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Vorlesungspr¨ufung Lineare Algebra I - 23.3.2007
Aufgabe 1. Sei V ein Vektorraum ¨uber K und A ⊆ V eine Teilmenge. Zeige, daß die lineare H¨ulle von A gegeben ist durch
L(A) = n
X
i=1
λiai :ai ∈A, λi ∈K, n∈N
(6P.) Aufgabe 2. (a) Was versteht man unter der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung?
Wie findet man die Eintr¨age der Matrix?
(b) Bestimme die Matrixdarstellung der linearen Abbildung f :Z7[x]3 →Z7[x]2
p(x)7→p(0) +p(1)x+p(2)x2
bez¨uglich der Basen {1, x, x2, x3} ⊆Z7[x]3 und {1,1 +x,1 +x+x2} ⊆Z7[x]2. (8P.) Aufgabe 3. Beschreibe und beweise den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Fak- torisierungen eines Polynoms p(x)∈K[x].
(6P.) Aufgabe 4. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Determinanten und Determinan- tenformen und zeige, daß
detAB = detA·detB.
Die Tatsache, daß der Raum der Determinantenformen eindimensional ist, braucht dabei nicht bewiesen zu werden.
(8P.)
NB: Alle Rechenschritte sind nachvollziehbar anzugeben, bzw. das Ergebnis m¨oglichst wortreich zu begr¨unden.
