5.1 Grundlagen(Wiederholung / Ergänzungen zu Stahlbeton I) 5 Langzeiteinflüsse

5 Langzeiteinflüsse

5.1 Grundlagen

(Wiederholung / Ergänzungen zu Stahlbeton I)

Zeitabhängiges Verhalten von Beton

Schwinden

Volumenkontraktion ohne Lasteinwirkung (Darstellung für freie = unbehinderte Verformungen

→keine Zwängungen)

Kriechen

Zunahme der Verformungen unter konstanter Spannung

Relaxation

Abfall der Spannungen unter konstanter Dehnung

σ

_c

keine Lasteinwirkung t

ε

_c

Volumenkontraktion durch Schwinden

t

σ

_c

t Spannung konstant

ε

_c

t

Anfangsverformung Kriechverformung

ε

_c

t Dehnung konstant

σ

_c Spannungsabfall

durch Relaxation Anfangsspannung

t

Langzeiteinflüsse

Schwinden

Früh-/Kapillarschwinden (bis zu 4‰

→

vermeiden!)

• Kapillarspannungen während der Verdunstung von Wasser aus dem Frischbeton führen zu dichterer Lagerung der Zementmatrix in den ersten Stunden bis zum Erstarren.

• Vermeidung durch Nachbehandlung (Verhinderung signifikanter Wasserverluste an der frischen Betonoberfläche, wie sie durch hohe Beton- oder Lufttemperaturen, geringe Luftfeuchtigkeit und Wind verursacht werden).

Autogenes und chemisches Schwinden (Normalbeton bis zu 0.3‰, UHFB bis zu 1.2‰)

• Volumenkontraktion im Laufe der Hydratation, einerseits durch chemische Einbindung der Wassermoleküle in die Hydratationsprodukte (erste Tage), andererseits durch Kapillarspannungen infolge der geringeren inneren relativen

Luftfeuchtigkeit, sobald das Wasser in den Kapillarporen verbraucht ist, so dass die Hydratation Wasser in den Gelporen verbraucht (erste Wochen).

• Primär abhängig vom W/Z-Wert: Je kleiner der W/Z-Wert, desto grösser das autogene Schwinden (signifikanter Einfluss nur für W/Z < 0.45 → hochfeste Betone, UHFB).

Trockenschwinden (bis ca. 0.3‰ aussen bei RH=70%, bis ca. 0.5‰ innen bei RH=50%)

• Volumenkontraktion im Festbeton durch Abgabe von Wasser an die Umgebung, beginnt mit dem Ausschalen resp. dem Ende der Nachbehandlung und dauert Jahre.

• Grösse primär abhängig vom Zementleimvolumen (Zement, Zusatzstoffe, eingeschlossene Luft und Wasser). Schnellerer

Verlauf bei hohem W/Z-Wert, geringer Luftfeuchtigkeit und dünnen Bauteilen.

CH innen CH aussen

NB: Endwert unabhängig von Austrockungsbeginn

Zeitabhängiges Verhalten von Beton

Trockenschwinden

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

(nach SIA 262)

Trockenschwindmass

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐∞}

[‰] Zeitverlauf

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐} (𝑡𝑡) ⁄𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐∞}

Zeitabhängiges Verhalten von Beton

Trockenschwinden

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

Trockenschwindmass

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐∞}

[

‰

]

Autogenes Schwinden

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

(nach SIA 262)

Zeitverlauf und Schwindmass

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡

[

‰

]

𝜀𝜀 _{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡 = 𝜀𝜀 _{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡 + 𝜀𝜀 _{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡

+

CH innen CH aussen

Zeitabhängiges Verhalten von Beton

Trockenschwinden

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

Trockenschwindmass

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐∞}

[

‰

]

Autogenes Schwinden

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

(nach SIA 262)

Zeitverlauf und Schwindmass

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡

[

‰

]

𝜀𝜀 _{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡 = 𝜀𝜀 _{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡 + 𝜀𝜀 _{𝑐𝑐𝑐𝑐} 𝑡𝑡

+

CH innen CH aussen

Langzeiteinflüsse

Kriechen und Relaxation

Ursache / Phänomene

• Beanspruchung führt zur Umlagerung resp. Verdunstung von Wasser im Zementstein; damit einhergehende Gleit-/und Verdichtungsvorgänge führen zur Volumenkontraktion.

• In den Normen wird angenommen, dass die Kriechverformungen nach einigen Jahrzehnten zum Stillstand kommen (Endkriechzahl ϕ

_∞

). Dies ist heute umstritten; Schäden an Freivorbaubrücken könnten darauf hindeuten, dass die Kriechverformungen kontinuierlich zunehmen. Versuche sind jedoch nur wenige verfügbar.

Einflüsse auf die Grösse der Kriechverformungen

• Höhe der Belastung (Kriechverformungen näherungsweise proportional zur Belastung)

• Zementleimvolumen (hohes Zementleimvolumen = grössere Kriechverformungen)

• Betondruckfestigkeit (hohe Druckfestigkeit = kleinere Kriechverformungen)

• Alter des Betons (Belastung in jungem Alter = grössere Kriechverformungen)

Einflüsse auf den Zeitverlauf

• Kriechverlauf ist schneller bei kleinen Bauteilabmessungen (dünne Bauteile)

• Kriechverlauf ist schneller bei niedriger relativer Luftfeuchtigkeit (trockene Umgebung)

Relaxation

• Kriechen und Relaxation sind verwandte Phänomene

• Einflussgrössen für Kriechen gelten sinngemäss auch für das Relaxationsverhalten

Langzeiteinflüsse

Kriechen

ε

_c

t ε

_c,t=0

ϕ (t)· ε

_c,t=0

σ

_c

t Spannung konstant

• Zunahme der Verformung bei konstanter Spannung

•

𝜀𝜀_𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 𝜀𝜀_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒} +𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}(𝑡𝑡)

•

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐} = 𝜑𝜑(𝑡𝑡,𝑡𝑡₀)� 𝜀𝜀_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

resp.

𝜀𝜀_𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 𝜀𝜀_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒} 1 +𝜑𝜑(𝑡𝑡,𝑡𝑡₀)

•

𝜑𝜑(𝑡𝑡,𝑡𝑡₀)

: Kriechzahl

• Normalfall:

𝜑𝜑_𝑡𝑡=∞ ≅ 1.5 … 2.5, d.h. Zunahme der

Verformungen um Faktor 2.5…3.5

• Analoges Verhalten auf Zug (ungerissener Beton)

Langzeiteinflüsse

Relaxation (≈ Kriechen bei ε = const.)

• Abnahme der Spannung bei konstanter Verformung

• Grobe Näherung (fikt. E-Modul):

𝜎𝜎_𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 𝜎𝜎_{𝑐𝑐,𝑡𝑡=0} � 1 1 +𝜑𝜑

• Bessere Näherung (nach Trost):

𝜎𝜎_𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 𝜎𝜎_{𝑐𝑐,𝑡𝑡=0} 1 − 𝜑𝜑(𝑡𝑡) 1 +𝜇𝜇𝜑𝜑

• Normalfall:

𝜑𝜑_𝑡𝑡=∞ ≅ 1.5 … 2.5, 𝜇𝜇 = 𝑐𝑐𝑐𝑐. 0.75

, d.h. Abbau der initialen Spannung auf ca. 25%

• Abbau bei langsamer aufgezwungener Verformung weniger stark (auf ca. 40%)

σ

_c

t ε

_c

t

Dehnung konstant

Langzeiteinflüsse

Kriechen Relaxation (= Kriechen)

ε

_c

t σ

_c

t

σ

_c

t ε

_c

t

Spannung konstant Dehnung konstant

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

= 𝜎𝜎

_𝑐𝑐

𝐸𝐸

_𝑐𝑐

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

(𝑡𝑡) = 𝜑𝜑(𝑡𝑡, 𝑡𝑡

₀

) � 𝜀𝜀

_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

Langzeiteinflüsse

Kriechen – reversibler und plastischer Anteil

• Die Verformungen des Betons unter Lastbeanspruchung setzen sich zusammen aus den elastischen Verformungen 𝜀𝜀_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒} und den zeitabhängigen Kriechverformungen 𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

• Die Kriechverformungen 𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐} bestehen aus einem reversiblen Anteil 𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑟𝑟} (stellt sich relativ schnell ein, Halbwertszeit ca. 30 Tage) und einem irreversiblen (plastischen) Anteil𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑝𝑝}:

Der irreversible Anteil 𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑝𝑝} hängt vom Belastungszeitpunktresp. Betonalter ab (alter Beton ist weniger «kriechfähig») und stellt sich viel langsamer ein als der reversible Anteil.

• In der Regel wird der Einfachheit halber nicht zwischen den Anteilen unterschieden.

• Beispiel: Belastung und vollständige Entlastung nach längerer Zeit (bleibende Dehnung):

( )

, ,

( )

,

( )

,

( )

c

t =

c el

+

cc r

t +

cc p

t =

c el

+

cc

t

ε ε ε ε ε ε

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑟𝑟}

+ 𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑝𝑝}

(𝑡𝑡

₀

)

ε

_c

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

t

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑟𝑟}

+ 𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑝𝑝}

(𝑡𝑡

₁

) 𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑝𝑝}

𝑡𝑡

₀

− 𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑝𝑝}

(𝑡𝑡

₁

)

irreversibler Anteil

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Grösse und Zeitverlauf (siehe auch SIA 262, 3.1.2.6)

• Zunahme der Verformung bei konstanter Spannung

•

mit

• Normalfall:

𝜑𝜑_𝑡𝑡=∞ ≅ 1.5 … 2.5, d.h. Zunahme der

Verformungen um den Faktor 2.5…3.5

• Analoges Verhalten auf Zug (ungerissener Beton)

ε

_c

t σ

_c

t

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑐𝑐}

= 𝜑𝜑(𝑡𝑡, 𝑡𝑡

₀

) � 𝜀𝜀

_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

Spannung 𝜎𝜎

_𝑐𝑐

= konstant

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐,𝑒𝑒𝑒𝑒}

= 𝜎𝜎

_𝑐𝑐

𝐸𝐸

_𝑐𝑐

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₀

( ) ( )

( )

, 0 ,

0 ,

,

(1 , )

c c el c el

c el

t t t

t t

ε = ε + ϕ ⋅ ε

= + ϕ ⋅ ε

t t

0

Kriechzahl Zeit

Alter des Betons bei Einwirkungsbeginn

t − t

0

Belastungsdauer

( ) t t ,

0

ϕ

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Grösse und Zeitverlauf (siehe auch SIA 262, 3.1.2.6)

- Relative Luftfeuchtigkeit:

- Beanspruchungsniveau:

- Betondruckfestigkeit:

- Betonalter bei Belastung:

(korrigiert um Einfluss der Temperatur: t

_0,eff

→

k_Tt₀

)

- Lastdauer (→ Zeitverlauf):

1.5 0.45

0.45 1)

(für , sonst

c

fck

c

e

c

f

ck c

 σ 

 − 

 

σ σ

β = σ > β =

... 25 / 30 30 / 37 35 / 45 ...

... 2.9 2.7 2.6 ...

fc

C C C

β =

0 0

( ) t 1.2 0.2 ( t 28d) 0.5

β ≈  β = =

(( t ) t

0

) 1 β = ∞ − ≈

1.25 1.5 ( 65 80%)

RH

(CH) RH

ϕ ≈  ≈ 

𝑡𝑡: Zeitpunkt, zu welchem das Kriechmass ϕbestimmt wird 𝑡𝑡₀: Betonalter zum Zeitpunkt

des Belastungsbeginns

( ) t t

0

,

_{RH σc fc}

( t

0

) ( t t

0

) ( 1. 5 2. ) 5

ϕ = ϕ ⋅β ⋅ β ⋅ β ⋅ β − ≈ 

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Grösse und Zeitverlauf (siehe auch SIA 262, 3.1.2.6)

CH innen CH aussen

: Beiwert für relative Luftfeuchtigkeit (RH: normalerweise Jahresmittel) ϕ

RH

CH innen CH aussen

( ) t t ,

0 _{RH σc fc}

( t

0

) ( t t

0

) ( 1. 5 2. ) 5

ϕ = ϕ ⋅β ⋅ β ⋅ β ⋅ β − ≈ 

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Grösse und Zeitverlauf (siehe auch SIA 262, 3.1.2.6)

( ) : t

0

Betonalter bei Belastung

β ϕ

_RH

: Lastdauer ( → Zeitverlauf)

Normalfall (t₀= 28d)

( ) t t ,

0 _{RH σc fc}

( t

0

) ( t t

0

) ( 1. 5 2. ) 5

ϕ = ϕ ⋅β ⋅ β ⋅ β ⋅ β − ≈ 

( ) t t ,

0 _{RH σc fc}

( t

0

) ( t t

0

) ( 1. 5 2. ) 5

ϕ = ϕ ⋅β ⋅ β ⋅ β ⋅ β − ≈ 

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Grösse und Zeitverlauf (siehe auch SIA 262, 3.1.2.6)

( ) : t

0

Betonalter bei Belastung

β ϕ

_RH

: Lastdauer ( → Zeitverlauf)

Normalfall (t₀= 28d)

5 Langzeiteinflüsse

5.2 Einfluss des Kriechens auf das

Trag- und Verformungsverhalten

Langzeiteinflüsse

Einfluss des Kriechens auf Tragwerksverformungen

• Der Einfluss des Kriechens ist bei der Ermittlung der Verformungen infolge ständiger Lasten immer zu berücksichtigen. Der

Verformungszuwachs infolge Kriechens ist im gerissenen Zustand II wesentlich kleiner als im ungerissenen Zustand I (siehe Stahlbeton I)

• Verformungensind bei der Bemessung oft massgebend, beispielsweise bei:

- schlaff bewehrten Hallenbindern mit Schlankheit h/L< 1/12

- schlaff bewehrten Platten (Flachdecken, Vordächer, Decken im Fassadenbereich, nichttragende Wände) - vorgespannte Brückenträger, deren Beanspruchungen in Bau- und Endzustand sich stark voneinander

unterscheiden (Freivorbau, Durchlaufträger mit feldweiser Herstellung) Einfluss des Kriechens auf Schnittkräfte und Spannungen

• Zwängungsbeanspruchungen und Eigenspannungenwerden durch Kriechen im Laufe der Zeit teilweise abgebaut(Relaxation)

• Bei statisch bestimmten Systemen und bei statisch unbestimmten Systemen mit gleichmässigen Kriecheigenschaftenhat das Kriechen keinen Einfluss auf die Schnittgrössen

• Bei Systemwechseln und in Systemen mit ungleichmässigen Kriecheigenschaften treten infolge Kriechen bedeutende

Schnittkraftumlagerungen auf. Die Berechnung des Kriechverhaltens wird durch diese gegenseitige Abhängigkeit (Kriechen hängt von der Höhe der Beanspruchung ab und umgekehrt) erschwert.

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

• Verfahren mit ideellem E-Modul

• Methode der Einheitskriechkurve (Methode Dischinger)

• Methode Rüsch (verbesserte Methode Dischinger)

• Kriechstufenverfahren

• Verfahren von Trost (ausreichend genau und für Handrechnungen geeignet)

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Superpositionsprinzip von Boltzmann

• Die Kriechdehnung infolge eines beliebigen Spannungsverlaufs σ(t) kann allgemein wie folgt ausgedrückt werden:

• Für diskrete Spannungsstufen ∆σ

_i

, die zur Zeit t

_i

aufgebracht werden resultiert:

( ) ( )

0 0

1

^t

,

cc

c

t t d

E

τ=

τ=

ε = ∂σ ϕ τ τ

∫ ∂τ

( ) ( )

0 0

1 ,

n

cc i i

c i

t t t

E

₌

ε = ∑ ∆σ ⋅ϕ

σ

_c

𝑡𝑡

( ) ^{t t ,}

_i

ϕ

∆σ

₀

∆σ

₁

( )

0 0

, ϕ t t

( )

1

→ ∆σ

1

, ϕ t t

→ ∆σ 𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

𝑡𝑡

_𝑗𝑗

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

Langzeiteinflüsse

Kriechen – Superpositionsprinzip von Boltzmann

Falsches Vorgehen bei der Ermittlung der Kriechverformungen (Kriechen ab jeweiliger Laststufe für gesamte Last mit neuem Kriechbeiwert):

• (*) Effektiver = richtiger Anteil der Kriechfunktion für σ₀ im Zeitintervall t₁…t_j

• (**) Falsch ermittelter Anteil der Kriechfunktion für σ₀ im Zeitintervall t₁…t_j

σ

_c

𝑡𝑡

( ) t t ^,

i

ϕ

σ

₀

σ

₁

( )

0 0

, ϕ t t

( )

1

→ σ

1

, ϕ t t

→ σ 𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

( ) ^{t t}

^j

^,

^{1 0}

^(richtig)

∆ϕ → σ

𝑡𝑡

_𝑗𝑗

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

( ) ^{t t}

^j

^,

^{1 0}

^(falsch)

∆ϕ → σ

(*)

(**)

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Verfahren mit ideellem E-Modul

• Einfluss des Betonalters bei Belastung vernachlässigt

→ gleiche Kriechkurve für alle Belastungen, verschoben entlang der Abszisse (horizontal)

• unrealistisch (überschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

𝑡𝑡

( ) ^{t t ,}

_i

ϕ ϕ = ∞ ( t , t

0

) = ϕ = ∞ ( t , t

1

)

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

−𝑡𝑡

₀

σ

_c

∆σ

₀

∆σ

₁

( )

0 0

, ϕ t t

( )

1

→ ∆σ

1

, ϕ t t

→ ∆σ

𝑡𝑡

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Verfahren mit ideellem E-Modul

• Einfluss des Betonalters bei Belastung vernachlässigt

→ gleiche Kriechkurve für alle Belastungen, verschoben entlang der Abszisse (horizontal)

• unrealistisch (überschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

• unrealistisch: entspricht Annahme eines viskoelastischen, d.h. voll reversiblen Verhaltens

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₀

+𝑡𝑡

₁

σ

_c

∆σ

₀

𝑡𝑡

wirkliches Verhalten

ε

_c

Ideeller E-Modul

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Methode der Einheitskriechkurve (Methode von Dischinger)

• gleiche Kriechkurve für alle Belastungen, entlang Ordinate (vertikal) verschoben

• Vorteil: Darstellung in Rekursionsform möglich

• unrealistisch (unterschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

𝑡𝑡

( ) ^{t t ,}

_i

ϕ

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

₀

σ

_c

∆σ

₀

∆σ

₁

( )

0 0

, ϕ t t

( )

1

→ ∆σ

1

, ϕ t t

→ ∆σ

𝑡𝑡

( t t

_i

,

0

)

ϕ

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Methode der Einheitskriechkurve (Methode von Dischinger)

• gleiche Kriechkurve für alle Belastungen, entlang Ordinate (vertikal) verschoben

• Vorteil: Darstellung in Rekursionsform möglich

• unrealistisch (unterschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

• unrealistisch: vernachlässigt viskoelastisches Verhalten (kein reversibler Anteil)

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡 𝑡𝑡

₀

σ

_c

∆σ

₀

𝑡𝑡 ε

_c

Methode Dischinger wirkliches Verhalten

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Methode von Rüsch (verbesserte Methode von Dischinger)

• grundsätzlich gleiche Annahmen wie Methode von Dischinger

• Superposition des in der Methode Dischinger vernachlässigten reversiblen Anteils der Kriechverformungen in voller Grösse gleichzeitig mit der elastischen Dehnung

• einigermassen realistisch, da sich der reversible Anteil der Kriechverformungen relativ schnell einstellt

𝑡𝑡 σ

_c

∆σ

₀

𝑡𝑡 ε

_c

Methode Dischinger

Methode Rüsch wirkliches Verhalten

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

₀

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Kriechstufenverfahren

• Die Spannungsgeschichte ist nur in einfachen Fällen zum Vornherein bekannt, was in den bisherigen Betrachtungen angenommen wurde. Allgemein hängt sie vom Kriechverhalten ab. Die Lösung erfordert daher in der Regel ein iteratives oder stufenweises Vorgehen.

• Basierend auf der Methode von Dischinger (funktioniert auch mit der Methode Rüsch) kann eine Differentialgleichung für das Kriechverhalten formuliert werden. Für die numerische Lösung kann das Kriechstufenverfahren eingesetzt werden, welches auf einer Unterteilung der Belastungsgeschichte in Zeitintervalle oder (meist zweckmässiger) in «Kriechstufen»

(Unterteilung der Kriechzahl

φ(𝑡𝑡 = ∞,𝑡𝑡₀)

in gleiche Kriechintervalle

∆φ

) basiert.

• Linearisierung der Kriech- und Spannungsfunktion pro Intervall ergibt die Zunahme der Kriechverformung im Zeitintervall

∆𝑡𝑡_𝑖𝑖 = 𝑡𝑡_𝑖𝑖 − 𝑡𝑡_𝑖𝑖−1

:

Änderung der Kriechfunktion während

∆𝑡𝑡_𝑖𝑖

Änderung der Betonspannung während

∆𝑡𝑡_𝑖𝑖

• Zunahme der Gesamtdehnung im Zeitintervall

∆𝑡𝑡_𝑖𝑖 = 𝑡𝑡_𝑖𝑖 − 𝑡𝑡_𝑖𝑖−1

:

1

,i 1

0 0

1

; :

2 :

i i i

cc i i i i

c c

i i i

E E

− −

−

σ ∆σ ∆ϕ

∆ε = ∆ϕ + ∆ϕ = ϕ − ϕ

∆σ = σ − σ

1

,i ,i ,i ,i

0 0 0 0

1 2

i i i i

c cc cs i i cs

c c c c

E E E E

∆σ ∆σ σ

−

∆σ

∆ε = + ∆ε + ∆ε = + ∆ϕ + ∆ϕ + ∆ε

5 Langzeiteinflüsse

5.3 Vereinfachtes Verfahren zur

Berücksichtigung von Langzeiteinflüssen

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Verfahren nach Trost

In der Praxis wird oft ein relativ grosser Teil der Gesamtbeanspruchung zum Zeitpunkt

𝑡𝑡₀

aufgebracht, gefolgt von kleineren Spannungsinkrementen

∆𝜎𝜎_𝑖𝑖

(Zusatzbelastungen, aber auch Schnittkraftumlagerungen). Das Verfahren von Trost macht sich dies zunutze, um ein iteratives oder stufenweises Vorgehen zu vermeiden.

Dabei wird die Kriechfunktion für die im Zeitraum

𝑡𝑡_𝑖𝑖 > 𝑡𝑡₀

(resp.

𝑡𝑡₀ < 𝑡𝑡_𝑖𝑖 ≤ ∞

) auftretenden Spannungsinkremente

𝜎𝜎 𝑡𝑡 − ∆𝜎𝜎₀ = ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 ∆𝜎𝜎_𝑖𝑖

mit einem Alterungsbeiwert

𝜇𝜇 𝑡𝑡

(«ageing factor», auch als Relaxationsfaktor bezeichnet) reduziert.

Die Kriechverformung infolge der gesamten Spannungsänderung beträgt nach dem Superpositionprinzip von Boltzmann:

( )

⁰

( )

0

( )

⁰

( )

0

( ) ( )

0

0

0 0 1 0 0

( )

, , , ,

n

i

i

c c

c

c i c

c

t t t

t t t t t t

E E t

t E

=

E

σ ⋅ σ µ

ε = ϕ + ∑ ∆σ ⋅ ϕ = ⋅ ϕ + σ − σ ⋅ ⋅ ϕ

Alterungsbeiwert (nach Trost vereinfacht identisch für alle Laststufen 𝑡𝑡_𝑖𝑖 >𝑡𝑡₀);

allgemeine Herleitung siehe Marti, Baustatik, Kap. 7.4.2

σ

_c

∆σ

₀

∆σ

₁

∆σ

_i

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

_𝑖𝑖

𝑡𝑡

( ) t

0

σ − ∆σ

( ) ^t

σ

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Verfahren nach Trost

Aus der Gleichung auf der vorhergehenden Folie resultiert der Alterungsbeiwert:

Die gesamten Verformungen zum Zeitpunkt t betragen somit:

( ) ( ( )

0

) ^{( )}

⁰

( ( ) ) ( )

0 0

0

1 , 1 ( ) ,

0

c

cs c

c

t t t t

E t

t E t t

ε = σ + ϕ + σ − σ

+

⋅ ε

µ ϕ +

Schwinden Elastische Verformungen

( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ) ^{( )}

0 1

0

1 0 0 0 0

,

, ( ) , ( )

,

n

i i

n

i i

i

i c c

t t t

t t t t t t

E E t t t

=

=

∆σ ⋅ϕ σ − σ

∆σ ⋅ ϕ = ⋅µ ⋅ ϕ → µ =

σ − σ ⋅ ϕ

∑ ∑

σ

_c

∆σ

₀

∆σ

₁

∆σ

_i

𝑡𝑡

₀

𝑡𝑡

₁

𝑡𝑡

_𝑖𝑖

𝑡𝑡

( ) t

0

σ − ∆σ

( ) ^t

σ

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Verfahren nach Trost

• Spannungsverlauf im Allgemeinen nicht bekannt → µ(t) kann auf diese Weise nicht direkt berechnet werden

• Ermittelt man die Relaxationsfunktion aus der Kriechfunktion (Lösung einer linearen inhomogenen Volterra-

Integralgleichung), kann der zugehörige Alterungsbeiwert numerisch ermittelt werden [siehe Seelhofer 2009 und Marti, Baustatik]:

• Man erkennt, dass µ(t) nur wenig variiert

→ zeitunabhängiger Alterungsbeiwert µ für Praxis ausreichend genau

→ für übliche Verhältnisse (ϕ

_∞

= 1.5…4)

gilt näherungsweise µ =

0.8

Langzeiteinflüsse

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

Verfahren nach Trost

• Die gesamten Verformungen zum Zeitpunkt

t betragen mit diese Näherung:

• Alternative Formulierung unter Verwendung fiktiver E-Moduli für Langzeitbeanspruchungen:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0 0 0 0 0,

1 1 1

( ), , , , 0.8

mit

c cs

c

t t

E

t t t t t t t

ε =   σ + ϕ + ∆σ + ⋅ϕ + ε  

σ = ∆σ = σ = ∆σ = σ − σ ϕ = ϕ > µ ≈ µ

Beanspruchungen, die von Beginn an wirken

Beanspruchungen, die im Laufe der Zeit

hinzukommen

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

: ,

1 , 1 ,

1 , 1 ,

c c

c cs cs c

c c c c

t t E E

t t t E E

E E E E t t t t

t t t t

∆σ ∆σ

σ σ ′ ′′

ε = + + ε = + + ε = =

′ ′′ + ϕ + ⋅ϕ

+ ϕ + ⋅ϕ

µ µ

Beanspruchungen, die von Beginn an wirken

Beanspruchungen, die im Laufe der Zeit

hinzukommen

Langzeiteinflüsse

Berechnung der Relaxationsfunktion

• Relaxationsfunktion = Spannungsverlauf für konstante (aufgezwungene) Anfangsdehnung,

Verfahren mit ideellem E-Modul

Verfahren nach Trost

( )

⁰

( ) ( )

⁰

0 0 0

0

0 0 0

1 ( ) 1

( ) 1

( ) ( ) 1 1

1 1

c

c c c

t t

E E E

t

t t

σ ∆σ σ

ε = + ϕ + + ϕ =

→ ∆σ = −σ ϕ

+ ϕ

 ϕ 

→ σ = σ + ∆σ = σ   − + ϕ   = σ + ϕ

( )

⁰

( ) ( )

⁰

0 0 0

0

0 0

1 ( ) 1

( ) 1

( ) ( ) 1

1

c

c c c

t t

E E E

t

t t

σ ∆σ σ

ε = + ϕ + + ⋅ϕ =

→ ∆σ = −σ ϕ

+ ⋅ϕ

 ϕ 

→ σ = σ + ∆σ = σ   − + ⋅ϕ  µ

µ

µ 

σ

_c

t

0 0

0

d.h. Anfangsverformung

_c

bleibt konstant E

c

ε = σ

( ) ^,

₀

( ϕ = ϕ t t )

( ) ^,

₀

( ϕ = ϕ t t )

id. E-Modul Trost Dischinger

Endwerte t = ∞ (µ = 0.8):

0.33 0.23 0.14

σ

0

σ

0

σ

0

σ

0

Der Ansatz von Trost ist sehr einfach und stimmt mit Versuchen gut überein (besser als kompliziertere Verfahren)→ nur dieses Verfahren weiter verwendet!

Langzeiteinflüsse

Umlagerung von Lastschnittkräften bei statisch unbestimmten Systemen Systeme mit durchwegs gleichen (uniformen) Kriecheigenschaften

Beispiel 1: Zweifeldträger, Lösung mit Kraftmethode

GS: Zwischenauflager entfernt

ÜG: Reaktion Zwischenauflager

Verschiebungen im Grundsystem (elast., t = t₀):

Verträglichkeitsbedingung zum Zeitpunkt t₀:

Zeitabhängige Verträglichkeitsbedingung mit Ansatz von Trost:

→Verallgemeinerung auf allg. Systeme möglich → bei durchwegs gleichen Kriecheigenschaften ändern überzählige Grössen stat.

unbestimmter Systeme nicht!

( )

⁴

( )

³

10 11

2 2

5 1

384 48

l l

EI EI

δ = δ =

10 11 11

11

10 11

(1 ) (1 ) ( ) (1 ) 0

( ) 1 0 ( ) 0

k Be

1

k Be B

B B

g R R t

R t R

g R t

δ = ⋅ δ ⋅ + ϕ + ⋅ δ ⋅ + ϕ + ∆ ⋅ δ ⋅ + µϕ = + ∆ ⋅ + µϕ

⋅ δ + ⋅ δ δ = → ∆ =

+ ϕ

=0 (Verträglichkeit zum Zeitpunktt₀)

10(q=1) δ

11(R_B =1) δ

l l

ständige Lasten (ab t₀ wirksam): g_k

10 11

0

k Be

g R

δ = ⋅ δ + ⋅ δ =

( ) ( )

B Be B

R t = R + ∆R t

Langzeiteinflüsse

Umlagerung von Lastschnittkräften bei statisch unbestimmten Systemen Systeme mit durchwegs gleichen (uniformen) Kriecheigenschaften

Verallgemeinerung auf allgemeine Systeme

Bei durchwegs gleichen Kriecheigenschaften ändern überzählige Grössen stat. unbestimmter Systeme nicht!

1

1 11 1 1

10

0 0

1 0

11 1 1

0

0 1

: (**)

0

0

ÜG bei :

Änderu

Verträglichkeit

ng der üb bei

e i

ie i ii

i e

i i ii ie

i

X t t

t

X

X

X t

−

  

 

δ δ δ

     

     

= δ   + δ δ   ⋅  =

δ δ δ

     

     

→ = = ⋅

     

     

  δ δ  δ 

  

 

 







  



  



 









( ) ( ) ( )

¹

0

10 11 1 1

0 1

( ) ( )

0

1 1 1

0 erzähligen Grössen mit Ansatz von Trost:

Verträglichkeit für :

u

i ie i

i e

i

i i ii ie

X t X X t

X t t

X

X X

δ δ δ

     

 

= + ∆

∆

    

    

→ > + ϕ + ⋅ + ϕ + + µϕ   = 



   

     

δ  δ δ   

     ∆    

→

 





     



( )

( )

11 1 1 11 1

1

1

1

1 0 1 0

0

0

0

nter Beachtung von (**): mit

i i

i ii i i ii i

X X

X X

δ δ ∆ δ δ

       

  ⋅  + µϕ =    ≠

    + ϕ    

δ δ  ∆    δ δ 

     

∆   

   

→    =

∆   

  

  



 

    





  



Alle Koeffizienten mit gleichem Faktor

multipliziert!

Langzeiteinflüsse

Umlagerung von Lastschnittkräften bei statisch unbestimmten Systemen Systeme mit durchwegs gleichen (uniformen) Kriecheigenschaften

Beispiel 2:

Vorgespannter Zweifeldträger, Lösung mit Kraftmethode GS: Zwischenauflager entfernt

ÜG: Reaktion Zwischenauflager

Verschiebungen im Grundsystem (elast., t = t₀):

Verträglichkeitsbedingung zum Zeitpunkt t₀:

Zeitabhängige Verträglichkeitsbedingung mit Ansatz von Trost:

→ Reaktionen ändern infolge der zeitabhängigen Vorspann- verluste (ÜG proportional zu Vorspannkraft resp. Umlenkkraft)

10(q=1) δ

11(R_B =1) δ

0 10 11

( g

_k

+ u t ( )) ⋅ δ + R

_Be

⋅ δ = 0 δ =

ständige Lasten (ab t₀ wirksam): g_k

Umlenkkräfte u(t) u(t) = u(t₀)+∆u(t)

( )

⁴

( )

³

10 11

2 2

5 1

384 48

l l

EI EI

δ = δ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 10

0 10 1

11 10 11

10 11

10 11 1

( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 0

1 1

( ) ( ) 0

1 1

( (

)

) (

)

k B

B

B e

k Be B

B

g u t R u t R t

u t R t

R t u t

g + u t ⋅ R

δ = + ⋅ δ + ϕ + ⋅ δ + ϕ + ∆ ⋅ δ + µϕ + ∆ ⋅ δ + µϕ =

+ µϕ + µϕ

+ ∆ ⋅ δ + ∆ ⋅ δ =

+ ϕ + ϕ

→ δ δ +

= −∆

⋅

δ δ

=0 (Verträglichkeit

∆

zum Zeitpunktt₀)

l l

( ) ( )

B Be B

R t = R + ∆R t

Langzeiteinflüsse

Umlagerung von Lastschnittkräften bei statisch unbestimmten Systemen Systeme mit ungleichmässigen Kriecheigenschaften

Beispiel 3: Zweigelenkrahmen mit Betonriegel und Stahlstützen, Lösung mit Kraftmethode

Verschiebungen im Grundsystem (elastisch, t = t₀):

Verträglichkeitsbedingung zum Zeitpunkt t₀:

Zeitabhängige Verträglichkeitsbedingung mit Ansatz von Trost (Stütze kriecht nicht), unter Beachtung der Verträglichkeit bei t₀:

10 10 11 11

2 2

2 4 3 3

2 1

0 2

8 4 3 48 4 16 4 3 16

R S R S

R R S

gl l l gl l l l l h l

EI EI EI EI EI EI

   

δ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − δ = δ = −     ⋅ = δ = ⋅     ⋅ ⋅ =

( )

^{10 10}

11 11

10 10 11 11

1( )0 1 0 1

6

S

S R

R

k e

S

R R

e S

t X X

δ + δ

g l

δ = → = − =

δ + δ

δ + δ + δ + δ =

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )}

( ) ( )

10 10 11 11 11 11

10 11 11

10 11

1

10 11 1

0 11

10 11 11 11

11 1

1

1

1 1 1

1 1

1

1 1 1

1

( ) 1 1 1 0

1 0

1 0 ( )

1

S R S R

e

S R S R S R

e

R R S R

e

R R

R R S R e

e S R

t X X

X X

X X

X X t X

   

δ = δ + δ + ϕ +  δ + δ + ϕ + ∆   δ + δ + µϕ = 

 

+ δ ⋅ϕ + + ⋅ δ ⋅ϕ + ∆  δ + δ + µϕ =  δ + ⋅ δ

 

δ ϕ + ⋅ δ ϕ + ∆  δ + δ + µϕ = → ∆  = −ϕ δ

δ + δ δ +

δ

δ

+ + µϕ

→ ∆

₁( ) ₁ , ₁( ) 1

6 2 2 6 2

k k

e

g l g l

X t

= + µϕ ϕ =

X

+ µϕ ϕ

X t

=    + + µϕ ϕ   

S / 6 EI = EI

(t 0)

R I

EI = E =t 4

h = l

l

gk

GS+ÜG:

System und Belastung:

0: M

1(X1 1) :

M =

2 8 gl

4

− l

1( ) 1_e 1( )

X t = X + ∆X t

Formel gilt nur für das Beispiel (systemabhängig)

→bei ungleichmässigen Kriecheigenschaften treten infolge Kriechen Schnittkraftumlagerungen auf

Umlagerung von Lastschnittkräften bei statisch unbestimmten Systemen

Systeme mit ungleichmässigen Kriecheigenschaften – Verallgemeinerung auf allgemeine Systeme

Langzeiteinflüsse

10 11 1 1

0

0 1

1

1 11 1 10

0

1 0

: 0 (**)

Verträglichkeit bei

ÜG bei :

Änderung der überzähligen Grö

i

i i ii i

e i

ie i ii i

X t t

X X

t t

X

−

δ δ δ

     

     

=   +  ⋅ =

δ  δ δ   

     

δ δ δ

     

     

→ =   =  ⋅ 

  δ δ  δ 

     



    





    



( )

^{10 11 1}

( )

¹

( )

¹

0

0 1

1

( ) ( )

1 1 1 0

ssen mit Ansatz von Trost:

Verträglichkeit für :

unter Beachtung von (**):

i ie i

i e

i i ii ie i

X t X X t

X X

t t

X X

= + ∆

δ δ δ  ∆ 

       

 

       

→ > + ϕ   + ⋅ + ϕ  + + µϕ  =

δ  δ δ     ∆ 

        

δ

→



     



( )

( )

1 1 1 1

1

1

1 1

1

0

0 1 0

1 0

0

mit

i i

i ii i i ii i

X

X X

δ ∆ δ δ X

       

  ⋅  + µϕ =    ≠

    + ϕ    

δ δ  ∆     

∆   

   

→  =

δ δ

       

∆   

   

 

        

 



kein konstanter Faktor für Kriecheinfluss

→überzählige Grössen müssen ändern!

→ bei ungleichmässigen Kriecheigenschaften treten infolge Kriechen Schnittkraftumlagerungen auf

Einfluss des Kriechens bei Systemwechseln

Beispiel 4 – Verbindung von zwei einfachen Balken mit gleichem Kriechverhalten

System, kriechrelevante Belastung:

Bauablauf:

1. Versetzen zwei Einfeldträger 2. t=t₀ : Monolithische Verbindung B

GS+ÜG:

Biegemoment und Verdrehung in B (pro Seite) bei t₀: Vergleich: Biegemoment in B am Einguss-System:

Verträglichkeitsbedingung (Verdrehung über B bleibt ab t= t₀ konstant):

Beim Zwischenauflager baut sich durch Kriechen ein Moment von ca. 80% des Einguss-Systems auf

Langzeiteinflüsse

3

0 , 1

24 3

k

B B

g l l

EI EI

θ = θ =

3

0 0 0

( ) 0, ( )

24

k

B Be B B

M t M t g l

= = θ = θ =

EI

A B C

3

0 0

( ) 24

k

B B

t g l

θ = θ = EI g_k(ständige Lasten und ggf.

Umlenkkräfte Vorspannung)

(t ),0 ( ) 0

B B B t

θ = θ ∆θ =

⁰

( ) ( ) ( )

B Be B B

M t M M t M t

=

= + ∆ = ∆

θB

( )

0 1

0

, 1

( ) ( ) ( ) 1 0

( ) ( )

1 1

B B B B B

B

B B EG B

B

t t M t

M t M M t

∆θ = θ = θ ⋅ϕ + ∆ ⋅ θ + µϕ =

θ ϕ ϕ

→ ∆ = − = ⋅ =

θ + µϕ + µϕ

2 0

B,

1 8

B k

EG

B

M

= − θ = −

g l

θ

Einfluss des Kriechens bei Systemwechseln

Verhältnis des Moments über B zum Moment am Einguss-System für verschiedene Zeitpunkte und Kriechzahlen:

Allgemein gilt: Bei Systemwechseln wird durch Kriechen weitgehend der Spannungszustand der Einguss-Herstellung σ_EG aufgebaut. Die Annäherung an den Einguss-Zustand ist umso grösser, je kriechfähiger die Systemteile sind.

Näherungsweise kann angenommen werden:

Langzeiteinflüsse

(

^{0.6 0.8}

)( )

Schnittkraft vor Systemwechsel (Anfangszustand) Schnittkraft am Einguss-System

t A EG A

A EG

S S S S

S S

=∞

≈ +



−

ϕ ≈1 ϕ ≈2

A B C

3

0 0

( ) 24

k

B B

t g l

θ = θ = EI g_k(ständige Lasten und ggf.

Umlenkkräfte Vorspannung)

(t ),0 ( ) 0

B B B t

θ = θ ∆θ =

⁰

( ) ( ) ( )

B Be B B

M t M M t M t

=

= + ∆ = ∆

θB

Langzeiteinflüsse

Einfluss des Kriechens auf Zwängungsschnittkräfte

Beispiel 5a – Dreifeldträger, zeitunabhängige («schnelle») Auflagerverschiebungen

s₁

, s

₂ Verträglichkeitsbedingung zum Zeitpunkt t = t₀ :

Zeitabhängige Verträglichkeitsbedingung (Ansatz von Trost):

…dito, umgeformt:

s1

2_s( ,s s1 2) θ

1( ) 1_A 1( )

X t = X + ∆X t X t²( )= X²_A + ∆X t²( ) l1

s2 1_s( ,s s1 2)

θ

l2 l₃

1 1 11 1 11 2 12 2 12

2 1 21 1 21 2 22 2 22

( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 0

( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 0

A A

A A

t X X t X X t

t X X t X X t

∆θ = θ ⋅ ϕ + ∆ θ ⋅ + µϕ + θ ⋅ ϕ + ∆ θ ⋅ + µϕ =

∆θ = θ ⋅ ϕ + ∆ θ ⋅ + µϕ + θ ⋅ ϕ + ∆ θ ⋅ + µϕ =

1

1 11 2 12 1 1 11 12 1

2 21 2 22 2 2 21 22 2

A A s A s

A A s A s

X X X

X X X

θ + θ = θ    θ θ 

−

 θ 

→    =   

θ + θ = θ    θ θ   θ 

[ ]

[ ]

1

1 11 2 12 1 11 2 12 1

1

1 11 12

2 21 22 2

1 21 2 22 1 21 2 22

2

1 1

2 2

( ) ( )

1 ( )

( ) 1

( ) ( )

1 ( )

( ) 1 re

s

A A

s s

A A

s A

A

X t X t X X

X t

X t X t X X X t

X t X

X t X

−

θ ϕ

∆ θ + ∆ θ = − θ + θ

ϕ θ

∆ θ θ  

+ µϕ ϕ →    ∆    = − + µϕ    θ θ      θ  

∆ θ + ∆ θ = − θ + θ

θ + µϕ

∆ ϕ

   

→   ∆   = − + µϕ    

  

  

( ) 1

sp. X t

_i

= X

_iA

   − 1 + µϕ ϕ   

(analog Relaxationsfunktion)

→ zeitunabhängige Zwängungs- schnittkräfte («schneller Zwang») werden durch Kriechen (resp.

Relaxation) auf 1/3…1/4 des anfänglichen Wertes abgebaut