Funktionale Programmierung

Funktionale

Programmierung

•

Funktionen und Phänomene

•

Funktionen höherer Ordnung - Funktionale

•

Parameterübergabe

•

Formularmaschine - Auswertung von Funktionen

•

^Rekursion

•

Polymorphie

Funktionale Programmierung

Motivation

•

Daten Funktionen Operationen auf Daten

•

Verwischen der Trennung von Daten und Operationen

•

Verwischen der Unterscheidung von

Objektbeschreibung und Handlungsanweisung

•

Verschmelzen von Daten und Operationen

Funktionale Programmierung

Funktionen höherer Ordnung

•

Bekanntlich: Funktionenraum typ D [D'→D"]

•

Falls D', D'' wieder Funktionenräume, so

bildet f D Funktionen aus D' auf Funktionen aus D" ab

•

f heißt Funktion höherer Ordnung (higher order function, Abk. HOF) oder Funktional

Funktionale Programmierung

HOF - typisches Beispiel 1

A={f: IR→IR | f ist integrierbar}

B={f: IR→IR | f ist Funktion}.

Integral ∫: A→B ist Funktional, das jeder integrierbaren Funktion f reellwertige Funktion F, die Stammfunktion, zuordnet:

∫(f)=F mit

∫ f(t) dt=F(x)

∫ [[real→real]→[real→real]].

0 x

Funktionale Programmierung

HOF - typisches Beispiel 2

Ableitungsoperator ' ist Funktional

': {f: IR→IR | f ist differenzierbar}

→{f: IR→IR | f ist Funktion}

das jeder differenzierbaren Funktion ihre Ableitungsfunktion zuordnet:

'(f)=f'

' [[real→real]→[real→real]]

Funktionale Programmierung

HOF - typisches Beispiel 3

Summation: a,b Z und f: Z→Z:

Σ f(i)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+...+f(b).

Fasse Summe als Funktion S auf mit f: Z→Z und Grenzen a,b Z als Argumenten

S: {f: Z→Z }×Z×Z→Z mit S(f,a,b)= Σ f(i).

S ist vom Datentyp D mit

typ D [([int→int], int, int)→int].

i=a b

i=a b

Funktionale Programmierung

HOF - typisches Beispiel 4

Komposition: Selbstanwendung einer Funktion f twice: [int→int]→[int→int] mit

twice(f)=f°f.

Zum Beispiel:

twice(pred)=pred°pred und

twice(pred) (7)=pred(pred(7))=5.

Allgemeine Komposition:

komp: [A→B]×[C→A]→[C→B] mit komp(f,g)=f°g.

komp [([A→B],[C→A])→[C→B]].

Funktionale Programmierung

HOF - Definition

Definition:

•

Daten sind nullstellige Funktionen, besitzen die Ordnung 0 und heißen Konstanten.

•

Die Ordnung einer Funktion ist das

Maximum der Ordnungen ihrer Argumente zuzüglich 1.

Funktionen der Ordnung ≥2 heißen auch Funktionale.

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

∫ [[real→real]→[real→real]]

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

' [[real→real]→[real→real]]

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

komp [([A→B],[C→A])→[C→B]]

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

twice: [int→int]→[int→int]

Funktionale Programmierung

HOF - Beispiele

1. Funktionen vorigen Beispielen besitzen alle Ordnung 2:

2. Die Konstante 17 besitzt Ordnung 0. Man kann sie interpretieren als nullstellige

Funktion

17: unit→nat mit 17()=17.

twice: [int→int]→[int→int]

Funktionale Programmierung

Currying

•

Idee: partielle Auswertung von Funktionen

•

liefere die Argumente der Reihe nach zu

•

betrachte “Zwischenfunktionen” als Funktionen auf den Restargumenten

•

Beachte: Als Tupel müssen die Argumente der Funktion immer en bloc zugeführt

werden

Funktionale Programmierung

Currying - Motivation

•

Multiplikation

mult: IR×IR→IR mit

mult(x,y)=xy (eigentlich: mult ((x,y)) )

•

mult ist “vernünftig”, wenn es nur partiell ausgewertet wird, z.B.

•

d: IR→IR mit d=mult(2,·) bzw. d(x)=mult(2,x)

•

oderDollarDM: IR→IR mit DollarDM=mult(1.521,·)

Funktionale Programmierung

Currying - Motivation

•

Multiplikation

mult: IR×IR→IR mit

mult(x,y)=xy (eigentlich: mult ((x,y)) )

•

mult ist “vernünftig”, wenn es nur partiell ausgewertet wird, z.B.

•

d: IR→IR mit d=mult(2,·) bzw. d(x)=mult(2,x)

•

oderDollarDM: IR→IR mit DollarDM=mult(1.521,·)

Dies darf man so nicht schreiben

Funktionale Programmierung

Currying - 2-stellig

•

Currying: Übergang von 2-stelliger Funktion f: A×B→C mit f(a,b)=c

•

zu Funktion 2. Ordnung

F: A→(B→C)

•

die man partiell auswerten kann: zunächst a zuführen und Funktion 1. Ordnung erhalten:

F(a): B→C

•

dann auf b anwenden und Ergebnis erhalten:

F(a)(b)=f(a,b)

Funktionale Programmierung

Currying - 2-stellig

•

Currying: Übergang von 2-stelliger Funktion f: A×B→C mit f(a,b)=c

•

zu Funktion 2. Ordnung

F: A→(B→C)

•

die man partiell auswerten kann: zunächst a zuführen und Funktion 1. Ordnung erhalten:

F(a): B→C

•

dann auf b anwenden und Ergebnis erhalten:

F(a)(b)=f(a,b)

Uncurrying

Funktionale Programmierung

Currying - n-stellig

•

Currying: Übergang von n-stelliger Funktion f: A1×...×An→B

•

zu Funktion n-ter Ordnung

F: A1→(A2→(A3→...→(An→B)...)) mit F(a1)(a2)(a3)...(an)=f(a1,a2,a3,...,an).

•

Eindeutige Zuordnung (Beweis s. Übungen)

•

Schreibweise: F a1 a2 a3 ... an

•

dabei linksassoziative Interpretation:

(...(((F(a1)a2)a3)...an)

•

im folgenden fast immer gecurryte Schreibweise

Funktionale Programmierung

Informatischer Funktionsbegriff

1. Forderung: [D'→D”] nur berechenbare Funktionen 2. Forderung: Beschreibung von Funktionen durch

ausführbare Rechenvorschriften

•

Beispiel: Mathematik:

ggT: IN0×IN0→IN0 mit

ggT(a,b)=max{t IN0 | t\a und t\b}

•

Brauchbarer: Effektiv ausführbare Rechenvorschrift zur Konstruktion des Ergebnisses:

a, falls a=b,

ggT(a,b)= ggT(b,a), falls a<b, ggT(a-b,b), sonst.

{

Funktionale Programmierung

Informatischer Funktionsbegriff

a, falls a=b,

ggT(a,b)= ggT(b,a), falls a<b, ggT(a-b,b), sonst.

Rechne:

ggT(40,12)=ggT(28,12)=ggT(16,12)=ggT(4,12)

=ggT(12,4)=ggT(8,4)=ggT(4,4)=4.

Ausführbare Beschreibungen von Funktionen nennt man Rechenvorschriften.

{

Funktionale Programmierung

Informatischer Funktionsbegriff

a, falls a=b,

ggT(a,b)= ggT(b,a), falls a<b, ggT(a-b,b), sonst.

Rechne:

ggT(40,12)=ggT(28,12)=ggT(16,12)=ggT(4,12)

=ggT(12,4)=ggT(8,4)=ggT(4,4)=4.

Ausführbare Beschreibungen von Funktionen nennt man Rechenvorschriften.

{

Ist diese Def. sinnvoll?

(selbstbezüglich, rekursiv)

Funktionale Programmierung

Rechenvorschriften

Definition:

Die funktionale Beschreibung eines Algorithmus nennt man Rechenvorschrift.

Allgemeine Definition:

funktion f x1:D1 x2:D2 ... xn:Dn → D R.

•

f Bezeichner der Rechenvorschrift

•

^x1,...,xn paarweise verschiedene formale Parameter der Datentypen D1,...,Dn

•

D Datentyp des Funktionsergebnisses

•

Funktionalität von f: D1→(D2→(D3→...(Dn→D)...))

•

R Ausdruck (Term) vom Typ D induktiv wie folgt definiert:

Funktionale Programmierung

Rechenvorschriften

Definition:

Die funktionale Beschreibung eines Algorithmus nennt man Rechenvorschrift.

Allgemeine Definition:

funktion f x1:D1 x2:D2 ... xn:Dn → D R.

•

f Bezeichner der Rechenvorschrift

•

^x1,...,xn paarweise verschiedene formale Parameter der Datentypen D1,...,Dn

•

D Datentyp des Funktionsergebnisses

•

Funktionalität von f: D1→(D2→(D3→...(Dn→D)...))

•

R Ausdruck (Term) vom Typ D induktiv wie folgt definiert:

Kopf Rumpf

Funktionale Programmierung

Rechenvorschriften

Definition:

Die funktionale Beschreibung eines Algorithmus nennt man Rechenvorschrift.

Allgemeine Definition:

funktion f x1:D1 x2:D2 ... xn:Dn → D R.

•

f Bezeichner der Rechenvorschrift

•

^x1,...,xn paarweise verschiedene formale Parameter der Datentypen D1,...,Dn

•

D Datentyp des Funktionsergebnisses

•

Funktionalität von f: D1→(D2→(D3→...(Dn→D)...))

•

R Ausdruck (Term) vom Typ D induktiv wie folgt definiert:

Funktionale Programmierung

Rechenvorschriften

Definition:

Die funktionale Beschreibung eines Algorithmus nennt man Rechenvorschrift.

Allgemeine Definition:

funktion f x1:D1 x2:D2 ... xn:Dn → D R.

•

f Bezeichner der Rechenvorschrift

•

^x1,...,xn paarweise verschiedene formale Parameter der Datentypen D1,...,Dn

•

D Datentyp des Funktionsergebnisses

•

Funktionalität von f: D1→(D2→(D3→...(Dn→D)...))

•

R Ausdruck (Term) vom Typ D induktiv wie folgt definiert:

vollständig gecurryed

Funktionale Programmierung

Rechenvorschriften

Definition (Forts.):

Elementare Bausteine:

(1) E elementarer Typ und x E x Ausdruck vom Typ E (2) Für i=1,...,n ist xi Ausdruck vom Typ Di

Konstruktoren:

(3) g Rechenvorschrift der Funktionalität E'→E" und A Ausdruck vom Typ E' g(A) Ausdruck vom Typ E"

(Konstruktor "Einsetzung" oder – für g=f – Konstruktor

"Rekursion").

Funktionale Programmierung

Rechenvorschriften

Definition (Forts.):

(4) A1 und A2 beliebige Ausdrücke vom Typ E und B ein Ausdruck vom Typ bool

wenn B dann A1 sonst A2 ende

Ausdruck vom Typ E (Konstruktor "Alternative", bedingter Ausdruck)

(5) A Ausdruck vom Typ E (A) Ausdruck vom Typ E.

Funktionen, die im Rumpf von f verwendet werden, heißen Stützfunktionen von f.

Ein funktionales Programm ist eine Folge f1,...,fk von Funktionsdefinitionen.

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. ggT (s. o.)

funktion ggT a:nat b:nat → nat wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende.

2. Absolutfunktion:

funktion abs x:real → real wenn x≥0 dann x sonst -x ende.

3. Signum-Funktion:

typ vorzeichen {-1,0,1};

funktion sign x:real → vorzeichen wenn x<0 dann -1 sonst

wenn x=0 dann 0 sonst 1 ende ende.

Funktionale Programmierung

Beispiele

4. Multiplikation und Verdoppelung:

funktion mult x:int y:int → int x*y.

funktion d mult 2.

5. Konstanten als Funktionen:

funktion pi → real 3.1415926;

funktion kreisfläche r:real → real pi*r*r.

Funktionale Programmierung

Beispiele

4. Multiplikation und Verdoppelung:

funktion mult x:int y:int → int x*y.

funktion d mult 2.

5. Konstanten als Funktionen:

funktion pi → real 3.1415926;

funktion kreisfläche r:real → real pi*r*r.

weder Parameter, noch Typen angeben

Funktionale Programmierung

Beispiele

4. Multiplikation und Verdoppelung:

funktion mult x:int y:int → int x*y.

funktion d mult 2.

5. Konstanten als Funktionen:

funktion pi → real 3.1415926;

funktion kreisfläche r:real → real pi*r*r.

weder Parameter, noch Typen angeben

Funktionale Programmierung

Beispiele

4. Multiplikation und Verdoppelung:

funktion mult x:int y:int → int x*y.

funktion d mult 2.

5. Konstanten als Funktionen:

funktion pi → real 3.1415926;

funktion kreisfläche r:real → real pi*r*r.

Funktionale Programmierung

Beispiele

4. Multiplikation und Verdoppelung:

funktion mult x:int y:int → int x*y.

funktion d mult 2.

5. Konstanten als Funktionen:

funktion pi → real 3.1415926;

funktion kreisfläche r:real → real pi*r*r.

Funktionale Programmierung

Beispiele

4. Multiplikation und Verdoppelung:

funktion mult x:int y:int → int x*y.

funktion d mult 2.

5. Konstanten als Funktionen:

funktion pi → real 3.1415926;

funktion kreisfläche r:real → real pi*r*r.

weder Parameter, noch Typ, da konstante

Funktion

Funktionale Programmierung

Beispiele

6. Mischen:

typ intlist {leer} | (int,intlist);

funktion misch f:intlist g:intlist → intlist wenn f=leer dann g sonst

wenn g=leer dann f sonst

wenn (erstes f)<(erstes g) dann (erstes f,misch (rest f) g) sonst (erstes g,misch f (rest g)) ende

ende ende .

Funktionale Programmierung

Applikation

•

Operation auf Rechenvorschriften, die zu Werten führt

•

^Gegeben:

funktion f x1:D1 ... xn:Dn → D R.

•

Anwendung/Applikation/Aufruf:

f a1 a2 ... an

•

Substitution: Umwandlung des Rumpfs R in

einen auswertbaren Ausdruck durch Ersetzung der formalen Parameter xi durch aktuelle Parameter ai

Funktionale Programmierung

Substitution - Beispiel

•

^ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

•

Bei Aufruf ggT 40 12 geht Rumpf über in wenn 40=12 dann 40 sonst

wenn 40<12 dann ggT 12 40 sonst ggT (40-12) 12 ende ende

Funktionale Programmierung

Substitution - Beispiel

•

^ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

•

Bei Aufruf ggT 40 12 geht Rumpf über in wenn 40=12 dann 40 sonst

wenn 40<12 dann ggT 12 40 sonst ggT (40-12) 12 ende ende

Beachte Klammer- setzung

Funktionale Programmierung

Substitutionsregeln

Gegeben: funktion f x:D → D' R.

Aufruf: f E

Freiheitsgrade bei der Substitution:

•

wann wird E ausgewertet

•

vor der Substitution von x durch E

•

nach der Substitution von x durch E

•

wie oft wird E ausgewertet

•

an jeder Stelle, an der x vorkommt

•

^einmalig

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

Vorschrift: Um f(E) zu berechnen, werte zunächst E aus. Ersetze x überall im Rumpf R durch Wert von E und werte den so

modifizierten Rumpf aus.

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) d(d(3+3)) Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) d(d(3+3)) Beispiel:

d(d 6)

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) d(d(3+3)) Beispiel:

d(d 6) d(6+6)

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) d(d(3+3)) Beispiel:

d(d 6) d(6+6)

d 12

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) d(d(3+3)) Beispiel:

d(d 6) d(6+6)

d 12 12+12

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

d(d(d 3)) d(d(3+3)) Beispiel:

d(d 6) d(6+6)

d 12 12+12

24

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

Vorteil: entspricht mathematischer Tradition Nachteil 1: manchmal ineffizient

Beispiel: funktion null x:int → int 0.

null(d(d(d 3))) null(d(d(3+3)))

null(d(d 6)) null(12+12) null 24 0 umfängliche Auswertung, obwohl Ergebnis 0 von Anfang an feststeht

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

Nachteil 2: Inkonsequenz erforderlich.

Beispiel:

wenn b dann e sonst e' ende=wenn(b,e,e') Betrachte:

funktion p x:int → int

wenn x=0 dann 1 sonst p(x-1) ende

=wenn(x=0,1,p(x-1))

Dann p x=1 für alle x≥0, aber p 0 wenn(0=0,1,p(-1))

wenn(true,1,p(-1=0,1,p(-2)))=wenn(true,1,p (false,1,p(-2))) ...

Funktionale Programmierung

Call by value - Wertübergabe

Nachteil 2: Inkonsequenz erforderlich.

Beispiel:

wenn b dann e sonst e' ende=wenn(b,e,e') Betrachte:

funktion p x:int → int

wenn x=0 dann 1 sonst p(x-1) ende

=wenn(x=0,1,p(x-1))

Dann p x=1 für alle x≥0, aber p 0 wenn(0=0,1,p(-1))

wenn(true,1,p(-1=0,1,p(-2)))=wenn(true,1,p (false,1,p(-2))) ...

Abweichung von call-by-value nötig, um bed. Ausdruck

überhaupt auswerten zu können

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

Vorschrift: Um f(E) zu berechnen, ersetze x überall im Rumpf R durch den Text von E und werte den so modifizierten Rumpf aus.

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3)) Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

Beispiel:

3+3

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3) 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3) 3+3

12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6 3+3 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6

3+3 3+3 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6

3+3 3+3 6 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6

=12 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6

3+3 3+3 6 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6

=12

=24 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6

3+3 3+3 6 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6

=12

=24

=24 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6

3+3 3+3 6 12=

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

6

=12

=24

=24 Beispiel:

3+3 3+3 6

(d 3)+(d 3)

6

3+3 3+3 6 12=

ineffizient durch wiederholte

Auswertung desselben Ausdrucks

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

Andererseits:

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

Andererseits:

Beispiel: funktion null x:int → int 0.

null(d(d(d 3))) 0 (sehr effizient)

Funktionale Programmierung

Call by name - Namensübergabe

Andererseits:

Beispiel: funktion null x:int → int 0.

null(d(d(d 3))) 0 (sehr effizient)

3. Strategie kombiniert beide Aspekte

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

Vorschrift: Um f(E) zu berechnen, ersetze x überall in R textuell durch E und werte den modifizierten Rumpf aus. Sobald E zum ersten Mal ausgewertet wird, ersetze E im Rumpf

überall durch den berechneten Wert.

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3)) Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 6 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 6 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 6

=12 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 6

=12 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 6

=12

=24 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

d(d(d 3))

d(d 3)+d(d 3) (d 3)+(d 3)

3+3 6

=12

=24

=24 Beispiel:

Funktionale Programmierung

Call by need - lazy evaluation

Realisierung:

Vorkommen von

formalen Parametern durch Verweise auf zugehörige

Argumente ersetzen

Funktionale Programmierung

Call by need - Sonderfall - lazy lists

Beispiel: null(2 div 0)=0 und nicht undefiniert

Gefeierte Anwendung: lazy lists

Möglichkeit, prinzipiell unendliche Objekte zu definieren und mit ihnen zu operieren

Funktionale Programmierung

Substitutionsregeln

Rest der Vorlesung: call by value

neue (funktionale) Programmiersprache FUN:

•

Typkonzept aus Kapitel 9

•

Funktionskonzept aus Kapitel 10

•

call-by-value-Substitution

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

•

Formularmaschine = algorithmisches

Verfahren zur systematischen Auswertung von funktionalen Programmen

•

fomularmäßige Darstellung von Funktionsdefinitionen

•

geordnete Auswertung von Funktionen

•

graphische übersichtliche Darstellung

•

anschaulicher Beleg für Automatisierbarkeit funktionaler Programmierung

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

Definition:

Geg.: Rechenvorschrift

funktion f x1:D1 ... xn:Dn → D R.

Ein Formular für f ist ein (geordnetes) Paar geordneter markierter Bäume (B0,B(R))mit:

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B0 repräsentiert Kopf der Rechenvorschrift:

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B0 repräsentiert Kopf der Rechenvorschrift:

Funktionsbezeichner f

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B0 repräsentiert Kopf der Rechenvorschrift:

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B0 repräsentiert Kopf der Rechenvorschrift:

formale Parameter xi

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B0 repräsentiert Kopf der Rechenvorschrift:

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B0 repräsentiert Kopf der Rechenvorschrift:

konkrete Werte

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

B(R) repräsentiert Rumpf der Rechenvorschrift und ist induktiv wie folgt aufgebaut:

1. x Konstante, dann Baum B(x)

2. x formaler Parameter, dann Baum B(x)

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

3. A1,...,Ak Ausdrücke mit zugehörigen Formularen B(A1),...,B(Ak).

Aufruf (f A1 ... Ak) einer k-stelligen Funktion f, dann Baum B(f):

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

4. b boolescher Ausdruck mit Formular B(b), A und A' beliebige Ausdrücke mit Formularen B(A) und B(A').

Zum Ausdruck

wenn b dann A sonst A' ende gehört das Formular B(wenn) mit:

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

4. b boolescher Ausdruck mit Formular B(b), A und A' beliebige Ausdrücke mit Formularen B(A) und B(A').

Zum Ausdruck

wenn b dann A sonst A' ende gehört das Formular B(wenn) mit:

gestrichelte Linien für Alternative

Funktionale Programmierung

Formularmaschine

5. A1,...,Ak Ausdrücke mit zugehörigen Formularen B(A1),...,B(Ak).

Für Tupelausdruck (A1,...,Ak) ist das zugehörige Formular B((A1,...,Ak)) der Baum:

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

Funktionale Programmierung

Beispiele

1. Absolutfunktion

funktion abs x:real→real wenn x≥0 dann x sonst -x ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

2. ggT:

funktion ggT a: nat b: nat → nat;

wenn a=b dann a sonst

wenn a<b dann ggT b a sonst ggT (a-b) b ende ende

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Anwendung

•

Wie rechnet man mit der Formularmaschine?

•

Excel-Paradigma

•

Formularfelder mit Werten belegen

•

Felder verknüpfen, Ergebnisse in andere Felder übertragen

•

Ergebnisse aus-/ablesen

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

-7

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

-7

-7

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

-7 -7

-7

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

-7 -7

-7 +7

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

-7 -7

-7 +7

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

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-7 -7

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

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-7 -7

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel abs

abs(-7)

-7

-7 -7

-7 +7

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

6 6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

6 4

6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

6 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

6 4

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6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

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6

6 6

6 4

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4 6

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

6 4

6

6 6

6 4

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4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 6 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

2

2

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

2

2 2

2

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

2

2 2

2 2

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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2 2

2 4

2

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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2 2

2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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2 2

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4 4

2

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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2 2

2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 2 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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4 4

4

Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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4 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

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4 4

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Funktionale Programmierung

Formularmaschine - Beispiel ggT 4 2

4 2

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4 2

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Funktionale Programmierung

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