Skript zur Vorlesung Funktionalanalysis II : Wintersemester 2004/2005

Funktionalanalysis II

Wintersemester 2004/2005

Robert Denk

A

AA A

AA

A

AA Q

Q

QQ Q QQ

Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik

Stand: 25. 4. 2005

Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS) URL: http://www.ub.uni-konstanz.de/kops/volltexte/2008/5123/

1 Die L_p-R¨aume . . . 1

a) Wiederholung aus der Integrationstheorie . . . 1

b) Das Bochner-Integral . . . 7

c) DieLp-R¨aume . . . 12

2 Banachalgebren . . . 20

a) Der Satz von Stone-Weierstraß . . . 20

b) Banachalgebren . . . 22

c) Die Gelfand-Transformation . . . 26

d)C^∗-Algebren . . . 32

3 Erg¨anzungen zum Spektralsatz . . . 37

a) Projektorwertige Maße . . . 37

b) Multiplikationsoperatoren . . . 48

4 Operatorhalbgruppen . . . 53

5 Ein kurzer Ausflug in die Quantenmechanik . . . 59

6 Lokalkonvexe R¨aume . . . 64

7 Distributionen . . . 75

a) Der Raum der DistributionenD⁰(Ω) . . . 75

b) Der Schwartz-Raum S(Rⁿ) und die temperierten Distributionen . 82 8 Die Fourier-Transformation . . . 86

a) Definition und erste Eigenschaften . . . 86

b) Paley-Wiener-S¨atze . . . 94

c) Sobolevr¨aume . . . 97

9 Ein kurzer Ausflug in die Welt der Signaltheorie . . . 103

Literatur . . . 109

Geht man von der nat¨urlichen Definition eines Skalarproduktes zweier FunktionenR fg¯ aus, so kommt man auf die L_p-R¨aume, welche in gewisser Weise die

”besten“ Funk- tionenr¨aume bilden. Die Grundlage daf¨ur bildet die Maß- und Integrationstheorie. Da- her werden in diesem Abschnitt nach einer kurzen Wiederholung der Maßtheorie die wichtigsten S¨atze der Integrationstheorie formuliert und – der Vollst¨andigkeit halber – zum großen Teil auch bewiesen. Dabei wird gleich das Bochner-Integral betrachtet, welches Banachraum-wertige Funktionen behandelt. Die wichtigsten Eigenschaften der L_p-R¨aume werden in Teil c) formuliert. DieL_p-R¨aume erlauben sp¨ater eine nat¨urlichere und allgemeinere Formulierung des Spektralsatzes als in Teil I der Vorlesung, sind aber auch die Basisr¨aume f¨ur partielle Differentialgleichungen.

a) Wiederholung aus der Integrationstheorie

Im folgenden werden einige Begriffe aus der Maß- und Integrationstheorie kurz wie- derholt.

Zu einer Menge X sei 2^X die Potenzmenge von X. Ein System A ⊂ 2^X heißt eine σ-Algebra, falls

(i) ∅ ∈ A,

(ii) X\A ∈ A fallsA∈ A, (iii) S

n∈NAn ∈ A fallsAn ∈ A (n∈N).

In diesem Fall heißt (X,A) ein Messraum.

1.1 Definition. Sei (X,A) Messraum.

a) Ein (positives) Maß µist eine Abbildung µ:A →[0,∞] mit µ(∅) = 0 und µ [

n∈N

A_n

=

∞

X

n=1

µ(A_n) falls (A_n)_n disjunkt.

In diesem Fall heißt (X,A, µ) Maßraum.

b) Ein vektorwertiges Maß µ ist eine Abbildung µ: A → B, wobei B ein Banach- raum ist und

µ [

n∈N

A_n

=

∞

X

n=1

µ(A_n) falls (A_n)_n disjunkt.

Dabei konvergiert die rechte Seite in der Normtopologie von B. (Zum Teil werden auch schwache Topologien betrachtet, siehe sp¨ater PV-Maße.)

µheißt

• signiertes Maß, falls B =R,

• komplexes Maß, falls B =C. Auf [−∞,∞] wird durch

{(a, b) :a < b} ∪ {[−∞, b) :b∈R} ∪ {(a,∞] :a∈R}

eine Umgebungsbasis und damit eine Topologie definiert. Zu einem topologischen Raum (Y, τ) sei B(Y) := σ(τ) die von τ erzeugte σ-Algebra. B(Y) heißt Borel-σ- Algebra. Falls nichts anderes erw¨ahnt wird, wird zu Y =R,Y = [−∞,∞] etc. stets die Borel-σ-Algebra gew¨ahlt.

Eine Funktion f: (X,A)→(Y,B) zwischen zwei Messr¨aumen heißt messbar, falls f⁻¹(B)⊂ A.

Falls B = σ(τ), d.h. die Borel-σ-Algebra ist, so ist f genau dann messbar, wenn f⁻¹(τ)⊂ A gilt.

Es folgen noch einige Wiederholungen aus der Maßtheorie.

1.2 Definition und Satz. Sei (X,A, µ) ein Maßraum. Dann ist

Aˆ:={A⊂X : ∃B ∈ A,Ne ⊂X, N ∈ A:A=B∪N ,e Ne ⊂N, µ(N) = 0}

eine σ-Algebra. Die Abbildung µ(A) :=ˆ µ(B) ist wohldefiniert und ein Maß. Der Maßraum (X,A,ˆ µ)ˆ heißt die Vervollst¨andigung von (X,A, µ).

1.3 Definition und Satz. a) SeienµundνMaße aufA. Dann heißtµabsolutstetig bzgl. ν, in Zeichen µν, falls gilt

∀A∈ A:

ν(A) = 0 =⇒µ(A) = 0 .

b) Seien (X₁,A₁, µ₁) und (X₂,A₂, µ₂) Maßr¨aume. Dann existiert genau ein Maß µ auf der Produkt-σ-Algebra A₁⊗ A₂ mit

µ(A₁×A₂) =µ₁(A₁)·µ₂(A₂) (A₁ ∈ A₁, A₂ ∈ A₂).

Das Maß µ=:µ₁⊗µ₂ heißt das Produktmaß von µ₁ und µ₂.

1.4 Definition und Satz. Sei(X,A, µ)ein Maßraum, (X⁰,A⁰) ein Messraum und f: X →X⁰ messbar. Dann ist durch

A⁰ 7→µ(f⁻¹(A⁰)) (A⁰ ∈ A⁰)

ein Maß auf A⁰ definiert, das Bildmaß von µ unter f. Bezeichnung µ◦ f⁻¹ oder f(µ).

Die obigen Aussagen werden hier nicht bewiesen, Beweise finden sich in der Literatur der Maßtheorie, z. B. im Buch von H. Bauer [2].

1.5 Definition. Seien (X,A) und (X⁰,A⁰) Messr¨aume. Eine Abbildungs: X →X⁰ heißt Stufenfunktion (oder Treppenfunktion oder elementar), falls s A-A⁰-messbar ist unds(X) endlich ist.

1.6 Definition. Sei (X,A, µ) Maßraum, s: X →[0,∞] Stufenfunktion. Schreibe s(x) =

n

X

i=1

a_iχ_Ai(x) mit a_i ∈[0,∞] und A_i ∈ A. Dann heißt

Z

sdµ:=

n

X

i=1

a_iµ(A_i) das Integral vons bzgl.µ.

1.7 Satz. Sei (X,A, µ)Maßraum, f:X →[0,∞] eine Abbildung. Dann sind ¨aqui- valent:

(i) f ist messbar.

(ii) Es existiert eine Folge (s_n)n∈N von Stufenfunktionen mit s_n: X →[0,∞), s₁ ≤ s₂ ≤. . . und s_n(x)→f(x) (n → ∞) f¨ur alle x∈X.

Falls f beschr¨ankt ist, ist die Konvergenz in (ii) gleichm¨aßig.

Beweis. (ii)⇒ (i). Der punktweise Limes messbarer Funktionen ist messbar.

(i)⇒ (ii). Zut ∈[0,∞) und n∈N w¨ahle k=k_n(t)∈Nmit k·2⁻ⁿ≤t <(k+ 1)·2⁻ⁿ. Setze

ϕ_n(t) :=

(k_n(t)·2⁻ⁿ, falls t∈[0, n), n, falls t∈[n,∞].

Dann istϕ_n: [0,∞]→[0,∞) Stufenfunktion mit ϕ₁ ≤ϕ₂ ≤. . .,ϕ_n(t)∈(t−2⁻ⁿ, t]

f¨urt < n und ϕ_n(t)%t (t ∈[0,∞]).

Setze s_n :=ϕ_n◦f. Dann ist s_n: X →[0,∞) messbar, s_n(X) endlich und s_n(x)% f(x) (x ∈ X). F¨ur f(x) < n gilt |s_n(x)−f(x)| < 2⁻ⁿ. Insbesondere ist die Kon- vergenz gleichm¨aßig, falls f beschr¨ankt ist.

1.8 Definition (Lebesgue-Integral). Sei (X,A, µ) Maßraum, f: X → [0,∞]

messbar. Definiere Z

f dµ:= supnZ

sdµ|s: X →[0,∞) Stufenfunktion, s≤fo

∈[0,∞].

Zu A∈ A definiert man

Z

A

f dµ:=

Z

f ·χ_Adµ.

1.9 Satz (von Lebesgue, monotone Konvergenz). Sei (X,A, µ) Maßraum, f: X → [0,∞] messbar, und f_n: X → [0,∞] messbar (n ∈ N) mit f₁ ≤ f₂ ≤ . . . und f_n(x)→f(x) (n→ ∞) f¨ur alle x∈X. Dann gilt

Z

f_ndµ→ Z

f dµ (n → ∞).

Insbesondere gilt f¨ur jede Folge von Stufenfunktionen aus Satz 1.7 (ii) Z

f dµ= lim

n→∞

Z

s_ndµ.

Beweis. Wegen R

fndµ≤ R

fn+1dµ existiert einα ∈ [0,∞] mit R

fndµ →α (n→

∞). Wegen R

f_ndµ≤R

f dµ folgt α≤

Z

f dµ. (1)

SeisStufenfunktion mit 0≤s ≤f und seic∈(0,1). Definiere f¨urn ∈Ndie Menge E_n:={x∈X :f_n(x)≥cs(x)} ∈ A.

Dann ist E₁ ⊂E₂ ⊂ . . . und X =S

n∈NE_n. [Denn sei f(x) >0. Dann ist cs(x) <

f(x) wegen c <1. Wegen f_n(x)→f(x) existiert ein n∈N mit f_n(x)> cs(x).]

Es gilt

Z

f_ndµ≥ Z

En

f_ndµ≥c Z

En

sdµ (n∈N)

F¨urn → ∞ gilt R

Ensdµ→R

Xsdµ. Damit folgt c

Z

sdµ≤ lim

n→∞f_ndµ=α.

Da c∈(0,1) beliebig war, folgt Z

sdµ≤α. (2)

Aus (1) und (2) folgtR

f dµ =α.

1.10 Satz. Sei (X,A, µ) Maßraum, fn: X →[0,∞] messbar (n∈N). Dann ist Z ^∞

X

n=1

fndµ=

∞

X

n=1

Z

fndµ.

Beweis. F¨ur Stufenfunktionen und dann (monotone Konvergenz) f¨ur messbare Funk- tionen gilt

Z

(f₁+f₂)dµ= Z

f₁dµ+ Z

f₂dµ.

Die Folge g_N :=PN

n=1f_n konvergiert monoton gegen f :=P∞

n=1f_n. Damit gilt Z

f dµ= lim

N→∞

Z

g_Ndµ= lim

N→∞

N

X

n=1

Z

f_ndµ=

∞

X

n=1

Z

f_ndµ.

1.11 Satz (Lemma von Fatou). Sei(X,A, µ)Maßraum,f_n: X →[0,∞]messbar (n ∈N). Dann gilt

Z

(lim inf

n→∞ f_n)dµ≤lim inf

n→∞

Z

f_ndµ.

Beweis. Sei g_k := infi≥kf_i. Dann ist g_k ≤f_k (k∈N), damit Z

gkdµ≤ Z

fkdµ (k∈N) (3)

Es giltg1 ≤g2 ≤. . . undgk(x)→lim infn→∞fn(x) f¨ur allex∈X. Damit (monotone Konvergenz)

Z

gkdµ→ Z

(lim inf

n fn)dµ (k→ ∞) Wegen (3) gilt

k→∞lim Z

gkdµ≤lim inf

k

Z

fkdµ.

1.12 Lemma. Sei (X,A, µ) ein Maßraum, f, g: X →[0,∞] messbar. Dann ist

Z

f dµ− Z

gdµ ≤

Z

|f−g|dµ.

Beweis. Das folgt durch direktes Nachrechnen f¨ur Stufenfunktionen und dann durch Grenz¨ubergang f¨ur alle messbaren Funktionen.

1.13 Bemerkung. Sei f: X →[0,∞] messbar mit f = 0 µ-fast ¨uberall. Dann ist R f dµ= 0.

Dies sieht man folgendermaßen: Sei N :={x∈X :f(x)6= 0}. Dann ist Z

f dµ= Z

N

f dµ+ Z

X\N

f

|{z}

=0

dµ= Z

N

f dµ.

Sei (s_n)_n eine Folge von Stufenfunktionen mit s_n % f, s_n =P

kc_nkχ_Ank mit c_nk ∈ [0,∞]. Es gilt

Z

N

s_ndµ=X

k

c_nkµ(A_nk∩N) = 0.

Somit folgt R

f dµ= 0.

Dies zeigt, dass eine ¨Anderung der Funktionen auf einer Nullmenge das Integral nicht ver¨andert.

1.14 Satz (majorisierte Konvergenz). Sei (X,A, µ) Maßraum, f_n, f, g: X → [0,∞] messbar (n ∈N). Es gelte f_n ≤g µ-fast ¨uberall und f ≤g µ-fast ¨uberall mit R gdµ <∞ und f_n →f µ-fast ¨uberall. Dann gilt

Z

|f_n−f|dµ→0 (n→ ∞) und damit

Z

f_ndµ→ Z

f dµ (n → ∞).

Beweis. Wegen f_n, f ≤ g µ-fast ¨uberall ist R

f_ndµ < ∞ und R

f dµ < ∞. Sei g_n:=g− ¹₂|f_n−f|. Dann ist g messbar, 0≤g_n≤g und damit

Z

g_ndµ≤ Z

gdµ <∞.

Wegenf_n→f µ-fast ¨uberall gilt g_n →g µ-fast ¨uberall. Wir erhalten Z

gdµ≤lim inf

n→∞

Z

g_ndµ= Z

gdµ− 1

2lim sup

n→∞

Z

|f_n−f|dµ.

Da der letzte lim sup nichtnegativ ist, folgt lim sup

n→∞

Z

|f_n−f|dµ= 0, d.h. R

|fn−f|dµ→0.

Die beiden folgenden S¨atze werden nicht bewiesen.

1.15 Satz (Transformationssatz). Sei (X,A, µ) Maßraum, (X⁰,A⁰) Messraum, ϕ: X →X⁰ messbar. Sei f⁰:X⁰ →[0,∞] messbar. Dann ist f⁰ ◦ϕ messbar und

Z

X

(f⁰◦ϕ)dµ= Z

X⁰

f⁰d(µ◦ϕ⁻¹).

1.16 Satz (Radon-Nikodym). Sei (X,A) Messraum, µ: A → [0,∞] ein σ- endliches Maß [d.h. es existiert eine Folge (A_n)n∈N ⊂ A mit µ(A_n) < ∞ und S

n∈NA_n =X]und eµ: A →[0,∞]ein Maß mitµeµ. Dann existiert ein messbares g:X →[0,∞] mit µe=gµ, d.h.

µ(A) =e Z

A

gdµ (A∈ A).

Die Funktion g heißt die Radon-Nikodym-Ableitung (oder Dichte) von µe bzgl. µ.

b) Das Bochner-Integral

Im folgenden sei W ein normierter Raum ¨uber dem K¨orper K (wobei wie stets K = R oder K = C gelte), versehen mit der Borel-σ-Algebra, und (X,A, µ) ein (o.E. vollst¨andiger) Maßraum.

1.17 Definition. Sei s =Pn

i=1χ_Aia_i eine Stufenfunktion mit A_i ∈ A, µ(A_i)<∞ und a_i ∈W (i= 1, . . . , n). Definiere das (Bochner-)Integral

Z

sdµ:=

n

X

i=1

µ(A_i)a_i ∈W.

Die Menge aller Stufenfunktionen s: X → W mit µ(s⁻¹({w})) < ∞ f¨ur alle w ∈ W\ {0} wird alsT(µ;W) bezeichnet. Eine Stufenfunktion s heißt integrierbar, falls s∈T(µ;W) gilt.

1.18 Bemerkung. a) Offensichtlich istT(µ;W) ein linearer Vektorraum. Falls s∈ T(µ;W), so istks(·)k_W ∈T(µ;R).

b) Es gilt

Z sdµ

W ≤

Z

ksk_Wdµ (s∈T(µ;W)).

c) Durchksk_T(µ;W) :=R

ksk_Wdµ wird eine Seminorm aufT(µ;W) definiert.

Im folgenden werden wir ¨ofter Folgen und Reihen von Funktionen mit endlichem oder separablem Wertebereich betrachten. Um zu sehen, dass die Separabilit¨at des Wertebereichs erhalten bleibt, verwenden wir folgende Aussage.

1.19 Lemma. a) Sei (Y, d) ein separabler metrischer Raum und X ⊂Y. Dann ist (X, d|_X) separabel.

b) Sei W ein Banachraum, X eine Menge, f_n: X → W mit f_n(X) separabel. Die Reihe f(x) :=P∞

n=1f_n(x) konvergiere f¨ur alle x∈X. Dann ist f(X) separabel.

Beweis. a) Sei Y ={y_n :n∈N}. Definiere

U :={Ur,n:=Kr(yn)∩X :r >0, r∈Q, n∈N},

wobei K_r(y₀) := {y ∈ Y : d(y, y₀) < r}. Zu jedem U_r,n 6= ∅ w¨ahle ein x_r,n ∈ U_r,n. Dann ist A:={x_r,n :r, n} abz¨ahlbar.

Sei x ∈ X und ε > 0. W¨ahle r ∈ Q, r < ε und yn mit d(x, yn) < ^r₂. Wegen x∈K_r/2(y_n) istX∩K_r/2(y_n)6=∅, d.h. es existiert einx₀ ∈Amitx₀ ∈X∩K_r/2(y_n).

Es folgt d(x, x₀)≤d(x, y_n) +d(y_n, x₀)< r < ε.

b) Seif_n(X) = {y_n,k :k ∈N}und Z :=

nX^N

i=1

yni,ki :ni, ki ∈N, N ∈N o

.

Dann istZabz¨ahlbar. Seix∈X. Zun∈Nw¨ahle eink_nmitkf_n(x)−y_n,knk< ε·2⁻ⁿ. Dann ist f¨ur alle N ∈N

N

X

n=1

fn(x)−

N

X

n=1

yn,kn

| {z }

∈Z

< ε,

d.h. PN

n=1fn(x) ∈ Z. Da die Partialsummen gegen f(x) konvergieren, ist auch f(x)∈Z.

Also giltf(X)⊂Z, und nach Teil a) ist f(X) separabel.

1.20 Satz. Sei (X,A) Messraum, f: X →W Abbildung. Dann sind ¨aquivalent:

(i) Es existiert eine Folge (f_n)n∈N von Stufenfunktionen f_n: X → W mit f_n(x)→ f(x) (in W) f¨ur alle x∈X.

(ii) f ist messbar und f(X) ist separabel.

Man kann in (i) kf_n(x)k ≤2kf(x)k (n ∈N, x∈X) w¨ahlen.

Beweis. (i)⇒ (ii) Als punktweiser Limes messbarer Funktionen istf messbar. Wie im Beweis von Lemma 1.19 sieht man, dassf(X) separabel ist.

(ii)⇒(i). Sei{x_n :n∈N} ⊂f(X) dicht. Setze f¨urn, N ∈N Ae^N_n :=n

x∈X :kf(x)k ≥ 1

N, kf(x)−x_nk< 1 N

o . Dann gilt

[

n∈N

Ae^N_n =n

x∈X :kf(x)k ≥ 1 N

o , da{x_n}_n dicht ist. Sei

A^N_n :=Ae^N_n \

n−1

[

k=1

Ae^N_k (n∈N) (disjunkte Version), und

f_N(x) :=

N

X

n=1

χ_A^N

n(x)x_n. Dann ist f_N Stufenfunktion und

kf_N(x)k=kx_nk ≤ 1

N +kf(x)k ≤2kf(x)k (x∈A^N_n).

Sei x ∈ X und N ∈ N mit kf(x)k ≥ _N¹. Dann existiert ein eindeutiges n0 ∈ N mit x∈A^N_n

0, und es gilt

kf(x)−f_N(x)k=kf(x)−x_n0k< 1 N. Somit gilt f_N(x)→f(x), N → ∞.

1.21 Satz. Sei (X,A, µ) ein Maßraum, f: X → W messbar und f(X) separabel.

Dann sind ¨aquivalent:

(i) Es gibt eine Folge(f_n)_n∈Nvon Stufenfunktionen f_n: X →W mitf_n integrierbar, f_n(x)→f(x) (x∈X), und

Z

kf_n−fkdµ→0 (n → ∞).

(ii) R

kfkdµ < ∞.

Beweis. (i)⇒(ii). Es gilt Z

kfkdµ≤ Z

kf_n−fkdµ+ Z

kf_nkdµ < ∞ mit n∈N beliebig.

(ii)⇒(i). W¨ahle eine Folge (f_n)_n von Stufenfunktionen wie in Satz 1.20, wobei kf_n(x)k ≤2kf(x)k (x∈X). Insbesondere ist fn integrierbar. Damit gilt

g_n(x) :=kf_n(x)−f(x)k →0, n→ ∞ (x∈X)

und gn(x)≤ 3kf(x)k (x∈ X), d.h. gn →0 punktweise, und nach dem Satz ¨uber majorisierte Konvergenz folgt

Z

g_ndµ→0 (n→ ∞).

1.22 Lemma. Sei f messbar,f(X)separabel,R

kfkdµ < ∞. Seien (f_n)_n und(g_n)_n Folgen wie in Satz 1.21 (i). FallsW Banachraum ist, so existierenlimn→∞

R f_ndµ∈ W und lim_n→∞R

g_ndµ∈W, und beide Limiten sind gleich.

Beweis. Es gilt mit Bemerkung 1.18

Z

f_ndµ−

Z g_ndµ

=

Z

(f_n−g_n)dµ

≤ Z

kf_n−g_nkdµ

≤ Z

kf_n−fk+kf −g_nk dµ

→0 (n → ∞).

Die gleiche Rechnung mit f_n, f_m statt f_n, g_n zeigt, dass (R

f_ndµ)n∈N ⊂ W eine Cauchyfolge und damit konvergent ist.

1.23 Definition. Sei (X,A, µ) ein Maßraum, W ein Banachraum. Dann heißt f: X →W integrierbar, falls f messbar ist, f(X) separabel ist undR

kfkdµ <∞.

In diesem Fall heißt

Z

f dµ:= lim

n→∞

Z

f_ndµ,

mit (fn)n∈Nwie in Satz 1.21, das Bochner-Integral vonf uber¨ X bzgl.µ. Wir setzen L₁(µ;W) :={f :X →W |f integrierbar }.

Eine andere Schreibweise (falls das Maß klar ist) ist L1(X;W). Setze L1(µ) :=

L₁(µ;C). Wie ¨ublich setzt man Z

A

f dµ:=

Z

(χ_A·f)dµ (A∈ A).

1.24 Satz. Sei (X,A, µ) ein Maßraum, W ein Banachraum.

a)L₁(µ;W)ist linearer Vektorraum, und die AbbildungL₁(µ;W)→W, f 7→R f dµ, ist linear.

b) Es gilt

Z f dµ

≤

Z

kfkdµ (f ∈ L₁(µ;W)).

Beweis. Dies folgt direkt aus den entsprechenden Aussagen f¨ur Stufenfunktionen.

1.25 Satz. Sei (X,A, µ) Maßraum, W Banachraum.

a) (Satz von der majorisierten Konvergenz). Seien fn: X → W messbar, fn(X) separabel, f_n → f µ-fast ¨uberall. Sei g: X → [0,∞] messbar mit R

gdµ < ∞ und kf_n(x)k ≤g(x) µ-fast ¨uberall f¨ur alle n ∈N, und kf(x)k ≤g(x) µ-fast ¨uberall.

Dann istf_n ∈ L₁(µ;W), f ∈ L₁(µ;W) und Z

f_ndµ→ Z

f dµ in W (n→ ∞).

b) Sei f_n: X → W messbar, f_n(X) separabel, P∞ n=1

R kf_nkdµ < ∞. Dann ist f_n ∈ L₁(µ;W) und P∞

n=1f_n(x) konvergiert in W f¨ur µ-fast alle x∈X.

Die Funktion

x7→

(P∞

n=1f_n(x), falls P

nf_n(x) konvergiert,

0, sonst

ist integrierbar, und es gilt

∞

X

n=1

Z

f_ndµ= Z ^∞

X

n=1

f_ndµ.

c) Seif ∈ L₁(µ;W)undA = ˙S

n∈N

A_n (d.h. disjunkte Vereinigung) mitA_n ∈ A. Dann ist

Z

A

f dµ=

∞

X

n=1

Z

An

f dµ.

Beweis. a) Genauso wie im Beweis von Satz 1.21 sieht man, dass f_n, f ∈ L₁(µ;W).

Wegenkfn−fk →0 punktweise und kfn−fk ≤2g folgt mit Satz 1.24

Z

(f_n−f)dµ _W ≤

Z

kf_n−fk_Wdµ→0.

b) Die FunktionP∞

n=1kf_nkist eine integrierbare Majorante f¨ur (Pn

k=1f_k)n∈N. Insbe- sondere istP∞

n=1kf_n(x)k<∞f¨urµ-fast allex, und somit istP∞

n=1f_n(x) konvergent in W f¨ur µ-fast alle x ∈ X. Der Wertebereich des Grenzwertes ist separabel nach Lemma 1.19. Der Rest folgt mit majorisierter Konvergenz.

c) folgt sofort aus b) mit f_n :=f ·χ_An.

c) Die L

-R¨ aume

1.26 Definition. Sei (X,A, µ) Maßraum, W Banachraum.

a) F¨ur 1 ≤ p < ∞ sei L_p(µ;W) die Menge aller Funktionen f : X → W mit f messbar,f(X\N) separabel f¨ur ein N ∈ A mit µ(N) = 0 und R

kfk^p_Wdµ < ∞.

Wir setzen

kfk_Lp(µ;W):=Z

kfk^p_Wdµ1/p

.

b) Der Raum L∞(µ;W) ist definiert als die Menge aller messbaren Funktionen f : X →W mitf(X\N) separabel f¨ur ein N ∈ Amitµ(N) = 0 undkfk_L∞(µ;W) <∞.

Dabei definieren wir kfkL∞(µ;W) := inf

c∈[0,∞] : ∃N_c ∈ A, µ(N_c) = 0 : sup

x∈X\Nc

kf(x)k_W =c .

1.27 Bemerkung. a) Es gilt

kfk_L∞(µ;W)= inf{c∈[0,∞] :µ({x:kf(x)k> c}) = 0}.

b) Seif ∈ L∞(µ;W). Dann existiert ein N ∈ A mit µ(N) = 0 und kfk_L∞(µ;W)= sup

x∈X\N

kf(x)k_W.

Denn f¨urn∈N existiert eine µ-Nullmenge Nn mit sup

x∈X\N_n

kf(x)k ≤ kfk_L∞(µ;W)+ 1 n. F¨urN :=S∞

n=1N_n gilt µ(N) = 0 und kfkL∞(µ;W) ≤ sup

x∈X\N

kf(x)k ≤ sup

x∈X\Nn

kf(x)k ≤ kfkL∞(µ;W)+ 1 n f¨ur alle n∈N.

1.28 Satz. a) F¨ur alle 1≤p≤ ∞ ist L_p(µ;W) ein linearer Vektorraum.

b) (H¨oldersche Ungleichung.) Sei 1≤p, q ≤ ∞ mit ¹_p +¹_q = 1 (wobei _∞¹ = 0). Seien f ∈ Lp(µ;K) und g ∈ Lq(µ;K). Dann ist f ·g ∈ L1(µ;K) und

kf gk_L1(µ;K) ≤ kfk_Lp(µ;K)kgk_Lq(µ;K). c) (Minkowski-Ungleichung.) F¨ur 1≤p≤ ∞ gilt

kf+gkLp(µ;W) ≤ kfkLp(µ;W)+kgkLp(µ;W).

Beweis. a) F¨ur 1 ≤ p < ∞, f, g ∈ L_p(µ;W) und α ∈ K ist αf ∈ L_p(µ;W) und wegen

kf(x) +g(x)k^p_W ≤2^p kf(x)k^p_W +kg(x)k^p_W

ist auch f +g ∈ L_p(µ;W). Man beachte, dass der Wertebereich von f +g (nach Anderung auf einer Nullmenge) nach Lemma 1.19 separabel ist.¨

b) (i) Sei 1< p < ∞. Wir verwenden die elementare Ungleichung α^rβ^1−r ≤rα+ (1−r)β

(Beweis durch logarithmieren). Setzer = ¹_p (d.h. 1−r= ¹_q) und α:= |f(x)|^p

kfk^p_L

p(µ;K)

und β := |g(x)|^q kgk^q_L

q(µ;K)

. Wir erhalten

|f(x)|

kfk_Lp(µ;K) · |g(x)|

kgk_Lq(µ;K) ≤ 1 p

|f(x)|^p kfk^p_L

p(µ;K)

+ 1 q

|g(x)|^q kgk^q_L

q(µ;K)

. Integriere ¨uberX:

Z

|f g|dµ≤ kfkL_p(µ;K)kgkL_q(µ;K)· 1 p

R |f|^pdµ kfk^p_L

p(µ;K)

+ 1 q

R |g|^qdµ kgk^q_L

q(µ;K)

! .

Da der letzte Ausdruck in Klammern 1 ist, folgt die Behauptung.

(ii) Sei nun p= 1 undq=∞. F¨ur alle µ-Nullmengen N gilt Z

X

|f g|dµ= Z

X\N

|f g|dµ≤ sup

x∈X\N

|f| · Z

X\N

|g|dµ= sup

x∈X\N

|f(x)| · kgkL₁(µ;K). Nach Definition der Norm inL∞(µ;K) folgt

kf gkL1(µ;K)≤ kfkL∞(µ;K)kgkL1(µ;K).

c) F¨urp= 1 undq =∞ ist die Aussage trivial. Sei also 1< p <∞. Dann gilt kf+gk^p_L

p(µ;W) = Z

kf +gk^p_Wdµ

≤ Z

kfk · kf+gk^p−1dµ+ Z

kgk · kf+gk^p−1dµ

≤ kfkL_p(µ;W)·

kf+gk^p−1_{W L}

q(µ;K)

+kgkL_p(µ;W)·

kf +gk^p−1_{W L}

q(µ;K)

. Dabei wurde beim letzten Ungleichheitszeichen die H¨oldersche Ungleichung ange- wendet auf die Funktion kf(·)k: X → [0,∞) bzw. kg(·)k: X → [0,∞). Verwende nun

kf+gk^p−1_{W L}

q(µ;K)

=Z

kf +gk^q(p−1)_W dµ1/q

=Z

kf +gk^p_Wdµ(p−1)/p

=kf+gk^p−1_L

p(µ;W)

und erhalte

kf+gk^p_L

p(µ;W) ≤

kfk_Lp(µ;W)+kgk_Lp(µ;W)

· kf +gk^p−1_L

p(µ;W), was zu zeigen war.

Mit dem bisher Bewiesenen wissen wir schon, dassk·kLp(µ;W)eine Seminorm ist. Nun soll es um die Vollst¨andigkeit der L_p-R¨aume gehen. Dabei heißt ein Raum (E,k · k) mit einer Seminormk · k wie ¨ublich vollst¨andig, wenn jede Cauchyfolge konvergent ist. (Der Limes ist allerdings im Gegensatz zu normierten R¨aumen nicht eindeutig.) 1.29 Lemma. Sei (E,k · k) ein Raum mit Seminorm. Dann sind ¨aquivalent:

(i) E ist vollst¨andig.

(ii) Jede absolut konvergente Reihe konvergiert, d.h. f¨ur(x_n)n∈NmitP∞

n=1kx_nk<∞ existiert ein x∈E mit kPN

n=1x_n−xk →0 (N → ∞).

Beweis. (i)⇒ (ii). Das ist klar, da (PN

n=1x_n)N∈N Cauchyfolge ist.

(ii)⇒(i). Sei (x_n)_n eine Cauchyfolge. Dann existiert eine Teilfolge (x_nk)k∈N mit kx_nk+1−x_nkk ≤2^−k (k∈N).

Setzey_k :=x_nk+1−x_nk. Dann istP∞

k=1ky_kk<∞. Nach Voraussetzung existiert ein y∈E mit

y−

K

X

k=1

y_k

=ky−(x_nK+1 −x_n1)k →0 (K → ∞).

Somit gilt x_nK+1 →y+x_n1 (K → ∞) und damit x_n→y+x_n1 f¨urn → ∞.

1.30 Satz. F¨ur 1≤p≤ ∞ ist L_p(µ;W) vollst¨andig.

Beweis. a) Sei 1 ≤ p < ∞. Wir zeigen die Aussage von Lemma 1.29 (ii). Sei (f_n)n∈N⊂ L_p(µ;W) mita:=P∞

n=1kf_nkLp(µ;W) <∞. Setzeg(x) :=P∞

n=1kf_n(x)k_W ∈ [0,∞] und gn(x) :=Pn

k=1kfk(x)kW f¨ur x∈X. Dann istgn∈ Lp(µ;R) und kg_nkL_p(µ;R) ≤

n

X

k=1

kf_nkL_p(µ;W)≤a <∞.

Nach dem Satz ¨uber monotone Konvergenz folgt g ∈ Lp(µ;R) und Z

|g|^pdµ= lim

n→∞

Z

|g_n|^pdµ≤a^p.

Insbesondere ist µ(N) = 0 f¨ur N := g⁻¹({∞}) = {x ∈ X : g(x) = ∞}. F¨ur g⁰ :=g·χ_X\N gilt: g⁰: X →[0,∞) ist messbar und

g⁰(x) =

N

X

n=1

kf_n(x)k_W (x∈X\N).

Da W vollst¨andig ist, existiert P∞

n=1f_n(x) =:f(x) f¨urx ∈X\N. Setzt man noch f(x) := 0 f¨ur x∈N, so istf messbar.

Wegenkf(x)kW ≤g(x) (x∈X) giltR

kfk^pdµ <∞und damit f ∈ Lp(µ;W). F¨ur h_n:=kP∞

k=nf_kk^p_W gilt h_n→0 µ-fast ¨uberall und 0≤h_n ≤X^∞

k=n

kf_kk_Wp

≤g^p ∈ L₁(µ;R).

Nach dem Satz ¨uber majorisierte Konvergenz folgt somit R

h_ndµ→0, d.h.

Z f −

n−1

X

k=1

fk

p

Wdµ→0 (n → ∞).

Damit konvergiert die ReiheP∞

k=1f_k in L_p(µ;W) gegenf.

b) Sei nun p =∞, und (f_n)n∈N ⊂ L∞(µ;W) eine Cauchyfolge. Zu n, m ∈N w¨ahle eine µ-Nullmenge N_n,m ∈ A mit

kf_n−f_mkL∞(µ;W) = sup

x∈X\Nn,m

kf_n(x)−f_m(x)k_W. Sei N :=S

n,m∈NN_n,m ∈ A. Dann ist µ(N) = 0 und kf_n−f_mkL∞(µ;W) = sup

x∈X\N

kf_n(x)−f_m(x)k_W =kf_n−f_mk<sub>`</sub><sup>∞</sup>(X\N;W). Da `^∞(X\N;W) vollst¨andig ist, existiert ein g ∈`^∞(X\N;W) mit

kf_n−gk_`^∞(X\N;W) →0 (n→ ∞).

Setze

f(x) :=

(g(x), falls x∈X\N, 0, sonst.

Dann ist f messbar als Limes messbarer Funktionen, und es gilt kf_n−fkL∞(µ;W) ≤ sup

x∈X\N

kf_n(x)−f(x)k_W =kf_n−gk_`^∞(X\N;W) →0 f¨urn → ∞.

Jetzt machen wir noch in der ¨ublichen Weise aus der Seminorm eine Norm. Dazu verwenden wir das folgende Lemma.

1.31 Lemma. Sei (E,k · ks) ein Raum mit Seminorm.

a) N :={x∈E :kxk_s = 0} ist ein Untervektorraum.

b) Durch k[x]k:=kxk_s wird eine Norm auf dem Quotientenraum E/N definiert.

c) FallsE vollst¨andig ist, so ist E/N ein Banachraum.

Beweis. Teil a) ist trivial.

b) Zun¨achst ist k[x]k wohldefiniert, denn seieny₁, y₂ ∈[x]. Dann ist ky₁k_s=ky₂+ (y₁−y₂)k_s ≤ ky₂k_s+ky₁−y₂k_s

| {z }

=0

=ky₂k_s. Durch Vertauschen von y₁ und y₂ erhalten wir somitky₁k_s =ky₂k_s.

Die Homogenit¨at und die Dreiecksungleichung folgen aus der Seminorm-Eigenschaft.

Es gilt außerdemk[x]k= 0 genau dann, wenn x∈N. Dies ist ¨aquivalent zu [x] = 0 inE/N.

c) ([x]n)n∈Nist genau dann Cauchyfolge in E/N, wenn k[x]n−[x]mk →0 f¨urn, m→

∞. Nach Definition der Norm aufE/N ist dies ¨aquivalent dazu, dasskx_n−x_mk_s →0 f¨urn, m→ ∞, d.h. dass (x_n)_n eine Cauchyfolge in E ist.

1.32 Definition. Sei (X,A, µ) ein Maßraum undW ein Banachraum. Definiere N :={f: X →W |f = 0 µ−fast ¨uberall}.

F¨ur 1≤p≤ ∞ ist

L_p(µ;W) := L_p(µ;W)/N

der Quotientenraum. Falls das Maß klar ist, schreiben wir auchLp(X;W). Wir setzen wieder L_p(µ) := L_p(µ;C). F¨ur X ⊂ Rⁿ w¨ahlen wir (falls nichts anderes vereinbart ist) f¨ur µdas Lebesgue-Maß, welches wir mit λ bezeichnen.

1.33 Bemerkung. a) Es gilt f ∈N ⇐⇒ kfk_Lp(µ;W)= 0.

b) Nach Satz 1.28 und Lemma 1.29 istL_p(µ;W) ein Banachraum.

c) Alle Aussagen ¨uber L_p(µ;W) gelten in analoger Weise auch in L_p(µ;W).

d) Eine

”Funktion“ f in L_p(µ;W) ist eine ¨Aquivalenzklasse. Es gibt insbesondere keinen Sinn, den Wert f(x) f¨ur ein festes x∈x zu betrachten (es sei denn, es w¨are µ({x})>0).

e) SeiX 6=∅ eine Menge und µ(A) :=

(cardA, falls A endlich,

∞, sonst .

Das Maß µ heißt das Z¨ahlmaß auf X, welches auf der ganzen Potenzmenge 2^X definiert ist. Es gilt in diesem Fall

L_p(µ;W) = L_p(µ;W) = `^p(X;W).

Der folgende Satz wird von Bedeutung sein, wenn man partielle Differentialglei- chungen betrachtet, bei denen die Funktionen L_p-Funktionen auf offenen Gebieten sind. Wie oben vereinbart, bezeichnetλ das Lebesgue-Maß imRⁿ. Es seiB(Rⁿ) die σ-Algebra der Borelmengen.

1.34 Satz (von Lusin). Sei Ω⊂Rⁿ offen mit λ(Ω)<∞ und f: Ω→C messbar.

Zuε >0existiert eine kompakte Menge K ⊂Ωmitλ(Ω\K)< ε, so dass f|_K stetig ist.

Beweis. O.E. sei f: Rⁿ →R. W¨ahle zu festem i∈N Mengen Bij ⊂R (j ∈N) mit (B_ij)_j disjunkt, B_ij messbar, S

j∈NB_ij =R und diam(B_ij) := sup

s,t∈B_ij

|s−t|< 1 i . Setze

A_ij := Ω∩f⁻¹(B_ij)∈ B(Rⁿ).

Dann ist S

j∈NA_ij = Ω. Wir verwenden die Regularit¨at des Lebesgue-Maßes:

λ(A) = sup{λ(K) :K ⊂A, K kompakt}.

Somit k¨onnen wir kompakte MengenK_ij ⊂A_ij w¨ahlen mitλ(A_ij\K_ij)< ε·2^−(i+j). Dann ist

λ

Ω\ [

j∈N

K_ij

=λ [

j∈N

(A_ij \K_ij)

< ε 2ⁱ . Somit existiert einN(i)∈N mit

λ Ω\

N(i)

[

j=1

K_ij

< ε 2ⁱ . DefiniereD_i :=SN(i)

j=1 K_ij. Dann istD_i kompakt.

W¨ahle nun f¨ur allei, j ein b_ij ∈B_ij und definiere

g_i:D_i →R, g_i(x) :=b_ij f¨urx∈K_ij (j = 1, . . . , N(i)).

Da die MengenK_ij disjunkt und kompakt sind, haben sie einen positiven Abstand, d.h. g_i ist stetig.

Es gilt

|f(x)−g_i(x)| ≤ 1

i (x∈D_i). (4)

Setzt man schließlichK :=T∞

i=1Di, so ist K kompakt, und es gilt λ(Ω\K)≤

∞

X

i=1

λ(Ω\D_i)< ε.

Andererseits konvergiert wegen (4) die Folge (g_i)_i gleichm¨aßig aufK gegenf. Damit istf|_K stetig.

1.35 Satz. Sei Ω⊂Rⁿ offen, 1≤p < ∞. Dann ist die Menge C_c(Ω) :={ϕ ∈C(Ω) : suppϕ kompakt } dicht in Lp(Ω).

Beweis. O.E. sei f ≥ 0 (sonst verwende man eine Zerlegung). Sei ε > 0. Dann existiert eine Folge (s_n)n∈N von Stufenfunktionen mit s_n % f punktweise. Wegen 0≤s^p_n≤f^p ists_n ∈L_p(Ω). Wegen (f−s_n)^p ≤f^pfolgt mit majorisierter Konvergenz sn→f inLp(Ω). W¨ahle ein n0 ∈N mit

kf −s_n0k_Lp(Ω) ≤ ε 2 .

Wegens_n0 ∈L_p(Ω) ist supps_n0 ⊂Ω kompakt. Nach dem Satz von Lusin (Satz 1.34) gibt es ein ϕ∈C_c(Ω) mit|ϕ(x)| ≤ ks_n0k∞ und

λ({x∈Ω :ϕ(x)6=sn0(x)})<

ε 4ks_n0k∞

p

. Damit folgt

ksn0 −ϕk^p_L

p(Ω) =

Z

Ω∩{x:ϕ(x)6=s_n0(x)}

|sn0 −ϕ|^pdx

≤ ks_n0 −ϕk^p_∞λ({x:ϕ(x)6=s_n0(x)})

≤2^pks_n0k^p_∞ λ({x:ϕ(x)6=s_n0(x)})

<ε 2

p

. Damit istkf −ϕk_Lp(Ω) ≤ε.

Dieser Abschnitt verwendet einen abstrakteren Zugang zum Spektrum eines beschr¨ank- ten Operators und zum Spektralsatz. Dabei gehen wir vom Begriff der Banachalgebra und speziell der C^∗-Algebra aus. Die wichtigsten Beispiele von Banachalgebren sind die Menge der beschr¨ankten linearen Operatoren in einem Hilbertraum und der Raum C(T) der stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum T. Der wichtige Darstellungssatz von Gelfand-Naimark sagt, dass jedeC^∗-Algebra isometrisch isomorph ist zu einemC(T). Dies erm¨oglicht einen Beweis des Funktionalkalk¨uls f¨ur beschr¨ankte normale Operatoren. Dar¨uberhinaus erm¨oglicht die Gelfand-Theorie Querverbindun- gen zu anderen Bereichen der Mathematik wie z.B. die abstrakte Fourier-Analysis und die kommutative Algebra.

a) Der Satz von Stone-Weierstraß

Im folgenden seiT ein kompakter Hausdorff-Raum. Ein UntervektorraumA⊂C(T) heißt Algebra, fallsf·g ∈A (f, g∈A). Eine Teilmenge B ⊂C(T) heißt Verband, falls f¨ur allef, g ∈B gilt: f∧g := min{f, g} ∈B und f∨g := max{f, g} ∈B.

2.1 Lemma. Sei B ⊂ C(T;R) eine abgeschlossene Unteralgebra mit 1∈B. Dann ist B ein Verband.

Beweis. Wir zeigen

f ∈B ⇒ |f| ∈B.

Denn dann ist B ein Verband wegen f ∨ g = ¹₂|f −g| + ¹₂(f +g) und f ∧g =

− (−f)∨(−g) .

Sei o.E. kfk∞ ≤ 1. Nach dem Satz von Weierstraß existiert eine Folge (pn)n∈N von Polynomen auf [−1,1] mit

kp_n(x)− |x| kC([−1,1]) →0 (n→ ∞).

Damit giltkp_n(f)− |f| k_C(T;R)→0 (n → ∞), d.h.|f|= limn→∞p_n(f) inC(T;R).

Da B eine Algebra ist und 1 ∈ B gilt, folgt p_n(f) ∈ B. Weil B abgeschlossen ist, folgt|f| ∈B.

2.2 Satz (von Kakutani-Krein). Sei B ⊂ C(T;R) ein abgeschlossener Unter- raum und ein Verband mit 1∈B. Falls B die Punkte von T trennt (d.h. zu t₁ 6=t₂ existiert ein f ∈B mitf(t₁)6=f(t₂)), so gilt B =C(T;R).

Beweis. Sei h∈C(T;R) und ε >0.

(i) Wir zeigen:

∀t∈T ∃ft ∈B : ft(t) =h(t) undh≤ft+ε. (5) Dazu w¨ahlen wir zu t, s ∈ T eine Funktion fst ∈ B mit fst(t) = h(t) und fst(s) = h(s). Eine solche Funktion existiert, denn nach Voraussetzung gibt es ein fe_st ∈ B mitfe_st(t)6=fe_st(s). Die Funktionf_st entsteht aus fe_st durch Skalierung und Addition einer Konstanten (beachte, dass 1∈B).

Zu s∈T existiert eine offene UmgebungU_s ⊂T von s mit fst(τ) +ε≥h(τ) (τ ∈Us).

Da T kompakt ist, existiert eine endliche ¨Uberdeckung T =

n

[

i=1

U_si.

Setze nunf_t:=f_s1t∨ · · · ∨f_snt. Dann giltf_t(t) =h(t) und f_t(τ) +ε≥h(τ) (τ ∈T).

Damit ist die Funktion ft gefunden, welche (5) erf¨ullt.

(ii) Zut ∈T w¨ahle f_twie in (i). Dah−f_t stetig ist, existiert eine offene Umgebung V_t⊂T von t mit

h(τ)≥f_t(τ)−ε (τ ∈V_t).

W¨ahle eine endliche Teil¨uberdeckungT =Sm

i=1V_ti und setzef :=f_t1∧· · ·∧f_tm ∈B.

Nach Konstruktion der f_ti gilt

f(τ) +ε≥h(τ) (τ ∈T), nach Definition von V_t gilt aber auch

h(τ)≥f(τ) +ε (τ ∈T).

Somit gilt kf−hk∞≤ ε, d.h. B ist dicht in C(T,R). Da aberB abgeschlossen ist, folgtB =C(T;R).

Nun k¨onnen wir den Satz von Stone-Weierstraß im reellen und im komplexen Fall formulieren und beweisen.

2.3 Satz (von Stone-Weierstraß). Sei A⊂C(T;K) eine abgeschlossene Unter- algebra mit 1∈A, welche die Punkte von T trennt. Im Falle K=C gelte auch noch f¯∈A f¨ur alle f ∈A. Dann ist A=C(T;K).

Beweis. Im Falle K = R folgt die Behauptung direkt aus den S¨atzen 2.1 und 2.2.

Im FalleK = C gilt Ref = ¹₂(f+ ¯f)∈ A und Imf ∈ A. Damit trennen schon die reellwertigen Funktionen inAdie Punkte vonT, und es folgtA∩C(T;R) =C(T;R).

Da A ein C-Vektorraum ist, folgt A=C(T;C).

b) Banachalgebren

2.4 Definition. Eine BanachalgebraAist einC-Banachraum, auf der eine bilineare, assoziative AbbildungA×A→A, (x, y)7→x·y definiert ist (die Multiplikation), wobei

kx·yk ≤ kxk · kyk (x, y ∈A).

Wir schreiben wiederxy :=x·y. Die BanachalgebraAheißt kommutativ, falls xy= yx (x, y ∈A). Ein Element e∈Aheißt Einheit vonA, falls xe=ex=x (x∈A) und kek= 1.

2.5 Beispiele. a) SeiEeinC-Banachraum. Dann sindA=L(E) undA=K(E) :=

{T ∈L(E) :T kompakt}Banachalgebren. Dabei hatL(E) die Einheit id_E, w¨ahrend K(E) nur dann eine Einheit hat (n¨amlich ebenfalls id_E), fallsE endlich-dimensional ist.

b) Sei T ein kompakter Hausdorff-Raum. Dann ist C(T) eine Banachalgebra mit der konstanten Funktion 1 als Einheit.

c) Sei (X,A, µ) ein Maßraum. Dann ist L∞(µ;C) eine Banachalgebra mit der kon- stanten Funktion 1 als Einheit.

2.6 Bemerkung. Die Multiplikation in einer Banachalgebra ist stetig.

2.7 Beispiel (Wiener-Algebra). Sei W der Vektorraum aller 2π-periodischen Funktionen vonR nachC, f¨ur welche

kfk_W :=X

k∈Z

|c_k(f)|<∞,

wobei

c_k(f) := 1 2π

Z 2π 0

f(t)e^−iktdt

der k-te komplexe Fourier-Koeffizient ist. Mit anderen Worten, es gilt kfkW =k(ck(f))k∈Zk_`¹_(Z).

Aquivalent (und f¨¨ ur manche Zwecke besser) kann eine Funktion f ∈ W als eine Funktion auf dem TorusT:=R/Z betrachtet werden. Nach der Umkehrformel der Fourier-Transformation gilt f¨urf ∈W

f(t) = X

k∈Z

c_k(f)e^ikt,

wobei die Reihe auf der rechten Seite gleichm¨aßig und absolut konvergiert.

Der VektorraumW wird mit der Normk·k_W zu einem Banachraum, welcher verm¨oge f 7→ (c_n(f))_n∈Z zum Banachraum `¹(Z) isometrisch isomorph ist. In W wird die Multiplikation zweier Funktionen punktweise erkl¨art.

Wir zeigen nun: F¨urf, g ∈W ist auchf ·g ∈W, und es gilt kf·gk_W ≤ kfk_W · kgk_W.

Dazu betrachte

c_n(f g) = 1 2π

Z 2π 0

f(t)g(t)e^−ikt

= 1 2π

Z 2π 0

X

k∈Z

c_k(f)e^ikt X

m∈Z

c_m(g)e^imt e^−intdt

= X

k,m∈Z

ck(f)cm(g) 1 2π

Z 2π 0

e^i(k+m−n)tdt

= X

k+m=n

ck(f)cm(g)

=X

k∈Z

ck(f)cn−k(g).

Man beachte, dass die Reihen absolut konvergieren. Damit ist kf gk_W =X

n∈Z

|c_n(f g)|

≤X

n∈Z

X

k∈Z

|c_k(f)| · |c_n−k(g)|

=X

k∈Z

|c_k(f)|X

n∈Z

|cn−k(g)|

=X

k∈Z

|ck(f)|X

n∈Z

|cn(g)|

=kfk_W · kgk_W.

Damit istW eine Banachalgebra, die sogenannte Wiener-Algebra.

Wir haben oben gesehen, dass (cn(f g))n= (cn(f))n∗(cn(g))n gilt, wobei die Faltung zweier `¹-Folgen x= (x_n)n∈Z und y = (y_n)n∈Z definiert ist durch

(x∗y)_n :=X

k∈Z

x_kyn−k.

Versehen mit der Faltung als Produkt, wird auch`¹(Z) zu einer Banachalgebra. Die Abbildungf 7→(c_n(f))n∈Z ist ein isometrischer Isomorphismus von Banachalgebren (d.h. auch multiplikativ).

Dieses Beispiel ist der Einstiegspunkt in die gr¨oßere Theorie der abstrakten har- monischen Analysis. Dort wird allgemeiner (statt T) eine lokalkompakte abelsche Gruppe betrachtet und ein kanonisches Maß (n¨amlich das sog. Haar-Maß). S¨atze der Fourier-Theorie wie z.B. der Satz von Plancherel gelten hier ebenfalls.

2.8 Definition. Sei A eine Banachalgebra mit Einheit e.

a) Ein Elementx∈Aheißt invertierbar inA, falls es einy∈Agibt mitxy=yx=e.

Wir schreibenx⁻¹ :=y.

b) Die Resolventenmenge ist definiert durch

ρ(x) := ρ_A(x) :={λ∈C:x−λe invertierbar in A}.

Das Spektrum von xist definiert als σ(x) :=σ_A(x) := C\ρ_A(x). Die Abbildung R :ρ(x)→A, λ7→(x−λe)⁻¹

heißt die Resolventenabbildung.

c) Der Spektralradius vonx ist definiert als r(x) := inf

n∈N

kxⁿk^1/n.

2.9 Satz. Sei A eine Banachalgebra mit Einheit e, und seien x, y ∈A.

a) Falls kx−ek<1, so ist x invertierbar mit x⁻¹ =P∞

n=0(e−x)ⁿ. Die Resolven- tenmenge ρ(x) ist offen und die Resolventenabbildung holomorph.

b) Es giltσ(x)⊂ {λ∈C:|λ| ≤ kxk}, und σ(x) ist kompakt und nichtleer.

c) Es giltr(x) = limn→∞kxⁿk^1/n = max{|λ|:λ∈σ(x)}.

d) Es giltσ(xy)\ {0}=σ(yx)\ {0}.

Beweis. Die Teile a), b) und d) lassen sich w¨ortlich wie im FallA =L(E) beweisen.

Zu zeigen bleibt nur c).

(i) Wir zeigen folgende Aussage: Sei (a_n)n∈N ⊂ R mit 0 ≤ a_n+m ≤ a_na_m f¨ur alle n, m∈N. Dann gilt (an)^1/n →a:= infn(an)^1/n (n → ∞).

Um dies zu zeigen, sei ε > 0. W¨ahle N ∈ N mit (aN)^1/N < a+ε und setze b(ε) :=

max{a₁, . . . , a_N}. Schreibe nun n ∈ N in der Form n = kN +r mit 0 ≤ r < N.

Dann gilt

(a_n)^1/n = (a_kN+r)^1/n ≤(a^k_Na_r)^1/n

≤(a+ε)^kN/nb^1/n = (a+ε)(a+ε)^−r/nb^1/n

= (a+ε) b

(a+ε)^r 1/n

< a+ 2ε,

fallsn hinreichend groß ist. Dies zeigt (i).

(ii) Setze in (i) nun a_n :=kxⁿk. Dann folgtr(x) = lim_n→∞kxⁿk^1/n. F¨ur|λ|> r(x) gilt

lim sup

n→∞

x λ

n

1/n

= lim

n→∞

kxⁿk^1/n

|λ| = r(x)

|λ| <1.

Damit konvergiert 1 λ

∞

X

n=1

x λ

n

= 1 λ

e− x

λ −1

= (λe−x)⁻¹. Also ist λ∈ρ(x).

(iii) Sei r₀ := max{|λ| : λ ∈ σ(x)}. Sei µ ∈ C mit |µ| > r₀, und f ∈ A⁰. Betrachte die FunktionF(λ) :=f((λe−x)⁻¹). Dann istF holomorph in {λ∈C:|λ|> r(x)}, da die Reihe

F(λ) =

∞

X

n=0

f(xⁿ)λ⁻ⁿ⁻¹ absolut konvergent ist f¨ur|λ|> r(x).

Andererseits istF(λ) holomorph inρ(x) und damit f¨ur alle|λ|> r₀. Eine Potenzreihe konvergiert aber im gr¨oßten offenen Kreisring, in dem sie holomorph ist. Daher konvergiert die obige Reihe an der Stelleµ (wegen |µ|> r₀).

Insbesondere folgt lim_n→∞|f(xⁿ)µ⁻ⁿ⁻¹| → 0. Da f ∈ A⁰ beliebig war, konvergiert die Folge (xⁿµ⁻ⁿ⁻¹)n∈N in der schwachen Topologie gegen 0. Da schwache Nullfolgen beschr¨ankt sind, existiert eine Konstante C > 0 mit kxⁿµ⁻ⁿ⁻¹k ≤C. Damit gilt

kxⁿk^1/n≤ C|µ|ⁿ⁺¹1/n

. Da die rechte Seite f¨urn → ∞gegen |µ| konvergiert, folgt

r(x) = lim

n→∞kxⁿk^1/n≤ |µ|.

Da die Zahl µbeliebig mit |µ|> r₀ war, folgt r(x) ≤r₀. Nach (ii) gilt jedoch auch r(x)≥r0 und damit r(x) = r0.

2.10 Satz (von Gelfand-Mazur). Sei A eine Banachalgebra mit Einheit e, in der jedes x∈A\ {0} invertierbar ist. Dann ist A =C·e.

Beweis. Sei x∈A. W¨ahle λ∈σ(x). Dann ist λe−x nicht invertierbar, und damit nach Voraussetzungλe−x= 0, d.h. x=λe.

c) Die Gelfand-Transformation

2.11 Definition. Seien A₁, A₂ Banachalgebren. Eine Abbildungϕ :A₁ →A₂ heißt ein (Banachalgebren-)Homomorphismus, fallsϕ C-linear und multiplikativ ist. Falls A₂ =C, so heißt ϕ ein Charakter.

2.12 Lemma. Sei A eine Banachalgebra undϕ:A→C ein Charakter. Dann istϕ stetig mitkϕk ≤1. FallsAeine Einheit hat, ist entwederϕ = 0 oder es giltϕ(e) = 1 und damit kϕk= 1.

Beweis. Angenommen es existiert ein x ∈ A mit kxk < 1 und |ϕ(x)| = 1. O.E.

sei ϕ(x) = 1 (sonst ersetze x durch e^iαx mit einem geeigneten α und beachte die C-Linearit¨at von ϕ).

F¨ury :=P∞

n=1xⁿ=x(1−x)⁻¹ gilt y=x+xy und damit ϕ(y) = ϕ(x) +ϕ(x)ϕ(y) = 1 +ϕ(y), Widerspruch. Somit istkϕk ≤1.

Falls A eine Einheit e besitzt und ϕ 6= 0 gilt, so existiert ein x ∈ A mit ϕ(x) = 1.

Damit ist

1 = ϕ(x) =ϕ(ex) =ϕ(e)ϕ(x) =ϕ(e).

Damit folgtkϕk= 1 wegenkek= 1.

2.13 Beispiel. Sei T ein kompakter Hausdorff-Raum und A = C(T). Dann ist ϕ_t(x) := x(t) (x∈A) f¨ur jedes t∈T ein Charakter.

2.14 Definition. Sei A eine Banachalgebra. Ein UntervektorraumI ⊂A heißt ein Ideal, fallsxy∈I und yx∈I gilt f¨ur allex∈I und y∈A. Ein Ideal I heißt echtes Ideal, fallsI 6=A. Ein IdealI heißt maximal, fallsI echtes Ideal ist und kein echtes IdealIeexistiert mit I ⊂I.e