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Berichte des Forschungszentrums Jülich 3380
Kurzfassung
Im Oktober 1993 wurden vom Bundesministeriumfur Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie (BMBF) 56 Projekte zur Verbesserung der Zu- sammenarbeit zwischen industriellen und wissenschaftlichen Einrichtungen ins Leben gerufen. Ziel dieser Projekte war es, moderne mathematische Ver- fahren in die industrielle Anwendung zu bringen.
Eines dieser Projekte war dabei imZentralinstitut fur Angewandte Mathema- tik (ZAM) des Forschungszentrums Julich ansassig. In Zusammenarbeit mit dem Institut fur Energieverfahrenstechnik (IEV) wurde eine hochauosende Modellierung der SOFC-Brennstozelle durchgefuhrt.
Mathematisch fuhrt die Modellierung auf ein nichtlinear gekoppeltes System von partiellen Dierentialgleichungen. Neben der Losung dieses Systems mit einer einfachen Linearisierung, welche in ein Full-Multigrid Verfahren einge- bettet wird, werden Ansatze zur Behandlung der Gleichungen fur transport- beschrankte Reaktionen und analytische Ergebnisse zu den sich einstellenden Konvergenzraten prasentiert.
Vollig neue Ansatze verlangt die Behandlung unstrukturierter Geometrien.
Insbesondere die hier verwendete Diskretisierung mit der Finite Integration Technique fuhrt auf das Problem, ein Gitter in polygonale Kontrollvolumina zu zerlegen, die einen eindeutig bestimmten Umkreis mit einem Mittelpunkt im Innern des Volumens haben. Neben einem teiladaptiven Algorithmus zur Gitterzerlegung werden die Gleichungen fur diese Diskretisierungstypen vor- gestellt.
Schlielich werden einige Untersuchungen und Parameterstudien gezeigt, die den Erfolg dieses Projektes noch einmal unterstreichen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Die Hochtemperatur{Brennstozelle 5
2.1 Historie . . . 5
2.2 Grundlagen der Brennstozelle . . . 6
2.3 Arbeitsprinzip der Brennstozelle . . . 9
2.4 Modellierungsebenen . . . 11
2.5 Chemie der Brennstozelle . . . 11
2.6 Geometrie der Zelle . . . 13
3 Scientic Computing 15
3.1 Motivation . . . 153.2 Eine neue Disziplin . . . 16
4 Gittererzeugung 21
4.1 Allgemeines . . . 214.2 Geometrieeingabe . . . 22
4.3 Diskretisierung der Geometrie . . . 22
4.4 Gitterverfeinerung . . . 23
4.5 Speicherbedarf . . . 24
5 FIT-zulassige Zerlegung 27
5.1 Zerlegung des Eichhornchens . . . 296 Physikalische Beschreibung 37
6.1 Erhaltungssatze . . . 376.2 Die Bindung an skalare Groen . . . 38 i
ii INHALTSVERZEICHNIS
6.3 Randbedingungen . . . 41
6.4 Der Spannungssprung . . . 41
6.5 Diskretisierung der Gleichungen . . . 43
6.5.1 Stromu . . . 45
6.5.2 Warmeu . . . 46
6.5.3 Massenu . . . 47
6.6 Gultigkeitsbereich der Gleichungen . . . 48
7 Der Losungsalgorithmus 49
7.1 Die Kopplung nullter Ordnung (Direkte Iteration) . . . 497.2 Analyse der Kopplung . . . 50
7.3 Dampfung der Zwischenlosungen . . . 53
7.4 Der Potentialsprung . . . 55
7.5 Losung der linearisierten Gleichungen . . . 56
8 Konvergenzanalyse 57
8.1 Das Verfahren mit Butler{Volmer Gleichung . . . 588.2 Verfahren mit inverser Gleichung . . . 62
8.3 Das Hybrid{Verfahren . . . 65
9 Mehrgitterverfahren 67
9.1 Einfuhrung . . . 679.2 Idee der Mehrgitterverfahren . . . 68
9.3 Notation und Denitionen . . . 69
9.4 Grobgitterkorrektur . . . 70
9.5 Glattung . . . 71
9.6 Der V-Cycle . . . 74
9.7 Full Multigrid . . . 75
9.8 Restringierung und Prolongation . . . 76
9.9 Adaptives Full-Multigrid . . . 77
10 Implementierung und Resultate 79
10.1 Implementierung . . . 7910.2 Losungsverfahren . . . 83
10.3 Numerische Resultate . . . 86
10.3.1 Variation physikalischer Groen . . . 86
10.3.2 Variation geometrischer Groen . . . 88
INHALTSVERZEICHNIS iii
11 Zusammenfassung 93
Literaturverzeichnis 99
iv INHALTSVERZEICHNIS
Abbildungsverzeichnis
2.1 Autonome Energieversorgung . . . 7
2.2 Umwandlung von chemischer in elektrische Energie . . . 9
2.3 Vergleich von direkter, ionen- und elektronenleitender und nur ionenleitender Verbindung . . . 10
2.4 Die Grenzschicht Elektroden/Elektrolyt der Brennstozelle . . 12
2.5 Die Brennstozelle in Plattenbauweise . . . 14
3.1 Entwicklung der Hardware . . . 17
3.2 Entwicklung der mathematischen Verfahren zur numerischen Losung partiellerDierentialgleichungenam Beispielder Laplace- Gleichung . . . 18
3.3 Modellierung der Brennstozelle als Beispiel fur das Scientic Computing . . . 19
4.1 Verfeinerung einer Viereckszelle . . . 24
4.2 Verfeinerung einer Dreieckszelle . . . 25
4.3 Gitterverfeinerung beim gemischten Gitter . . . 26
5.1 Die Ausgangsgeometrie . . . 28
5.2 Innerer Zusatzpunkt und Bearbeitung desOhr-Auslaufers . . . 30
5.3 Schnitt von Kreis und Rand . . . 31
5.4 Zwischenresultat . . . 31
5.5 Ein weiterer Randpunkt im Kreis . . . 32
5.6 Sternpunktkonstruktion . . . 33
5.7 Sternpunktkonstruktion . . . 34
5.8 Behandlung langlicher Konturen . . . 35
5.9 Konstruktion innerer Punkte . . . 35
5.10 Die vollstandige Zerlegung . . . 36 v
vi ABBILDUNGSVERZEICHNIS
6.1 SpannungU in Abhangigkeit von der Zellhohe y an der Grenz-
schicht Kathode/Elektrolyt . . . 42
6.2 Diskretisierung mit Hilfe eines dualen Gitters . . . 44
7.1 Der Algorithmus mit Kopplung nullter Ordnung . . . 50
7.2 Darstellung des Gebietszerlegungsverfahrens . . . 52
7.3 Neu berechnete versus gedampfte (verwendete) Funktionswerte 54 8.1 Geometrie zum Verfahren mit Butler{Volmer Gleichung . . . . 58
8.2 Potentialzusammenhangean der GrenzschichtKathode { Elek- trolyt . . . 59
8.3 Konvergenzbereich fur das erste Verfahren fur verschiedene Konzentrationen und Potentialdierenzen . . . 61
8.4 Konvergenzverhaltendes Verfahrens mitinverserButler{Volmer Gleichung . . . 63
8.5 Die Konvergenzrate des Hybrid{Verfahren (Minimum der bei- den anderen Verfahren) . . . 65
9.1 Die Grobgitterkorrektur . . . 71
9.2 Fur grobe und feine Gitter sichtbare Fourier{Moden . . . 72
9.3 Verlauf des Fehlers . . . 72
9.4 Reduktion des Fehlers durch das Gau{Seidel{Verfahren fur die Laplace{Gleichung auf dem Einheitsquadrat . . . 73
9.5 V-Zyklus . . . 75
9.6 Full Multigrid . . . 76
10.1 Stromverteilung inA=cm2 (nur die y-Komponente) . . . 87
10.2 Stromdichte entlang der Zelle (z;Richtung) . . . 88 10.3 Leistung bei unterschiedlichem Verhaltnis Kanal- zu Stegbrei-
te und unterschiedlicher Kathodendicke Brenngas Wassersto 90 10.4 Leistung bei unterschiedlichem Verhaltnis Kanal- zu Stegbrei-
te und unterschiedlicher Kathodendicke Brenngas Kohlegas . 91
Kapitel 1 Einleitung
Eine der wichtigsten Herausforderungen an das nachste Jahrtausend ist die umweltgerechte Deckung des weiter steigenden Energiebedarfs.
Konventionelle Energieumwandlungstechniken verursachen jedoch hohe CO2-Emissionen und auch der nur begrenzte Vorrat an fossilen Energie- tragern zwingt zumbaldigen Handeln. Der Anstieg der CO2-Konzentration in der Erdatmosphare und der damit verbundene Treibhauseekt wird nach dem derzeitigen Stand der Wissenschaft zu weitreichenden Veranderungen des Weltklimas fuhren. Die Notwendigkeit zur Reduzierung treibhausrelevanter Emissionen wurde in Folge dessen auf den Konferenzen der Vereinten Natio- nen 1988 in Toronto und 1992 in Rio de Janeiro diskutiert. Die Bundesregie- rung fate daraufhin den Beschlu zur "Verminderung der CO2-Emissionen und anderen Treibhausgasemissionen in der Bundesrepublik Deutschland\.
Konkretisiert wurde dieses durch das Ziel, die Emissionen von 1987 bis zum Jahre 2005 um 25 bis 30 Prozent zu senken.
Erreicht werden kann dieses nur durch eine Vielzahl von Manahmen.
Hierzu gehort auch die Entwicklung neuer Technologien zur Energieumwand- lung, um sowohl mit besseren Wirkungsgraden, als auch mit neuen, emissi- onsarmen Verfahren die Schadstobelastung zu reduzieren. In diesem Kon- text wurde die Entwicklung der Brennstozellen zu einem Leitprojekt des Forschungszentrums in Julich.
Die in dieser Arbeit behandelte Hochtemperaturbrennstozelle mit ke- ramischem Elektrolyten (SOFC, engl.: solid oxide fuel cell) soll dabei in Blockheizkraftwerken verwendet werden, um die Energieversorgung dezen- tralisieren zu konnen. Der hohe Wirkungsgrad und die geringen Schadsto-
1
2 KAPITEL1. EINLEITUNG emissionen sind dabei die Starken der Brennstozelle. Wahrend die Nieder- temperaturzellen bereits auf dem Markt erhaltlich sind, steckt die SOFC noch in der Entwicklungsphase.
Neben den klassischen Saulen Theorie und Experiment ist die Simulation eine dritte tragende Kraft bei der Entwicklung neuer Technologien gewor- den. Teure und zeitaufwendige Experimente konnen zugunsten von Simula- tionslaufen eingespart werden.
Ausgangspunkt dieser Arbeit war das Forderprogramm "Anwendungs- orientierte Mathematik\ des Bundesministeriums fur Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie (BMBF). Anhand dieses Programms sollen mo- derne mathematische Verfahren in die industrielle Anwendung gebracht wer- den. Die Projektpartner waren verschiedene Brennstozellenhersteller, die uber das Institut fur Energieverfahrenstechnikdes ForschungszentrumsJulich wichtige Kinetik- und Materialdaten zur Verfugung gestellt haben.
Zentraler Punkt sind die Methoden der numerischen Mathematik, ins- besondere der Mehrgitterverfahren, jedoch kommen eine Vielfalt von ande- ren mathematischen, physikalischen, chemischen und informationstechnolo- gischen Aspekten zum Tragen.
Diese Breite schlagt sich auch in der vorliegenden Dokumentation nieder.
Neben der Modellbildung, welche Kenntnisse partieller Dierentialgleichun- gen, physikalischer Gleichungen aus der Warmelehre, der Elektrochemie und des Massentransportes verlangten, sind Kenntnisse der chemischen Vorgange notwendig. Die Gittererzeugung verlangt nach geometrischen Methoden, und schlielichist ein ezientesLosungsverfahren fur die diskretisiertenGleichun- gen zu entwickeln. Hier sind die Mehrgitterstrategien Stand der Dinge, ins- besondere, da der hier verwendete adaptive Algorithmus besonders geeignet fur lokal konvergente Verfahren ist.
Im Rahmen dieser Dissertation wurden verschiedene Verfahren zur Geo- metrieeingabe, -zerlegung und Visualisierung entwickelt und implementiert.
Die gekoppelten nichtlinearen partiellen Dierentialgleichungen zur Beschrei- bung der Temperatur, des Potentials und des Massenusses wurden fur diese Geometrien hergeleitet.
Neben der Implementierung eines Mehrgitterverfahrens wurden Untersu- chungen zur Behandlung der nichtlinearen Kopplungen durchgefuhrt, eine geeignete Dampfung hinzugefugt und die Modellierung fortwahrend an sich andernde technologische Entwicklungen angepat.
Zur Behandlung der transportbeschrankten Reaktion wurde ein vollig
3 neuartiger Ansatz entwickelt und anhand einer einfachen Modellgeometrie das Konvergenzverhalten analysiert. Die logarithmische Singularitat konnte mit diesem neuen Verfahren umgangen werden.
4 KAPITEL1. EINLEITUNG
Kapitel 2
Die Hochtemperatur{Brenn- stozelle
Ziel dieses Kapitels ist es, einen Einblick in die Anwendung und Funktions- weise der Brennstozelle zu geben. Neben einer kurzen Betrachtung der hi- storischen Entwicklung soll insbesondere der stromerzeugende Proze erklart werden. Weitere einfuhrende Literatur ndet sich in 14],16] und 31].
2.1 Historie
Die Entdeckung des Brennstozellenprinzips gelang dem englischen Physiker Sir William Grove (1811 - 1896) im Jahre 1839. Er beheizte Wasserdampf mit einem Platindraht, worauf der Wasserdampf in Wasser{ und Sauersto zerel. Diesen Vorgang der thermischen Dissoziation von Molekulen wies er als kalte Verbrennung nach. Da dieser Vorgang reversibel ist, konnte die chemische Energie wieder direkt in elektrische Energie umgewandelt werden.
Bereits Ende des 19. Jahrhunderts schien durch die elektrodynamischen Prinzipien von Werner von Siemens die elektrochemische Stromerzeugung uberholt zu sein. Zwar gab es immer wieder Arbeiten zu diesem Themenge- biet, wie z.B. von Walter Nernst, der sich mit der galvanischen Stromerzeu- gung befate und 1920 den Chemie-Nobelpreis erhielt, doch von technischer Bedeutung waren lediglich die Batterien.
Die erste Renaissance erlebte die Brennstozelle Mitte der 60er Jahre mit ihrem Einsatz in Unterseebooten und vor allem in der Raumfahrt. Bei ihrem
5
6 KAPITEL2. DIEHOCHTEMPERATUR{BRENNSTOFFZELLE
ersten Einsatz 1963 in den Gemini-Missionen wurden mit Brennstozellen uber 10000 Betriebsstunden im Weltraum abgeleistet. Bei einem Wirkungs- grad von 60% lieferten die Zellen durch die Verbrennung von Sauersto und Wassersto zusatzlich als Reaktionsprodukt reines Wasser, welches zur Ver- sorgung der Mannschaft aufbereitet wurde.
Die hohen Herstellungskosten, hohe Materialanforderungen und Verlust- mechanismenfuhrten jedoch dazu, da die Brennstozelle imalltaglichen Ge- brauch kaum Anwendung fand. Aufgrund der stark gewachsenen Anforderun- gen bezuglich der Umweltvertraglichkeit der Stromerzeugung ndet derzeit eine zweite Renaissance statt. Es gilt nun, diese emissionsarme Energiequel- le, deren Betriebsfuhrung bei niedrigen Temperaturen bereits gut beherrscht wird, bis hin zur Kraftwerksgroe auszubauen.
2.2 Grundlagen der Brennstozelle
Solar{ und Windenergie sind sicherlichdie Basis fur zukunftige Energiegewin- nungsformen. Eines der wesentlichen Probleme ist die Prasenz dieser Ener- gieformen. Das schwankende Angebot der erneuerbaren Energien und die ebenfalls schwankende Nachfrage fuhren auf das Problem einer ezienten Energiespeicherung, wobei sowohl kurzfristig kleine Energiemengen als auch langfristig (Winter) groe Energiemengen gespeichert werden mussen. Die kurzfristige Bedarfsdeckung kann durch Batterien erfolgen, zur langfristigen Deckung ist die Brennstozelle ein angemessener Energieumwandler.
Abb. 2.1 zeigt schematischdie Energiespeicherung und Ruckverstromung.
Bei Energieuberangebot wird aus einem Wassertank Wasser entnommen und mittels Elektrolyse in Wassersto und Sauersto gespalten, welche dann be- liebig lange gespeichert werden konnen. Ist Energiebedarf vorhanden, konnen Wassersto und Sauersto in einer Brennstozelle ruckverstromtwerden, wo- bei diese elektrochemische Energieumwandlung die Umkehrung der Elektro- lyse ist. Da Wassersto und Sauersto die einzigen beteiligten Stoe die- ser Energieumwandlung sind, lauft der gesamte Vorgang frei von Schadsto- emissionen ab. Bei der Stromerzeugung entsteht als Reaktionsprodukt Was- ser, welches sich wieder in den Wassertank einspeisen lat, womit sich der Kreislauf schliet.
Ein weiterer Vorteil liegt in der Modularitat dieser Energiegewinnungs- form. Sowohl Solarzellen als auch Brennstozellen lassen sich durch serielle
2.2. GRUNDLAGENDER BRENNSTOFFZELLE 7
Elektrolyse Direkte
Stromerzeugung Kurzzeit-
speicherung Langzeit-
speicherung Strom-
erzeugung
Strom- abnahme
+ -
Batterie H
2 O
2
Brennstoff - zelle
Solarzellen/Windkraft
Kurzfristiger
Überbedarf Langfristiger
Überbedarf
Endverbrauch
Abbildung 2.1: Autonome Energieversorgung
und parallele Schaltung im Baukastensystem zu variablen Leistungsgroen verschalten. Somit konnen sogenannte Inselsysteme, also autonome Energie- erzeugungsstatten, beliebiger Groe erzeugt werden.
Unabhangig von einer vorgeschalteten Elektrolyse kann die Brennstozel- le wegen ihrer einfachen Skalierbarkeit in den unterschiedlichsten Bereichen eingesetzt werden. So ist an eine Verwendung im PKW genauso gedacht wie als Stromversorger fur den Privathaushalt bis hin zum Grokraftwerk.
So besteht derzeit groes Interesse daran, als Energieumwandler fur fos- sile Brennstoe statt der derzeit verwendeten Warmekraftwerke die Brenn- stozelle einzusetzen und somit die dort anfallenden Schadstoemissionen weitgehend zu verhindern. Neben der geringen Schadsto{ und Gerauschbe- lastung und der einfachen Prozefuhrung ist auch der hohe Wirkungsgrad eine Starke der Brennstozelle.
8 KAPITEL2. DIEHOCHTEMPERATUR{BRENNSTOFFZELLE
Unterschiedenwerden die Brennstozellen nach ihrer Betriebstemperatur, verwendetem Elektrolyten und Brennsto. Eine Ubersicht uber die derzeit verwendeten Typen ist in Tab. 2.1 gegeben. Die Abkurzung BZ steht dort fur Brennstozelle. Als Brennsto kann in allen Zellen Wassersto eingesetzt werden und auer bei der AFC { evtl. reformiertes { Methan. Die SOFC lat zusatzlich den Einsatz von Kohlegas zu.
Name und Temperatur Elektrolyt Wirkungs- Anwendung
internationale in Grad grad in
Abkurzung Celsius Prozent
Alkalische BZ (AFC) 80 bis 90 Kalilauge 50 bis 65 Raumfahrt, Schiahrt, Transport Polymer-Elektrolyt- 80 bis 90 Polymer- 50 bis 60 Raumfahrt,
membran BZ membran Schiahrt,
(PEMFC) Transport,
Elektroauto Phosphorsaure BZ 200 Phosphor- 35 bis 45 Kraftwerk
(PAFC) saure
Schmelzkarbonat BZ 650 Calcium- 45 bis 60 Kraftwerk
(MCFC) carbonat
BZ mit Feststooxid- 850 bis 1000 Zirkonoxid 50 bis 60 Kraftwerk Elektrolyt (SOFC)
Tabelle 2.1: Brennstozellentypen
Wegen ihrer Betriebstemperatur werden die MCFC und SOFC als Hoch- temperatur-Brennstozellen, die anderen als Niedertemperatur-Brennsto- zellen bezeichnet. Die Niedertemperatur-Brennstozellen sind weitgehend aus dem Entwicklungsstadium heraus, wahrend die Hochtemperatur-Brenn- stozellen derzeit nur in einigen Prototyp-Versionen mit kleiner Leistung hergestellt werden.
2.3. ARBEITSPRINZIPDER BRENNSTOFFZELLE 9
2.3 Arbeitsprinzip der Brennstozelle
Die konventionelle Umwandlung beruht auf dem Prinzip, zunachst Warme zu erzeugen, die dann in mechanische und schlielich in elektrische Energie umgewandelt wird, wie in Abb. 2.2 dargestellt ist.
Chemische Energie
Wärme- Energie
Elektrische Energie
Elektrische Energie
Direkte Energieumwandlung (Brennstoffzelle)
Indirekte Energieumwandlung (Wärmekraftwerk)
Carnot-Faktor
Abbildung 2.2: Umwandlung von chemischer in elektrische Energie Die indirekte Stromerzeugung durchlauft dabei die stark verlustbehaftete Kette Warme { Dampf { Turbine { Generator. Dabei wird der maximale Prozentsatz an Energieumwandlung, der Wirkungsgradmax, begrenzt durch den Carnot-Faktor
max = Tin;Tout
Tin 100
wobei Tin und Tout Eingangs- und Ausgangstemperatur des Warmeprozes- ses sind. Dieser maximale Wirkungsgrad gilt fur alle Konvertoren, wie z.B.
Dampfturbine oder Verbrennungsmotor, die mit einer Quellen- und Senken- temperatur arbeiten. Die reale Ausbeute solcher Energiegewinnungssysteme liegt meist bei 30 bis 40 Prozent.
10 KAPITEL2. DIEHOCHTEMPERATUR{BRENNSTOFFZELLE
Die Brennstozelle hingegen wandelt chemische Energie direkt in elek- trische um und ist somit nicht an den Carnot-Faktor gebunden. Wirkungs- grade sogar uber 100% sind hier prinzipiell moglich 1], da das System auch der Umgebung entnommene Warme in elektrische Energie umsetzen kann.
Realistisch erscheinen derzeit Wirkungsgrade von bis zu 70%.
Dabei erzeugt die Brennstozelle ahnlich wie die Batterie Gleichstrom niedriger Spannung. Wahrend bei der Batterie der energieerzeugende chemi- sche Sto enthalten ist { und somit auch irgendwann verbraucht ist { werden bei der Brennstozelle die Brennstoe kontinuierlich zugefuhrt.
Grundlage der Stromerzeugung ist die hohe elektrochemische Aktivitat von Wassersto und Sauersto.
Die verschiedenen Methoden Wasser- und Sauersto reagieren zu lassen, sind in Abb. 2.3 dargestellt.
O
2H
2O
2H
2O
2H
2O2- O2-
2e - 2e -
Abbildung 2.3: Vergleich von direkter, ionen- und elektronenleitender und nur ionenleitender Verbindung
Bringt man diese Stoe zusammen,so ist eine heftige Reaktion, der Knall- gaseekt, zu beobachten. Findet der Austausch uber ein ionen- und elektro- nenleitendes Medium statt, so entsteht durch die Enthalpiedierenz Warme.
Der Wassersto erhoht seine negative Ladung (Oxidation), wahrend der Sau- ersto diese verringert (Reduktion). Da dieses aber vollig ungeordnet an einer Vielzahl von Teilchen passiert, lat sich von auen kein Stromu feststellen.
Die Idee, die zur Stromerzeugung fuhrt, ist recht einfach. Die Gase, und damit die ablaufenden Reaktionen, werden durch einen ionenleitenden Elek-
2.4. MODELLIERUNGSEBENEN 11 trolyten und Elektroden raumlich getrennt. Wahrend diese Materialien wei- terhin Ionen leiten, gilt dies fur Elektronen nicht. Diese werden an den Elek- troden aufgefangen und abgegrien.
2.4 Modellierungsebenen
Bei der Modellierung werden unterschiedliche Skalen betrachtet. Die klein- sten Skalen beschaftigen sich mit den Elektrodenmodellen. Diese liefern die Daten der Elektrochemie und sind wiederum Eingabe fur die Zellmodellie- rung, welche in dieser Arbeit betrachtet wird. Die nachst hoheren Ebenen sind die Zellstapelmodelle (Stackmodelle), die Kraftwerksmodelle bis hin zu weltweiten Energieszenarien. Das jeweilige Modell iet ublicherweise hier- bei in Form von Kennlinien oder Materialkonstanten in das nachst groere als Black Box ein. Langfristig wunschenswert ware ein Modell, in dem alle Skalen betrachtet werden konnten, da diese Skalen untereinander eine starke Wechselwirkung in Bezug auf die Optimierung des Gesamtsystems haben.
Inwieweit sich dies realisieren lat, ist jedoch fraglich.
Hier wird die mittlere Ebene betrachtet, bei der Aussagen uber den quan- titativen Zusammenhang zwischen Brennstozusammensetzung, Temperatu- ren, Spannungen und Stromen fur eine vorgegebene Zellgeometrie mit einer bekannten elektrochemischen Reaktion gemacht werden sollen.
2.5 Chemie der Brennstozelle
Da die Chemie Grundlage fur die Stromerzeugung in der Brennstozelle ist und Konzentrationsanderungen durch diese Reaktionen hervorgerufen wer- den, ist eine Kenntnis der chemischen Vorgange notwendig zur Modellierung der Zelle.
Im Prinzip lat sich die Zelle mit beliebigen reaktionsfahigen Gasen be- treiben unter den zur Zeit realisierbaren Bedingungen ist die Oxidation von Wassersto die einzige praktikable. Der Grund hierfur ist die hohe elektroche- mische Aktivitat des Wasserstoes im Vergleich zu allen anderen Brennstof- fen. Weiterhin liegt hier ein einfacher Reaktionsmechanismus vor, bei dem keine hemmenden Nebenprodukte anfallen. Durch eine vorgeschaltete Re- formierung ist alternativ eine Verwendung von Kohlenwasserstogemischen
12 KAPITEL2. DIEHOCHTEMPERATUR{BRENNSTOFFZELLE
moglich. Bei Verwendung von Erdgas anstelle von reinem Wassersto lauft zusatzlich die Methanreformierungsreaktionab. Imfolgenden wird die Brenn- stozelle mit Wassersto als Brenngas betrachtet Anderungen auf andere Gase sind im wesentlichen einfach zu realisieren.
Die Grenzschicht, an der die Elektrochemie stattndet, ist in Abb. 2.4 dargestellt. Sie besteht aus der Brennstoelektrode (Anode) und der Sauer- stoelektrode (Kathode), die durch einen ionenleitenden Elektrolyten mitein- ander verbunden sind. Auerhalb der Zelle wird eine externe Last angelegt, z.B. ein Elektromotor, um die Spannung abzugreifen.
Anode Elektrolyt Kathode
O2 H2
2 e- 2 e-
2 e- O 2-
H O2
Abbildung 2.4: Die Grenzschicht Elektroden/Elektrolyt der Brennstozelle Der stromerzeugende Proze lauft an der Grenzschicht Elektroden/Elek- trolyt ab. An der Anode oxidiert der Wassersto mit negativ geladenen Sau- erstoonen aus dem Elektrolyten. Dabei werden 2e; frei. An der Kathode
2.6. GEOMETRIE DER ZELLE 13 wird Luftsauersto mit 2e; reduziert und durch den Elektrolyten zur Anode transportiert.
Die chemischen Reaktionen laufen wie folgt ab:
Anode
H2+ 12O2; ;!H2O + 2e;
Kathode 1
2O2+ 2e; ;!O2;
Insgesamt fuhrt dies zu der Brutto-Reaktion H2+ 12O2 ;! H2O
Damit die Gasdurchlassigkeit der Elektroden gewahrleistet ist, werden porose Medien verwandt der Elektrolyt ist ein Feststo.
2.6 Geometrie der Zelle
Da die Konstruktion der Zelle, und somit auch die Suche nach der geeig- neten Geometrie, noch in den Anfangen steckt, existieren eine Reihe von Vorschlagen fur die Gestalt der Brennstozelle.
Prinzipiell unterscheidet man Rohren{ und Plattenbauweisen mit zahlrei- chen Detailvariationen. Nach dem gegenwartigen Stand des Wissens erlauben Zellen in Plattenbauweise einen hoheren Wirkungsgrad und deshalb werden nur diese zur Zeit im Forschungszentrum Julich untersucht. Die derzeit ver- wendete Geometrie ist in Abb. 2.5 zu sehen. Der Sauersto wird uber den Luftkanal zugefuhrt, Wassersto durch den Gaskanal.
Die Kanale konnen dabei in Kreuzstrom{ oder Gleichstromfuhrung an- geordnet sein, Brenngas und Luft gleich- oder entgegengesetzt gerichtet sein.
Der Zellstapel besteht real aus 10 bis 50 solcher Zellen ubereinander, wobei in jeder Zelle ungefahr 20 Kanale fur Luft und Brennsto vorhanden sind.
Die Ausmae einer solchen Zelle liegen im Zentimeterbereich, die Kanale im Millimeter{ und die Dicke des Elektrolyten und der Elektroden im Mi- krometerbereich.
Die bipolare Platte mu mechanischstabil, gasdicht und elektronenleitend sowie bei Betriebstemperaturen von ca. 1000oC bestandig sein. Gut geeignet sind Keramiken oder Edelmetalle.
14 KAPITEL2. DIEHOCHTEMPERATUR{BRENNSTOFFZELLE
Bipolare Platte
Bipolare Platte Kathode Elektrolyt
Anode
Luft Luft
Gas Gas
Abbildung 2.5: Die Brennstozelle in Plattenbauweise
Fur die Kathode sind diese Materialien ebenfalls gut geeignet, nur in poroser Struktur. Die Anode wird derzeit aus einer Metall{Keramik{Mi- schung hergestellt. Der Elektrolyt mu gasdicht und durchlassig fur Sau- erstoonen sein. Derzeit wird Yttrium-stabilisiertes Zirkoniumoxid (ZrO2) verwendet. Wegen der schlechten Leitfahigkeit des Elektrolyten mu dieser extrem dunn gehalten werden.
Kapitel 3
Scientic Computing
3.1 Motivation
Eingeleitet wurde diese Disziplin bereits vor 50 Jahren, als John von Neu- mann mit seinen Kollegen Burks und Goldstine sein Manifest zur Notwen- digkeit der Digitalrechnerentwicklung verfasste 27]. Wirkt dies heute, als sei es ein Meilenstein der Informatik, so war seine Motivation und Zielsetzung in der Mathematik zu sehen.
Die eingetretene Stagnation bei der analytischen Behandlung partieller Dierentialgleichungen konnte nach seiner Uberzeugung nur durch den Ein- satz numerischer Verfahren uberwunden werden.
Die klassischen Methoden der wissenschaftlichen Erkenntnisgewinnung { Theorie und Experiment{ erhieltenmitdemScienticComputing eine dritte, tragende Saule, die mittlerweile als gleichwertig zu den anderen Disziplinen anerkannt wird.
Ist die Motivation John von Neumanns { die Schaung eines digitalen Windkanals in der Stromungsdynamik { auch heute noch eine wesentliche Anwendung des Scientic Computings, so wachst die Vielfalt stetig.
Die VerbundprojekteAnwendungsorientierte Mathematik des Bundesmi- nisteriums fur Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie haben auf ihrer Statustagung in Munchen 1995 und der zugehorigen Veroentlichung 24] einen Einblick in diese Vielfalt gegeben. Von der Bus-Einsatzplanung bis zur Zahnmedizin wurde deutlich, da diese neue Disziplin in der Lage ist, enorme Hilfestellungen in den unterschiedlichsten Bereichen zu geben.
15
16 KAPITEL 3. SCIENTIFIC COMPUTING Auch bei der Entwicklung neuer Technologien, wie dies im Forschungs- zentrum Julich der Fall ist, ist ein Verzicht auf die Modellierung heute nicht mehr denkbar.
Ist somit die historische Motivation und der Stand der Dinge beschrie- ben, so soll im folgenden diese Disziplin etwas ausfuhrlicher im Hinblick auf Denition, Zielsetzung und Entwicklung beschrieben werden.
3.2 Eine neue Disziplin
Zunachst der Versuch einer Denition: Das Scientic Computing ist eine in- terdisziplinare Wissenschaft, die auf der Grundlage der Informatik und der Mathematik die Simulation einer Anwendung, z.B. der Physik, der Biolo- gie oder der Chemie, aber auch Wissenschaften wie der Meteorologie und Geologie, beschreibt.
Insbesondere die Anwendungen dieser Disziplinen in der Industrie fuhren zu einer groen Palette von Einsatzmoglichkeiten des Scientic Computings.
Einerseits ist es eine kostengunstige Alternative zum Bau teurer Prototy- pen andererseits konnen oder mussen Simulationen das Experiment vollig ersetzen, wie z.B. bei der Untersuchung des zukunftigen Weltklimas. Sol- che rechenzeitintensiven Problemstellungen, wie sie auf Grund ihrer hohen Auosung bzw. groen Komplexitat auch bei anderen sogenannten Grand Challenges, z.B. der Analyse des menschlichen Genoms, vorkommen, sind die Herausforderung, die an das Scientic Computing gestellt werden. Neben diesen Honungen, die das Scientic Computing fur die Zukunft erweckt, liegt seine Bedeutung aber vor allem in der Modellierung und Optimierung alltaglicher Probleme. Hier ist ein breites Spektrum von der Berechnung des Auftriebs eines Flugzeugugels, der Crash Test Simulation bis zur Schad- stoausbreitung im Boden und Grundwasser. Durch Simulationen kann viel- fach die Qualitat eines Produktes entscheidend verbessert werden, wobei die Qualitat sich nicht nur in der Lebensdauer ausdruckt, sondern gerade auch in anderen Aspekten, wie der Erhohung der Wirtschaftlichkeit oder der Ver- ringerung der Umweltbelastung zu sehen ist.
In der Oentlichkeit wurde vor allem die rasante Entwicklung der Rech- ner, insbesondere die Entwicklung der Parallelrechner, als Grundstein fur die Losung immergroerer Probleme gesehen. Abb. 3.1 zeigt diese Entwicklung1.
1Quelle: US National Science Foundation { High Performance Computing and
3.2. EINENEUE DISZIPLIN 17
1970 1980 1990 2000
Leistungs- gewinn
10 10 10 10 10 10 1 2 3 4 5
0 Skalare Rechner
Vektor/Superrechner
Parallelrechner
Abbildung 3.1: Entwicklung der Hardware
Deutlich weniger spektakular, aber von nicht geringerer Bedeutung ist der Fortschritt, der durch verbesserte mathematische Methoden erzielt worden ist, wie in Abb. 3.2 zu sehen ist. Die wachsende Ezienz der Verfahren liegt nicht zuletzt darin begrundet, da das Scientic Computing nicht ein zufalli- ges Nebeneinander von Mathematik, Informatik und Anwendung ist, sondern durch die Interdisziplinaritat die entwickelten Verfahren deutlich besser den Problemen angepat werden und dies die Grundlage fur eine erhebliche E- zienzsteigerung ist.
Ein typisches Beispielsind hier die Mehrgitterverfahren,welchewesentlich mehr Wissen des physikalischen Problems in das Losungsverfahren einieen lassen als klassische Verfahren.
Die bisherigen Ausfuhrungen ordnen die Modellierung der Brennstozelle als ein Beispiel des Scientic Computings ein, wie aus Abb. 3.3 ersichtlich ist.
Networking
18 KAPITEL 3. SCIENTIFIC COMPUTING
10 10 10 101
2 3 4 5
0 10
10 1970 1980 1990 2000
Leistungs- gewinn
Gauß-Elimination Relaxation
SOR-Verfahren
Konjugierte Gradienten Mehrgitterverfahren
Adaptivität
Abbildung 3.2: Entwicklung der mathematischen Verfahren zur numerischen Losung partieller Dierentialgleichungen am Beispiel der Laplace-Gleichung
3.2. EINENEUE DISZIPLIN 19
Mathematische Modellierung Hochtemperatur-Brennstoffzelleder
Chemie
- Elektrochemie - Reaktionen
Physik
- Elektrodynamik - Erhaltungssätze - Wärmelehre
Informatik
- Rechnerarchitektur - Datenstrukturen - Programmierung - Visualisierung
Mathematik
- part. Differentialgl.
- Diskretisierungsverfahren - Mehrgitterverfahren
Abbildung 3.3: Modellierung der Brennstozelle als Beispiel fur das Scientic Computing
20 KAPITEL 3. SCIENTIFIC COMPUTING
Kapitel 4
Gittererzeugung
In diesem Kapitel wird beschrieben, welche Hilfsmittel im Rahmen des Pro- jektes erarbeitet wurden, um die Geometrie geeignet zu beschreiben und im nachsten Schritt zu diskretisieren. Weiterhin wird erlautert, wie dieses Gitter verfeinert wird und wievielSpeicher fur das Mehrgitterverfahrenzu allokieren ist.
4.1 Allgemeines
Sowohl die Geometriedenition als auch die Diskretisierung werden im Rah- men der Modellierung benotigt. Einerseits soll eine eingegebene Geometrie oder Zerlegung visualisiert werden, andererseits dient diese Visualisierung nur der Uberprufung und ist nicht das Endprodukt der Verarbeitungskette. Es mu somit zusatzlich eine numerische Datei zur Weiterverarbeitung erzeugt werden. Es wurde daher das koordinatenbasierte Visualisierungsprogramm GEOM entwickelt und implementiert, welches fur die Verarbeitungsschritte Geometrieeingabe, Diskretisierung und Visualisierung der verschiedenen im Losungsverfahren verwendeten Gitter bzw. lokaler Gitterverfeinerungen als Visualisierung dient.
Wahrend GEOM zur Geometriedenition den vollstandigen Funktiona- litatsumfang besitzt, dient es bei der Diskretisierung lediglich zur Plausi- bilitatsuberprufung einer Zerlegung. Die Diskretisierung selber ist ein auf- wendiges, numerisches Problem. Sie kann anhand dieses Programmes direkt eingegeben werden, jedoch empehlt es sich bei komplizierten Geometrien
21
22 KAPITEL 4. GITTERERZEUGUNG
oder bei vorgegebenen Optimalitatskriterien, Hilfsmittel zur automatischen Netzgenerierung zur Verfugung zu stellen.
Hierzuwurden verschiedeneZerlegungsprogrammeportiert und die Schnitt- stellen eingerichtet. Da jedoch keines dieser Programme die gestellten Anfor- derungen vollstandig erfullt, wurde ein vollig neues Verfahren zur Zerlegung entwickelt, welches in Kapitel 5 vorgestellt wird.
4.2 Geometrieeingabe
Zunachst mu die Geometrie der Zelle beschrieben werden. Dies geschieht mit dem im Rahmen dieses Projektes erstellten Geometriebeschreibungspro- gramm GEOM, das graphische Primitivbefehlein einen Postscript-Previewer umwandelt und einen Eingabedatensatz zur Weiterverarbeitung erstellt.
Mogliche Elemente zur Geometriedenition sind Kreise, Ellipsen, Spli- nes und Polygonzuge. Weiterhin wird an dieser Stelle auch das Gebiet, die Weltkoordinaten, festgelegt. Die einzelnen Objekte, wie Elektroden, Platten, Kanale, lassen sich modular abspeichern und dann skaliert und verschoben zusammenbinden. Weiterhin sind dort auch die Verwendung von Variablen als Koordinaten sowie arithmetische Operationen auf diesen Variablen er- laubt.
Das Ziel einer koordinatenbasierten modularen Geometriebeschreibung ndet sich in ahnlicher Weise in dem im Zentralinstitut fur Angewandte Mathematik (ZAM) des Forschungszentrums Julich u.a. von mir implemen- tierten Graphiksystem XGraf 19].
Das Programm GEOM verwendet deshalb im wesentlichendie Notationen von XGraf, jedoch sind einige Funktionen hier nicht installiert bzw. andere Funktionen wie Splines und Ellipsen nur in GEOM implementiert.
4.3 Diskretisierung der Geometrie
Sind die globalen Konturen und die Materialkonturen erstellt, so ist eine e- ziente Zerlegung der Zelledurchzufuhren. Zunachst wird die Zelle in Flurich- tung, derz-Richtung, in Scheiben zerlegt, so da anschlieend eine Zerlegung in derx;y;Richtung durchzufuhren ist. Diese zweidimensionale Zerlegung wird einmal durchgefuhrt und ist fur alle Scheiben gultig.
4.4. GITTERVERFEINERUNG 23 Dort wird das Gebiet zerlegt in Dreiecke und Rechtecke, so da als drei- dimensionale Volumina Prismen und Quader entstehen.
Fur das Mehrgitterverfahren mu das Gitter auf der grobsten Ebene vorgegeben werden, die anderen Gitter werden dann automatisch, mit der Option der Benutzersteuerung, erzeugt. Das grobe Gitter kann, wie gesagt, manuell eingegeben werden, es kann aber auch mit einigen hierzu erstellten Programmen erzeugt werden.
Zur Zerlegung werden derzeit folgende Moglichkeiten angeboten:
GEOMPACK 25] zur Delaunay { Triangulierung
ACM 624 { ACM-Routinen zur Triangulierung
kartesische Gitter
Aus spater noch erlauterten Grunden mussen alle Dreiecke moglichst die Bedingung erfullen, keine stumpfen Winkel zu haben. In neueren Veroent- lichungen 7] scheint dieses Problem zumindest theoretisch gelost zu sein, jedoch liefern die von den Autoren mitgelieferten Programme schon bei recht einfachen Geometrien nur unzureichende Ergebnisse. Andere Systeme, wie z.B. 3], erzielen meist eine gute Triangulierung, das heit wenige stumpfe Winkel oder nur wenig groer als 90o. Dies ist unbefriedigend, so da an neuen Losungen gearbeitet wurde.
4.4 Gitterverfeinerung
Wie in Kapitel 6.5 naher erlautert wird, wird hier mit einem dualen Gitter gearbeitet. Zu jedem Volumen, im folgenden auch als Gitterzelle bezeich- net, existiert ein Zellmittelpunkt, auf dem skalare Groen berechnet werden.
Auf einem Punkt der Schnittache zweier benachbarter Volumina werden die Flugroen deniert.
Ein wichtiges Kriterium zur Anwendung der hier verwendetenFinite In- tegration Technique (FIT) ist, da die Zellmittelpunkte, deren Verbindungs- linien senkrecht zu den Randachen stehen mussen, innerhalb des Kontroll- volumens liegen. Die Zellmittelpunkte ergeben sich aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Dieser Punkt liegt beim Rechteck immer innerhalb, beim Dreieck nur dann, falls es keine stumpfen Winkel enthalt.
24 KAPITEL 4. GITTERERZEUGUNG
Es mu sichergestellt werden, da dieser Schnittpunkt auf jedem Gitter innerhalb der Zelle liegt. Bei der Verfeinerung, wie sie hier angewendet wird, braucht dieses nur auf dem grobsten Gitter gewahrleistet werden, da die Dreiecke bzw. Rechtecke auf allen Verfeinerungsstufen ahnlich zu denen auf dem grobsten Gitter sind.
Die Verfeinerung beruht darauf, alle Seitenmittelpunkte der Grobgitter- zelle zu verbinden { beim Viereck in der in Abb. 4.1 dargestellten Art und Weise { und so vier neue Zellen zu erhalten. Diese Verfeinerung, wie in Abb.
4.1 und 4.2 dargestellt, fuhrt dazu, da bei Dreiecken drei, bei Vierecken vier neue Punkte hinzukommen.
Neu hinzugekommene Punkte Beibehaltene Punkte
Zelle Level 0
Zelle 1 Level 1 Zelle 3 Level 1
Zelle 2 Level 1 Zelle 4 Level 1
Abbildung 4.1: Verfeinerung einer Viereckszelle
Ein allgemeinerer Fall, bei dem ein Gebiet mit beiden Arten von Zellen uberdeckt ist, wird in Abb. 4.3 gezeigt.
4.5 Speicherbedarf
Es bleibt die Frage, wieviele Gitter zu einem gegebenen groben Gitter auf einem Rechner angelegt werden konnen. Die Speicherung der Gitter besteht aus den Punkten P und Zellen C. Weiterhin gegeben ist die Anzahl der Auenpunkte bzw. Auenkanten A, da jeder Punkt die Information tragt, ob er Randpunkt oder innerer Punkt ist.
Bei einer gegebenen Verteilung auf dem groben Gitter von Punkten P0 und Zellen C0, die aus Vierecken und Dreiecken besteht, ergeben sich die
4.5. SPEICHERBEDARF 25
Neu hinzugekommene Punkte Beibehaltene Punkte
Zelle 1 Level 0
Zelle 3 Level 1
Zelle 4 Level 1 Zelle 1 Level 1
Zelle 2 Level 1
Abbildung 4.2: Verfeinerung einer Dreieckszelle
zu allokierenden Speicherbereiche fur ein Mehrgitterverfahren mit k Gittern aus diesen Groen. Auf der n-ten Verfeinerungsstufe bezeichne Pndie Anzahl der Punkte, die dort benotigt werden und Cn die Zellen. Ein hochgestelltes Viereck bzw. Dreieck sei die Anzahl nur fur die Zellen des jeweiligen Typs.
Die Berechnung vereinfacht sich unter Zuhilfenahme der Groe In, die Anzahl der Innenkanten, welche jedoch im Lauf der Rechnung eliminiert wird.
Bei einer Gitterverfeinerung, bei der in der Zelle die Seitenmittelpunkte verbunden werden, gilt:
Cn+1 = 4Cn : (4.1)
Fur die Auenkanten gilt wegen der Halbierung An+1 = 2An :
(4.2)
Die Anzahl der Innenkanten in einer Zerlegung erhalt man, indem man al- le Kanten aller Zellen addiert, die Auenkanten subtrahiert und das Resultat halbiert, da nun jede Kante zweimal gezahlt worden ist.
Fur die Gesamtzahl Innenkanten In=In4+In2 gilt somit In= 12(3Cn4+ 4Cn2;An):
26 KAPITEL 4. GITTERERZEUGUNG
Punkte: 16 Zellen : 12 Dreiecke: 6 Vierecke: 6 Außenkanten: 12
1 2 3 4 5 6
8 7 9 10 11
12
13 14 15 16
1
2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
Punkte: 49 Zellen : 48 Dreiecke: 24 Vierecke: 24 Außenkanten: 24
Abbildung 4.3: Gitterverfeinerung beim gemischten Gitter
Die Anzahl der Punkte auf dem nachsten Gitter ergibt sich als Summe der Punkte auf dem vorhergehenden Gitter, jeweils einem zusatzlichen Punkt auf jeder Kante, sowie den Zellmittelpunkten der Viereckszellen, also
Pn+1 = Pn+An+In+Cn2
(4.3)
= Pn+ 12An+ 12(3Cn4+ 4Cn2) +Cn2
= Pn+ 12An+ 32Cn4+ 3Cn2
wobei An und Cn sich aus den Anfangswerten A0 und C0 mit (4.1) und (4.2) zu An= 2nA0 und Cn= 4nC0 berechnen lassen.
Insbesondere ergeben sich die Gleichungen fur reine Dreiecks- oder Recht- ecksgitter als Spezialfall.
Kapitel 5
FIT-zulassige Zerlegung
Fur das angewendete FIT-Verfahren mit einem dualen Gitter mu gewahrlei- stet werden, da die Geometrieder Brennstozelle in Kontrollvolumenzerlegt wird, die einen eindeutigen Schnittpunkt der Mittelsenkrechten haben, der daruber hinaus innerhalb des so konstruierten Volumens liegen mu.
Auf diesem Schnittpunkt wird der skalare Wert (Potential, Temperatur, Konzentration) der Zelledeniert. MitZelle ist imFolgenden nicht die Brenn- stozelle, sondern das Kontrollvolumen gemeint.
Ein Verfahren wurde hierzu entwickelt, welches einige innere Punkte, in- nere Kanten und Randpunkte geeignet hinzufugt, so da dieses gewahrleistet ist. Am Beispiel der Geometrie in Abb. 5.1 sei die Vorgehensweise erlautert.
Dort treten alle zu bewaltigenden Probleme auf.
Grundlage aller folgenden Uberlegungen ist, da alle Punkte, die auf ei- nem Kreis liegen und in der Reihenfolge ihres Bogenmasses durch Geraden verbunden werden, ein polygonal begrenztes Kontrollvolumen bilden, das ge- rade die geforderten Eigenschaften besitzt. Das Polygon bildet Sehnen des Kreises und somit schneiden sich alle Mittelsenkrechten gerade im Mittel- punkt des Umkreises. Zu uberprufen ist lediglich, da dieser Mittelpunkt innerhalb des Polygonzuges liegen mu.
Das Vorgehen lauft dabei zum Teil handgesteuert, zum Teil automatisch ab. Dabei ist unter Umstanden, falls das Verfahren in eine Sackgasse lauft, ein Zurucknehmen der eingefugten Strukturen notwendig. An dieser Stelle sei auch bemerkt, da es keinen Beweis gibt, da dieses Verfahren immer funktioniert. Vieles ist Heuristik, doch war es mit diesem Tool moglich, alle interessierenden Geometrien geeignet zu zerlegen. Dies gilt auch fur Geo-
27
28 KAPITEL5. FIT-ZULASSIGE ZERLEGUNG
Abbildung 5.1: Die Ausgangsgeometrie
metrien aus der Elektrolyse oder anderen Modellierungen aus ganz anderen Bereichen.
Um das Vorgehen etwas zu strukturieren, soll im Folgenden auf die we- sentlichen Konstruktionselemente eingegangen werden.
Der Zulassigkeitstest
Wurde ein Kontrollvolumen in Betracht gezogen { d.h. dessen Randpunkte konstruiert {, so ist zu verizieren, da der Umkreismittelpunkt innerhalb liegt. Bei einem Dreieck reicht es, darauf zu achten, da keine stumpfen Winkel entstehen.
Die Strategie zur Zerlegungsreihenfolge
Prinzipiell werden Auslaufer zuerst bearbeitet. Dieses bedeutet, da man von auen nach innen arbeitet. So wird die noch zu zerlegende Geometrie fortwahrend verkleinert. Das Abschneiden der Auslaufer wird dabei von in- nen durchgefuhrt, d.h. es wird nicht von der Ecke aus zerlegt. Dies hat den
5.1. ZERLEGUNG DES EICHH
ORNCHENS 29
Vorteil, da somit die Anschlusse an die weitere Zerlegung besser gehandhabt werden konnen.
Konstruktionselemente
Zusatzliche Punkte konnen auf dem Rand und im Innern eingefugt werden.
Die Kanten erhalt man als Verbindung zwischen den auf einem Kreis liegen- den Punkten. Zu drei Punkten ist immer ein eindeutiger Kreis zu nden.
Zwischen zwei Kreisen erhalt man in der Regel zwei Schnittpunkte, die ver- wendet werden konnen, um zwei Volumina aneinander zu koppeln.
Die Schnittpunkte des Kreises mit dem Rand liefern zusatzliche Rand- punkte. Es ist jedoch darauf zu achten, da zusatzliche Randpunkte nur auf dem ursprunglichen Rand eingefugt werden durfen, da sonst eine unzulassige Zerlegung entsteht.
Hat man kleine konvexe Polyeder erhalten, so konnen diese entweder mit einem Sternpunkt zerlegt werden { d.h. von einem eingefugten inneren Punkt werden Verbindungen zu allen Eckpunkten gezogen, also trianguliert { oder bei Gebilden, die eine eher langliche Gestalt haben, kann durch Einfugen von Randpunkten entlang der langsten Kanten ebenfalls zulassig trianguliert werden. Ein Entscheidungsktriterium, ob ein Gebiet langlich ist oder nicht, liefert das Verhaltnis zwischen Um- und Inkreis.
5.1 Zerlegung des Eichhornchens
Nun zur Verikation am in Bild 5.1 dargestellten Beispiel:
Besondere Probleme sind am Kopf zu erwarten, da sich zum einen dort ein Loch { das Auge { bendet, zum anderen dort die Winkel stark variieren. Um das Ohr abzuschneiden wird von innen gearbeitet, wie in Bild 5.2 zu sehen ist. Mit Hilfe der beiden Kreise wird ein Zusatzpunkt eingesetzt. Fur beide Volumina konnen mit diesem Punkt die sonst entstehenden spitzwinkligen Dreiecke umgangen werden und man erhalt Konturen, die sich besser an den Umkreis anpassen.
Das Ohr wird zu einemnicht stumpfwinkligenDreieck und somit ist dieser Bereich abgeschlossen.
Am Schwanz des Eichhornchens liegt ein ahnliches Problem vor. Da je- doch weitere Punkte keinen schneidenden Kreis mit zulassigem Mittelpunkt
30 KAPITEL5. FIT-ZULASSIGE ZERLEGUNG
Abbildung 5.2: Innerer Zusatzpunkt und Bearbeitung desOhr-Auslaufers haben, ist eine Konstruktion notwendig, bei der Punkte auf dem Rand hinzu- gefugt werden. Der Kreis durch die drei in Bild 5.3 gekennzeichneten Punkte schneidet den Rand und dieser Schnittpunkt wird zum Rand hinzugefugt.
Das verbleibende Dreieck ist wiederum problemlos.
Nun wird am Kopf Richtung Mund weiterzerlegt. Wieder konnen weitere Randpunkte eingefugt werden, um zu spitze Winkel zu umgehen und man landet, nachdem auch unterhalb des Auges ein Randpunkt eingefugt worden ist, bei dem Zwischenresultat in Bild 5.4.
5.1. ZERLEGUNG DES EICHH
ORNCHENS 31
Abbildung 5.3: Schnitt von Kreis und Rand
Abbildung 5.4: Zwischenresultat
32 KAPITEL5. FIT-ZULASSIGE ZERLEGUNG Um die Nase zu zerlegen, wird ein Kreis gebildet (Bild 5.5).
Abbildung 5.5: Ein weiterer Randpunkt im Kreis
Innerhalb des Kreises liegt unten ein weiterer Randpunkt, so da hier eine andere Betrachtung vorgenommen werden mu. Der Schnitt des Kreises mit dem Rand wird verworfen und stattdessen eine Konstruktion mit dem innenliegenden Randpunkt vorgenommen.
Die Kontur mit dem inneren Punkt wird darauf getestet, ob man einen inneren Punkt { den Sternpunkt { einfugen kann, der, mit allen Eckpunkte verbunden, ein zulassige Triangulierung dieser Kontur liefert.
Kandidaten fur Sternpunkte sind diejenigen Punkte, die auerhalb der Kreise mit den Randkanten als Durchmesser liegen und zusatzlich in den Trichter fallen, der durch die Senkrechten der Kanten in den Eckpunkten beschrieben wird. Die Flache, die durch die Senkrechten begrenzt wird, ist diejenige innerhalb des mit groerer Strichdicke gezeichneten Polygonzuges.
Diese bildet keine weitere Einschrankung, da die schraerte Flache,die durch die Bedingung Auerhalb der Kreisegegeben ist, vollstandig in diesem Poly- gonzug liegt.
Im Beispiel verbleibt also die schraerte Flache. Dort wird der Stern- punkt so plaziert, da ein grotmoglicher Kreis mit diesem Punkt als Mit-
5.1. ZERLEGUNG DES EICHH
ORNCHENS 33
Abbildung 5.6: Sternpunktkonstruktion
telpunkt gezogen werden kann. Dieser Kreis ist ebenfalls zur Verdeutlichung dargestellt. Von diesem Punkt wird dann der Stern zu allen Kanten des ursprunglichen Polygonzuges gezogen und das damit erhaltene Zwischenre- sultat ist in Bild 5.7 zu sehen.
Bei der verbleibenden Kontur ist nun bei vorderem und hinterem Fu gleichermaen ein langliches Teilgebiet zu zerlegen. Hierzu werden weitere Kreise verwendet, um zusatzliche Randpunkte einzufugen, so da man in Bild 5.8 das aktuelle Zwischenresultat erhalt.
Am Bauch des Eichhornchens ist es nun notwendig, nach innen zu ar- beiten. Dies wird dadurch erreicht, da man zu einem durch drei Punkte gegebenen Kreis den Nachbarkreis (s. Bild 5.9) bestimmt, der durch zwei Punkte geht und somit noch einen freien Parameter hat. Dieser dritte Punkt wird so variiert, da der Schnittpunkt moglichst gut liegt.
Im weiteren Vorgehen werden dieselben Prinzipien, wie oben vorgestellt, angewendet und man gelangt schlielich zu einer FIT-zulassigen Zerlegung, wie sie in Bild 5.10 zu sehen ist.
Mit moderatem Zeitaufwand war es somit moglich, in relativ kurzer Zeit, auch fur sehr unstrukturierte Gitter, eine geeignete Zerlegung zu nden. Man
34 KAPITEL5. FIT-ZULASSIGE ZERLEGUNG
Abbildung 5.7: Sternpunktkonstruktion
beachte, da dies das grobe Gitter fur das Mehrgitter{Verfahren ist, die wei- teren feineren Gitter werden dann automatisch erzeugt.
5.1. ZERLEGUNG DES EICHH
ORNCHENS 35
Abbildung 5.8: Behandlung langlicher Konturen
Abbildung 5.9: Konstruktion innerer Punkte
36 KAPITEL5. FIT-ZULASSIGE ZERLEGUNG
Abbildung 5.10: Die vollstandige Zerlegung
Kapitel 6
Physikalische Beschreibung
In diesem Kapitel werden die Gleichungen hergeleitet, die das Problem phy- sikalisch beschreiben. Die Grundlagen sind in physikalischen Standardwerken wie 18] oder in mehr auf die Modellierung der Elektrolyse und der SOFC zugeschnittenen Berichten wie 31] und 32] zu nden.
Zum einen sind dies die Erhaltungssatze fur die Flugroen, zum ande- ren andere analytisch beschriebene Zusammenhange sowie Randbedingun- gen. Auf die kontinuierliche Beschreibung der Erhaltungssatze, partielle Dif- ferentialgleichungen zweiter Ordnung, wird hier nicht naher eingegangen, da sie zwar das Problem klassizieren, z.B. ob das System elliptisch ist oder nicht, aber nicht weiter benotigt werden. Im Wesentlichen ist die Poisson- Gleichung mit Dirichlet{ und Neumann{Randbedingungen zu losen.
Die auftretenden physikalischen Groen sind in Tab. 6.1 aufgefuhrt.
6.1 Erhaltungssatze
Die mathematischeFormulierungdes Problemsberuht auf den Erhaltungs- satzen fur Masse, Ladung und thermischeEnergie. Fur jede dieser drei Groen gilt, da auf jedem beliebigen Kontrollvolumen V der Flu Fn durch den Rand nach auen gleich dem Integral uber die in V enthaltenen Quellen Q ist. Formal:
Z
@V Fndo =ZV Qdv (6.1)
37
38 KAPITEL6. PHYSIKALISCHEBESCHREIBUNG
Betrachtet man nun den UbergangjVj!0, so geht obige Gleichung in die Poisson{Gleichung uber. Denjenigen, die mit der dierentiellen Form besser zu Recht kommen, seien noch die analogen Dierentialgleichungen erklart.
Die dierentielle Form
Fur das Potential gilt:
r( 1(Tx)rU(x)) =0 (6.2)
Fur die Temperatur haben wir Warmequellen
r
(x)
"(x)rT(x)
!
=Q(Ix) (6.3)
mit" als spezischer Warme und als Warmeleitfahigkeit.
Hierbei hat Q an den Grenzen Elektrode/Elektrolyt eine Singularitat vom Dirac{Typ. Randbedingungen sind Dirichletbedingungen am Gaskanal und gemischte an der Zelloberache (Kombination von Warmeleitung und {strahlung).
Fur die Konzentrationen der Gase gilt in den Elektroden 12]:
r( i(TC1:::Cn)rCi(x) ) = 0 i = 1:::n (6.4)
wobei die Diusionskonstante i jedes Gases von den Konzentrationen aller weiteren in der Elektrode vorhandenen Gase abhangt, da die Bewegung eines Gases immer eine gegenlauge Bewegung der anderen erfordert.
6.2 Die Bindung an skalare Groen
Die Flusse sind an skalare Groen gebunden.
Strom:
Reaktionsloses Gebiet: Ohmsches Gesetz
4U := U(x);U(y) =ZxyIds (6.5)
6.2. DIEBINDUNGANSKALARE GR
OSSEN 39
An den elektrochemisch reagierenden Oberachen wird der Spannungs- sprung beschrieben durch das Nernst{Potential (s.u.), verringert um Polarisations- und Ohmsche Verluste.
Temperatur:
Feste Materialien (Diusion):
T(x);T(y) =ZxyWD=ds (6.6)
Im Gas (Konvektion):
WK=T "v (6.7)
Massen:
Fur jede Gaskomponente gilt:
Diusion:
pGas(x)%Gas(x);pGas(y)%Gas(y) =ZxyFGasD = Gasds (6.8)
Konvektion:
FGasK =pGas%Gasv (6.9)
Quellen der jeweiligen Flusse sind
Strom: Keine
Temperatur:
{
Ohmsche VerlusteQ =RRR I2dV =4UI{
chem. Reaktionen:QChem = (4U ;4UT)IMassen: Quellen und Senken ergeben sich aus den Reaktionen und sind direkt proportional zum Stromu
QGas =c0I :
40 KAPITEL6. PHYSIKALISCHEBESCHREIBUNG
Zeichen Bedeutung Einheit
U Spannung V
4UT thermoneutrales Potential V
4U Ohmsche Potentialverluste V
UNernst Nernstspannung V
I Stromstarke A
spez. Langenwiderstand "=cm
^ Widerstand "
Elektronendurchtrittswiderstand "
Polarisation V
WD diusiver Warmeu J=(seccm2)
WK konvektiver Warmeu J=(seccm2)
W gesamter Warmeu J=(seccm2)
T absolute Temperatur K
Leitfahigkeit J=(Kcmsec)
" spezische Warme J=(cm3K)
FGasK konvektiver Massenu g=(cm2sec)
FGasD diusiver Massenu g=(cm2sec)
pGas Partialdruck einer Gaskomponente bar
Gas Diusionskoezient cm2=sec
%Gas spezische Dichte g=(cm3bar)
v Geschwindigkeit cm=sec
Q Ohmsche Verluste J=sec
(Warmequellen)
QChem Warme aus der chem. Reaktion J=sec QGas Massenquellen aus der chem. Reaktion g=sec
Tabelle 6.1: Physikalische Groen
6.3. RANDBEDINGUNGEN 41
6.3 Randbedingungen
Randbedingungen:
Temperatur: Die Umgebungstemperatur und Einstromtemperatur des Gases und der Luft werden vorgegeben. Am Rand ist die Zelle isoliert (kein Flu nach auen).
Spannung: Vorgegeben wird eine konstante, angelegte Spannung 4u0 zwischen der oberen und unteren bipolaren Platte.
Konzentrationen: Es werden die Einstromkonzentrationen fur Sauer- sto und Brenngas vorgegeben.
6.4 Der Spannungssprung
An der Grenzache zur Elektrode ist der Stromverlauf stetig, doch durch die chemische Reaktion ndet hier ein Potentialsprung statt.
Die Nernst-Spannung (die theoretisch erreichbareRuhespannung imstrom- freien Zustand) lat sich mit Hilfe der freien Reaktionsenthalpie
4G =4H ;T4S
wobei4H die freie Enthalpie und4S die Entropie bezeichne, berechnen aus der Butler-Volmer Gleichung:
UNernstAnode = 4G 2F +RT
2F log
CH2
CH2O
!
(6.10)
UNernstKathode = 4G 2F +RT
2F log(CO2) : (6.11)
Der Spannungssprung setzt sich aus diesen zwei Teilsprungen zusammen.
Wird die Zelle jedoch mit Strom belastet, so ist die abgreifbare Spannung kleiner, da Ohmsche Verluste und Polarisationen (auch Uberspannung ge- nannt) hinzukommen. Diese Uberspannung beinhaltet Eekte wie Reakti- onshemmungen, Dissoziation, Diusionsbegrenzungen und Ionisation sowie andere Reaktionen an den Elektroden.
42 KAPITEL6. PHYSIKALISCHEBESCHREIBUNG
U
Trennschicht y
η
ΔUΩ
2
ΔU
Ω1
UNernst UElektrolyt
UKathode
ΔU
Abbildung 6.1: SpannungU in Abhangigkeit von der Zellhohe y an der Grenz- schicht Kathode/Elektrolyt
An der Grenzschicht Kathode/Elektrolyt ergibt sich der in Abb. 6.1 dar- gestellte Zusammenhang. Hierbei ist der Spannungsverlauf uber der Hohe der Zelle aufgetragen.
Es gilt:
UNernst;4U1 ;4U2 ; = UKathode;UElektrolyt (6.12)
4U = UNernst ; : (6.13)
4U gibt somit den Spannungssprung an, der ohne Ohmsche Verluste erzielt werden konnte.
Die Ohmschen Verluste werden gema 4U1 +4U2 = I berechnet.^ ergibt sich aus der Serienschaltung von Widerstanden. Die Polarisation^
