Formelsammlung Elektrotechnik

(1)

Thema Bereiche Seite

Komplexe Zahlen Definition 4-2

Normalform 4-2

trigonometrische Form 4-2

Eulersche Form 4-2

Versorform 4-2

Bedienungsanleitung für TR Sharp EL546R 4-3

Casio fx-991WA 4-3

Rechnen mit komplexen Zahlen Gleichheit von komplexen Zahlen 4-4 Konjugiert komplexe Zahlen 4-4 Addition und Subtraktion 4-4

Multiplikation und Division 4-5

Definition von j 4-5

Multiplikation komplex mit konjugiert komplex 4-5 Inversion einer komplexen Zahl 4-5 Grundzweipole komplex dargestellt Widerstand komplex 4-6

Spule komplex 4-6

Kondensator komplex 4-6

Komplexe Widerstände Zeigerdiagramm 4-7

Berechnung 4-7

Komplexe Leistung Zeigerdiagramm 4-7

Berechnung 4-7

Grundschaltungen komplex Reihenschaltung komplexer Widerstände 4-8

Parallelschaltung komplexer Widerstände 4-8

Umwandlung Reihen- in Parallelschaltung 4-8 Umwandlung Parallel- in Reihenschaltung 4-9

Resonanz Definition 4-9

Reihenresonanz 4-9

Parallelresonanz 4-10

Dämpfung Definition 4-11

Dämpfungsmaß 4-11

Komplexe Übertragungsfunktion Übertragungsfunktion allgemein 4-12

Amplituden-Frequenzgang allgemein 4-12

Phase-Frequenzgang allgemein 4-12

RC-Tiefpaß 4-13

RC-Hochpaß 4-14

RL-Tiefpaß 4-15

RL-Hochpaß 4-16

Frequenznormierung (Bode-Diagr.) Definition und Normierung 4-17

Normierter Tiefpaß 4-17

Normierter Hochpaß 4-17

Bode-Diagramme Tiefpaß 4-18

Bode-Diagramme Hochpaß 4-19

(2)

Komplexe Zahlen und deren Darstellung:

b j a c= + • c = c komplex

a = Realanteil von c ( auch Re {c} ) b = Imaginäranteil von c ( auch Im {c} ) Darstellungsformen:

1. Normalform (algebraische Schreibweise):

b j a c= + •

2. Polarform ( trigonometrische Schreibweise ):

2

2 b

a

c = + |c| = Betrag (Länge) von c komplex

(

cosϕ+ •sinϕ

)

•

= c j

c a= c •cosϕ b= c•sinϕ

3. Eulersche Form ( Exponentialschreibweise ):

Nach Euler gilt: e^j^•^ϕ =cosϕ+ j•sinϕ

⇒ c= c•e^j^•^ϕ 4. Versorform:

ϕ

∠

=c

c ( ∠ϕsprich: versor phi )

(3)

Umrechnung komplexer Zahlen mit dem Taschenrechner:

Taschenrechner Sharp EL546R:

Mit 2ndF + Math + 1 den Taschenrechner in den Modus für komplexe Zahlen bringen.

Mit Math + 1 wird die Darstellung in der Versorform eingestellt. (r0-Anzeige im Display) Mit Math + 2 wird die Darstellung in der Normalform eingestellt. (xy-Anzeige im Display) Mit 2ndF + Exp wird zwischen der Anzeige des Realanteils und des Imaginäranteils von c bzw. zwischen der Anzeige des Betrages und ∠ϕ von c hin und her gewechselt.

Mit a^b/c wird das j-Zeichen dargestellt. Mit D°M’S wird das Versor-Zeichen dargestellt.

Umrechnung Normalform → Versorform:

- Taschenrechner auf Versorform einstellen ( Math + 1 )

- Komplexe Zahl in der Normalform eingeben und mit = betätigen (z.B. 3 + a^b/c 2 = ) - Es wird der Betrag von c angezeigt

- Für ∠ϕ 2ndF + Exp betätigen

Umrechnung Versorform → Normalform:

- Taschenrechner auf Normalform einstellen ( Math + 1 )

- Komplexe Zahl in der Versorform eingeben und mit = betätigen (z.B. 3 D°M’S 2 2 = ) - Es wird der Realanteil von c angezeigt

- Für den Imaginäranteil 2ndF + Exp betätigen

Taschenrechner Casio fx 991 WA:

Mit Mode + 2 den Taschenrechner in den Modus für komplexe Zahlen bringen.

!!! Die Darstellung erfolgt immer in der Normalform !!! Keine Umstellung auf die Versorform im komplexen Modus möglich.

Mit ENG wird das j-Zeichen dargestellt.

Betrag einer komplexen Zahl (z.B. 3 + j4) berechnen:

Shift ) ( 3 + 4 ENG ) = eingeben.

Winkel einer komplexen Zahl (z.B. 3 + j4) berechnen:

Shift ( ( 3 + 4 ENG ) = eingeben.

Umrechnungen zwischen der Versorform und der Normalform müssen über den Umweg der Berechnung von Polarkoordinaten (Versorform) und der kartesischen Koordinaten (Normalform) getätigt werden:

Mit Mode + 1 den Taschenrechner in den normalen Modus schalten.

Umrechnung kartesich (Normalform) → polar (Versorform) (z.B. 3 + j4):

- Pol( 3 , 4 ) = eingeben und es wird der Betrag = Länge angezeigt.

- Der Winkel wird mit RCL tan angezeigt.

- Mit RCL cos wird der Betrag angezeigt.

Umrechnung polar (Versorform) → kartesich (Normalform) (z.B. 3_∠65_°):

- Shift Pol( 3 , 65 ) = eingeben und es wird der Realanteil = x-Wert angezeigt.

- Der Imaginäranteil = y-Wert wird mit RCL tan angezeigt.

- Mit RCL cos wird der Realanteil angezeigt.

(4)

Gleichheit von komplexen Zahlen:

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre Realanteile und ihre Imaginäranteile gleich sind.

f j e d

b j a c

• +

=

• +

= ⇒ c und d sind gleich, wenn a=e und b=f ist.

Konjugiert komplexe Zahlen:

Die konjugiert komplexe Zahl wird gebildet, indem man die komplexe Zahl an der reellen Achse spiegelt.

c = komplexe Zahl

c* = konjugiert komplexe Zahl In der Normalform:

b j a

c= + • ⇒ c*=a− j•b In der trigonometrischen Form:

(

^cos^ϕ⁺ ^•^sin^ϕ

)

•

=c j

c ⇒ ^c^*⁼ ^c^•

(

^cos^ϕ⁻ ^j^•^sin^ϕ

)

In der Eulerschen Form:

•ϕ

•

= c e^j

c ⇒ c*= c•e⁻^j^•^ϕ In der Versorform:

ϕ

∠

=c

c ⇒ c*= c∠−ϕ

Addition oder Subtraktion von komplexen Zahlen:

Zur Addition oder Subtraktion von komplexen Zahlen müssen diese in der Normalform vorliegen !!!

Regel:

Zwei komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Realanteile und ihre Imaginäranteile addiert bzw. subtrahiert.

d j c z

b j a z

• +

=

• +

=

2

1 ⇒

( ) ( )

(

^a ^c

)

^j

(

^b ^d

)

z z

d b j c a z z

−

• +

−

=

−

+

• + +

= +

2 1

(5)

Multiplikation oder Division von komplexen Zahlen:

Zur Multiplikation oder Division von komplexen Zahlen müssen dies in der Exponentialform (Eulerform) oder in der Versorform vorliegen !!!

Regel:

- Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Realanteile multipliziert und ihre Imaginäranteile addiert.

- Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Realanteile dividiert und ihre Imaginäranteile subtrahiert.

2 2 2

1 1 1

ϕ ϕ

•

=

•

=

j j

e z z

e z

z ⇒

( )

( ¹ ²)

2 1 2 2

1 1 2 1

2 1 2

1 2 1

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

−

•

+

•

• =

= •

•

=

•

j j

j

z e z e

z e z z z

e z z z z

2 2 2

1 1 1

ϕ ϕ

∠

=

∠

= z z

z

z ⇒

( )

(

1 2

)

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

ϕ ϕ

−

∠

=

+

∠

•

=

• z z z z

z z z z

Definition der Zahl j:

−1

=

j j² =−1 j³ =−j j⁴ =1 j⁵ = j

Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl:

Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt das Quadrat des Betrages der komplexen Zahl.

2 1 1

1 z * z

z • = Es entsteht ein rein reelles Ergebnis !!

Inversion einer komplexen Zahl:

Inversion über die Euler- oder Versorform:

ϕ

• •

= z e^j

z₁ ₁ ⇒ _•_ϕ = • ⁻^•^ϕ

= • _j e ^j

z e

z

z₁ ₁ ₁

1 1

1 ⇒ = •e⁻^j^•^ϕ

z z₁ ₁

1 1

Inversion über Normalform und konjugiert komplexer Erweiterung:

b j a

z= + • ⇒

( ) ( )

2 2 2

1 1

b a j b b a

a b

a b j a b j a

b j a b j a

z − • +

= + +

•

= −

•

−

•

• −

•

= +

⇒ 1 ₂ ₂ ₂ ₂ b a j b b a

a

z − • +

= +

(6)

Vereinbarungen für die Elektrotechnik:

U = komplexe Spannung

U* = konjugiert komplexe Spannung

|U| = U = Betrag der Spannung ( Effektivwert ) φU = Nullphasenwinkel der Spannung

I = komplexer Strom

I* = konjugiert komplexer Strom

|I| = I = Betrag des Stromes ( Effektivwert ) φI = Nullphasenwinkel des Stromes

Grundzweipole in komplexer Darstellung:

Scheinwiderstand Z (Impendanz) Scheinleitwert Y

Normal Exponential Versor Normal Exponential Versor Widerst. R R•e^j⁰^° R∠0° G G•e^j⁰^° G∠0°

L

jω ωL_•e^j⁹⁰^° ωL∠90° j L L

jω ω

1

1 =− • ¹ _•e⁻^j⁹⁰^°

ωL ^∠⁻⁹⁰^° 1

ωL Spule

jXL X_L•e^j⁹⁰^° X_L∠90° − jB_L B_L•e⁻^j⁹⁰^° B_L∠−90°

j C C

jω ω

1

1 =− • 1 • ⁻_j⁹⁰^° C e

ω ^∠⁻⁹⁰^°

1

ωC ^jω^C ωC_•e^j⁹⁰^° ω^C^∠⁹⁰^° Kondens.

jXC

− X_C •e⁻^j⁹⁰^° X_C∠−90° jB_C B_C _•e^j⁹⁰^° B_C∠90°

• f

•

= π ω ²

R = Widerstand in Ω G = Leitwert in S L = Induktivität in H

XL = induktiver Blindwiderstand in Ω BL = induktiver Blindleitwert in Ω C = Kapazität in F

XC = kapazitiver Blindwiderstand in Ω BC = kapazitiver Blindleitwert in Ω ω = Kreisfrequenz in

s 1 f = Frequenz in Hz

(7)

Komplexe Widerstände:

I Z =U

Z

I =U U =I•Z

I U

j j

e I

e Z U _•^•_ϕ^ϕ

•

= • mit ϕ=ϕ_U −ϕ_I

⇒ = •e^j^•^ϕ I

Z U ⇒ Z =Z•e^j^•^ϕ

ϕ

∠

=Z

Z ⇒ Z =Z•

(

cosϕ+ j•sinϕ

)

⇒ Z=R+ jX

Z = komplexer Widerstand in Ω U = komplexe Spannung in V I = komplexer Strom in A φ = Winkel in °

φU = Spannungs-Nullphasenwinkel in ° φI = Strom-Nullphasenwinkel in ° U = Spannung in V (Betrag von U) I = Strom in A (Betrag von I) R = Wirkwiderstand in Ω X = Scheinwiderstand in Ω Komplexe Leistung:

jQ P

S= + S =S•e^j^ϕ S=S•

(

cosϕ+ j•sinϕ

)

* I U S= •

S

= P ϕ

cos S

=Q ϕ sin

I2

Z S= •

*

2

Z S =U

Die komplexe Leistung errechnet sich aus dem Produkt der komplexen Spannung und des konjugiert komplexen Stromes.

S = komplexe Leistung P = Wirkleistung in W Q = Blindleistung in var cosφ = Leistungsfaktor sinφ = Blindfaktor

U = komplexe Spannung

I* = konjugiert komplexer Strom U = Spannung in V (Betrag von U) I = Strom in A (Betrag von I) Z = komplexer Widerstand in Ω

Z* = konjugiert komplexer Widerstand in Ω

(8)

Reihenschaltung komplexer Widerstände:

2

1 Z

Z

Z_g = + Z₁ =R₁+ j•X₁ Z2 =R2+ j•X2

(

^R¹ ^R²

)

^j

(

^X¹ ^X²

)

Z_g = + + • +

2

1 U

U

U = + U1=I•Z1 U2 =I•Z2

Zg = komplexer Gesamtscheinwiderstand in Ω Z1 , Z2 = komplexe Teilscheinwiderstände in Ω R1, R2 = Teilwirkwiderstände in Ω

X1, X2 = Teilblindwiderstände in Ω U = komplexe Gesamtspannung in V I = komplexer Strom in A

Parallelschaltung komplexer Widerstände:

Y Z1

=

G R1

=

B X1

=

3 2

1 Y Y

Y

Y_g = + + Y1 =G1+ j•B1 2

2 G2 j B

Y = + • Y3 =G3+ j•B3

(

G1 G2 G3

)

j

(

B1 B2 B3

)

Y_g = + + + • + +

3 2

1 I I

I

I = + + 1

1

1 U Y

Z

I = U = • 2

2

2 U Y

Z

I = U = • 3

3

3 U Y

Z

I = U = •

Y = komplexer Gesamtscheinleitwert in S Y1, Y2, Y3 = komplexe Teilscheinleitwerte in S G1, G2, G3 = komplexe Teilwirkleitwerte in S B1, B2, B3 = komplexe Teilblindleitwerte in S U = komplexe Gesamtspannung in V

I = komplexer Strom in A

Umwandlung komplexe Reihenschaltung in komplexe Parallelschaltung:

Für die Umwandlung gilt:

p

r Z

Z = und ϕ_r =ϕ_p und f_r = f_p Verfahren der Umwandlung:

- Zg der Reihenschaltung berechnen und in Versorform umwandeln - Yg von Zg berechnen (

g

g Z

Y 1

= ) und in Normalform umwandeln. Man erhält die Teil-Leitwerte (G und B).

(9)

Umwandlung komplexe Parallelschaltung in komplexe Reihenschaltung:

Für die Umwandlung gilt:

r

p Z

Z = und ϕ_p =ϕ_r und f_p = f_r Verfahren der Umwandlung:

- Yg der Parallelschaltung berechnen und in Versorform umwandeln - Zg von Yg berechnen (

g

g Y

Z 1

= ) und in Normalform umwandeln. Man erhält die Teil-Widerstände (R und X).

- Aus den Teil-Widerständen die Werte der Bauteile berechnen.

Resonanz:

Von Resonanz wird gesprochen, wenn der imaginäre Anteil des Scheinwiderstandes Z (Blindwiderstand j•X bzw. der Blindleitwert j•B) eines Netzwerkes 0 ist. ⇒ φ = 0° !!

Die Frequenz, bei der dieser Zustand zutrifft, nennt man Resonanzfrequenz fr oder f0 bzw.

Resonanzkreisfrequenz ωr oder ω0 . Bei Resonanz ist der Scheinwiderstand Z bzw.

der Scheinleitwert Y des Netzwerkes rein reell !!

Reihenresonanz:

C f_r L

•

= • π 2

1

C

r L

= 1• ω

(

^f

)

^C

L

r •

•

= • ₂

2 1

π L C

r •

= ₂1

ω ^C⁼

(

²^•^π^•¹^f^r

)

²^•^L ^C⁼^ω^r²¹^•^L

Bei Resonanz heben sich UL und UC gegenseitig auf, da sie im Betrag gleich groß und um 180° phasenverschoben sind. Allerdings kann die Spannung an den Bauteilen höher als die Gesamtspannung U sein (Spannungsüberhöhung)!!

R C R

L U

U U U

r r

C L

•

= •

= ω

ω ¹

R C U R

U U L

U

r r

C

L = = • • = • •

ω ω

r C r L

U R U U

R L U

ω

ω •

= •

•

= •

R U

U R

U C U

r C r

L = • •

•

= •

ω ω

fr = Resonanzfrequenz in Hz ; ωr = Resonanzkreisfrequenz in Hz R = Widerstand in Ω ; L = Induktivität in H ; C = Kapazität in F U = UR = Spannung am Widerstand in V (Betrag von U = UR) UL = Spannung an der Spule in V (Betrag von UL)

UC = Spannung am Kondensator in V (Betrag von UC) U

U U U_L _C

= = Spannungsüberhöhung (Faktor !!)

(10)

Parallelresonanz:

C f_r L

•

= • π 2

1

C

r L

= 1• ω

(

^f

)

^C

L

r •

•

= • ₂

2 1

π L C

r •

= ₂1 ω

(

^f

)

^L

C

r •

•

= • ₂

2 1

π C L

r •

= ₂1 ω

Bei Resonanz heben sich IL und IC gegenseitig auf, da sie im Betrag gleich groß und um 180° phasenverschoben sind. Allerdings kann der Strom durch die Bauteile höher als der Gesamtstrom I sein (Stromüberhöhung)!!

R L C

R I

I I I

r r

L C = • •

= •

= ω

ω ^L ^C ^R ^I

I I R

I _r

r C

L = • • •

•

= •

= ω

ω

r C r

L I

R I I

R L I

ω

ω •

= •

•

= •

R I

I R

I C I

r C r

L

•

= •

•

= •

ω ω

fr = Resonanzfrequenz in Hz ωr = Resonanzkreisfrequenz in Hz R = Widerstand in Ω

L = Induktivität in H C = Kapazität in F

I = IR = Strom durch Widerstand in V (Betrag von IR) IL = Strom durch die Spule in V (Betrag von IL)

IC = Strom durch den Kondensator in V (Betrag von IC) I

I I I_L _C

= = Stromüberhöhung (Faktor !!)

(11)

Dämpfung:

a e

P D= P

D

P_a = P^e P_e =D•P_a

D = Dämpfung (Ohne Einheit !!) Pe = Eingangsleistung in W Pa = Ausgangsleisung in W Dämpfungsmaß:

a e

P

a=10•lgP ₁₀¹⁰

a a

e P

P = • ¹⁰

10

10 10

a a e

a Pe P

P = = • ⁻

Bei Anpassung (Re = Ra) gilt:

a e

U

a=20•lgU _U_e ₌_U_a_•₁₀²⁰^a ²⁰

20

10 10

a a e

e

a U U

U = = • ⁻

a e

I

a=20•lgI _I_e ₌_I_a _•₁₀²⁰^a ²⁰ 20

10 10

a a e

a Ie I

I = = • ⁻

a = Dämpfungsmaß in dB Pe = Eingangsleistung in W Pa = Ausgangsleistung in W Re = Eingangswiderstand in Ω Ra = Ausgangswiderstand in Ω Ue = Eingangsspannung in V Ua = Ausgangsspannung in V Ie = Eingangsstrom in A Ia = Ausgangsstrom in A

Wenn P_a =0,707•P_e entspricht das einer Dämpfung von -3 dB

Das gesamte Dämpfungsmaß ist die Summer der Einzeldämpfungsmaße:

34 23

12 a a

a

a_g = + +

(12)

Komplexe Übertragungsfunktion allgemein:

( )

e a

U j U

F •ω = =

(

•ω

)

j F

U_e U^a Ua =F

(

j•ω

)

•Ue

F(j•ω) = komplexe Übertragungsfunktion (Ohne Einheit !!) Ua = komplexe Ausgangsspannung in V

Ue = komplexe Eingangsspannung in V

Amplituden-Frequenzgang allgemein:

( )

e a e a

U U U j U

F •ω = = =

(

•ω

)

j F

U_e U^a Ua =F

(

j•ω

)

•Ue

|F(j•ω)| = Betrag der komplexe Übertragungsfunktion (Ohne Einheit !!)

|Ua| = Ua Betrag der komplexen Ausgangsspannung = Effektivwert der Ausgangsspg. in V

|Ue| = Ue Betrag der komplexen Eingangsspannung = Effektivwert der Eingangsspg. in V

Phasen-Frequenzgang allgemein:

( ) { }

{ }

_^



•

= •

•ω ωω

ϕ F j

j j F

( Re

( arctan Im

φ(j•ω) = Phasenwinkel der komplexen Übertragungsfunktion Im{F(j•ω)} = Imaginäranteil der komplexen Übertragungsfunktion Re{F(j•ω)} = Realanteil der komplexen Übertragungsfunktion

(13)

Komplexe Übertragungsfunktion für RC-Tiefpaß:

( )

_j _R _C

C R j

C j j

F = + • • •

• + •

•

= •

• ω

ω ω ω

1

1 1

²

F + • •

•

• •

• −

•

= +

• ω

ω ω ω

Amplituden-Frequenzgang:

Der Amplituden-Frequenzgang ist der Betrag der Übertragungsfunktion.

( )

²

1 1

C j R

F • = + • •

ω ω

( )

^^_









•

• +

=

• ₂

1 lg 1

20 R C

j

F _dB

ω ω für ω → 0 ⇒ |F(j•ω)| → 1 ⇒ |Ua|= |Ue| für ω →∞⇒ |F(j•ω)| → 0 ⇒ |Ua|→ 0 Phasen-Frequenzgang:

ϕ arctan tan ¹

für ω = 0 ⇒ φ(j•ω) = 0 ⇒ Ua hat gleiche Phasenlage wie Ue

für ω →∞⇒ φ(j•ω) = -90° ⇒ Ua eilt Ue um 90° nach Grenzfrequenz:

Bei Grenzfrequenz fg bzw. ωg ist der Wert des Amplituden-Frequenzganges (also der Betrag der Übertragungsfunktion) gleich

2 707 1 ,

0 = . Das entspricht –3dB.

C

g R

= •1

ω ⇒

C f_g R

•

= • π 2

1

C R f

g •

•

= • π 2

1

fg

C R

•

= • π 2

1

Phasenwinkel bei Grenzfrequenz:

(

^j^•^ω^g

)

⁼⁻⁴⁵^°

ϕ ⇒ Ua eilt Ue um 45° nach

(14)

Komplexe Übertragungsfunktion für RC-Hochpaß:

( )

^j _j ^R_R^C_C

C R j

j R

F + • • •

•

= •

• + •

=

• ω

ω ω

ω 1 1

( ) ( )

( )

²

( )

²

2

1

1 R C

C j R

C R

C j R

F + • •

•

• •

• +

•

= •

• ω

ω ω

( )

²

1 R C

C j R

F + • •

•

= •

• ω

ω ω

( )

^^_









•

• +

•

• •

=

• ₂

lg 1

20 R C

C j R

F _dB

ω ω ω

für ω → 0 ⇒ |F(j•ω)| → 0 ⇒ |Ua|→ 0 für ω →∞⇒ |F(j•ω)| → 1 ⇒ |Ua|= |Ue| Phasen-Frequenzgang:

( )





 





•

= •



 





•

= •

• ⁻

C R C

j R

ω ω ω

ϕ ^arctan ¹ ^tan ¹ ¹

für ω = 0 ⇒ φ(j•ω) = +90° ⇒ Ua eilt Ue um 90° vor

für ω →∞⇒ φ(j•ω) = 0° ⇒ Ua hat gleiche Phasenlage wie Ue

Grenzfrequenz:

2 707 1 ,

C

g R

= •1

ω ⇒

C f_g R

•

= • π 2

1

C R f

g •

•

= • π 2

1

fg

C R

•

= • π 2

1

(

^j^•^ω^g

)

⁼⁺⁴⁵^°

ϕ ⇒ Ua eilt Ue um 45° vor

(15)

Komplexe Übertragungsfunktion für RL-Tiefpaß:

( )

R j L L

j R j R

F

•

• +

• =

•

= +

•ω ω ω

1 1

( )

2 2

1 1

1



 



 • +

• •

−



 



 • +

=

•

R L R L j

R j L

F

ω ω ω

ω

( )

²

( )

² ²

( )

²

2

L R

L j R

L R

j R

F + •

•

• •

• −

= +

• ω

ω ω ω

( )

₂

1 1



 



 • +

=

•

R L j

F

ω

( )

²

2 L

R j R

F • = + •

ω ω

( )

^^_









•

• +

=

• 20 lg 2 2

L R

j R

F _dB

ω ω

für ω → 0 ⇒ |F(j•ω)| → 1 ⇒ |Ua|= |Ue| für ω →∞⇒ |F(j•ω)| → 0 ⇒ |Ua|→ 0 Phasen-Frequenzgang:

( )





 



 •

−

=



 



 •

−

=

• ⁻

R L R

j ω ω L ω

ϕ ^arctan ^tan ¹

für ω = 0 ⇒ φ(j•ω) = 0 ⇒ Ua hat gleiche Phasenlage wie Ue

für ω →∞⇒ φ(j•ω) = -90° ⇒ Ua eilt Ue um 90° nach Grenzfrequenz:

2 707 1 ,

L R

g =

ω ⇒

L f_g R

•

= • π

2 R= f_g •²•π•L

fg

L R

•

= • π

2

(

^j^•^ω^g

)

⁼⁻⁴⁵^°

ϕ ⇒ Ua eilt Ue um 45° nach

(16)

Komplexe Übertragungsfunktion für RL-Hochpaß:

( )

L j R L

j R

L j j

F

• •

−

• =

• +

•

= •

•

ω ω ω ω

1 1

( )

2 2

1 1

1



 



 + •

• • +



 



 + •

=

•

L R

L R j

L j R

F

ω ω ω

ω

( ) ( )

( )

² ²

( )

²

2

L R

L j R

L R

j L

F + •

•

• •

• + +

= •

• ω

ω ω

( )

₂

1 1



 



 + •

=

•

L R j

F

ω

( )

²

2 L

R j L

F + •

= •

• ω

ω ω

( )

^^_









• +

• •

=

• ₂

lg 2

20 R L

j L

F _dB

ω

ω ω

für ω → 0 ⇒ |F(j•ω)| → 0 ⇒ |Ua|→ 0 für ω →∞⇒ |F(j•ω)| → 1 ⇒ |Ua|= |Ue| Phasen-Frequenzgang:

( )





 





= •



 





= •

• ⁻

L R L

j R

ω ω ω

ϕ ^arctan ^tan ¹

für ω = 0 ⇒ φ(j•ω) = +90° ⇒ Ua eilt Ue um 90° vor

für ω →∞⇒ φ(j•ω) = 0° ⇒ Ua hat gleiche Phasenlage wie Ue

Grenzfrequenz:

2 707 1 ,

L R

g =

ω ⇒

L f_g R

•

= • π

2 R= f_g •²•π•L

fg

L R

•

= • π

2

(

^j^•^ω^g

)

⁼⁺⁴⁵^°

ϕ ⇒ Ua eilt Ue um 45° vor

(17)

Frequenznormierte Darstellung der Übertragungsfunktionen (Bode-Diagramm):

Durch die Frequenznormierung erreicht man, das die Darstellung aller Tief- oder Hochpässe gleich ist und in Abhängigkeit der Grenzfrequenz erfolgt.

Normierung:

fg

= f

Ω =Ωf

f_g f =Ω• f_g

ωωg

=

Ω ω_g =ωΩ ω =Ω•ω_g

Ω = normierte Frequenz (Ohne Einheit) f = Frequenz in Hz

fg = Grenzfrequenz in Hz ω = Kreisfrequenz in

s 1 ωg = Grenzkreisfrequenz in

s 1

Tiefpass:

Normierter Amplituden-Frequenzgang:

( )

₂

1 1

Ω

= + Ω

• j

F

( )

_^ _^

Ω

• +

= Ω

• 1 2

lg 1

dB 20 j

F

(

^•^Ω

)

²⁻¹

= Ω

=

= F j ⁻

f f

g

g ωω ₌ ₌_Ω₌ ₁₀ ⁽¹⁰⁾ ^^₋₁







 •Ω

− F j ^dB

g

fg

f ω

ω

₂

1+Ω

= Ω Ω

• j

F

( )

_^ _^

Ω +

• Ω

= Ω

• _dB 20 lg 1 2

j F

( )

²

2

1− •Ω Ω

= • Ω

=

= F j

j F f

f

g

g ωω ⁽ ⁾

( )

10 - 1

10

10 10











=  Ω

=

= _•_Ω

Ω

•

dB dB

j F

g

fg

f ωω

( )





 





= Ω



 





= Ω Ω

• ⁻ 1

1 tan

arctan ¹

ϕ j

(18)

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,01 0,1 1 10 100 1000

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Bode-Diagramme für Tiefpass:

(

^j

)

_dB

F •Ω

(

^j^•^Ω

)

ϕ

Ω

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0,001 0,01 0,1 1 10 100