜ Median (Zentralwert)

R Spannweite

X Zufallsvariable

(10)

m müErwartungswert

d mittlere lineare Abweichung

s sigma Standardabweichung

Summe allerx_ivon

兺

ⁿ

i⫽1

x_i _i_⫽_{1 bis}_i_⫽_n _i⫽1

兺

³ ⁱ^⫽¹^⫹²^⫹³^⫽⁶

傼 vereinigt mit; {1; 2}傼{2; 3; 4}⫽{1; 2; 3; 4}

Zusammenfügen von Mengen

傽 geschnitten mit; {1; 2}傽{2; 3; 4}⫽{2}

Gemeinsamkeiten von Mengen

債 ist Teilmenge von {1; 2; 3}債{1; 2; 3}

傺 ist echte Teilmenge von {1; 2}傺{1; 2; 3; 4};n傺z

E Ereignis

E nichtE(Gegenereignis)

冷E冷 Anzahl aller Ergebnisse, die E⫽{a;b;c}⇒ 冷E冷 ⫽3 zum EreignisEgehören

P(E) Wahrscheinlichkeit für das Er-

eignisE

P_B(A) Wahrscheinlichkeit für das Er- eignisAunter der Bedingung, dassBbereits eingetreten ist.

e_i Ergebnis

S Ergebnismenge S⫽{e₁;e₂;e₃… ;e_n}

! Fakultät 3!⫽3⋅2⋅1⫽6

nüberk(Binomialkoeffizient)

冢

ⁿ^k

冣

^⫽k!⋅(nⁿ⫺k)!

冢

⁵³

冣

^⫽3!⋅(5^5!⫺3)!⫽10

v(x) phi vonx, Dichtefunktion der

v(x)⫽ 1 s⋅冪2p⋅e^⫺

1 2

冢

^x^⫺s^m

冣

²

Normalverteilung

V(x) Phi vonx, Verteilungsfunktion

V(x)⫽

兰

^x

⫺,

1 s⋅冪2p⋅e^⫺

1

2

冢

^x⫺^s^m

冣

²_d_x

der Normalverteilung

H₀ Nullhypothese

H₁ Gegenhypothese

A Ablehnungsbereich

(11)

Griechisches Alphabet

A a Alpha H h Eta N n Ny T t Tau

B b Beta Q q Theta J j Xi Y y Ypsilon

G g Gamma I i Jota O o Omikron V v Phi

D d Delta K k Kappa P p Pi X x Chi

E e Epsilon L l Lambda R r Rho W w Psi

F f Zeta M m My S s Sigma Z z Omega

Taschenrechnersymbole

Taschenrechner- Bedeutung Beispiel

anzeige

1,23456E3 Multiplikation mit 10³; Ver- 1,23456⋅10³⫽1,23456⋅1 000

schiebung des Kommas um ⫽1 234,56

3 Stellen nach rechts

1,23456E⫺3 Division durch 10³; Verschie- 1,23456⋅10^⫺3⫽1,23456⬊1 000

bung des Kommas um 3 Stel- ⫽0,00123456

len nach links

(12)

Analysis Rechenarten, Rechengesetze

Analysis

1 Rechenarten, Rechengesetze

1.1 Grundrechenarten

Addition a⫹b⫽c a,b: Summand

c: Summe

Subtraktion a⫺b⫽c a: Minuend

b: Subtrahend c: Differenz Multiplikation a⋅b⫽c a,b: Faktor

c: Produkt

Division a: Dividend, bei BrüchenZähler

a⬊b⫽a

b⫽c b: Divisor, bei BrüchenNenner;b⬆0 c: Quotient

1.2 Höhere Rechenarten

Potenzieren a^b⫽c a: Basis

b: Exponent(Hochzahl) c: Potenz(auch:Potenzwert)

Radizieren ^a冪b⫽c a: Wurzelexponent

b: Radikand

c: Wurzel(auch:Radix) Logarithmieren log_ba⫽c a: Numerus(a僆r⫹* )

b: Basis(b僆r⫹* \{1}) c: Logarithmus

1.3 Rangfolge bei Ausführung mehrerer Rechenarten

Berechnung von 앫 höchste Priorität: Klammern ausrechnen

Termen 앫 Die höheren Rechenarten (Potenzieren, Radizieren und Logarithmie- ren) haben Vorrang vor den Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division).

앫 Punktrechnung (Multiplikation und Division, auch Brüche) vor Strich- rechnung (Addition und Subtraktion).

(13)

Analysis

Umformen von Beim Lösen von Gleichungen wird in der umgekehrten Reihenfolge Gleichungen wie beim Berechnen von Termen vorgegangen:

Erst Strichrechnung, dann Punktrechnung, dann die höheren Rechen- arten (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren).

1.4 Vorzeichenregeln

Addition und a⫹(⫹b)⫽a⫹b a⫺(⫹b)⫽a⫺b Subtraktion a⫹(⫺b)⫽a⫺ b a⫺(⫺b)⫽a⫹b Multiplikation a⋅(⫹b)⫽ ⫹ab⫽ab (⫺a)⋅b⫽ ⫺ab

a⋅(⫺b)⫽ ⫺ab (⫺a)⋅(⫺b)⫽ ⫹ab⫽ab

Division ⫹a

⫹b⫽ ⫹a b⫽a

b

⫺a b ⫽ ⫺a

b a

⫺b⫽ ⫺a b

⫺a

⫺b⫽ ⫹a b⫽a

b

1.5 Elementare Rechengesetze

Kommutativ- a⫹b⫽b⫹a Vertauschungsgesetz

gesetz a⋅b⫽b⋅a

Assoziativgesetz a⫹(b⫹c)⫽(a⫹b)⫹c Verbindungsgesetz a⋅(b⋅c)⫽(a⋅b)⋅c

Distributivgesetz (a±b)⋅c ⫽a⋅c±b⋅c Verteilungsgesetz (a±b)⬊c⫽a⬊c±b⬊c (c⬆0)

a±b c ⫽a

c±b

c (c⬆0)

Faktorisieren a⋅c±b⋅c⫽c⋅(a±b) a

c±b c⫽a±b

c (c⬆0)

Klammern a⫹(b⫹c)⫽a⫹b⫹c auflösen a⫹(b⫺c)⫽a⫹b⫺c a⫺ (b⫹c)⫽a⫺b⫺c a⫺ (b⫺c)⫽a⫺b⫹c

⫺(a⫹b)⫽ ⫺a⫺b a⋅(b±c)⫽a⋅b±a⋅c

(a⫹b)⋅(c⫹d)⫽ac⫹ad⫹bc⫹bd (a⫹b)⋅(c⫺ d)⫽ac⫺ad⫹bc⫺bd (a⫺b)⋅(c⫹d)⫽ac⫹ad⫺bc⫺ bd (a⫺b)⋅(c⫺d)⫽ac⫺ad⫺bc⫹bd

(14)

1 Rechenarten, Rechengesetze

Operationen a±0⫽0±a⫽a mit 0

a⋅0⫽0⋅a⫽0

(a⬆0) 0

a⫽0

Die Division durch 0 ist a

0⫽n. d.

nicht definiert.

a⁰⫽1

Binomische (a⫹b)²⫽a²⫹2ab⫹b² 1. Binomische Formel Formeln (a⫺b)²⫽a²⫺2ab⫹b² 2. Binomische Formel (a⫹b)⋅(a⫺b)⫽a²⫺b² 3. Binomische Formel

1.6 Rechnen mit Brüchen

Erweitern und 앫 Erweitern: Beim Erweitern eines Bruchs

Kürzen von a werden Zähler und Nenner des

b⫽a⋅n

b⋅nmitb,n⬆0

Brüchen Bruchs mitnmultipliziert.

앫 Kürzen: Beim Kürzen eines Bruchs

werden Zähler und Nenner des a⋅n

b⋅n⫽a⋅n/ b⋅n/⫽a

bmitb,n⬆0

Bruchs durchndividiert.

Addition und 앫 gleichnamige Brüche: Brüche mit dem gleichen Nen-

Subtraktion a ner werden addiert (subtrahiert),

c±b c⫽a±b

c mitc⬆0

von Brüchen indem die Zähler addiert (subtra-

hiert) werden und der Nenner beibehalten wird.

앫 ungleichnamige Brüche: Brüche mit unterschiedlichen Nennern werden zunächst durch a

b±c d⫽ad

bd±bc

bd⫽ad±bc

bd Erweitern gleichnamig gemacht.

Dann werden sie wie gleichna- mitb,d⬆0

mige Brüche addiert (subtrahiert).

Multiplikation 앫 Multiplikation eines Bruchs Zähler mal Zähler, Nenner mal

von Brüchen mit einem Bruch: Nenner.

a b⋅c

d⫽a⋅c b⋅d⫽ac

bd mitb,d⬆0

앫 Multiplikation eines Bruchs Die ganze Zahlckann in den mit einer ganzen Zahl:

Bruchc

1umgeformt werden.

a b⋅c⫽a

b⋅c 1⫽ac

b mitb⬆0

Dann wird wie bei der Multipli- kation von Brüchen verfahren.

(15)

Analysis

Division von 앫 Division eines Bruches durch Ein Bruch wird durch einen

Brüchen einen Bruch: Bruch dividiert, indem der erste

Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert a

b c d

⫽a b⬊c

d⫽a b⋅d

c⫽ad

bc wird.

mitb,c,d⬆0

앫 Division eines Bruches durch Die ganze Zahlckann in den eine ganze Zahl:

Bruchc

1umgeformt werden.

Dann wird wie bei der Division a

b c ⫽a

b⬊c 1⫽a⋅1

b⋅c⫽ a

bc von Brüchen verfahren.

mitb,c⬆0

1.7 Potenzieren

Definition und Exponent (Hochzahl)

Bezeichnungen 앗

a⋅a⋅a⋅…⋅a ⫽ aⁿ

Basis n僆n*

nFaktoren

Rechengesetze 앫 Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis:

(a⬆0, wennm,n⬍0) a^m⋅aⁿ⫽a^m⫹n

(a⬆0, wennm⬍0 odern⬎0) a^m

aⁿ⫽a^m^⫺ⁿ

앫 Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichen Ex- ponenten:

(a,b⬆0, wennn⬍0) aⁿ⋅bⁿ⫽(a⋅b)ⁿ

(a⬆0, wennn⬍0 ;b⬆0) aⁿ

bⁿ⫽

冢

^ab

冣

ⁿ

앫 Potenzen potenzieren:

(a^m)ⁿ⫽a^m⋅n Folgerungen a¹⫽a

a⁰⫽1

(a⬆0) a^⫺ⁿ⫽ 1

aⁿ

(a⬆0) a^⫺1⫽ 1

a¹⫽1 a

(a,b⬆0)

冢

^ab

冣

^⫺n^⫽

冢

^ba

冣

ⁿ

(16)

1 Rechenarten, Rechengesetze

1.8 Radizieren

Definition und bⁿ⫽a⇔b⫽ⁿ冪a b: Wurzel

Bezeichnungen n: Wurzelexponent

a: Radikand Rechengesetze 앫 Multiplikation von Wurzeln

(n僆n* ;a,bⱖ0)

n冪a⋅ⁿ冪b⫽ⁿ冪a⋅b 앫 Division von Wurzeln

(n僆n*\{1} ;aⱖ0 ;b⬎0)

n冪a

n冪b⫽ⁿ

冪

^a^b

앫 Potenzieren von Wurzeln

(n僆n*\{1} ;aⱖ0)

冢

ⁿ^冪^a

冣

^m^⫽ⁿ^冪^a^m

앫 Radizieren von Wurzeln

(n,m僆n*\{1} ;aⱖ0)

n

冪

^m^冪^a^⫽^m

冪

ⁿ^冪^a^⫽^nm^冪^a

Teilweises (partiel- ⁿ冪aⁿ⋅b⫽ⁿ冪aⁿ⋅ⁿ冪b⫽a⋅ⁿ冪b (n僆n*\{1} ;a,bⱖ0) les) Radizieren

Rationalmachen

(b⬎0) a

冪b⫽ a⋅冪b

冪b⋅冪b⫽a⋅冪b des Nenners b

Umformung von Jede Wurzel kann als Potenz mit

n冪a^m⫽a

m

Wurzeln in n gebrochenem Exponenten ge-

Potenzen schrieben werden.

(n僆n*\{1} ;m⬎0 ;aⱖ0) 冪a⫽²冪a¹⫽a

1 2

n冪a⫽ⁿ冪a¹⫽a

1 n

冪a⋅冪a⫽

冢

^冪^a

冣

²

⫽

冢

^a¹²

冣

²^⫽â¹²^⋅2^⫽â¹^⫽â

3冪a³⫽a

3

3⫽a¹⫽a

冢

³^冪^a

冣

³^⫽

冢

^a¹³

冣

³^⫽â³³^⫽â¹^⫽â

(17)

Analysis

1.9 Logarithmieren

Definition und Logarithmuszahl⫽Exponent⫽Hochzahl Bezeichnungen

Logarithmieren heißt, den Exponenten (die Hochzahl) berechnen.

(b僆r⫹* \{1} ;y僆r⫹* )

Die Zahlxheißt Logarithmus vonyzur Basisb.

Logarithmieren 앫 Zehnerlogarithmus Der Logarithmus zur Basis 10 heißtZeh- mit dem x⫽log₁₀y⫽lgy nerlogarithmus. Er wird mit lg abge-

Taschenrechner kürzt und kann mit der Taschenrechner-

taste „log“ berechnet werden (y⬎0).

앫 Natürlicher Logarith- Der Logarithmus mit der Euler’schen

mus Zahl e als Basis heißtnatürlicher Loga-

x⫽ log_ey⫽lny rithmus. Er wird mit ln abgekürzt und kann mit der Taschenrechnertaste „ln“

berechnet werden (y⬎0).

앫 Logarithmen mit belie- Der Logarithmus zu einer beliebigen Ba- biger Basis sisb僆R*_⫹\{1} kann mit dem Taschen-

rechner mithilfe des natürlichen oder x⫽log_by⫽lny

lnb des Zehnerlogarithmus berechnet werden.

x⫽log_by⫽lgy lgb

Rechengesetze (a,u,v⬎0)

logu

v⫽logu⫺logv (Logarithmenge-

setze) loga^u⫽u⋅loga log^v冪a^u⫽loga

u v⫽u

vloga a^x⫽e^xln^a

Folgerungen log_bb⫽1 (b⬎0)

log_b1⫽0

(n⬆0) log_bⁿ冪a⫽1

nlog_ba

(a,b⬎0 ;n⬆0) log_bⁿ冪a^m⫽m

nlog_ba

Natürlicher log_ey⫽lny DieEuler’sche Zahl eist das Ergebnis

Logarithmus der Grenzwertbetrachtung :

e^x⫽y⇔x⫽lny

lim

x씮,

冢

¹^⫹¹x

冣

^x^⫽^e^艐^2,71828

e^lnx⫽x