Aufgaben zu

Aufgaben zu

Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

Sommersemester 2014

W.–J. Beyn A. Girod

Abgabe: Mittwoch, 11.06.2014, 8:30 Uhr

Ubungsgruppen:¨ Do. 14–16, V5–148, Postfach: V3–128 (36) (Nils Strunk) Do. 18–20, V5–148, Postfach: V3–128 (215) (Jochen R ¨ondigs) Di. 12–14, V5–148, Postfach: V3–128 (44) (Denny Otten) Di. 16–18, V4–119, Postfach: V3–128 (114) (Alina Girod)

Aufgabe 24:

Seiu(t, u⁰, λ), t >0, L¨osung des zweidimensionalen parameterabh¨angigen Systems u^′1 = −u²1−u²2−u1u2λ

u^′2 = 32¹u²1+¹8u²2− ¹

16u1u2λ , u1(1) u2(1)

!

=u0 = u01

u02

! .

Zeigen Sie, dass die L¨osung der AWA mit Parameterλ = 2zum Anfangswertu0 = 4

−2

die folgende Form hat

u

t, 4

−2

,2

= 4

t

−²

t

.

Geben Sie explizit die lineare Anfangswertaufgabe an, die von der matrixwertigen Funktion

Y(t) := ∂u

∂u0

t,

4

−2

,2

gel¨ost wird. (6 Punkte)

Aufgabe 25:

Y(t)sei beit = 1normierte Fundamentalmatrix des linearen Systems

u^′ = 3

cos(2t) −sin(2t) sin(2t) cos(2t)

u.

Berechnen Siedet(Y(0)).

(6 Punkte)

— Bitte wenden —

Aufgabe 26:

Gegeben ist ein IntervallJund eine stetige FunktionA:J →R^n,n. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

(i) IstΦeine Fundamentalmatrix vonu^′ =Au, dann istΨ = (Φ^T)⁻¹ eine Fundamentalma- trix vonu^′ =−A^Tu.

(ii) Ψist eine Fundamentalmatrix vonu^′ = −A^Tugenau dann, wenn f¨ur alle Fundamental- matrizenΦvonu^′ =Audie Beziehung

Ψ^T(t)Φ(t) =C f¨ur allet∈J mit einer vontunabh¨angigen, regul¨aren MatrixC gilt.

(6 Punkte)