Statistik-Prüfung SS 2002
Prof.Dr. Heinz-Willi Goelden 90 Minuten Skript + Formelsammlung
Aufgabe 1:
Die Jahresproduktion eines für die Weiterverarbeitung bestimmten Zulieferteils (Grundgesamtheit) ist hinsichtlich der Abweichung der Länge vom Normmaß zu untersuchen. Dazu wird der Grundgesamtheit eine Stichprobe vom Umfang n=30 entnommen. Als Abweichung (gemessen in µm) der Länge zum Nennmaß erhält man die 30 Werte
48 28 40 33 34 41 31 45 35 43
42 24 34 36 41 44 41 37 37 35
45 32 40 50 39 42 43 39 45 37
(Ob ich die Werte jetzt richtig abgeschrieben hab, weiss ich nicht.)
Stellen Sie die Messergebnisse in einem Histogramm dar, und zwar mit Klasseneinteilung,
[23,27), [27,31), …, [47,51) LÖSUNG:
[23,27) [27,31) [31,35) [35,39) [39,43) [43,47) [47,51) 30
1
30 1
30 4
30 7
30 9
30 6
30 2
(Nach meiner Meinung war hier das Diagramm mit den relativen Häufigkeiten gefragt.)
Aufgabe 2:
Auf ein Ziel werden 3 Schüsse abgegeben. Die Treffsicherheit beträgt 80%.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a) kein Schuss trifft
b) wenigstens 1 Schuss trifft c) mindestens 2 Schüsse treffen
LÖSUNG:
X: „Anzahl Treffer“
X~B(3; 0,8)
a) *0,8 *0,2 0,008 0
) 3 0
( 0 3
X P
b) P(X 1)1P(X 0)10,0080,992
c) *0,8 *0,2 0,896
3 2 3 , 0
* 8 , 0 2 * ) 3 2
( 2 1 3 0
X P
Aufgabe 3:
Bei der Serienproduktion eines Gerätes erweisen sich im Mittel 5% aller Geräte als fehlerhaft. Beim nachfolgenden Qualitätstest wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% ein fehlerhaftes Gerät als solches erkannt und ausgesondert.
Ein nicht fehlerhaftes Gerät wird bei diesem Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% als fehlerhaft eingeschätzt und demzufolge ausgesondert.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a) ein Gerät ausgesondert wird
b) ein nach der Kontrolle als fehlerfrei bezeichnetes Gerät in Wirklichkeit defekt ist.
LÖSUNG:
F: „Gerät ist fehlerhaft“ A: „Gerät wird ausgesondert“
a) P(A)P(A|D)*P(D)P(A|D)*P(D)0,98*0,050,01*0,950,0585
D D
A A A A
0,05 0,9 5
0,9 8 0,02 0,01 0,99
b) 0,0011 0585
, 0 1
05 , 0
* 02 , 0 )
( 1
) (
* )
| ( )
(
) (
* )
| ) (
|
(
P A
D P D A P A
P
D P D A A P
D P
Aufgabe 4:
Von 20 Studenten einer Studiengruppe erzielen 5 Studenten die Statistik-Note 1.
Für eine Praktikumsaufgabe werden 6 Studenten dieser Gruppe per Zufall ausgewählt.
Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Studenten mit der Statistik-Note 1 in dieser gebildeten Untergruppe an.
a) Wie heißt die Verteilung von X?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 6 ausgewählten Studenten genau 2 Studenten mit der Bestnote 1 befinden?
LÖSUNG:
a) X~H(5;20;6) X ist hypergeometrisch verteilt
Nach meiner Meinung muss hier auch die Verteilung angegeben werden:
0,1291 für X = 0
0,5165 " 0 <= X <= 1 0,8687 " 0 <= X <= 2 F(X) = 0,9861 " 0 <= X <= 3 0,9996 " 0 <= X <= 4 1 " 0 <= X <= 5
0 sonst
b)
3522 , 38760 0
11365
* 10 6
20 4
* 15 2 5 ) 2
(
X P
Aufgabe 5:
Ein diskreter zweidimensionaler Zufallsvektor (X,Y) besitze folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Y
X -2 -1 0 1
-1 0,3 0 0,1 0
0 0,1 0,2 0,1 0
1 0,1 0 0 0,1
Berechnen Sie a) E[X]
b) E[XY]
Sind X, Y stochastisch unabhängig?
LÖSUNG:
Y
X -2 -1 0 1 fY(y)
-1 0,3 0 0,1 0 0,4
0 0,1 0,2 0,1 0 0,4
1 0,1 0 0 0,1 0,2
fX(x) 0,5 0,2 0,2 0,1
a) E[X]1*0,40*0,41*0,20,2
b) E[XY](1*2*0,3)(1*1*0)(1*0*0,1)(1*1*0) (0*2*0,1)...(1*2*0,1)...(1*1*0,1)
1 , 0 2 , 0 6 ,
0
5 ,
0
fX(1) * fY(0) = 0,2 * 0,2 = 0,04 = fXY(1;0) = 0
==>> nicht stochastisch unabhängig!
