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Academic year: 2021

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Technische Universität Chemnitz 04. August 2008 Fakultät für Mathematik

Höhere Mathematik I.1 für Bachelorstudiengänge / Mathematik für Chemiker I

Prüfungsklausur

Allgemeine Hinweise: Jede Aufgabe ist auf einem gesonderten Blatt zu bearbeiten!

Schreiben Sie alle wesentlichen Schritte auf dem Weg zum Ergebnis nachvollziehbar auf!

Zugelassene Hilfsmittel: gedruckte Formelsammlungen, Vorlesungsskript, Arbeitsblätter zur Vorlesung, beliebige Taschenrechner

1. (6 Punkte)

Ermitteln Sie alle dritten Wurzeln aus der Zahl − 216 i in trigonometrischer und in algebrai- scher Darstellung!

2. (5 Punkte)

Einem Käufer wird für eine Ware, die bei sofortiger Zahlung 10 000 e kostet, eine Ratenzah- lung von 5 jährlichen Raten, bestehend aus 4 Raten von 2000 e und einer Schlussrate von 4000 Euro angeboten, wobei die erste Rate sofort fällig ist. Der Käufer legt dem Vergleich der Angebote den Zinssatz seines Tagesgeldkontos von 3,8 % p.a. zugrunde. Bestimmen Sie den Barwert des Ratenkaufangebots! Ist dieses für den Käufer günstiger als die sofortige Zahlung?

3. (10 Punkte)

Berechnen Sie durch Taylorentwicklung der Funktion f (x) = x cos x − 3 sin x an der Stelle x

0

=

π2

bis zum quadratischen Glied einen Näherungswert für f (

π2

− 0,07) und schätzen Sie den dabei entstehenden Fehler mit dem Lagrangeschen Restglied ab!

4. (10+5 Punkte)

Zum Zeitpunkt t = 0 werden 1000 Bakterien in eine Nährlösung gegeben. Die Zahl der Bak- terien entwickelt sich nach der Formel f (t) = G

1 + Ae

−0,2t

, wobei die Sättigungsgrenze bei 20 000 Bakterien liegt.

a) Bestimmen Sie die Parameter G und A !

b) Zeigen Sie, dass die Funktion f (t) monoton wachsend ist!

c) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Zahl der Bakterien 10 000 ? Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt die Wachstumsgeschwindigkeit der Population?

d) (Zusatz) Zu welchem Zeitpunkt wächst die Population am stärksten?

5. (9 Punkte) Sei f (x) = √

2x − x

2

(1 − x).

a) Für welche reellen x ist durch f (x) eine reellwertige Funktion definiert?

b) Bestimmen Sie die Stammfunktion von f (x) durch Rückführung auf ein Grundintegral mittels geeigneter Substitution!

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der über dem in a) ermittelten Definitionsbereich von der

Funktion f (x) und der x–Achse begrenzten Fläche!

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