Fachbereich Mathematik M. Kohler
A. Fromkorth J. Mehnert
WS 2008/09 16. Februar 2009
L¨ osungsvorschl¨ age zum 11. ¨ Ubungsblatt zur
” Statistik I f¨ ur Human- und Sozialwissenschaft“
L¨osung zur Aufgabe 37 (3 Punkte)
X1, . . . , Xn sind jeweils binomialverteilt mit Parametern 1 und p. Außerdem sind sie wegen der gemachten Modellannahmen unabh¨angig. F¨ur die Binomialverteilung mit Parametern 1 undpgilt
p=EX.
Nach der Vorlesung ist
T(x1, . . . , xn) = x1+· · ·+xn
n
ein konsistenter und erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur den Erwartungswert, deshalb haben wir mit T(X1, . . . , Xn) einen erwartungstreuen und konsistenten Sch¨atzer f¨urp.
L¨osung zur Aufgabe 38 (3 Punkte)
(a) Aufgrund der Art des Urnenexperiments handelt es sich um eine Binomialverteilung mit n = 1. Es ist also lediglich p zu bestimmen. Sind in der Urne θ schwarze Kugel, so ist die Wahrscheinlichkeit zuf¨allig eine schwarze Kugeln zu ziehen θ5. Somit folgt:
p=Pθ{X1= 1}= θ 5.
(b) Aufgrund des Ergebnisses bei der Ziehung reicht es die F¨alle θ ∈ {1,2,3,4} zu betrachten (da f¨ur θ = 0 bzw. θ = 5 die Ziehungsergebnisse nicht auftreten k¨onnen, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur ein solches Ziehungsergebnis gleich 0). Wegen der Unabh¨angigkeit gilt f(θ) =Pθ[X1= 0, X2= 1, X3= 1] =Pθ[X1 = 0]·Pθ[X2= 1]·Pθ[X3 = 1] = (1−p)·p·p
f(1) = 4 5 ·1
5·1 5 = 4
125 f(2) = 3
5 ·2 5·2
5 = 12 125 f(3) = 2
5 ·3 5·3
5 = 18 125 f(4) = 1
5 ·4 5·4
5 = 16 125 Da f(3) maximal ist, entscheiden wir uns f¨urθ= 3.
11. ¨Ubung Statistik I f¨ur Human- und Sozialwissenschaft
L¨osung zur Aufgabe 39 (3 Punkte)
(a)
E
X−µ σ
= 1
σE{X−µ}= 1
σ (EX−µ) = 0 V
X−µ σ
= 1
σ 2
V{X−µ}= 1
σ 2
V{X}= 1
σ 2
·σ2 = 1 (b)
E ( 1
√3·σ
3
X
i=1
(Xi−EXi) )
= 1
√3·σE ( 3
X
i=1
(Xi−EXi) )
= 1
√3·σ
3
X
i=1
E{(Xi−EXi)}
= 1
√3·σ
3
X
i=1
(EXi−EXi) = 0
V ( 1
√3·σ
3
X
i=1
(Xi−EXi) )
=
1
√3·σ 2
V ( 3
X
i=1
(Xi−EXi) )
=
1
√3·σ 2
V ( 3
X
i=1
Xi−
3
X
i=1
EXi )
=
1
√3·σ 2
V ( 3
X
i=1
Xi )
Wegen der Unabh¨angigkeit gilt dann 1
√ 3·σ
2
V ( 3
X
i=1
Xi
)
= 1
√ 3·σ
2 3
X
i=1
V{Xi}.
Da X1, X2, X3 identisch verteilt sind folgt 1
√3·σ 2 3
X
i=1
V{Xi}= 1
√3·σ 2
·3·V{X1}= 1
L¨osung zur Aufgabe 40 (3 Punkte)
X=
n
X
i=1
Xi, wobeiXi =
1 , falls Ente i¨uberlebt 0 , falls Ente inicht ¨uberlebt Es gilt:
P{Xi = 1}= 9
10 10
⇒ E(Xi) = 1·P{Xi = 1}= 9
10 10
≈0,349
⇒ E(X) =E
10
X
i=1
Xi
!
≈10·0,349 = 3,49
2
