Ubung Nr. 3 ¨

IWR – Universit¨at Heidelberg Prof. Dr. Guido Kanschat

Abgabe:8.5.2013

Ubung Nr. 3 ¨

zur Vorlesung Numerik I, Sommer 2013

Aufgabe 3.1: (Fehlerabsch¨atzung f ¨ur das Polygonzugverfahren)

Das IntervallI = [0, T]sei aufgeteilt inn Teilintervalle der Schrittweiteh=T /n. Ferner sei die rechte Seitef(t, u)in der Differentialgleichungu⁰ =f(t, u)differen- zierbar und Lipschitz-stetig in beiden Argumenten aufI×Rmit der KonstantenL. Benutzen Sie den lokalen Stabilit¨atssatz 1.4 um zu zeigen, dass die L¨osungen der Polygonzugmethode und der AWA mit gemeinsamem Startwert u(0) = u0 der Fehlerabsch¨atzung

|u(t)−uh(t)| ≤Che^Lt mit einer KonstantenCunabh¨angig vonhundtgen¨ugt.

Hinweis: Konstruieren Sie auf jedem Intervall eine Differentialgleichung, dieu_herf¨ullt, wobei Sie benutzen d¨urfen, dass die Werte in den Intervallendpunktenu_h(t_k)schon im Verfahren berechnet wurden.

Aufgabe 3.2: (Integrierende Faktoren)

Finden Sie eine explizite Darstellung f¨ur L¨osungen der linearen Diffential- gleichung

u⁰=a(t)u+b(t)

in der Formu(t) =..., wobei rechts des Gleichheitszeichens nur Integrale stehen, die keinuenthalten.

Hinweis: Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem “integrierenden Faktor”

m(t) = exp

− Z

a(s)ds

.

Aufgabe 3.3: (Differentielle Stabilit¨at)

Betrachten Sie die AWA aus der Vorlesung u⁰=−u² u(−1) =u0=−1

auf dem Intervall[−1,0[. Geben Sie die FunktionDu0u(t)an.

Aufgabe 3.4:

Feiern Sie in den Mai (mit kurzem Beweis) f¨ur vier Punkte!

Jede Aufgabe 4 Punkte.