Lehr- und Forschungsgebiet
Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen
Prof. Dr. E. Grädel, F. Abu Zaid, W.Pakusa
SS 2013
10. Übung Logik und Spiele
Abgabe: bis Montag, den 01. 07. um 12:00 Uhr am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
Aufgabe 1
Eineverallgemeinerte Büchi-Bedingung über einer MengeC von Farben ist gegeben durch eine Familie Bvon Teilmengen von C, also B={B1, . . . , Bk} und B1, . . . , Bk⊆C. Sie definiert die Muller-Gewinnbedingung (F0,F1), mit F0 := {X ⊆C : für alle 1 ≤i≤ k :X∩Bi 6=∅} und F1=P(C)\ F0.
Ein verallgemeinertes Büchi-Spiel über einer Arena G = (V, V0, V1, E,Ω: V → C) ist ein TupelG = (G,B), wobeiB eine verallgemeinerte Büchi-Gewinnbedingung für Spieler 0 ist.
(a) Ermitteln Sie für eine gegebene verallgemeinerte Büchi-GewinnbedingungBminimale Werte m0, m1 ≥ 1, so dass verallgemeinerte Büchi-Spiele mit Gewinnbedingung B determiniert sind via Strategien mit Speicher der Größe mi für Spieleri.
(b) Wir sagen, dass eine Muller-Bedingung (F0,F1) abgeschlossen ist unter Obermengen, falls X ∈ F0, X ⊆ Y impliziert Y ∈ F0. Zeigen Sie, dass unter Obermengen abgeschlossene Muller-Bedingungen genau den verallgemeinerten Büchi-Gewinnbedingungen entsprechen.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass das folgende Entscheidungsproblem NP-vollständig ist.
• Gegeben ein verallgemeinertes Büchi-SpielG= (G,B), v∈V und eine natürliche Zahlk.
• Frage: Hat Spieler 0 von v aus eine Gewinnstrategie mit Speicher der Größek?
Hinweis:Verwenden Sie für den Beweis der NP-Härte das NP-vollständige ProblemVertexcover: Gegeben ein GraphG= (V, E) und eine natürliche Zahlk. Frage: Gibt es eine TeilmengeX⊆V mit|X| ≤k, so dass für alle Kanten (v, w)∈E giltv∈X oder w∈X.
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Aufgabe 3
(a) Wir betrachten das durch die folgende Matrix gegebene 2-Personen-Spiel:
"
(2,5) (1,1) (4,3) (2,3)
#
Hat dieses Spiel
(i) ein Gleichgewicht in dominanten Strategien?
(ii) ein reines Nash-Gleichgewicht?
(b) Ist für alle Spiele jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien auch ein Nash-Gleichgewicht?
(c) Geben Sie ein endliches Zwei-Personen-Spiel in strategischer Form an, das ein eindeutiges (reines) Nash-Gleichgewicht hat, so dass beide Gleichgewichts-Strategien von einer anderen Strategie des jeweiligen Spielers dominiert werden.
Aufgabe 4
(a) Wir betrachten das Spiel „Battle of the Sexes“ aus der Vorlesung, das durch die folgende Matrix gegeben ist:
"
(2,1) (0,0) (0,0) (1,2)
#
Bestimmen Sie alle gemischten Nash-Gleichgewichte dieses Spiels.
(b) Wir betrachten das Spiel „Schere – Stein – Papier“ wie in der Vorlesung definiert. Zeigen Sie, dass das Paar von gemischten Strategien, in dem beide Spieler jeweils mit Wahrschein- lichkeit 13 Stein, Schere oder Papier auszuwählen, das einzige Nash-Gleichgewicht ist.
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