7 Quantenmechanik in drei Dimensionen (2)

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7 Quantenmechanik in drei Dimensionen (2)

Aufgabe 7.1: Zentrifugalbarriere-Effekt

Betrachten Sie ein Teilchen im Zentralpotential. Es sei E_l das niedrigste Energieniveau f¨ur ein bestimmtesl, wobeil die Drehimpulsquantenzahl ist. Zeigen Sie, dassE_l eine wachsende Funktion von l ist.

Aufgabe 7.2: Kugelfl¨achenfunktionen als harmonische Funktionen

(a) Ein Polynom P_l(x, y, z) wird “homogen vom Grad l” genannt, wenn P_l(λx, λy, λz) = λ^lP_l(x, y, z). Eine Funktion P(x, y, z) wird “harmonisch” genannt, wenn ∆P = 0.

Berechnen Sie die Zahl linear unabh¨angiger homogener und harmonischer Polynome vom Grad l.

(b) Betrachten Sie nun die Funktionen

Y(x, y, z) = P_l(x, y, z) r^l ,

wobei P_l ein homogenes, harmonisches Polynom vom Grad l ist. Zeigen Sie, dass Y eine Funktion auf der Kugelfl¨ache darstellt, und dass

ˆl²Y =~²l(l+ 1)Y, wobei ˆl der Drehimpuls-Operator ist.

Hinweis: Der Laplace-Operator wird in Kugelkoordinaten als

∆ = 1 r

∂²

∂r²r− ˆl²

~²r² dargestellt.

(c) Begr¨unden Sie, dass man in dieser Weise alle Eigenfunktionen des Operatorsl² erzeu- gen kann. Begr¨unden Sie umgekehrt auch, dass die Funktionen P(r) = r^lY_lm(θ, φ) homogene harmonische Polynome vom Grad l in den Koordinaten x, y und z sind.

Geben Sie explizite Darstellungen von den Kugelfl¨achenfunktionenY_lm(θ, φ) mit l≤2 in der Form

Y_lm(θ, φ) = P_lm(x, y, z) r^l ,

wobei P_lm(x, y, z) ein homogenes harmonisches Polynom vom Grad l ist.

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Aufgabe 7.3: Drehimpulsmessung eines drei-dimensionalen Teilchens

Ein Teilchen in einem Potential sph¨arischer Symmetrie sei durch das Wellenpaket ψ(x, y, z) = 2π⁻³^/⁴3⁻¹^/²a⁻⁷^/²(xy+yz+zx)e^−r²^/²^a²

beschrieben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass eine Messung des Drehimpul- squadrates den Wert Null ergibt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich 6~²? Welches sind die relativen Wahrscheinlichkeiten f¨urm =−2,−1,0,1,2 im Zustandl = 2?

Aufgabe 7.4: Wasserstoffatom

Betrachten Sie die Berechnung des Spektrums des Wasserstoffatoms ohne die N¨aherung einer unendlichen Protonmasse. In diesem Fall, handelt es sich um ein Zweiteilchenproblem. Eine Beschreibung der gebundenen Zust¨ande findet im Ruhesystem des Massenmittelpunkts statt.

Im Ruhesystems des Massenmittelpunkts wird ein Zwei-Teilchen-System als effektives Ein-Teilchen-System beschrieben, mit den kanonischen Orts- und Impulskoordinaten

r =r1−r2, p=p1 =−p2.

(a) Geben Sie den Hamilton-Operator f¨ur das Wasserstoffatom im Ruhesystems des Massen- mittelpunkts an.

(b) Was sind die Energie-Eigenwerte der gebundenen Zust¨ande? Wie gross sind die Un- terschiede im Vergleich zur N¨aherung einer unendlichen Protonmasse?

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