Klausurvorbereitung Analysis II
2. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik SS 2011
Funktionenfolgen und Funktionenreihen 09. August 2011
Dipl.-Math. Tristan Alex Dipl.-Math. Miroslav Vržina
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Punktweise und gleichmäßige Konvergenz)
Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen bzw. -reihen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
fn(x):= pn
n2x3, x ∈[0, 5], gn(x):=
n
X
k=1
k x2
k3+x3, x ∈[0, 1], hn(x):=sin x
n, x ∈R, kn(x):=n2x(1−x)n, x∈[0, 1].
Aufgabe G2 (Potenzreihen)
Berechne die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen (x∈R,z∈C):
X∞ n=1
1
n(2x)n,
X∞ n=1
(x−2)n n2 ,
X∞ n=1
(1+i)n n2 zn
X∞ n=1
1
n2n(x−2)n
Für welche Werte sind die Reihen (absolut) konvergent?
Aufgabe G3 (Taylorreihen)
Wir nehmen an, Sie hätten keinen Taschenrechner, wollen aber gerne die Zahl c = (1.05)1.02 näherungsweise bestimmen. Sei f :(0,∞)×(0,∞)→Rgegeben durch f(x,y) = xy.
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von f im Punkt(1, 1). (b) Benutzen Sie das Taylorpolynom, um eine Näherung der Zahl c zu erhalten.
Aufgabe G4 (Taylorreihe mit Fehlerabschätzung)
Sei f :[0, 1]×[0, 1]→R, f(x,y) = y·expx. Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von f im Punkt(0, 0). Bestimmen Sie dadurch eine Näherung von c:= 12e13 und geben Sie eine Schätzung für die Genauigkeit vonc an.
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