Einführung Fehlerrechnung

IV

Einführung Fehlerrechnung

Fehlerrechnungen werden durchgeführt, um die Vertrauenswürdigkeit von Meßergebnissen beurteilen zu können. Unter dem Fehler einer Messung ver- steht man die Abweichung eines Meßergebnisses vom (grundsätzlich unbe- kannten) idealen, fehlerfreien Ergebnis. Jeder gemessene Wert ist mit Fehlern behaftet. Sie können zufällig oder systematisch sein. Mißt man z.B. eine Länge mit einem Maßstab, so werden die zufälligen Fehler durch die beschränkte Ablesegenauigkeit verursacht. Würde die Teilung des Maßstabes nicht stim- men, so wäre die Messung mit einem systematischen Fehler behaftet. Syste- matische Fehler haben eine bestimmte Größe und ein bestimmtes Vorzeichen.

Sie können im Prinzip erkannt und korrigier werden x1, x2, x3...xn

Die Fehlerrechnung befaßt sich mit den zufälligen Fehlern. Wir nennen die durch n-maliges Ausführen einer Messung erhaltenen Meßwerte l1,l2,...ln. Bei vielen Beobachtungen (n groß) häufen sich diese Werte um den arithmetischen Mittelwert:

^{= + + + =}

å

i i

n x

x n x

n x x

1 2

1

) 1 ....

1(

F(1) Das so berrechnete arithmetische Mittel aus den Meßwerten stellt nicht den – wie bereits erwähnt – grundsätzlich unbekannten waren Wert der Meßgröße dar, sondern nur einen bestmöglichen Schätzwert des wahren Wertes.

Trägt man die Häufigkeit, mit der ein Meßwert auftritt, über den Meßwerten auf, so ergibt sich ( im Grenzfall für n→∞ ) eine Verteilung, die man Gauß- sche Fehlerkurve nennt (Fig. 1)

Fig. 1:

_T Meßwerte

2 σσσσ

Häufigkeit

V

Die Gauß`sche Fehlerkurve wird durch die Funktion

( ) úú

û ù êê

ë é

÷÷ø çç ö è

æ −

−

=

2

2 exp 1 2 1

π σ σ

x x x

P_G F(2) dargestellt. Die Breite der Gauß-Verteilung wird durch die Größe _σ bestimmt, welche als Standardabweichung bezeichnet wird. Der Abstand zwischen den beiden Wendepunkten der Gauß-Kurve ist gleich 2σ .

Bei einer endlichen Anzahl n von Messungen läßt sich aus den (zufälligen) Schwankungen der Meßwerte x_i ein bestmöglicher Schätzwert s für die Stan- dardabweichung ermitteln mit Hilfe folgender Formel:

mit x x x n

x

s _{i i}

n

i

i ∆ = −

−

∆

=

å

1 ) (

1 2

F (3) Für n→∞ konvergiert s gegen _σ.

Das Verhältnis der Flächen unter dieser Kurve innerhalb der Wendepunkte (schraffiert) zur Gesamtfläche beträgt 68,3%. Das heißt: von den (sehr vielen) Meßwerten liegen 68,3 % im Intervall x ± σ , 31,7 % außerhalb. Mit anderen Worten: Wenn der schon sehr oft gemessene Wert noch einmal gemessen wird, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß dieser letzte Meßwert außerhalb des Inter- valls

x ± 3 σ liegt, 0,27 % (Verhältnis der Flächen unter der Gauß`schen Fehler- kurve!).

Das Ergebnis einer Meßreihe wird in der Form

) 1

( x

x x oder x

x±∆ ± ∆

angegeben. Der sogenannte mittlere (Gauß`sche) Fehler ∆x des Mittelwerts ^x hängt mit der Standardabweichung in der Form ∆x =

n

σ zusammen. Der mittlere Fehler des Mittelwerts wird also mit wachsendem n kleiner. Als Schätzwert für den mittleren Fehler verwendet man:

VI

) 1 (

) (

1 2

−

∆

=

=

∆

å

n n

x n

x s

n

i i

F(4) Den Quotienten aus dem absoluten Fehler ∆x und dem Mittelwert x nennt man relativen Fehler.

Setzt sich die zu bestimmende physikalische Größe R aus mehreren Meßgrö- ßen u, v, w, ... zusammen, die mit Fehlern ∆u, ∆v, ∆w, ... behaftet sind, so gilt für den Fehler ∆R der zu bestimmenden Größe R = R(u,v,w, ...).

∆R R∆ ∆ ∆

u u R

v v R

w w

= ± æ

èç ö

ø÷ +æ

èç ö

ø÷ +æ

èç ö

ø÷ +

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

2 2 2

K F(5)

Dabei ist z.B. ^∂

∂ R

u die Ableitung der Funktion R nach der Variablen u unter Konstanthaltung aller übrigen Variablen (partielle Ableitung).

Wir betrachten als Beispiel die funktionelle Form:

R = uavbwc ;

wegen ^∂

∂ R

u = a R u , ^∂

∂ R v = ...

findet man in diesem Fall für den relativen Fehler

∆R ∆ ∆ ∆

R a u

u b v

v c w

= ± æ w

èç ö

ø÷ +æ

èç ö

ø÷ +æ

èç ö

ø÷

2 2 2

F(6) Gleichung F(6) zeigt den wichtigen Sachverhalt, daß der relative Fehler einer Meßgröße sich um so stärker im relativen Fehler des Endergebnisses aus- wirkt,je größer der Exponent ist, mit dem diese Meßgröße in die Endformel eingeht.

Mittlerer Fehler bei wenigen Meßwerten:

VII

Die Meßreihen im Praktikum bestehen im allgemeinen aus nur wenigen Meß- werten. Die Ersetzung von _σ durch s ist daher nicht ohne weiteres zulässig.

Die Überlegungen, die dem Gauß`schen Fehler zugrunde liegen, können je- doch auch auf wenige Meßpunkte verallgemeinert werden. Das Meßergebnis erhält dann die Form

s n

x± t ( ) _÷^÷

ø ö çç

è

æ ∆

= _n−

å

s

1

2

1

1 F(7)

Der Faktor t hängt von der gewählten statistischen Sicherheit und von der An- zahl der Meßwerte ab. Er ist in Tab.1 angegeben.

Tabelle 1: Korrekturfaktoren bei geringer Anzahl von Meßwerten

Anzahl der Einzelwerte Statistische Sicherheit

n 68,3 % 99,75 %

t1 t3

5 1,15 6,6

6 1,11 5,5

8 1,08 4,8

10 1,06 4,1

20 1,03 3,4

30 1,02 3,3

50 1,01 3,2

100 1,00 3,1

200 1,00 3,0

mehr 1,00 3,0

In manchen Fällen genügt für eine grobe Abschätzung der Genauigkeit einer Meßreihe die Angabe der maximalen Abweichung eines Einzelwertes

i i

i x xi x

x Mittelwert vom

x ∆ = − = ∆

∆ _max : _max max max

∆xmax ist immer größer als ∆x (bei einfacher statistischer Sicherheit).

Eine obere Grenze für den Fehler einer aus Meßgrößen u, v, w ... zu berech- nenden Größe R = R(u, v, w ...) ergibt sich zu:

VIII

∆R R∆ ∆ ∆

u u R

v v R

w w

= ±æ + + +

èç

ö ø÷

∂

∂

∂

∂

∂

∂ K F(8)

Beispiel:

xi in mm ∆xi in mm (∆xi)²

1,06 + 0,02 0,0004

1,07 + 0,03 0,0009

1,03 - 0,01 0,0001

1,04 - 0,01 0,0001

1,04 0,00 0,0000

1,01 - 0,03 0,0009

1,04 = x 0,0024=

å

Bei einfacher statistischer Sicherheit:

mm mm

s n

x t 0,022 0,01 6

1 ,

1 ⋅ = 1 ⋅ ≈

=

∆

x = (1,04 ± 0,01) mm (relativer Fehler ± 1 %) Bei dreifacher statistischer Sicherheit:

mm mm

s n

x t 0,022 0,05 6

5 ,

3 ⋅ = 5 ⋅ ≈

=

∆

x = (1,04 ± 0,05) mm (relativer Fehler ± 5 %) Maximale Abweichung: ∆xmax = 0,03 mm

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