Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 5

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Technische Grundlagen der Informatik – Kapitel 5

Prof. Dr. Jan Peters

Fachgebiet Intelligente Autonome Systeme (IAS)

Fachbereich Informatik _{WS 14/15}

(2)

Meisenantworten … vielen Dank für die Hinweise!

§  Sniggerstatistik? Evtl. bald auf

http://lehre.ias.informatik.tu-darmstadt.de/TGDI/SniggerStatistik?

§  Kapitel 4 hochladen. Done! Sorry!

§  Kapitel im Vorraus hochladen (+viele gute Punkte). Würden wir gerne, aber meine Skript-Hiwis fallen gegenüber der Vorlesung zurück bzw. Ich hole sie immer wieder ein … sorry!

§  Rechtschreibfehler darfs Du behalten. Danke – besser aber mitteilen!

§  Scherzkekse. Bitte bei Chris zur Prüfung der physischen Belastbarkeit melden.

§  [kovd] … danke für den Hinweis!

§  Tafelwischroboter? Bitte zu mir kommen – tolles Thema für eine Bacherlorarbeit.

§  Folien gleich nach der Vorlesung. Ich bemühe mich. Aber Profs haben nunmal

alle Alzheimer…auch ich!

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| Technische Grundlagen der Informatik - Kapitel 5 - Prof. Jan Peters

Kapitel 5 : Themenübersicht

§  Einleitung

§  Arithmetische Schaltungen

§  Zahlendarstellungen

§  Sequentielle Grundelemente

§  Speicherblöcke

§  Programmierbare Logikfelder und -schaltungen

(4)

Einleitung

§  Grundelemente digitaler Schaltungen:

§  Gatter, Multiplexer, Decoder, Register, Arithmetische Schaltungen, Zähler, Speicher, programmierbare Logikfelder

§  Grundelemente veranschaulichen

§  Hierarchie: Zusammensetzen aus einfacheren Elementen

§  Modularität: Wohldefinierte Schnittstellen und Funktionen

§  Regularität: Strukturen leicht auf verschiedene Größen anpassbar

§  Grundelemente werden verwendet zum Aufbau eines eigenen Mikroprozessors

§  Kapitel 7

(5)

1-Bit Addierer

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

S C_out

S = C_out =

Halb- addierer

A B

S C_out

+

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

S C_out

S = C_out =

Voll- addierer

C_in

0 0 0 1 1 0 1 1 00

00 1 1 11

A B

S

C_out C_in

+

(6)

1-Bit Addierer

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

0 11 0 S C_out

0 00 1 S = C_out =

Halb- addierer

A B

S C_out

+

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

01 10 S C_out

00 01

Voll- addierer

C_in

0 0 0 1 1 0 1 1 00

00 1 1 11

1 0 01 0

1 11

A B

S

C_out C_in

+

(7)

1-Bit Addierer

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

0 11 0 S C_out

0 00 1 S = A ⨁ B C_out = AB

Halb- addierer

A B

S C_out

+

A B

0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 10 S C_out

0 0 01

S = A ⨁ B ⨁C_in C_out = AB + AC_in+ BC_in

Voll- addierer

C_in

0 0 0 1 1 0 1 1 0

0 00 1 1 11

1 0 01 0

1 11

A B

S

C_out C_in

+

(8)

Mehrbit-Addierer mit Weitergabe von Überträgen

A B

C

_out

+ C

_in

N N

§  Carry-propagate adder (CPA)

§  Verschiedene Typen

§  Ripple-carry-Addierer (langsam)

§  Carry-Lookahead Addierer (schnell)

§  Prefix-Addierer (noch schneller)

§  Carry-Lookahead und Prefix-Addierer sind schneller bei breiteren Datenworten

§  Benötigen aber auch mehr Fläche

Schaltsymbol

(9)

§  Kette von 1-bit Addierern

§  Überträge werden von niedrigen zu hohen Bits weitergegeben

§  Rippeln sich durch die Schaltung

§  Nachteil: Langsam

Ripple-Carry-Addierer

S

₃₁

A

₃₀

B

₃₀

S

₃₀

A

₁

B

₁

S

₁

A

₀

B

₀

S

₀

C

₃₀

C

₂₉

C

₁

C

₀

C

_out

+ + + +

A

₃₁

B

₃₁

C

_in

(10)

§  Verzögerung durch einen N-bit Ripple-Carry-Addierer ist

t

_ripple

= N t

_FA

t

_FA

ist die Verzögerung durch einen Volladdierer

Verzögerung durch Ripple-Carry-Addierer

(11)

§  Überträge nicht mehr von Bit-zu-Bit

§  Stattdessen: Berechne Übertrag C

_out

aus Block von k Bits

§  Nun zwei Signale

§  Generate (erzeuge neuen Übertrag)

§  Propagate (leite eventuellen Übertrag weiter)

§  Bits werden in Spalten organisiert

§  Haben wir eben beim Ripple-Carry-Addierer auch schon gemacht

§  War aber nicht spannend: Es gab nur eine Zeile

§  … ändert sich jetzt

Carry-Lookahead-Addierer (CLA)

(12)

§  Eine Spalte (Bit i) produziert einen Übertrag an ihrem Ausgang C

_i

§  Wenn sie den Übertrag selbst erzeugt (Generate, G_i)

§  Wenn sie einen von C_i-1eingehenden Übertrag weiterleitet (Propagate, P_i)

§  Eine Spalte i erzeugt einen Übertrag falls A

_i

und B

_i

beide 1 sind.

G

_i

= A

_i

B

_i

§  Eine Spalte leitet einen eingehenden Übertrag weiter falls A

_i

oder B

_i

1 ist

P

_i

= A

_i

+ B

_i

§  Damit ist der Übertrag C

_i

aus der Spalte i heraus

C

_i

= A

_i

B

_i

+ (A

_i

+ B

_i

)C

_i-1

= G

_i

+ P

_i

C

_i-1

Carry-Lookahead-Addierer: Definitionen

(13)

§  Schritt 1: Berechne G und P-Signale für einzelne Spalten (Einzelbits)

§  Schritt 2: Berechne G und P Signale für Gruppen von k Spalten (k Bits)

§  Schritt 3: Leite C

_in

nun nicht einzelbitweise, sondern in k-Bit Sprüngen weiter

§  Jeweils durch einen k-bit Propagate/Generate-Block

Addition im Carry-Lookahead-Verfahren

(14)

§  Bestimme P

_3:0

und G

_3:0

Signale für einen 4b Block

§  Überlegung: 4b Block erzeugt Übertrag wenn

§  … Spalte 3 einen Übertrag erzeugt (G₃=1) oder

§  … Spalte 3 einen Übertrag weiterleitet (P₃=1), der vorher erzeugt wurde

G

_3:0

= G

₃

+ P

₃

(G

₂

+ P

₂

(G

₁

+ P

₁

G

₀

))

§  Überlegung: Der 4b Block leitet einen Übertrag direkt weiter

§  … wenn alle Spalten den Übertrag weiterleiten

P

_3:0

= P

₃

P

₂

P

₁

P

₀

§  Damit ist der Übertrag durch einen i:j Bit breiten Block C

_i

C

_i

= G

_i:j

+ P

_i:j

C

_j-1

Beispiel: Carry-Lookahead Addierer

(15)

32-bit CLA mit 4b Blöcken

B₀ + +

+ +

P_3:0

G₃ P₃ G₂ P₂ G₁ P₁ G₀

P₃ P₂ P₁ P₀ G_3:0

C_in C_out

A₀

S₀ C₀ B₁ A₁

S₁ C₁ B₂ A₂

S₂ C₂ B₃ A₃

S₃

C_in A_3:0 B_3:0

S_3:0 4-bit CLA

Block C_in A_7:4

B_7:4

S_7:4 4-bit CLA

Block C₃ C₇

A_27:24 B_27:24

S_27:24 4-bit CLA

Block C₂₃ A_31:28

B_31:28

S_31:28 4-bit CLA

Block C₂₇ C_out

Gi = Ai Bi

Pi = Ai + Bi

(16)

32-bit CLA mit 4b Blöcken

A_3:0 B_3:0

S_3:0 4-bit CLA

Block C_in A_7:4

B_7:4

S_7:4 4-bit CLA

Block C₃ C₇

A_27:24 B_27:24

S_27:24 4-bit CLA

Block C₂₃ A_31:28

B_31:28

S_31:28 4-bit CLA

Block C₂₇ C_out

B 0 + + + +

P 3:0 G 3 P 3 G 2 P 2 G 1 P 1 G 0 P 3 G 3:0

A 0 S 0 B 1 A 1 C 0

S 1 B 2 A 2 C 1

S 2 B 3 A 3 C 2

S 3

C in B 0

+ + + +

P 3:0 G 3 P 3 G 2 P 2 G 1 P 1 G 0 P 3 P 2 P 1 P 0 G 3:0

C in C out

A 0 S 0 B 1 A 1 C 0

S 1 B 2 A 2 C 1

S 2 B 3 A 3 C 2

S 3

C in B 0

+ + + +

P 3:0 G 3 P 3 G 2 P 2 G 1 P 1 G 0 P 3 P 2 P 1 P 0 G 3:0

C in C out

A 0 S 0 B 1 A 1 C 0

S 1 B 2 A 2 C 1

S 2 B 3 A 3 C 2

S 3

C in

B 0 + + + +

G 3 P 3 G 2 P 2 G 3:0

A 0 S 0 B 1 A 1 C 0

S 1 B 2 A 2 C 1

S 2 B 3 A 3 C 2

S 3

C in

(17)

§  Verzögerung durch N-bit carry-lookahead Addierer mit k-Bit Blöcken t

_CLA

= t

_pg

+ t

_{pg_block}

+ (N / k – 1) t

_{AND_OR}

+ k t

_FA

wobei

§  t_pg : Verzögerung P, G Berechnung für eine Spalte (ganz rechts)

§  t_{pg_block}: Verzögerung P, G Berechnung für einen Block (rechts)

§  t_{AND_OR}: Verzögerung durch AND/OR je k-Bit CLA Block (“Weiche”)

§  k t_FA: Verzögerung zur Berechnung der k höchstwertigen Summenbits

§  Für N > 16 ist ein CLA oftmals schneller als ein Ripple-Carry-Addierer

§  Aber: Verzögerung hängt immer noch von N ab

§  Im wesentlichen linear

Carry-Lookahead Addierer

(18)

Präfix-Addierer

§  Führt Ideen des CLA weiter

§  Berechnet den Übertrag C

_i-1

in jede Spalte i so schnell wie möglich

§  Bestimmt damit die Summe jeder Spalte S

_i

= (A

_i

⨁ ^B

_i

⁾ ⨁ ^C

_i-1

§  Vorgehen zur schnellen Berechnung aller C

_i

§  Berechne P und G für größer werdende Blöcke

§  1b, 2b, 4b, 8b, …

§  Bis die Eingangsüberträge für alle Spalten bereitstehen

§  Nun nicht mehr N / k Stufen

§  Sondern log

₂

N Stufen

§  Breite der Operanden geht also nur noch logarithmisch in Verzögerung ein

(19)

Präfix-Addierer

§  Ein Übertrag wird entweder

§  … in einer Spalte i generiert

§  … oder aus einer Vorgängerspalte i-1 propagiert

§  Definition: Eingangsübertrag C

_in

in den ganzen Addierer kommt aus Spalte -1

G

_-1

= C

_in

, P

_-1

= 0

§  Eingangsübertrag in eine Spalte i ist Ausgangsübertrag C

_i-1

der Spalte i-1

C

_i-1

= G

_i-1:-1

G

_i-1:-1

ist das Generate-Signal von Spalte -1 bis Spalte i-1

§  Interpretation: Ein Ausgangsübertrag aus Spalte i-1 entsteht

§  … wenn der Block i-1:-1 selbst Übertrag in i-1 generiert oder aus i-2,3, … weiterleitet

19

(20)

Präfix-Addierer

§  Damit Summenformel für Spalte i umschreibbar zu

S

_i

= (A

_i

⊕ B

_i

) ⊕ G

_i-1:-1

§  Deshalb nun Ziel der Hardware-Realisierung:

§  Bestimme so schnell wie möglich G_0:-1, G_1:-1, G_2:-1, G_3:-1, G_4:-1, G_5:-1, …

§  Sogenannte Präfixe

(21)

Präfix-Addierer

§  Berechnung von P und G für variabel großen Block

§  Höchstwertiges Bit: i

§  Niederwertiges Bit: j

§  Unterteilt in zwei Teilblöcke (i:k) und (k-1:j)

§  Für einen Block i:j

G

_i:j

= G

_i:k

+ P

_i:k

G

_k-1:j

P

_i:j

= P

_i:k

P

_k-1:j

§  Bedeutung

§  Ein Block erzeugt einen Ausgabeübertrag, falls

§  … in seinem oberen Teil (i:k) ein Übertrag erzeugt wird oder

§  … der obere Teil einen Übertrag weiterleitet, der im unteren Teil (k-1:j) erzeugt wurde

§  Ein Block leitet einen Eingabeübertrag als Ausgabeübertrag weiter, falls

§  Sowohl der untere als auch der obere Teil den Übertrag weiterleiten

(22)

Aufbau eines Präfix-Addierers

0:-1 -1

2:1

1:-1 2:-1

0 1 2

4:3 3

6:5

5:3 6:3

4 5 6

5:-1

6:-1 4:-1 3:-1

8:7 7

10:9

9:7 10:7

8 9 10

12:11 11

14:13

13:11 14:11

12 13 14

13:7

14:7 12:7 11:7

9:-1

10:-1 8:-1 7:-1

13:-1

14:-1 12:-1 11:-1 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

G_k-1:j P_k-1:jG_i:k

P_i:k

G_i:j P_i:j

B_i A_i

G_i:i P_i:i i

i:j

B_i A_i G_i-1:-1

i Legende

G

_i:j

= G

_i:k

+ P

_i:k

G

_k-1:j

P

_i:j

= P

_i:k

P

_k-1:j

(23)

§  Verzögerung durch einen N-bit Präfix-Addierer

t

_PA

= t

_pg

+ (log

₂

N) t

_{pg_prefix}

+ t

_XOR

wobei

§  t_pg: Verzögerung durch P, G-Berechnung für Spalte i (ein AND bzw. OR-Gatter)

§  t_{pg_prefix}: Verzögerung durch eine Präfix-Stufe (AND-OR Gatter)

§  t_XOR: Verzögerung durch letztes XOR der Summenberechnung

Verzögerung durch Präfix-Addierer

23

LEHRE WIKI TEST IN

DREI

FOLIEN

(24)

§  Szenario: 32b Addition mit Ripple-Carry, Carry-Lookahead (4-bit Blöcke), Präfix-Addierer

§  Verzögerungen von Komponenten

§  Volladdierer t_FA= 300ps

§  Zwei-Eingangs Gatter t_AND = t_OR = t_XOR = 100ps

t

_ripple

= N t

_FA

=

t

_CLA

= t

_pg

+ t

_{pg_block}

+ (N / k – 1) t

_{AND_OR}

+ k t

_FA

=

t

_PA

= t

_pg

+ (log

₂

N) t

_{pg_prefix}

+ t

_XOR

=

Vergleich von Addiererverzögerungen

(25)

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 5