Die Analyse von Proportionen:

(1)



²

und Logistic Regression

Jonathan Harrington

Die Analyse von Proportionen:

Befehle: proportion.txt

pfad = "den Pfad eingeben, wo die Datei gespeichert wurde lvoc = read.table(paste(pfad, "lvoc.txt", sep="/"), header=T)

/l/-Vokalisierung

txt

(2)

Kontinuierlich

Kontinuierlich und kategorial Kontinuierlich und kategorial

Kategorial

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

F2 von [i:] höher ist als von [I] (t-test)

F1 und Dauer von [a] miteinander korreliert sind (Regression)?

Eine steigende Melodie in Aussagen von jugendlichen im Vergleich zu älteren

Personen verwendet wird?

Ein [r] statt [R] in Bayern im Vergleich zu Schleswig-Holstein verwendet wird?

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

(3)

In einer kategorialen Analyse werden meistens 2 Proportionen miteinander verglichen.

Die tests dafür: 

²

und Logistic Regression.

zB wir zählen wie oft steigende Melodien in Aussagen bei jugendlichen (35%) und älteren Leuten (11%)

vorkommen. Sind diese Proportionen (35%, 11%)

signifikant unterschiedlich?

(4)

Solche Methoden haben insbesondere in der

Soziolinguistik/phonetik eine Anwendung, in der sehr oft auditiv die Proportionen wahrgenommener Allophone miteinander als Funktion von Alter, Dialekt usw.

verglichen werden, ohne unbedingt die

kontinuierlichen akustischen (oder artikulatorischen) Parameter (Dauer, Formanten usw.) zu analysieren.

(In der Soziolinguistik: Logistic Regression = VARBRUL)

(5)

Terminologie: Faktoren und Stufen (levels)

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein silbenfinaler /t/ gelöst wird?

Faktor = silbenfinaler /t/ mit 2 Stufen: gelöst oder nicht gelöst.

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein silbenfinaler /t/

gelöst, nicht-gelöst oder lenisiert wird?

Faktor = silbenfinaler /t/ mit 3 Stufen (gelöst, nicht-gelöst, lenisiert)

Ein Faktor

(6)

Zwei Faktoren

Wird ein silbenfinaler /t/ häufiger in Bayern als in Hessen gelöst?

F1: /t/ mit 2 Stufen (gelöst, nicht-gelöst)

F2: Dialekt mit 2 Stufen (bayerisch, hessisch).

Ist die Verteilung der /t/ Realisierungen – ob sie gelöst, lenisiert oder nicht-gelöst werden – dieselbe in Bayern, Hessen, und Sachsen?

Zwei Faktoren ( /t/ und Dialekt) jeweils mit 3 Stufen.

(7)

Drei Faktoren

Unterscheidet sich die Häufigkeit der //-Vokalisierungen zwischen Männern und Frauen in Bayern und Hessen?

F1: // mit 2 Stufen (vokalisiert oder nicht) F2: Geschlecht mit 2 Stufen: (M, F)

F3: Dialekt mit 2 Stufen (Bayern, Hessen).

(8)

Die statistische Analyse von Proportionen

Mehr als 2 Faktoren**

Logistic Regression (kann auch bei 2 Faktoren

eingesetzt werden**, und gibt fast das gleiche Ergebnis wie ein 

²

-test).

glm() = generalized linear model

(der Name soll an lm() erinnern – da sie miteinander viele Ähnlichkeiten haben)

**Ein Faktor muss 2 Stufen haben

Eine oder zwei Faktoren

Analyse von Proportionen = 

²

-test

prop.test() chisq.test()

(aber prop.test() kann nicht eingesetzt werden, wenn beide

Faktoren mehr als 2 Stufen haben)

(9)

1. Ein Faktor, zwei Stufen

Ich werfe eine Münze 20 Mal und bekomme 5 Mal Kopf.

Ist die Münze gezinkt?

d.h. weicht die Proportion 5/20 = ¼ signifikant von 10/20 = ½ ab?

prop.test(5, 20, .5)

data: 5 out of 20, null probability 0.5 X-squared = 4.05, df = 1, p-value = 0.04417

alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5 95 percent confidence interval:

0.0959326 0.4941155 sample estimates:

p 0.25

Die Münze ist gezinkt: 

²

(1) = 4.05, p < 0.05

(Faktor = Münze, Stufen = Kopf, Zahl)

(10)

2 Faktoren jeweils 2 Stufen

Die Anzahl der glottalisierten silbenfinalen /t/s ist in einem englischen Dialekt getrennt fuer Männer und Frauen gemessen worden.

Männer

glottalisiert nicht-glottalisiert Frauen

110 90

82 108

Kommt die Glottalisierung häufiger bei Männern vor?

n 200 190

Genauer: sind 110/200 und 82/190 voneinander signifikant unterschiedlich?

Silbenfinaler /t/

Geschlecht

Die Frage in eine Proportion umsetzen: unterscheiden sich

die Proportionen der Glottalisierungen zwischen M und F?

(11)

prop.test(c(110, 82), c(200, 190))

data: c(110, 82) out of c(200, 190)

X-squared = 5.0034, df = 1, p-value = 0.0253 alternative hypothesis: two.sided

95 percent confidence interval:

0.01473134 0.22211077 sample estimates:

prop 1 prop 2 0.5500000 0.4315789

Männer und Frauen dieses Dialekts unterscheiden sich in der Häufigkeit der silbenfinalen /t/-

Glottalisierung 

²

(1) = 5.00, p < 0.05.

Männer

glottalisiert nicht-glottalisiert Frauen

110 90

82 108

n 200 190 Silbenfinaler /t/

Geschlecht

(12)

Diese Daten zeigen, inwiefern in der Erzeugungen einiger Sätze H* im Gegensatz zu L*+H in

akzentuierten Wörtern von Versuchspersonen aus München und Hamburg erzeugt wurden.

Gibt es zwischen München und Hamburg einen signifikanten Unterschied in der Verteilung

dieser Tonakzente?

München Hamburg

L+H H

25 14

56 93

(13)

Die Verteilung der /l/ Vokalisierungen in einem Dialekt in 4 Altersgruppen ist wie folgt:

2 Faktoren, ein Faktor mit 2 Stufen, die andere mit mehr als 2 Stufen

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59

Hat Alter einen signifikanten Einfluss auf /l/-Vokalisierung?

Alter /l/

pfad = "das Verzeichnis der gespeicherten Datei lvoc.txt"

lvoc = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lvoc.txt", sep="/")))

barplot(lvoc, beside=T, legend=T)

= ist die Verteilung der /l/s in den Alterstufen unterschiedlich?

(14)

In Proportionen umwandeln – und dazu brauchen wir die jeweiligen Gruppensummen

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59

lvoc

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus 92 104 146 97

und vergleichen dann miteinander 58/92, 55/104, 62/146, 38/97 apply(lvoc, 2, sum)

prop.test(c(58, 55, 62, 38), c(92, 104, 146, 97))

(15)

prop.test(c(58, 55, 62, 38), c(92, 104, 146, 97))

data: c(58, 55, 62, 38) out of c(92, 104, 146, 97) X-squared = 14.0959, df = 3, p-value = 0.002778

alternative hypothesis: two.sided sample estimates:

prop 1 prop 2 prop 3 prop 4 0.6304348 0.5288462 0.4246575 0.3917526

Alter hat einen signifikanten Einfluss auf //-Vokalisierung,



²

(3) = 14.10, p < 0.01

Das gleiche mit chisq.test() chisq.test(lvoc)

Pearson's Chi-squared test data: lvoc

X-squared = 14.0959, df = 3, p-value = 0.002778

(16)

Wie wird 

²

berechnet?



²

ist die Abweichung der tatsächlich vorkommenden (Observed) von den zu erwartenden (Expected)

Verteilungen, unter der Annahme (Null Hypothese) dass die Verteilungen pro Gruppe gleich sind.

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59

Null Hypothese: die Proportion der vokalisierten //s ist in allen 4 Gruppen gleich.

d.h. unter der Null-Hypothese müssten 0.4851936 der /l/s in jeder Altersgruppe vokalisiert sein. zB für A20min:

0.4851936 * sum(lvoc[,1]) [1] 44.63781 [1] 0.4851936

Proportion der vok //s unabhängig vom Alter = sum(lvoc[1,])/sum(lvoc)

Anzahl der vokalisierten /l/s dividiert durch Anzahl aller /l/s.

(17)

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus

vok 44.63781

nicht-vok 47.36219

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 58 55 62 38 nicht-vok 34 49 84 59

Observed

Expected 0.4851936 * sum(lvoc[,1])

r = chisq.test(lvoc) r$expected

A20min A20bis30 A31bis40 A41plus vok 44.63781 50.46014 70.83827 47.06378 nicht-vok 47.36219 53.53986 75.16173 49.93622

(1- 0.4851936) * sum(lvoc[,1])

oder sum(lvoc[,1])- 44.63781

(18)

O = lvoc

E = r$expected d = (O - E)^2/E

<20 30s 40s >41 mitvok 3.999928 0.4084483 1.102723 1.745549 ohnevok 3.769844 0.3849535 1.039292 1.645141

Je größer die Abweichung von 0 (Null) umso mehr trägt eine Zelle zum signifikanten Ergebnis bei.

Wie wird 

²

berechnet?

Wir wollen die Größe der Abweichung, d, zwischen Observed und Expected prüfen (die Null Hypothese: d

= 0).

E E d ( O  )

²





²

ist dann einfach die Summe der Abweichungen:

sum(d) 14.0959

d

(19)



²

-Test für einen Trend

In der Standardaussprache von England, RP, wurde von einer vornehmeren Schichte der Gesellschaft vor 50 Jahren 'lost' mit einem hohen Vokal gesprochenen (auch 'often').

pfad = "das Verzeichnis der gespeicherten Datei lost.txt"

lost = as.matrix(read.table(paste(pfad, "lost.txt", sep="/")))

Hier ist die Häufigkeit der Verwendung von /lo:st/

(Vokal = high) oder /lɔst/ (Vokal = low) in Sprechern, die in 6 verschiedenen Jahren aufgenommen wurden (hypothetische Daten).

high low 1950 30 5 1960 18 21 1971 15 26 1980 13 20 1993 4 32 2005 2 34

Gibt es einen Trend? d.h.

nimmt die Proportion der /lɔst/ Erzeugungen zu?

In 1950 produzierten 30

Sprecher /lo:st/ und 5 /lɔst/.

(20)

Abbildung

Wir standardisieren die Jahre, sodass 0 = 1950.

jahr = as.numeric(rownames(lost)) jahr = jahr - 1950

# Proportion von /lo:st/ berechnen p = lost[,1]/apply(lost, 1, sum)

plot(jahr, p, type="b")

Test:

prop.trend.test(x, n, score) x: die Anzahl von /lo:st/

n: Gesamtanzahl pro Jahr

score: die X-Achsen Werte, für die wir einen linearen Trend berechnen wollen.

Proportionen von /lo:st/

über 55 Jahre

0 10 20 30 40 50

0.20.40.60.8

jahr

Proportion

(21)

prop.trend.test(lost[,1], n, jahr)

# Spalte 1 hat die Anzahl von /lo:st/

x = lost[,1]

# Summe lo:st + lɔst getrennt pro Jahr n = apply(lost, 1, sum)

data: lost[, 1] out of n ,

using scores: 0 10 21 30 43 55

X-squared = 54.506, df = 1, p-value = 1.550e-13

Die Proportion von /lo:st/ nimmt in späteren Jahren

signifikant ab (

²