Prof. Wim de Boer & Dr. Frank Hartmann, KIT

Physik IV – Atome und Molek¨ ule; Sommer 2012

Prof. Wim de Boer & Dr. Frank Hartmann, KIT

L ¨OSUNGENUbung 7¨

1. Drehimpulsoperatoren (a) [ ˆL_z,Lˆ²] = 0

[ ˆLz,Lˆ²] =

= [ ˆL_z,Lˆ²_x] + [ ˆL_z,Lˆ²_y] + [ ˆL_z,Lˆ²_z]

= [Lz, Lx]Lx+Lx[Lz, Lx] + [Lz, Ly]Ly+Ly[Lz, Ly]

= i¯h(L_yL_x+L_xL_y−L_xL_y−L_yL_x) = 0 (b) Warum Eigenwertl(l+ 1) und nicht l²

ˆl₋ˆl+Fl,m = (ˆlx−iˆly)(ˆlx+iˆly)Fl,m

= (ˆl_x²+ ˆl_y²+iˆlxˆly−iˆlyˆlx)Fl,m

= (ˆl²−ˆl²_z−¯hˆlz)Fl,m

= (ω²¯h²−m²¯h²−m¯h²)Fl,m

SetzeFl,m=Fl,m_max=Fl,l

dann gilt ˆl+Fl,m_max= 0 oder damitω²=m²_max−mmax= 0 ω²=mmax(mmax+ 1) =l(l+ 1)

2. L=√

l(l+ 1)¯hf¨ur l=3 ist der Betrag daher 2√

3¯h. Die QZml¨auft in ganzzah- ligen Schritten von−lbisl.→m=−3,−2,−1,0,+1,+2,+3. Die 7 m¨oglichen Vektoren sind in Abbildung 1 zu sehen. Jeder Vektor hat die L¨ange 2√

3¯hund die z-Komponenten sind−3¯h,−2¯h,−1¯h,0,+1¯h,+2¯h,+3¯h, die Winkel zur z- Achse sind 150^o; 125,3^o; 106,8^o; 90^o; 73,2^o; 54,7^o; 30^o

m=-3 m=-2

m=-1

m=0

m=1

m=2

m=3

Abbildung 1:Vektordiagramm

3. QZl l¨auft ganzzahlig von 0 bis n-1, somit kannl= 0,+1,+2 sein. F¨ur l= 0 istm = 0; f¨ur l = 1 ist m =−1,0,+1; f¨ur l = 2 ist m =−2,−1,0,+1,+2.

F¨ur jedes l gibt es genau 2l+ 1 verschiedene Werte f¨ur m. Die Anzahl der unterschiedlichen Kombinationen vonmundlist daher [2·(0) + 1] + [2·(1) +

1

1] + [2·(2) + 1] = 9. Die Anzahl der zugeh¨origen Elektronenzust¨ande ist somit wegen des Spins gleich 18 (f¨urn= 3).

F¨urn= 4 Elektronenzust¨ande 2[[2·(0)+1]+[2·(1)+1]+[2·(2)+1]+[2·(3)+1]] = 32.

4. Drehimpuls:L= Θω= 3.49·10⁻³kgm²/s Quantenzahl: MitL=√

l(l+ 1)¯herhalten wirl= 3.31·10³¹ 5. Schr¨odingergleicheiung

(a) Ψ(r) =ae^−rr1

Radialteil der Schr¨odingergleichung:

[−_2m^¯h2 _r¹2

∂

∂r(r²_∂r^∂)−_4πϵ^e2_0r+^¯h2_2mr^l(l+1)₂ ]R(r) =E·R(r) s-Zustand:l= 0:

[−_2m^¯h2 _r¹2

∂

∂r(r²_∂r^∂)−_4πϵ^e2_0r]ae^−rr1 = [−_2m^¯h2 _r¹2

∂

∂r(r²⁻_r¹

1)−_4πϵ^e2_0r]ae^−rr1 = [−_2m^¯h2[−²_rr¹₁ +_r¹2

1

]−_4πϵ^e2_0r]ae^−rr1 =E·ae^−rr1 (^¯h_m²_r¹

1 −_4πϵ^e2₀) + (−_2mr^¯h22

1 −E)r= 0 E=−_2mr^¯h22

1

= _2(4πϵ^me4

0)²¯h² mit r1= ^4πϵ_e2⁰m^¯h2

(b) W(1)dr=|Ψ|²4πr²drmit 4πr²= Fl¨ache der Kugelschale mit Radius r W(1)dr= 4πr²a²e^−2rr1dr

W(1) = 4πr²a²e^−2rr1 (c) ^dW_dr^(r) = 0⇒2r−r^{2 2}_r

1 = 0⇒r=r1

(d)

Abbildung 2:Funktionen 6. (a) Das Element hat 14 Elektronen⇒Silizium.

(b) Das Element hat 20 Elektronen⇒Kalzium.

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7. Einstein-de-Haas

(a) magnetisches Moment des vom Elektron bedingten Kreisstroms:⃗µ=I ⃗A mit I = ⁻_T^e = ⁻_2π^eω und A= πr² folgt: ⃗µ= −¹₂eωr²lˆz mit⃗l=mωr²lˆz

folgt:⃗µ=−_2m^e ⃗l

(b) Ausrichtung der atomaren magnetischen Momente im Eisenµ⃗F ebedingt eine ¨Anderung der atomaren DrehimpulseL⃗_Atom→ Zylinder dreht sich wegen Drehimpulserhaltung, also L⃗_makro entgegengesetzt zu ⃗L_Atom :

⃗L_makro|| −⃗L_Atom

Da⃗LAtom|| −⃗µF e und⃗µF e||B folgt L⃗makro||B⃗ oder⃗ω||B⃗ AusL⃗ = ΘF e⃗ωfolgt ⃗ω= ^{2nF e}_θ^L⃗makro

F e (I) (2 wegen Umklappen) mit nF e: Anzahl der Eisenatome = ^M_m^{F e}

F eNAundmF e : atomare Masse von Eisen

→ω=^2NA_θ^{MF eLAtom}

F emF e (II) (c) γ= ^|⃗µ|

|L⃗_Atom|= ^{|nF e⃗µ|}

|n_{F e}L⃗_Atom|= ^{|M⃗F e|}

|n_{F e}L⃗_Atom|= (mitI) = ²_Θ^{|M⃗F e|}

F e|ω|

mitM⃗: magnetisches Moment des Zylinders (Achtung M:Masse;M⃗: magn. Moment)

(d) aus (II) folgt mit Annahme LAtom = ¯h und ρ= _πr^M2L^{F e}_Zyl = _2πΘ^{MF e2}

F eL_Zyl; LZyl:L¨ange des Zylinders. ΘF e= ΘZyl.=ρV ^r₂²

→ω= _M^2N₂^{AMF e¯hρ}

F e

2πΘF e LZylΘF emF e

= ^4πN_M^A¯hρLZyl

F emF e

→ω=^{4π×6×1023×1.05}₁₀^×₋₃¹⁰_×⁻³⁴_55.8^{×7.87×103×10−2} = 1.1×10^{−6 1}_s

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