5.1 Grundlagen 5 Langzeiteinflüsse

(1)

In diesem Kapitel wird das Langzeitverhalten von Betontragwerken untersucht.

Zuerst werden die Grundlagen zusammengestellt (Wiederholung und Ergänzung aus Stahlbeton I).

Anschliessend werden verschiedene Verfahren zur Untersuchung des Kriecheinflusses diskutiert.

Abschliessend wird das Verfahren von Trost eingeführt und an einigen Beispielen illustriert.

5.1 Grundlagen

(Wiederholung / Ergänzungen zu Stahlbeton I)

30.11.2016 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

(2)

Wiederholung aus Stahlbeton I:

Beton ist viskos und zeigt somit ein zeitabhängiges Verhalten. Dieses wird primär durch die Eigenschaften der Zementmatrix beeinflusst. Man unterscheidet üblicherweise zwischen Schwinden (Volumenkontraktion des Betons ohne Lasteinwirkung), Kriechen (Zunahme der Verformungen unter konstanter Spannung) und Relaxation (Abnahme der Spannungen bei konstanter Dehnung).

Kriechen und Relaxation sind zwei Aspekte des gleichen Phänomens, das Schwinden wird zumindest teilweise durch die gleichen Prozesse verursacht. Schwinden, Kriechen und Relaxation treten zudem in der Regel gleichzeitig auf. Einfachheitshalber werden sie üblicherweise aber getrennt betrachtet, wobei empirische, an Versuchsdaten kalibrierte Modelle zur Anwendung gelangen.

Aufgrund des Kriechens (und des Schwindens) ist eine Vorspannung nur mit hochfestem Stahl sinnvoll:

Die Stahldehnung (Vordehnung des Spannstahls) muss gross genug sein, so dass durch Kriechen und Schwinden nur ein kleiner Anteil der Vorspannung verloren geht.

Schwinden

Volumenkontraktion ohne Lasteinwirkung (Darstellung für freie = unbehinderte Verformungen okeine Zwängungen)

Kriechen

Zunahme der Verformungen unter konstanter Spannung

Relaxation

Abfall der Spannungen unter konstanter Dehnung

V_c

keine Lasteinwirkung t

H_c

Volumenkontraktion durch Schwinden

t V_c

t Spannung konstant

H_c

t

Anfangsverformung Kriechverformung

H_c

t Dehnung konstant

V_c Spannungsabfall

durch Relaxation Anfangsspannung

t

(3)

Erläuterungen siehe Folie.

Schwinden

Früh-/Kapillarschwinden (bis zu 4‰overmeiden!)

• Kapillarspannungen während der Verdunstung von Wasser aus dem Frischbeton führen zu dichterer Lagerung der Zementmatrix in den ersten Stunden bis zum Erstarren.

• Vermeidung durch Nachbehandlung (Verhinderung signifikanter Wasserverluste an der frischen Betonoberfläche, wie sie durch hohe Beton- oder Lufttemperaturen, geringe Luftfeuchtigkeit und Wind verursacht werden).

Autogenes und chemisches Schwinden (Normalbeton bis zu 0.3‰, UHFB bis zu 1.2‰)

• Volumenkontraktion im Laufe der Hydratation, einerseits durch chemische Einbindung der Wassermoleküle in die Hydratationsprodukte (erste Tage), andererseits durch Kapillarspannungen infolge der geringeren inneren relativen Luftfeuchtigkeit, sobald das Wasser in den Kapillarporen verbraucht ist, so dass die Hydratation Wasser in den Gelporen verbraucht (erste Wochen).

• Primär abhängig vom W/Z-Wert: Je kleiner der W/Z-Wert, desto grösser das autogene Schwinden (signifikanter Einfluss nur für W/Z < 0.45 ohochfeste Betone, UHFB).

Trockenschwinden(bis ca. 0.3‰aussen bei RH=70%, bis ca. 0.5‰innen bei RH=50%)

• Volumenkontraktion im Festbeton durch Abgabe von Wasser an die Umgebung, beginnt mit dem Ausschalen resp. dem Ende der Nachbehandlung und dauert Jahre.

• Grösse primär abhängig vom Zementleimvolumen (Zement, Zusatzstoffe, eingeschlossene Luft und Wasser). Schnellerer Verlauf bei hohem W/Z-Wert, geringer Luftfeuchtigkeit und dünnen Bauteilen.

(4)

Hauptursache für das Schwinden normalfester Betone ist das Trockenschwinden. Dieses ist bei trockener Umgebung grösser als bei feuchter Umgebung, und es läuft bei dünnen Bauteilen (grössere Oberfläche im Vergleich zum Volumen) schneller ab als bei dicken Bauteilen. Es wird manchmal in weitere Anteile unterteilt, was jedoch in der Regel nicht erforderlich ist und auch in den heutigen Normen nicht gemacht wird.

Im Gegensatz zum Kriechen hat der Zeitpunkt des «Belastungsbeginns» (Austrocknungsbeginn) keinen Einfluss auf den Endwert des Schwindens.

CH innen CH aussenCH aussen

CH innen

NB: Endwert unabhängig von Austrockungsbeginn Trockenschwinden ߝ_௖ௗ

(nach SIA 262)

Trockenschwindmass ߝ_௖ௗஶ[‰] Zeitverlauf ߝ_௖ௗሺݐሻ Τߝ_௖ௗஶ

(5)

Bei hochfesten Betonen mit sehr tiefem W/Z-Wert ist zusätzlich zum Trockenschwinden das autogene Schwinden zu beachten. Dieses tritt auch auf, wenn der Prüfkörper luftdicht abgeschlossen gelagert wird.

Massgebend ist die Summe aus Trockenschwinden und autogenem Schwinden.

Sehr wichtig ist, dass das Früh- resp. Kapillarschwinden minimiert wird (wovon die in den Normen angegebenen Formeln ausgehen). Andernfalls können signifikant grössere Schwindverkürzungen auftreten (bis 4‰!), was grosse Risse verursachen kann, wodurch insbesondere die Dauerhaftigkeit stark beeinträchtigt wird. Ursache für das Früh- resp. Kapillarschwinden sind Kapillarspannungen während der Verdunstung von Wasser aus dem Frischbeton. Diese führen zu dichterer Lagerung der Zementmatrix in den ersten Stunden bis zum Erstarren. Dies muss durch Nachbehandlung (Verhinderung signifikanter Wasserverluste an der frischen Betonoberfläche, wie sie durch hohe Beton- oder Lufttemperaturen, geringe Luftfeuchtigkeit und Wind verursacht werden) vermieden werden.

Trockenschwindenߝ_௖ௗ

Trockenschwindmassߝ_௖ௗஶ[Ω]

Autogenes Schwinden ߝ_௖௔(nach SIA 262)

Zeitverlauf und Schwindmass ߝ_௖௔ ݐ [Ω]

ߝ_௖௦ ݐ ൌ ߝ_௖ௗ ݐ ൅ ߝ_௖௔ ݐ

+

CH innen CH aussen

(6)

Das Schwinden unterliegt grossen Streuungen (5%-Fraktilwerte des Schwindmasses liegen in Versuchen bei±50…60%).

Die tatsächlichen Schwindverformungen können somit auch mit den in den Normen enthaltenen, ziemlich komplizierten Formeln nur abgeschätzt werden.

Trockenschwindenߝ_௖ௗ

Trockenschwindmassߝ_௖ௗஶ[Ω]

Autogenes Schwinden ߝ_௖௔(nach SIA 262)

Zeitverlauf und Schwindmass ߝ_௖௔ ݐ [Ω]

ߝ_௖௦ ݐ ൌ ߝ_௖ௗ ݐ ൅ ߝ_௖௔ ݐ

+

CH innen CH aussen

(7)

Kriechen und Relaxation Ursache / Phänomene

• Beanspruchung führt zur Umlagerung resp. Verdunstung von Wasser im Zementstein; damit einhergehende Gleit-/und Verdichtungsvorgänge führen zur Volumenkontraktion.

• In den Normen wird angenommen, dass die Kriechverformungen nach einigen Jahrzehnten zum Stillstand kommen (Endkriechzahl M_∞). Dies ist heute umstritten; Schäden an Freivorbaubrücken könnten darauf hindeuten, dass die Kriechverformungen kontinuierlich zunehmen. Versuche sind jedoch nur wenige verfügbar.

Einflüsse auf die Grösse der Kriechverformungen

• Höhe der Belastung (Kriechverformungen näherungsweise proportional zur Belastung)

• Zementleimvolumen (hohes Zementleimvolumen = grössere Kriechverformungen)

• Betondruckfestigkeit (hohe Druckfestigkeit = kleinere Kriechverformungen)

• Alter des Betons (Belastung in jungem Alter = grössere Kriechverformungen) Einflüsse auf den Zeitverlauf

• Kriechverlauf ist schneller bei kleinen Bauteilabmessungen (dünne Bauteile)

• Kriechverlauf ist schneller bei niedriger relativer Luftfeuchtigkeit (trockene Umgebung) Relaxation

• Kriechen und Relaxation sind verwandte Phänomene

• Einflussgrössen für Kriechen gelten sinngemäss auch für das Relaxationsverhalten

(8)

Die Kriechverformungen des Betons werden über die Kriechzahl M (M = Verhältnis Kriechverformung / elastische Verformung) erfasst.

Ungerissener Beton kriecht (und relaxiert) auch unter Zugbeanspruchung. Allerdings liegen dazu deutlich weniger Versuchsdaten vor als für Druckbeanspruchung.

Kriechen

H_c

t H_c,t=0 M(t)·H_c,t=0 V_c

t Spannung konstant

• Zunahme der Verformung bei konstanter Spannung

• ߝ_௖ ݐ ൌ ߝ_௖ǡ௘௟൅ ߝ_௖௖ሺݐሻ

• ߝ_௖௖ൌ ߮ሺݐǡ ݐ_଴ሻ ȉ ߝ_௖ǡ௘௟resp.

ߝ_௖ ݐ ൌ ߝ_௖ǡ௘௟ ͳ ൅ ߮ሺݐǡ ݐ_଴ሻ

• ߮ሺݐǡ ݐ_଴ሻ: Kriechzahl

• Normalfall: ߮_௧ୀஶ؆ ͳǤͷ ǥ ʹǤͷ, d.h. Zunahme der Verformungen um Faktor 2.5…3.5

• Analoges Verhalten auf Zug (ungerissener Beton)

(9)

Kriechen und Relaxation bezeichnen, wie bereits erwähnt, das gleiche Phänomen. Die Relaxationsfunktion kann somit ebenfalls mit der Kriechzahl M erfasst resp. aus der Kriechfunktion ermittelt werden (erfordert die Lösung einer linearen inhomogenen Volterra-Integralgleichung, siehe Marti, Baustatik).

Die Näherung der Relaxationsfunktion über einen fiktiven E-Modul unterschätzt den Abbau der Spannungen infolge Relaxation. Eine bessere Näherung resultiert aus dem Verfahren von Trost (exakt, falls der BeiwertPwie oben beschrieben aus der Kriechfunktion ermittelt wird).

Relaxation(|Kriechen bei H= const.)

• Abnahme der Spannung bei konstanter Verformung

• Grobe Näherung (fikt. E-Modul):

ߪ_௖ ݐ ൌ ߪ_{௖ǡ௧ୀ଴}ȉ ͳ ͳ ൅ ߮

• Bessere Näherung (nach Trost):

ߪ_௖ ݐ ൌ ߪ_{௖ǡ௧ୀ଴} ͳ െ ߮ሺݐሻ ͳ ൅ ߤ߮

• Normalfall: ߮_௧ୀஶ؆ ͳǤͷ ǥ ʹǤͷ, ߤ ൌ ܿܽǤ ͲǤ͹ͷ, d.h. Abbau der initialen Spannung auf ca. 25%

• Abbau bei langsamer aufgezwungener Verformung weniger stark (auf ca. 40%)

V_c

t H_c

t Dehnung konstant

(10)

Kriechen und Relaxation unterliegen ähnlich grossen Streuungen wie das Schwinden (5%-Fraktilwerte des Kriechbeiwerts liegen in Versuchen bei±30…40%).

Die tatsächlichen Kriechverformungen (resp. Relaxation) können somit auch mit den in den Normen enthaltenen, ziemlich komplizierten Formeln nur abgeschätzt werden.

Nähere Angaben und rechnerische Verfahren zur Berücksichtigung des Kriechens resp. der Relaxation siehe Vorlesung Stahlbeton III.

Kriechen Relaxation (= Kriechen)

H_c

t V_c

t

V_c

t H_c

t Spannung konstant Dehnung konstant

ߝ_௖ǡ௘௟ൌߪ_௖ ܧ_௖

ߝ_௖௖ሺݐሻ ൌ ߮ሺݐǡ ݐ_଴ሻ ȉ ߝ_௖ǡ௘௟

(11)

Die Kriechverformungen setzen sich aus einem reversiblen und einem irreversiblen Anteil zusammen.

Kriechen –reversibler und plastischer Anteil

• Die Verformungen des Betons unter Lastbeanspruchung setzen sich zusammen aus den elastischen Verformungen ߝ_௖ǡ௘௟und den zeitabhängigen Kriechverformungen ߝ_௖௖

• Die Kriechverformungen ߝ_௖௖bestehen aus einem reversiblen Anteil ߝ_௖௖ǡ௥(stellt sich relativ schnell ein, Halbwertszeit ca. 30 Tage) und einem irreversiblen (plastischen) Anteilߝ_௖௖ǡ௣ǣ

Der irreversible Anteil ߝ_௖௖ǡ௣hängt vom Belastungszeitpunktresp. Betonalter ab (alter Beton ist weniger «kriechfähig») und stellt sich viel langsamerein als der reversible Anteil.

• In der Regel wird der Einfachheit halber nicht zwischen den Anteilen unterschieden.

• Beispiel: Belastung und vollständige Entlastung nach längerer Zeit (bleibende Dehnung):

, , , ,

c t c el cc r t cc p t c el cc t

H H H H H H

ߝ_௖ǡ௘௟

ߝ_௖௖ǡ௥൅ ߝ_௖௖ǡ௣ሺݐ_଴ሻ H_c

ݐ_଴ ݐ_ଵ t

ߝ_௖௖ǡ௥൅ ߝ_௖௖ǡ௣ሺݐ_ଵሻ ߝ_௖௖ǡ௣ ݐ_଴ െ ߝ_௖௖ǡ௣ሺݐ_ଵሻ

irreversibler Anteil

(12)

Auf dieser und den folgenden Folien wird die Ermittlung des Kriechverlaufs nach SIA 262 erläutert (stimmt mit fib Model Code 1990 und Eurocode 2 im Wesentlichen überein).

Kriechen –Grösse und Zeitverlauf (siehe auch SIA 262, 3.1.2.6)

• Zunahme der Verformung bei konstanter Spannung

•

mit

• Normalfall: ߮_௧ୀஶ؆ ͳǤͷ ǥ ʹǤͷ, d.h. Zunahme der Verformungen um den Faktor 2.5…3.5

• Analoges Verhalten auf Zug (ungerissener Beton) H_c

t V_c

t

ߝ_௖௖ൌ ߮ሺݐǡ ݐ_଴ሻ ȉ ߝ_௖ǡ௘௟

Spannungߪ_௖ൌkonstant

ߝ_௖ǡ௘௟ൌߪ_௖ ܧ_௖ ݐ_଴

ݐ_଴

, 0 ,

0 ,

,

(1 , )

c c el c el

c el

t t t

t t H H M H

M H

t t0

Kriechzahl Zeit

Alter des Betons bei Einwirkungsbeginn

tt0 Belastungsdauer

, 0

M t t

(13)

- Relative Luftfeuchtigkeit:

- Beanspruchungsniveau:

- Betondruckfestigkeit:

- Betonalter bei Belastung:

(korrigiert um Einfluss der Temperatur: t_0,effok_Tt₀) - Lastdauer (oZeitverlauf):

1.5 0.45

0.45 1)

(für , sonst

c fck

c e c fck c

§V ·

¨ ¸

© ¹

V V

E V ! E

... 25 / 30 30 / 37 35 / 45 ...

... 2.9 2.7 2.6 ...

fc

C C C

E

0 0

( )t 1.2 0.2 (t 28d) 0.5

E | E

((t ) t0) 1 E f |

1.25 1.5 ( 65 80%)

RH(CH) RH

M | |

ݐ: Zeitpunkt, zu welchem das Kriechmass Mbestimmt wird ݐ_଴: Betonalter zum Zeitpunkt

des Belastungsbeginns

0 0

0, _RH _c _fc (t ) (t ) ( 1.5 2. )5

t t _V t

M M E E E E |

(14)

CH innen CH aussen

: Beiwert für relative Luftfeuchtigkeit (RH: normalerweise Jahresmittel) MRH

CH aussen

CH innen CH innen CH aussenCH aussen

CH innen

0 0

, 0 _RH _c _fc (t ) (t ) ( 1.5 2. )5

t t _V t

M M E E E E |

(15)

( ) :t0 Betonalter bei Belastung

E M_RH: Lastdauer (oZeitverlauf)

Normalfall (t₀= 28d)

0 0

, 0 _RH _c _fc (t ) (t ) ( 1.5 2. )5

t t _V t

M M E E E E |

(16)

0 0

, 0 _RH _c _fc (t ) (t ) ( 1.5 2. )5

t t _V t

M M E E E E |

( ) :t0 Betonalter bei Belastung

E M_RH: Lastdauer (oZeitverlauf)

Normalfall (t₀= 28d)

(17)

5.2 Einfluss des Kriechens auf das Trag- und Verformungsverhalten

(18)

Einfluss des Kriechens auf Tragwerksverformungen

• Der Einfluss des Kriechens ist bei der Ermittlung der Verformungen infolge ständiger Lasten immer zu berücksichtigen. Der

Verformungszuwachs infolge Kriechens ist im gerissenen Zustand II wesentlich kleiner als im ungerissenen Zustand I (siehe Stahlbeton I)

• Verformungensind bei der Bemessung oft massgebend, beispielsweise bei:

- schlaff bewehrten Hallenbindern mit Schlankheit h/L< 1/12

- schlaff bewehrten Platten (Flachdecken, Vordächer, Decken im Fassadenbereich, nichttragende Wände) - vorgespannte Brückenträger, deren Beanspruchungen in Bau- und Endzustand sich stark voneinander

unterscheiden (Freivorbau, Durchlaufträger mit feldweiser Herstellung) Einfluss des Kriechens auf Schnittkräfte und Spannungen

• Zwängungsbeanspruchungen und Eigenspannungenwerden durch Kriechen im Laufe der Zeit teilweise abgebaut(Relaxation)

• Bei statisch bestimmten Systemen und bei statisch unbestimmten Systemen mit gleichmässigen Kriecheigenschaftenhat das Kriechen keinen Einfluss auf die Schnittgrössen

• Bei Systemwechseln und in Systemen mit ungleichmässigen Kriecheigenschaften treten infolge Kriechen bedeutende

Schnittkraftumlagerungen auf. Die Berechnung des Kriechverhaltens wird durch diese gegenseitige Abhängigkeit (Kriechen hängt von der Höhe der Beanspruchung ab und umgekehrt)erschwert.

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen

• Verfahren mit ideellem E-Modul

• Methode der Einheitskriechkurve (Methode Dischinger)

• Methode Rüsch (verbesserte Methode Dischinger)

• Kriechstufenverfahren

• Verfahren von Trost (ausreichend genau und für Handrechnungen geeignet)

(19)

Bei der Ermittlung der Kriechdehnung infolge eines beliebigen Spannungsverlaufs muss für jeden (infinitesimalen) Spannungszuwachs die dem Belastungszeitpunkt entsprechende Kriechkurve verwendet werden (für den jeweiligen infinitesimalen Spannungszuwachs ab dem Zeitpunkt seines Eintretens bis zum betrachteten Endzeitpunkt).

Diskretisiert man den Spannungsverlauf in Spannungsstufen, kann für jede Spannungsstufe die dem Belastungszeitpunkt entsprechende Kriechkurve mit der jeweiligen Spannungsänderung (im Zeitintervall ab der Spannungsänderung bis zum betrachteten Endzeitpunkt) angesetzt werden.

Kriechen –Superpositionsprinzip von Boltzmann

• Die Kriechdehnung infolge eines beliebigen Spannungsverlaufs V(t) kann allgemein wie folgt ausgedrückt werden:

• Für diskrete Spannungsstufen 'V_i, die zur Zeit t_iaufgebracht werden resultiert:

0 0

1 ^t ,

cc

c

t t d

E

W W

H wVM W W

³

wW

0 0

1 ,

n

cc i i

c i

t t t

H E

¦

'V M V_c

ݐ , _i

M t t

'V₀ 'V₁

0 0

, M t t o 'V

1 1

, M t t o 'V ݐ_଴ ݐ_ଵ ݐ

ݐ_௝ ݐ_଴ ݐ_ଵ

(20)

Verwendet man für jede Spannungsstufe die dem Belastungszeitpunkt entsprechende Kriechkurve für die gesamte zum jeweiligen Zeitpunkt wirkende Spannung (für das Zeitintervall bis zur nächsten Spannungs- änderung), erhält man einen falschen Verlauf der Kriechdehnungen.

Kriechen –Superpositionsprinzip von Boltzmann

Falsches Vorgehen bei der Ermittlung der Kriechverformungen (Kriechen ab jeweiliger Laststufe für gesamte Last mit neuem Kriechbeiwert):

• (*) Effektiver = richtiger Anteil der Kriechfunktion für V₀ im Zeitintervall t₁…tj

• (**) Falsch ermittelter Anteil der Kriechfunktion für V₀ im Zeitintervall t₁…tj

V_c

ݐ , _i

M t t

V₀ V₁

0 0

, M t t o V

1 1

, M t t o V ݐ_଴ ݐ_ଵ ݐ

1 0

, (richtig)

t tj

'M o V

ݐ_௝ ݐ_଴ ݐ_ଵ

1 0

, (falsch)

t tj

'M o V

(*)

(**)

(21)

Historisch gab es verschiedene Ansätze zur Ermittlung der Kriechverformungen für einen gegebenen Spannungsverlauf. Aufgrund begrenzter Rechenkapazität versuchte man, das Problem mit einfachen Ansätzen zu lösen. Diese Ansätze sind aus heutiger Sicht insofern interessant, als sie zeigen, welche Einflüsse damit berücksichtigt oder eben vernachlässigt werden.

Das einfachste Verfahren ist dasjenige des ideellen E-Moduls. Dabei wird für jede Spannungsänderung, unabhängig vom Belastungszeitpunkt, die gleiche Kriechkurve verwendet.

Mit diesem Verfahren wird die Kriechfähigkeit des alten Betons überschätzt.

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen Verfahren mit ideellem E-Modul

• Einfluss des Betonalters bei Belastung vernachlässigt

ogleiche Kriechkurve für alle Belastungen, verschoben entlang der Abszisse (horizontal)

• unrealistisch (überschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

ݐ , _i

M t t M ft ,t0 M ft ,t1

ݐ_ଵ ݐ_଴

ݐ_ଵെݐ_଴ V_c

'V₀ 'V₁

0 0

, M t t o 'V

1 1

, M t t o 'V

ݐ

(22)

Da beim Verfahren mit ideellem E-Modul die gleiche Kriechkurve, unabhängig des Betonalters, vorausgesetzt wird, lässt sich der irreversible Anteil der Kriechverformungen damit nicht erklären resp.

modellieren.

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen Verfahren mit ideellem E-Modul

• Einfluss des Betonalters bei Belastung vernachlässigt

ogleiche Kriechkurve für alle Belastungen, verschoben entlang der Abszisse (horizontal)

• unrealistisch (überschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

• unrealistisch: entspricht Annahme eines viskoelastischen, d.h. voll reversiblen Verhaltens

ݐ_ଵ ݐ

ݐ_଴ ݐ_଴൅ݐ_ଵ

V_c

'V₀

ݐ

wirkliches Verhalten

H_c

Ideeller E-Modul

(23)

Dischinger schlug vor, für alle Spannungsstufen eine Einheitskriechkurve (ausgehend vom Zeitpunkt des Aufbringens der ersten Belastung) zu verwenden, wobei für jede Spannungsstufe nur der Anteil des Kriechens berücksichtigt wurde, welcher nach ihrem Aufbringen eintrat. Dies entspricht der Verwendung von entlang der Ordinate verschobenen Kriechkurven. Der Vorteil bestand darin, dass sich damit der Kriechverlauf mittels Rekursionsformeln annähern liess.

Mit diesem Verfahren wird die Kriechfähigkeit des alten Betons unterschätzt.

Methode der Einheitskriechkurve (Methode von Dischinger)

• gleiche Kriechkurve für alle Belastungen, entlang Ordinate (vertikal) verschoben

• Vorteil: Darstellung in Rekursionsform möglich

• unrealistisch (unterschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

ݐ , _i

M t t

ݐ_ଵ ݐ_଴

V_c

'V₀ 'V₁

0 0

, M t t

1 o 'V

1

, M t t o 'V

ݐ

t t_i, 0

M

(24)

Da beim Verfahren nach Dischinger (Einheitskriechkurve) eine vollständige Entlastung entgegengesetzt gleich grosse Kriechverformungen verursacht wie die Kriechverformungen infolge der ursprünglichen Belastung (beide jeweils ab dem Zeitpunkt der Entlastung), lässt sich der reversible Anteil der Kriechverformungen damit nicht erklären resp. modellieren.

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen Methode der Einheitskriechkurve (Methode von Dischinger)

• gleiche Kriechkurve für alle Belastungen, entlang Ordinate (vertikal) verschoben

• Vorteil: Darstellung in Rekursionsform möglich

• unrealistisch (unterschätzt Kriechfähigkeit des alten Betons)

• unrealistisch: vernachlässigt viskoelastisches Verhalten (kein reversibler Anteil)

ݐ_ଵ ݐ ݐ_଴

V_c

'V₀

ݐ H_c

Methode Dischinger wirkliches Verhalten

(25)

Um die Nachteile des Verfahren nach Dischinger (Einheitskriechkurve) zu beseitigen, ohne dessen Vorteile zu verlieren (Rekursionsformeln), korrigierte Rüsch die Kriechkurven um einen reversiblen, gleichzeitig mit der elastischen Dehnung eintretenden Anteil. Damit kann das wirkliche Verhalten zu späten Zeitpunkten, insbesondere im Endzustand, einigermassen zutreffend modelliert werden.

Methode von Rüsch (verbesserte Methode von Dischinger)

• grundsätzlich gleiche Annahmen wie Methode von Dischinger

• Superposition des in der Methode Dischinger vernachlässigten reversiblen Anteils der Kriechverformungen in voller Grösse gleichzeitig mit der elastischen Dehnung

• einigermassen realistisch, da sich der reversible Anteil der Kriechverformungen relativ schnell einstellt

ݐ V_c

'V₀

ݐ H_c

Methode Dischinger

Methode Rüsch wirkliches Verhalten

ݐ_ଵ ݐ_଴

(26)

Ergänzende Bemerkungen:

- Numerisch kann das Kriechverhalten für allgemeine Kriechkurven untersucht werden. Dies ist in vielen Softwarepaketen, welche «Langzeiteffekte» berücksichtigen, implementiert.

- In FE-Programmen kann man beispielsweise in jedem Zeitschritt die Kriechdehnungen, welche sich unter den gegebenen Spannungen (zu Beginn des Zeitschritts) ergeben würden, als Belastung auf das System aufbringen und daraus die Spannungsänderungen und die tatsächlichen Kriechdehnungen am Ende des Zeitschritts bestimmen. Dabei ist die reduzierte Kriechfähigkeit des alten Betons zu berücksichtigen, beispielsweise nach dem Ansatz von Trost, welcher auf den folgenden Folien erläutert wird.

Kriechstufenverfahren

• Die Spannungsgeschichteist nur in einfachen Fällen zum Vornherein bekannt, was in den bisherigen Betrachtungen angenommen wurde. Allgemein hängt sie vom Kriechverhalten ab. Die Lösung erfordert daher in der Regel ein iteratives oder stufenweises Vorgehen.

• Basierend auf der Methode von Dischinger (funktioniert auch mit der Methode Rüsch) kann eine Differentialgleichung für das Kriechverhalten formuliert werden. Für die numerische Lösung kann das Kriechstufenverfahreneingesetzt werden, welches auf einer Unterteilung der Belastungsgeschichte in Zeitintervalle oder (meist zweckmässiger) in «Kriechstufen»

(Unterteilung der Kriechzahl ɔሺݐ ൌ λǡ ݐ_଴ሻin gleiche Kriechintervalleοɔ) basiert.

• Linearisierung der Kriech- und Spannungsfunktion pro Intervall ergibt die Zunahme der Kriechverformung im Zeitintervall οݐ_௜ൌ ݐ_௜െ ݐ_௜ିଵ:

Änderung der Kriechfunktion während οݐ_௜ Änderung der Betonspannung während οݐ_௜

• Zunahme der Gesamtdehnung im Zeitintervall οݐ_௜ൌ ݐ_௜െ ݐ_௜ିଵ:

1

,i 1

0 0

1

; :

2 :

i i i

cc i i i i

c c

i i i

E E

V 'V 'M

'H 'M 'M M M

'V V V

1

,i ,i ,i ,i

0 0 0 0

1 2

i i i i

c cc cs i i cs

c c c c

E E E E

'V 'V V 'V

'H 'H 'H 'M 'M 'H

(27)

5.3 Vereinfachtes Verfahren zur Berücksichtigung von Langzeiteinflüssen

(28)

Auf dieser und den folgenden Folien wird das Verfahren von Trost erläutert. Dieses eignet sich gut für Handrechnungen (insbesondere in Kombination mit der Kraftmethode) und ist für praktische Anwendungen in der Regel ausreichend genau.

Ansätze für die Berechnung von Kriech- und Schwindproblemen Verfahren nach Trost

In der Praxis wird oft ein relativ grosser Teil der Gesamtbeanspruchung zum Zeitpunkt ݐ_଴aufgebracht, gefolgt von kleineren Spannungsinkrementen οߪ_௜(Zusatzbelastungen, aber auch Schnittkraftumlagerungen). Das Verfahren von Trost macht sich dies zunutze, um ein iteratives oder stufenweises Vorgehen zu vermeiden.

Dabei wird die Kriechfunktion für die im Zeitraum ݐ_௜൐ ݐ_଴(resp. ݐ_଴൏ ݐ_௜൑ λ) auftretenden Spannungsinkremente

ߪ ݐ െ οߪ_଴ൌ σ^௡_௜ୀଵοߪ_௜ mit einem Alterungsbeiwert ߤ ݐ («ageing factor», auch als Relaxationsfaktor bezeichnet) reduziert.

Die Kriechverformung infolge der gesamten Spannungsänderung beträgt nach dem Superpositionprinzip von Boltzmann:

0 0

0 0 0

0

0 0 1 0 0

( )

, , , ,

n i

i

c c

c

c i c

c

t t t

t t t t t t

E E t

t E

E

V V

P

H 'V V V

M

¦

M M

Alterungsbeiwert (nach Trost vereinfacht identisch für alle Laststufen ݐ_௜൐ ݐ_଴);

allgemeine Herleitung siehe Marti, Baustatik, Kap. 7.4.2

V_c

'V₀ 'V₁

'V_i

ݐ_଴ ݐ_ଵ ݐ_௜ ݐ

t 0

V 'V V t

(29)

Aus der Gleichung auf der vorhergehenden Folie resultiert der Alterungsbeiwert:

Die gesamten Verformungen zum Zeitpunkt t betragen somit:

0

⁰

0 0

0

1 , 1 ( ) ,0

c

cs c

c t t t t

E t

t E t t

H V

M V V

H

P M

Schwinden Elastische Verformungen

0 1

0

1 0 0 0 0

,

, ( ) , ( )

,

n

i i

n

i i

i

i c c

t t t

t t t t t t

E E t t t

'V M V V

'V M P M o P

V V M

¦ ¦

V_c

'V₀ 'V₁

'V_i

ݐ_଴ ݐ_ଵ ݐ_௜ ݐ

t 0

V 'V V t

(30)

Verfahren nach Trost

• Spannungsverlaufim Allgemeinen nicht bekannt o P(t) kann auf diese Weise nicht direkt berechnet werden

• Ermittelt man die Relaxationsfunktion aus der Kriechfunktion (Lösung einer linearen inhomogenen Volterra-

Integralgleichung), kann der zugehörige Alterungsbeiwert numerisch ermittelt werden [siehe Seelhofer 2009 und Marti, Baustatik]:

• Man erkennt, dass P(t) nur wenig variiert ozeitunabhängiger Alterungsbeiwert P

für Praxis ausreichend genau ofür übliche Verhältnisse (M_f= 1.5…4)

gilt näherungsweise P 0.8

(31)

• Die gesamten Verformungen zum Zeitpunktt betragen mit diese Näherung:

• Alternative Formulierung unter Verwendung fiktiver E-Moduli für Langzeitbeanspruchungen:

0 0

0 0 0 0 0 0,

1 1 1

( ), , , , 0.8

mit

c cs

c

t t

E

t t t t t t t

H ª¬V M 'V M Hº¼

V 'V V 'V V V M M ! P| P

Beanspruchungen, die von Beginn an wirken

Beanspruchungen, die im Laufe der Zeit

hinzukommen

0 0 0 0

0 0

: ,

1 , 1 ,

c c

c cs cs c

c c c c

t t E E

t t t E E

E E E E t t t t

t t t t

'V 'V

V V c cc

H H H

c cc M M

M M

P P

Beanspruchungen, die von Beginn an wirken

Beanspruchungen, die im Laufe der Zeit

hinzukommen

(32)

Berechnung der Relaxationsfunktion

• Relaxationsfunktion = Spannungsverlauf für konstante (aufgezwungene) Anfangsdehnung,

Verfahren mit ideellem E-Modul

Verfahren nach Trost

0 0

0 0 0

0

0 0 0

1 ( ) 1

( ) 1

( ) ( ) 1 1

1 1

c

c c c

t t

E E E

t

t t

V 'V V

H M M

o 'V V M M

§ M ·

0 0

0 0 0

0

0 0

1 ( ) 1

( ) 1

( ) ( ) 1

1

c

c c c

t t

E E E

t

t t

V 'V V

H M M

o 'V V M M

§ M ·

P

P ¹

V_c

t

0 0

0

d.h. Anfangsverformung _c bleibt konstant Ec

H V

,0

(M M t t )

,0

(M M t t )

id. E-Modul Trost Dischinger

Endwerte t = ∞ (P= 0.8):

0.33 0.23 0.14 V0

V0

Der Ansatz von Trost ist sehr einfach und stimmt mit Versuchen gut überein (besser als kompliziertere Verfahren)onur dieses Verfahren weiter verwendet!

(33)

Auf dieser und den folgenden Folien wird das Verfahren von Trost an einfachen Beispielen illustriert.

Dabei wird die Kraftmethode verwendet, wobei die Verträglichkeitsbedingungen zeitabhängig formuliert werden.

Im Beispiel 1 wird gezeigt, dass in Systemen mit gleichen Kriecheigenschaften keine Schnittkraft- umlagerungen infolge Kriechen auftreten.

Umlagerung von Lastschnittkräften bei statisch unbestimmten Systemen Systeme mit durchwegs gleichen (uniformen) Kriecheigenschaften Beispiel 1: Zweifeldträger, Lösung mit Kraftmethode

GS: Zwischenauflager entfernt ÜG: Reaktion Zwischenauflager

Verschiebungen im Grundsystem (elast., t t₀):

Verträglichkeitsbedingung zum Zeitpunkt t0:

Zeitabhängige Verträglichkeitsbedingung mit Ansatz von Trost:

oVerallgemeinerung auf allg. Systeme möglich obei durchwegs gleichen Kriecheigenschaften ändern überzählige Grössen stat.

unbestimmter Systeme nicht!

4 3

10 11

2 2

5 1

384 48

l l

EI EI

G G

10 11 11

11

10 11

(1 ) (1 ) ( ) (1 ) 0

( ) 1 0 ( ) 0

k Be 1

k Be B

B B

g R R t

R t R

g R t

G G M G M ' G PM ' PM

G G G o '

M 0 (Verträglichkeit

zum Zeitpunktt₀)

10(q 1) G

11(RB 1) G

l l

ständige Lasten (abt0 wirksam): gk

10 11 0

k Be

g R

G G G

( ) ( )

B Be B

R t R 'R t