7. ¨ Ubungsblatt zur

Fachbereich Mathematik JProf. Dr. Christian Meyer Lucia Panizzi

WS 2009/2010 9.12.2009

7. ¨ Ubungsblatt zur

” Nichtlineare Optimierung“

Haus ¨ubung

Aufgabe H1 (Exakte L¨osung eines Trust-Region-Problems) F¨ur die quadratische Funktion

q(s) =c^Ts+1

2s^THs, mitc∈R, H ∈R^n,nsymmetrisch, betrachten wir f¨ur∆>0das Problem

minq(s) u.d.N.ksk ≤∆. (P)

Zeigen Sie:

(a) Das Problem (P) besitzt eine L¨osung.

(b) Wenn es einλ≥0gibt, so dass die Bedingungen

(H+λI)¯s=−c (1)

λ(k¯sk −∆) = 0 (2)

H+λIist positiv semidefinit (3)

erf¨ullt sind, dann ists¯eine L¨osung von (P).

Hinweise:

• Beachten Sie, dass aus (2) folgt, dass entwederk¯sk= ∆oderk¯sk<∆undλ= 0.

• Betrachten Sie zun¨achst die Funktionq(s) :=˜ c^Ts+¹₂s^T(H+λI)s=q(s)+^λ₂ksk² und zeigen Sie, dasss¯ein globales Optimum vonmins∈Rⁿq(s)˜ ist.

Bemerkung:Die Bedingungen (1)–(3) sind nicht nur hinreichend, sondern auchnotwendige Optimalit¨atsbedingungen, wie wir im Zusammenhang mit der Karush-Kuhn-Tucker-Theorie noch sehen werden.

Aufgabe H2 (Beispiel f¨ur ein Trust-Region-Problem) Gegeben sei

minc^Ts+1

2s^THs u.d.N. ksk ≤√

2, mitc=

1

−1

, H =

0 1

1 0

.

(a) Geben Sie die notwendigen und hinreichenden Optimalit¨atsbedingungen an (siehe letz- te Aufgabe).

(b) Bestimmen Sie die L¨osung des Trust-Region-Problems.

Hinweise:Berechnen Siesin Abh¨angigkeit vonλaus der notwendigen Optimalit¨atsbe- dingung (1), d.h.s=s(λ) =−(H+λI)⁻¹c, und die zugeh¨orige Normp(λ) =ks(λ)k.

Zeigen Sie dann, dassλ 6= 0im Optimum, und berechnen Sie daraus das zugeh¨orige Optimums¯unter Ausnutzung von (1)–(3). Betrachten Sie den Fallλ= 1gesondert.

Abgabe der Hausaufgaben: Am 16. bzw. 18.12.2009 in der ¨Ubung.