IWR – Universit¨at Heidelberg Prof. Dr. Guido Kanschat
Abgabe:9.11.2012
Ubung Nr. 3 ¨
zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Winter 2012/13
Aufgabe 3.1: (St ¨uckweise polynomiale Funktionen)
Seif ∈ C1[a, b] und die Zerlegung a = x0 < x1 <· · · < xn =bgegeben. Es seisf die st¨uckweise quadratische Interpolierende zuf mitsf(xi) =f(xi)f¨uri = 0, . . . , nund sf(xi−1/2) =f(xi−1/2)f¨uri= 1, . . . , nundxi−1/2= 12(xi−1+xi)
(a) Wie ist die Darstellung vonsf(x)auf dem IntervallIi= [xi−1, xi],i= 1, . . . , n?
(b) Skizzieren Sie die Basispolynome vom Lagrange-Typ zur Interpolationsaufgabe auf zwei aufeinanderfolgenden Inter- vallen.
Aufgabe 3.2: (Orthogonale Polynome I)
Zeigen Sie, dass durch hp, qi:=Z b
a
p00(x)q00(x)dx
ein Skalarprodukt auf dem Raum
N =
p∈ Pn
p(a) =p(b) = 0
definiert wird.
Aufgabe 3.3: (Konvergenz von Quadraturformeln)
Sei eine Quadraturformel f¨ur ein Intervall Ih der L¨angeh exakt f¨ur Polynome der Ordnung n. Zeigen Sie mit Hilfe des Taylorpolynoms Tn(x) und des Restglieders, dass sich der Integrationsfehler durch|I(f)−I(n)(f)|=O(hn+2) absch¨atzen l¨asst, wobei die imOversteckte Konstante vonf(n+1)abh¨angt.
Aufgabe 3.4: (Zusatzaufgabe: Quadratur durch Interpolation)
Auf dem IntervallI= [0,1]soll eine Quadratur- formel durch quadratische Interpolation in den Punktenx0 = 0,x1 = 13 und x2 = 1definiert werden. Berechnen Sie die Quadraturgewichtewi.Jede Aufgabe 4 Punkte.
