Linien­ oder Kurvenintegrale Aufgaben 12­21

Linien­  oder  Kurvenintegrale

Aufgaben  12­21

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Aufgabe  12a Aufgabe  12a

14­1

C  ist  eine  geschlossene  Kurve,  die  aus  der  oberen  Hälfte  eines  Kreises  mit  dem Radius  R = 1  und  einem  Durchmesser  von  A  nach  B  besteht,   wie  es  in  der  Ab­

bildung  gezeigt  wird.  Berechnen  Sie  folgendes  Linienintegral

Abb.  A12a:   Graphische  Darstellung  des  Intagrationsweges  der  Aufgabe

∫

C

F d r , F = −y , x , C = C₁  C₂

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Lösung  12a Lösung  12a

W =

∫

C

F d r =

∫

C₁

F d r 

∫

C₂

F d r = W₁  W₂

W₁ =

∫

C₁

F ⋅d r =

∫

C₁

F ⋅ d r

dt dt =

∫

0



sin²t  cos² dt =

∫

0



dt = 

r = cos t , sin t , d r

dt = −sin t , cos t F = −y , x = −sin t , cos t , F ⋅ d r

dt = cos² t  sin² t = 1

W₂ =

∫

C₂

F ⋅d r = 0, F ⋅d r = 0

r = x , y = x , 0 , F = −y , x = 0, x W = W₁  W₂ =   0 = 

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Aufgabe  12b Aufgabe  12b

Abb.  A12b:   Graphische  Darstellung  des  Intagrationsweges  der  Aufgabe

C  ist  eine  geschlossene  Kurve,  die  aus  einem  Teil  des  Kreises  mit  dem Radius  R = 1  und  einem  Segment  AB,  wie  es  in  der  Abbildung  gezeigt wird  besteht.  Berechnen  Sie  folgendes  Linienintegral

∫

C

F d r , F = −y , x , C = C₁  C₂ 14­3

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Aufgabe  12b Aufgabe  12b

W =

∫

C

F d r =

∫

C₁

F d r 

∫

C₂

F d r = W₁  W₂

W₁ =

∫

C₁

F ⋅d r =

∫

C₁

F ⋅ d r

dt dt =

∫

0 3 /2

sin² t  cos² dt = 3 2

r = cos t , sin t , d r

dt = −sin t , cos t F = −y , x = −sin t , cos t , F ⋅ d r

dt = 1

W₂ =

∫

C₂

F ⋅d r = 0

F = −y , x , r = x , y , F ⋅ r = −x y  x y = 0

W = W₁  W₂ = 3

2  0 = 3

2

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Aufgaben  13­18 Aufgaben  13­18

Berechnen  Sie  folgende  Linienintegrale

∫

C



x dy − y dx



, C : y = x³ , 0  x  2 Aufgabe  13:

15­A

∫

C



^{yx dx  dy}



^{, C : y = ln x , 1  x  e}

Aufgabe  14:

∫

C



2 x y dx  x² dy



, C : y = x²

4 , 0  x  2 Aufgabe  15:

∫

C



2 x y dx − x² dy



, C : y =



^{2x , 0  x  2}

Aufgabe  16:

∫

C



cos y dx − sin y dy



, C : y = −x , −2  x  2 Aufgabe  17:

∫

C

x y²dx , x = cos t , y = sin t , 0  t   Aufgabe  18: 2

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Lösungen  13­16 Lösungen  13­16

∫

C



x dy − y dx



=

∫

0 2

x ⋅3 x² − x³ dx = 2

∫

0 2

x³ dx = 8 Lösung  13:

Lösung  14:

∫

C



x^y dx  dy



⁼

^∫

₁^e



^lnx^x  1

x



^{dx =}

[

^{12 ln2 x  ln x}

]

1 e

= 3 2

∫

^ln_x^{x dx = 1}₂ ^{ln2 x}

Lösung  15:

∫

C



2 x y dx  x² dy



⁼

∫

0 2

x³ dx = 4

Lösung  16:

∫

C



2 x y dx − x²dy



= 3

2



²

∫

0 2

x



^{x dx = 3}

2



²

∫

0 2

x

3

2 dx =

= 3

5



²

[

^x52

]

0 2

= 12 5

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Lösungen  17, 18 Lösungen  17, 18

15­2

∫

C



cos y dx − sin y dy



=

∫

−2 2

 cos−x  sin −xdx = Lösung  17:

=

∫

−2 2

 cos x − sin xdx = 2 sin 2

Lösung  18:

∫

C

x y² dx = −

∫

0

/2

cos t sin³ t dt = −

[

^{sin44 x}

]

^{ /}₀ ^{2 = − 14}

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Aufgaben  19­21 Aufgaben  19­21

Berechnen  Sie  das  Linienintegral       .  Die  Kurve  C  ist  die geradlinige  Verbindung  vom  Punkt  A  zum  Punkt  B.

∫

C

F d r

∫

C



x³ dy − x y dx



, C : A = 0,−2 , B = 1, 3

Aufgabe  19:

∫

C



−3 x² dx  y³ dy



, C : A = 0, 0 , B = 2, 4 Aufgabe  20:

∫

C



^{2 x − y dx  4 x  5 y dy}



Aufgabe  21:

C : A = 3,−4 , B = 1, 2

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Lösungen  19, 20 Lösungen  19, 20

Lösung  19:

x − x_A

x_B − x_A = y − y_A

y_B − y_A , x = y  2

5 ⇒ y = 5 x − 2 dy = y ' dx = 5dx

A0,−2 , B 1, 3

Die  Gleichung  der  Geraden  AB  ist:

∫

C



x³ dy − x y dx



=

∫

0 1

5 x³ − x5 x − 2 dx =

=

[

^{54 x4 − 53 x3  x2}

]

0 1

= 7 12

Lösung  20: A0, 0 , B2, 4 x − x_A

x_B − x_A = y − y_A

y_B − y_A , x

2 = y

4 ⇒ y = 2 x , dy = 2 dx

∫

C



−3 x² dx  y³dy



=

∫

0 2

−3 x²  16 x³ dx = 56 16­1

Das  Linienintegral:  

c

Das  Linienintegral:   Lösungen  21 Lösungen  21

Lösung  21: A3,−4 , B 1, 2

x − x_A

x_B − x_A = y − y_A

y_B − y_A , x−3

−2 = y4 6

∫

C



^2 x − y dx  4 x  5 y dy



⁼

∫

3 1

38 x − 80 dx = 8 ⇒ y = 5 − 3 x , dy = −3 dx