Gruppenübung, Mathematische Logik, SS 2009 Aufgabe1 (a) Geben Sie alle Redukte der Struktur(Z,+,⋅,<)an

6. Gruppenübung, Mathematische Logik, SS 2009

Aufgabe1

(a) Geben Sie alle Redukte der Struktur(Z,+,⋅,<)an.

(b) Geben Sie alle Substrukturen von(Z/12Z,+,⋅)(Addition und Multiplika- tion modulo 12) an.

Aufgabe2

Gegeben sei das TransitionssystemK = ({1, . . . , 6},E_a,E_b,P,Q)mit zweistel- ligen RelationenE_a,E_b und einstelligen RelationenP,Q, wie folgt:

/.-, ()*+1

a

55

b

b

/.-, ()*+2P

uu a

b

/.-,

()*+6 P

a **

/.-, ()*+3 yy a /.-,

()*+5Q b

///.-,()*+4Q a

DD

(i) Geben Sie für jede der folgenden Formelnφ(x)die Menge der Zustän- dev an, für dieK ⊧ φ(v)gilt.

(1) φ₁(x) ∶= ∀y(E_ax y → ¬P y);

(2) φ₂(x) ∶= ∃y(E_ax y∧ ∀z¬E_byz);

(3) φ₃(x) ∶= ∀y[(E_ax y∨E_bx y) → (Q y∧ ∃z(E_az y∧Pz))].

(ii) Geben Sie eine Formelψ(x)an, so dassK ⊧ψ(v)genau für die Zustän- dev ∈ {2, 5, 6}gilt.