TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL Programmeerimise kateeder

■ ш

RESOLUTSIOONIMEETOD

198 9

TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL Programmeerimise kateeder

RESOLUTSIOONIMEETOD

Koostanud M. Koit

TARTU 198 9

K in n i t a t u d m a t e m a a t i k a t e a d u s k o n n a nõ u k o g u s 17.06.1988. a.

РЕВОЛЮЦИОННЫЙ МЕТОД.

Составитель Маре К о fl т.

На эстонском языке.

Тартуский государственный университет.

ЭССР, 202400, г.Тарту, ул.Юликооли, 18.

Vastutav toimetaja R< Pranke Paljundamisele entud 23.01.1989.

Formest 60x84/16.

Botaatoripatoer.

Ifeslnakiri. Rotaprint.

Tingtrükipoognaid 3*49.

Arvestuarpoognaid 3,30. Trükipoognaid 3»75.

Trukiarv 200e Teil. nr. 56.

Hind 10 kops

TRtl trukikeda. EN SV, 202400 Tartu, Tiigi t. 78.

( Q T a rt u R iik lik Ü l ik o o l , 1 9 8 9

S aa te k s

K aasajal ei p i i rd u e l e k t r o n a r v u t i t e ra ke n du s v a l d k o n d ü k s n e s a rv ut us ü l e s a n n e t e g a . Sagedamini tuleb a r v ut i te abil l a h e n d a d a s el l i s e i d probleeme, kus a rv utamisel on hoo pi s k õ r v a l i n e roll. N i i s u g u s t e ü l e s a n n e t e h ul k a kuulub ka t e o ­ r e e m i d e tõestamine. O l gu mainitud, et p a l ju s id s is u li se lt e r i n e v a i d ü l e s a n d e i d saab s õn as t a d a teoreemi t õ e s t a m i s e ülesan ne te n a: n ä i t e k s p r o g r a m m i d e a n a l ü ü s ja süntees, k ü s i ­ m u s t e l e v a s t a m i n e k ü s i m u s - v a s t u s s ü s t e e m i s , g r a a f i d e i s o m o r ­ fismi p r o b l e e m jpm.

T e o r e e m i d e t õ e s t a m i s e t e o o r i a l e pa nid a lu s e s a k s a m a t e ­ m a a t i k u David Hilberti (1862-1943) m a t e m a a t i l i s e l oogika al a se d tõdd. E s i m e s e t e o r e e m i d e a u t o m a a t s e t õ e s t a m i s e m e e t o ­ di lõi 1930. aastal p r a n t s u s e m a t e m a a t i k J a c q u e s Herbra n d

(1908-1931). P a ra k u oli see väg a t & ö m a h u k a s e g a leidnud s e e t õ t t u p r a k t i l i s t r a k e n d a m i s t isegi e l e k t r o n a r v u t i t e il- mumi s e l .

1960. a a st at e k e s k p a i g a k s tÕÕtati väil ja lih ts am a d ja e f e k t i i v s e m a d tõe s tu sm ee t od id : r e s o l u t s i o o n i m e e t o d (J. R o ­ binson) ja pö ö rd m e a t o d (S.J. Maslov). K i r j e l d a m i s e ja ka­

s ut a m i s e lihts us e tõ t t u on r e s o l u t s i o o n i m e e t o d ja t e m a m o d i ­ f i k a t s i o o n i d a lu s e k s e n a m i k u l e t e o r e e m i d e t õ e s t a m i s e a r v u t i ­ p ro gr ammidele.

K ä e s o l e v a s õ p p e v a h e n d i s t u t v u s t a t a k s e t e o r e e m i d e a u t o ­ m a a t s e t õ e s t a m i s e p ro b le em e, s e e j u u r e s on p õ h i t ä h e l e p a n u s uu na t u d r e s o l u t s i o o n i m e e t o d i l e . L u g e ja l t e e l d a t a k s e m a t e ­ m a a t i l i s e loo gi ka a l g m õ i s t e t e tundmist. õ p p e v a h e n d on ett e n ä h t u d r a k e n d u s m a t e m a a t i k a V k ur su se ü l i ö p i l a s t a l s e r i ­ k u r s u s e s " T e h i s i n t e l l e k t i s ü s t e e m i d " .

1. Teoreemi t õ e s t a m i s e ül e s a n n e 1. järku predi ka a t a r v u t u s e s

Teoreemi t õ e s t a m i s e ü l e s a n d e p ü s t i t a m i s e k s tuleb e e l d u s e d ja v ä i d e e s i t a d a l o o g i k av al em i te na . V a l i m e siin l o o g i l i s e k s -formalismiks 1^{. jä r ku} predi kaatarvutuse.

A l u s t a m e m õ n i n g a t e v a r a s e m a s t t u t t a v a t e m õ i s t e t e m e e n u t a m i ­ sest .

K o o s n e g u p r e d i k a ä t a r v u t u s e al f ab ee t j ä rg mi s t e s t s üm b o - 1i t e s t :

1. e r a l d a j a d ( ) ,

2. l o o g i l i s t e t e h e t e m ä r gi d 1 & V -*•

3. k va nt o ri d V 3,

4. (indivi i d - ) m u u t u j a t e s ü m bo l id хк (к = 1,2,...) 5. n — k o h a l i s t e f u n k t s i o o n i d e s ü m bo li d f£ (к £ 1, n >

^ 0 ) 5 s e e j u u r e s s ü m b o l e i d f® n i m e t a m e k o n s t a n t i d e k s

6^. n - k o h a l i s t e p r e d i k a a t i d e s ü m b o li d p£ (k > 1^{, n ^}

»

).

Edaspidi ka s u t a m e ka järgmisi tähistusi: x K asemel u, v, w, x, y, z,...; f® asemel a, b, c, d,...; f* (n Ф 0) asemel f, g, h,...; p£ asemel P, Q, R, T, V, W,... .

A lfabeedi s ü m b o l i t e s t vÖi b k o n s t r u e e r i d a m i t m e s u g u s e i d avaldisi. V a a t l e m e terme, e l e m e n t a a r v a l e m e i d ja valemeid.

Termid:

a) iga i n d i v i i d m u u t u j a ja iga konst an t on term.

b) Kui t^ , ... , tn on ter mi d (n ^ siis ka f £ (t. , . . . , t„ ) on tet m.

c) A v a l d i s on t e r m pa ra jasti siis, kui ta on se d a a) või b) põhjal.

E l e m e n t a a r v a l e m i d (ehk aatomid):

kui p£ on pr ed i k a a t s ü m b o l ja ^ , ..., t„ on termid, s ii s p^J (t4 ,..., tn ) on el ementa ar v al em.

^Vt. näit. l.Kull. M a t e m a a t i l i n e loogika. T allinn, Eesti R i i k l i k Kirj as t us , 1964; R . Prank. M a t e m a a t i l i n e l o og ik a ja d i s k r e e t n e m a te ma at i ka , III. Tartu, TRÜ, 1983.

4

Valemid:

a) iga e l e m e n t a a r v a l e m on valem.

b) Kui F ja 0 on v al em id ning x on i n d i v i i d m u u t u j a , siis ("f F) , (F it G) , (F V 6) , (F -*■ G) , < ( V x)F) , ( ( 3 x)F) on vaiemi d .

c) A v a l d i s on va l e m parajasti siis, kui t a on seda a) vÖi b) p õ h j a l .

V a l e m i t e s (( V x)F) ja < < 3 x ) F ) n i m e t a t a k s e v a le m it F v a s t a v a l t d ld su s k v a n t o r i ja o le ma s o l u k v a n t o r i möjujji i.rkon­

naks. Mu u t u j a t x n i m e t a t a k s e k va n t o r i g a seo tu d muutujaks.

Va l e m e i d ül e s k i r j u t a d e s j ätame edaspidi osa s u l g e ära, l ug ed e s k v a n t or e id koos e i t u s t e g a k õr g e i m a p r i o r i t e e d i g a teheteks.

Öeldakse, et v a l e m on к inning, kui kõik t em as e si n ev ad m uu tu j a d on seotud. Meid h u vi ta v ad just kinnis e d valemid.

Et and a v a l e m i l e sisu, i n t e r p r e t e e r i t a k s e teda kui t ea ta va t v äidet v a a d e l d a v a in di v i i d i d e p i i r k o n n a kohta.

S e l l e k s tuleb f i k s e e r i d a i n d i v i i d i d e p ii rk o n d (indiviid- m u u t u j a t e v ä ä r t u s t e piirkond) ning mä ä r a t a v a l e m i s e s i n e ­ v at e k on stantide, p r e d i k a a t - ja -funktsionaalsümbol ite t ä h e n ­ d used .

V a l e m i t e (või v a l e m i t e hulga) i n t e r p r e t a t s i o o n i k s n i m e t a t a k s e paari, m is k oosneb m it te t ü h j a s t hulg as t E (nn.

i n te rp re t at si oo n i kandjast) ja kujutusest, mis seab v a s t a v u s s e

- igale p r e d i k a a t s ü m b o l i l e p£ mingi n- ko h a l i s e relats io o ni h u l g a s E,

- igale -funktsi onaal sümbol i le f ^ mingi n - k o h a l i s e f un ktsiooni h u l g a s E,

- igale k o n s t a n d i l e f£ mingi elemendi h u lg a st E.

I nd iv ii d m u u t u j a d om an d a v a d väärtusi h u lg as t E.

A ntud i n t er pr et a ts io on i korral saab iga kinn i ne e l e m e n t a a r v a l e m p * (t4 ^,..., t n ) t õ e v ä ä r t u s e "tõene" (t) vöi

"väär" (v): kui h u l g a E elemendid, mis v a s t av ad t e r m i d e l e t^ ,..., tn , kuulu va d r el at si o on i, mis on m ä ä r a t u d selle i nt er pr e ta t s i o o n i g a , sii s l o et a k s e e i e m e n t a a r v a l emit toeseks, vastasel korral aga vääraks.

K v a n t o r e i d m i t t e s i s a l d a v a m i t t e e l e m e n t a a r s e valemi

2

vAArtus arvutatakse tema koostisosade vAArtustest nii, nagu on nAidatud tõevAArtustabelis (F ja G on valemid).

F G 1 F F V G F fc G

1---!

101 f1 U.

V V t V V t

V t t t V t

t V V t V V

t t _V t t t

______

V a l e m (Vx)F on tõene, kui x iga v A A r t u s e korral hulg a st E on v a l e m F tõene; vastasel korral on v a le m (Vx)F vAAr. V a ­ lem (3x)F on tõene, kui l eidub s e l l i n e x v A A r t u s h u lg as t E, et v a l e m F on tõene; vastasel juhul on v a l e m (3x)F vAAr.

L õ p l i k u p i i r k o n n a E korral või b s e l l i s t e v a l e m i t e t õ e v A A r t u - sed m A A r a t a t õ e v A A r t u s t a b e l i s t .

NAi_de 1 . 1_. V a a t l e m e v a l e m i t e (V x)P(x) ja (3 x) 1 P(x) s el l i s t i n t e r p r e t a t s i o o n i , kus E = {1, 2^ ning p r e d i k a a t - s ü m b o l i l e P v a s t a b j Ar g m i n e re l atsioon:

P(l) P (2)

t v

S e l l e s i n t e r p r e t a t s i o o n i s on e s i m e n e v a l e m vAAr ja teine tÕene.

V al e m i t F n i m e t a t a k s e ra hu l d a t a v a k s , kui leidub selline i n t e r p r e t a t s i o o n , m i l l e s F on tõene. Kui v al e m F on t õ ene i n t e r p r e t a t s i o o n i s 1, si i s öel d ak se , et 1 on F mudel^ ehk I r a h u l d a b v a l e m i t F. E e l m i s e s n A i t e s v a a d e l d u d i n t e r p r e t a t ­ s ioon on valemi ( 3 ^{x )}1p(x) mudel.

Kui v a l e m F on vAAr i n t e r p r e t a t s i o o n i s I, siis öeld a ks e, et I ei r allu Ld ®. v a l e m i t F. E e l m i s e s nA i te s v a a d e l d u d i n t e r p r e t a t s i o o n ei r a h u l d a v a le mi t ( V x ) P ( x ) .

Kui mingi v a l e m on t õ e n e k õ i k v õ i m a l i k e s i n t e r p r e t a t ­ s io on id e s, s ii s n i m e t a t a k s e teda s a m a se l t tõeseks. N A i t e k s v al e m P(a) -*• (P(a) V P(b)) on sa ma se l t tõene.

6

V al em i t n i m e t a t a k s e samasel^t v ä ä r a k s (ehk m i t t e r a h u l d a — tavaks), kui ta on väär k õ i k v õ i m a l i k e s i n t er pr e ta ts io o ni de s.

Kui v al em F on sa ma s el t töene, sii s te m a e i t u s ] F on s a m a se lt väär.

Viimati d e f i n e e r i t u d mõist e d võib 6le ka nd a ka v a l e mi t e hulgale. S e e j u u r e s ee ldatakse, et kõik va le m i d on seotud konjun kt si oo n i märgiga.

Kui v al e m i t e hulk S on tõ e n e i n t e r p r e t a t s i o o n i s I, siis öeldakse, et I on S m u d e X ehk I r a h u l da b h u l k a S.

Öeldakse, et v al e m i t e hulk S = ^Fj ,..., F„J on v a s t u r ä ä k i v (ehk mitter ah ul d at av ) , kui k on ju nk t s i o o n

on samas e lt väär.

Öeldakse, et v a l e m i t e hulk S = ^F< F„} on r a h u l ­ datav, kui va l e m i t e ko nj un k t s i o o n F4 F„ on r a h u l d a t a v (s.t. leidub i n t e r p r e t a t s i o o n , m i l l e s iga va le m F- on töene) .

Öeldakse, et v a l em it e hulk S = { f < ,..., Fn J on t õe ne (väär) i n t e r p r e t a t s i o o n i s I, kui v a l e m i t e kon ­ j un kt si o on Ff k . . . b Fn on t öene (väär) i n te rp r et at si ooni s I.

V a l e m G järeldub loogili se l t v a l e m i t e hu l g a s t S = [ F{ , ..., Fh | , kui iga i n t e r p r e t a t s i o o n , mis ra h u l d a b va l e m i t e hu l ka S, ra hu l da b ka vale mi t Б.

N äi de 1.2. V a a t l em e valemeid F< = ( V x) (P(x) Q(x) ) , Fjt, = P<a).

Näitame, et v a l e m Q(a) järeldub loo gi l is el t va l e m i t e s t F^ ja F* ■

V a a t l e m e su va l is t interp r et at si o on i I, mi s r a h u ld a b v al em i t F< £- . S e l l e s i n t e r p r e t a t s i o o n i s pea b v a l e m Fx =

= P(a) ol em a töene. O l e t a m e v a s t u v ä i t e l i s e l t , et v a l e m Q(a) on i n t e r p r e t a t s i o o n i s I väär. Sii s aga peab ka v a l e m o l e ­ ma s e ll es i n t e r p r e t a t s i o o n i s väär. S e e on v a s t u o l u s eeldusega. J är e l i k u l t on v a l e m Q(a) t õ e n e igas i nt er pr e ta t s i o o n i s , mis r ah u ld ab v al em it R £ F. , s.t. Q(a)

» X

j är el du b lo o gi li se l t v al e m i t e s t F., ja F^ .

T õ e s t a m e nüüd kaks e d a s p i d i s e k äs it l u s e j aoks olul is t t e o r e e m i .

7

2*

Teoreem 1.1. Olgu antud valemid F< ,..., F„ ja valem G. Valem G järeldub loogiliselt valemitest F< ,..., F n pa­

rajasti siis, kui valem F^ V ... is Fn -> G on samaselt tfiene.

TÕestus. ( = >) J ä r e l d u g u v a l e m G l o o g il is el t v al e m i t e s t F< ,. . . , F„ . O lg u I s u v a l i n e int e rp re ta t si oo n. Kui kõik v a ­ lemid F4 ^{,..., F„} on tõe se d se ll es i n t e r p r e t a ts io o ni s, siis de fi n i t s i o o n i k o h a se l t on sed a ka G. J ä r e li k ul t on ka v a l e m F4^L .. .^Fn — » G töene. Kui aga köik valem id F1 ,. . . , F„

ei ol e t õ es e d i n t e r p r e t a t s i o o n i s I (vähemalt üks on v & ä r ) , s ii s on v a l e m F« V . . . к F„ — > G ometi tö e ne s e l l es i nt e r p r e t a t s i o o n i s . Se e g a on ta t öe n e igas i n t e r p r e t a t s i - oonis, s.t. s a m as e lt tõene.

(< = ) Ol g u v al e m F4 & ... & Fn — > G s a m as el t tõene.

V a a t l e m e tema s u v a li st i n t e r p r e t a t s i o o n i 1. Kui v a l e m F4 & . . ... & Fn on s e l l e s i n t e r p r e t a t s i o o n i s tõene, siis peab ka v a l e m G ol em a tõene. J ä r e l i k u l t v al em G järel d ub lo og il i se lt v a l e m i t e s t F, ,... , F„ .

T e o r e e m 1 . 2 . O l g u antud v a le mi d F4 ,..., F„ ja va le m G.

V a l e m G jä re ld u b l o o gi li s el t v a l e m it es t F, ,..., F„

para ja s ti siis, kui va le m F, & ... & F n — » 1 G on samas el t v ä ä r .

Tõestus. T ä h i s t a m e v a l e m i t e A ja В loogilist s a m a v ä ä r ­ sust А = В. K un a 1 <F| & . . . & F„ — > G ) =

= 1 < 1 (F< & ... It F4 ) v G) =

= Rj fc . . . fc F„ & T G,

siis teoreemi 1.1 kohase lt järeldub v al em G lo o gi li se l t v a l e m i t e s t R, ,..., Fh pa ra jasti siis, kui v a l e m F4 ^{Ь . . .} . . . I/ Fn is 1 G on s a m a s e l t väär.

Kui va l e m G järel du b l oo g il i s e l t v a l e m i t e s t Rj , ...,Fn , siis n i m e t a t a k s e v a l e m i t & ... & F„ — > G teoreemiks. V a l e ­ meid F4 ,..., FM n i m e t a t a k s e teoreemi e e l d u s t e k s ning v a l e ­ mit 6 teoreemi väiteks.

N ä i d e 1.3. Nä i t e s t 1.2: kuna v a l e m Q(a) j är el d ub l o o g i ­ liselt v a l e m i t e hu l g a s t { ( V x ) ( P ( x ) — > Q(x)), P(a)> , siis v a l e m ( V x ) I P ( x ) —> Q ( x ) ) & P ( a ) — * Q(a) on teoreem.

Ö le sa n ne t, mis s ei sn eb s elle a sj ao lu t õ es ta mi s es , et t e a t a v va l e m j är e ld ub lo ogiliselt antud v a l e m i t e hulgast,

n i m e t a t a k s e teoreemi t õ e s t a m i s e ü l e s a n d e k s (TTÕ).

Teoreemi 1.1 kohase lt võib s e l l e tõ es t am is ek s , et v a l e m G järeldub loogili s el t v a l e m i t e s t F,, ,. . . , F„ , t õ e s ­ tada, et v a l e m £ . ■ . i F„ — > G on s am a s e l t tõene.

T ea tavasti ei e ks isteeri algo ri tm i , mis 1. järku p r e d i k a a t a r v u t u s e s u v a l i s e valemi korral s e lgitaks, kas see v al em on s a ma se lt t õe ne , s.t. 1. j ärku p r e d i k a a t a r v u t u s on mittelah en du v . E k s i s t e e r i b ag a algoritm, mi s iga samaselt t Õe se valemi korral teeb kindlaks, et see v a l e m on sa m as el t tõene, s.t. p r e d i k a a t a r v u t u s t võib n i m e t a d a go ol la h en du va k s.

P r a k t i k a s osu tu b m u g a v a m a k s k i n d la ks t e h a m i t t e seda, kas v a l e m on s a m a se lt tõene, vaid h o o p i s kontr ol l id a, kas ta on sa m a s e l t väär. S e e p ä r a s t v a a t l e m e t eoreemi V . . — »G t õ e s t a m i s e k s v al e mi t "KF* ^ • • -^Fn G> ehk Ft tr . . . & F„ £ 1 G

(lähtevalemi eitust) ja tõestame, et ta on s a m a s e l t väär, ehk, n a g u Öeldakse, k u m m u t a m e valemi F4 £ . . .£f„ S e l le ks on v a j a näidata, et ei eksisteeri ühtegi i n t e r p r e t a t s i o o n i , m i l l e korral valem i d F4 ^{Fn ,} 1 G o l e ks id k or r a g a t õ e ­ sed .

S e o s es p r e d i k a a t a r v u t u s e pool 1a h e n d u v u s e g a on t õe s t u s (kummutamine) e d u k a s (annab p o s i t i i v s e vastuse) a inult sel juhul, kui v al e m G järeldub lo o gi l i s e l t va le m i t e s t Ff ,..., Fh . Vastasel korral võib kummutami sp ro ts e d u u r t öö ta d a lõpmatuseni (või and a n e g a t i i v s e vastuse).

P r e d i k a a t a r v u t u s e valemi v õ i m a l i k e i n t e r p r e t a t s i o o n i d e hulk po l e lõplik, sest juba i n te r pr et at s io on i kandjat võib v a l i d a pi iramatul arvul erinevatel viisidel. S e e t õ t t u ei saa asjaolu, kas v al em on samase lt väär, ü l d i s e l t v älja s e l g i t a d a valemi t õ e v ä ä r t u s e k o n t r o l l i m i s e teel käi kvõimali kes interpre ta t si oo ni des.

J ä r g n e v a s as u m e t u t v u s t a m a valemi s a m a se l t v ä ä r u s e v ä l ­ j a s e l g i t a m i s e Herbrandi meetodit. E nn e a ga vaatame, k uidas v al em i t t e i s e n d a d a nn. d i s j u n k t i d e hulgaks.

^ vt. näit. С. Клини, Введение в метаматематику. М., Из­

дательство иностранной литературы, 195

7

2. Valemi t e i s e n d a m i n e d i s j u n k t i d e h u l g a k s 2.1. Valemi t e i s e n d a m i n e p r e f i k s i g a n o r m a a l k u j u l e T õ e s t u s p r o t s e d u u r i l i h t s u s t a m i s e h u v i d e s t e i s e n d a t a k s e k u m m u t a t a v v a l e m nn. d i s j u n k t i d e hulgaks. S e l l e k s e s i t a t a k s e v a l e m k õ i g e p e a l t nn. pre-fiksiga normaal ku ju l

(Q4x4) (Gx xx ). . . (Qn x n )M, (2.1)

kus iga Q b (i = l,2,...,n) on kas 3 vÕi V (seejuures (Qj x4 ) (Q^x^) . . . (Q„xn ) on nn. £•"£.+i_ks) ning M on valem, mis ei s i s a l d a k v a n t o r e i d (nn. m a a t r i k s ) .

1^{. jä rku} p r e d i k a a t a r v u t u s e valemi t e i se nd a mi se l nor—

maal k u j ul e k a s u t a t a k s e järgmisi sarnasusi, nn. seadusi (rõ­

h u t a m a k s a sjaolu, et v a l e m F s i sa ld ab v a b a mu ut u ja t x, t ä h i s t a m e va l e m i t FCxD; va l e m 6 ei s i s a l d a m u u t u j a t x):

QxFCx D v В = (Qx) (FCx 3 v G) (2.2)

QxFCxD Sc 6 = ( Q x M F C x ] & 6^{) (2.3)}

1 ( ( V x ) FCx 3 ) = ( 3 x ) ( l F C x D ) (2.4)

1 ( ( 3 x ) F C x 3 ) = ( VxM I fCxH) (2.5)

( V x ) F C x D & ( V x ) H C x 3 = ( V x ) (FCx D 8^{« HCxD) (}2^.6⁾ ( 3 x )FCx D v ( 3 x ) H C x 3 = ( 3x ) (FCx D v HCx]) (2.7) S e a d u s e d (2.2) ja (2.3) kehtivad, sest va le m G ex s i s a l d a m u u t u j a t x ja s e e t õ t t u võib teda kanda kvantori Q

-1 mojupi irkonda.

S e a d u s e (2.4) t õ e s t a m i s e k s (analoogilisel viisil t õ e s ­ t a t a k s e ka (2.5), (2.6) ja (2.7)) v a a t l e m e su v al i s t inter—

p re ta t s i o o n i I, m i l l e s v a s a k p o o l n e v a l e m 1(( V ^{x)FCx3) on} tõene. S i is a g a on v a l e m ( V x ) F C x 3 väär. J ä r e l i k u l t leidub s e l l i n e e le me nt e i n t e r p r e t at si oo n i kandjas, et FCeD on väär, s.t. 1 FCeD on t õ e n e i n t e r p r e t a t s i o o n i s I. Jä r el ik ul t on v a l e m ( 3x) ( 1fCxD) t õ e n e i n t e r p r e t a t s i o o n i s I. Teiselt poolt, kui 1 ( V x ) F C x ] on väär i n t e r p r e t a t s i o o n i s I, siis

^ V t . n£it. l.Kull. M a t e m a a t i l i n e loogika. Tallinn, Eesti R i i k l i k Ki rj as t us , 1964, lk. 108.

io

FCx3 on tõene iga x väärtuse korral ja iFLxl on väär iga x väärtuse korral interpretatsiooni kandjast. Siis ka ( 3 x)( IfLxD) on väär interpretatsioonis I. Järelikult on mõlema vaadeldava valemi tõeväärtused võrdsed suvalises in­

terpretatsiooni s ning need valemid on loogiliselt samaväärsed.

Seaduse (2.6) põhjal vöib konjunktsioonist tlldsuskvan- tori tuua sulgude ette. Seaduse (2.7) pÖhjal vöib sama teha olemasol.ukvantoriga disjunktsioonis. Seevastu dldsuskvanto- rit ei tohi sulgude ette tuua disjunktsioonis ning olemas- olukvantorit konjunktsioonis, s.t.

( V x ) F C x l v ( V x ) G C x D ^ ( V x ) (FCx 3 v GLxl), ( 3 x )FLx 3 & ( 3 x ) G C x 3 ( 3x) (FCxD & GCxII) .

Niisugustel juhtudel tuleb ühes valemis seotud muutuja ümber nimetada. Nii näiteks kui muutuja z ei esine valemis FCx3, si is

( Vx)FCxD v ( V x ) H C x l = ( V x ) F C x D v ( V z ) H C z D ja seaduse (2.2) pÖhjal saame

( Vx)Ftx3 V ( V x ) HCx D = ( V x ) ( Vz) (FCx D V HCzD) . (2.8) Analoogi1i selt

( 3x)FCxD 8c ( 3 x )HCx 3 = ( 3 x) ( 3 z) (FCx3 & HCz3) . (2.9) Lisaks seadustele (2.2) kuni (2-9) kasutatakse valemi tei­

sendamiseks normaalkujule veel järgmisi lausearvutusest tuttavaid seadusi:

F —» G = 1 F V G (2. 10)

1 ( 1 F) = F (2.11)

1(F V G) = 1 F & iG (2. 12>

1 (F & G) = 1 F V 1G (2.13)

Valemi teisendamine prefiksiga normaalkujule vöib toi­

muda järgmiste tegevuste järjest rakendamise teel.

1. Implikatsiooni märkide elimineerimine. Iga valem F — * G asendatakse loogiliselt samaväärse valemiga ] F V G.

2. Eituse märkide viimine elementaarvalemiteni. Kõik­

jal, kus võimalik, tehakse järgmised asendused:

1 1 F asemel F,

1 (F V G) asemel 1 F & 1g, 1(F & G) asemel If V lG,

1 ( VxF) asemel 3 x ( 1 F ) ,

3*

1< 3 xF) asemel V x < 1 F ) ,

k a s u t a d e s seadusi <2.11), (2.12), (2.13), (2.4), (2.5). Nii s a a d a k s e lõpuks valem, m i l l e s e i t u s e mä rgid asu va d va h e t u l t e l e m e n t a a r v a l e m i t e ees.

3. M u u t u j a t e ü mb e rn i m e t a m i n e . T e h a k s e s e l l i s e d m u u t u j a - v a h e t u s e d , et kõik k v a n t o r i t e g a s e o tu d m u u t u j a d o le k s i d erinevad. N ä i t e k s v a l e m VxR(x) V V x T(x) k i r j u t a t a k s e ümber kujul VxR(x) V V y T ( y ) .

4. K v a n t o r i t e t õ s t m i n e valemi algu s es se , k a su t ad es seadusi (2.2), (2.3), (2.6)— (2.9). T e i s e n d a m i s e tulemusel s a a m e e s i a l g s e g a lo o g i l i s e l t s a m a v ä ä r s e valemi.

N ä^ d e 2 . ± . T e i s e n d a m e p r e f i k s i g a n o r m a a l k u j u l e valemi F:

( V x ) ( Vy ) ( ( 3z) (P(x ,z) 8tP(y,z>) -> ( 3 u ) Q ( x ,y,u) ) . S u l g u d e s n ä i t a m e ka su t a t u d s e a d u s e numbri:

F = ( V x ) ( V y ) ( 1 ( 3z)(P(x,z) & P ( y , z ) ) V ( 3 u ) Q ( x , y , u ) ) = (2.10)

= ( Vx) ( Vy)(( Vz) ( 1 P(x,z) V 1 P (y ,z)) V ( Д u)Q(x ,y,u)) = (2.5), (2.13)

= ( Vx) ( Vy) ( Vz) ( 3u) ( 1P(x ,z) V lp(y,z) V Q (x ,y,u) ).

(2.2)

2^.2. Valemi t e i s e n d a m i n e p r e f i k s i g a n o r m a a l k u j u l t d i s j u n k t i d e h u l g a k s

A sj a k i r j e l d a t u d t e g e v u s t e 1 kuni 4 s o o r i t a m i s e t u l e ­ musel saab s u v a l i s e 1^. j ärku p r e d i k a a t a r v u t u s e valemi t e i ­ s e n d a d a p r e f i k s i g a n o r m a a l k u j u l e (2^.1⁾

(Q<

Edasi t e i s e n d a t a k s e m a a t r i k s M, mis ei s i s a l d a kvantoreid, t e m a g a l oo g i l i s e l t s a m a v ä ä r s e l e k o n j u n k t i i v s e l e n o r m a a l k u —

4

jule. Seejärel e l i m i n e e r i t a k s e k 5 i к c l em as o l u k v a n t o r i d ,

l .

k a s u t a d e s Skolemi funk t si oo ne . Se e toi m ub järgmiselt.

^Vt. näit. l.Kull. Matemaatiline loogika. T allinn, 1964, lk. 33.

^ V t. sealsamas, lk. 125.

xz

Olgu valem esitatud prefiksiga normaalkujul (2.1), mil­

les maatriks M on juba esitatud konjunktiivsel normaalkujul.

Olgu Q,. olemasolukvantor 11 ^ r ^ n). Kui kvantorist Qr va­

sakul ei asu ühtegi illdsuskvantori t , siis valime uue konstandi с (mis erineb valemis M sisalduvatest konstanti­

dest) ja asendame valemis M kõik muutuja x r esinemised konstandiga c. Lõpuks tõmbame maha (Q P xr ).

Kui olemasolukvantorist Q r vasakul paiknevad illdsuskvantorid Qs^ ,..., QS)n (1 ^ s( < sfc< ... < sm < r), siis valime uue m— kohalise funktsiooni sümboli f (mis ei si­

saldu valemis M ) , asendame valemis M kõik muutuja xP esine­

mised termiga f (x4<,x}^,. . . , xajn) ja tõmbame maha (Qrxr ).

Seda protsessi rakendame kõigi olemasolukvantorite kor—

rai. Lõpuks saame antud valemi nn. standardkuju.

Konstante ja funktsioone, mida kasutatakse olemasolu- kvantori muutujate asemel, nimetatakse Skolemi_ funktsiooni­

deks.

Näi_de 2.2. Teisendame standardkujule näites 2.1 vaadel­

dud valemi F, lähtudes tema prefiksiga normaalkujust ( Vx) ( V y ) ( V z ) ( 3 u) ( 1 P(x,z> V lP(y,z) V Q ( x , y , u ) > . Maatriks on juba konjunktiivsel normaalkujul. Elimineerinud ainsa olemasolukvantori, saame valemi F standardkuju

( Vx) ( Vy) ( Vz) ( ] P(x,z) V 1 P(y,z) V Q(x ,y,f (x ,y,z) )X

Näide 2.3. Teisendame standardkujule prefiksiga nor—

maal kujul esitatud valemi F:

( И х ) ( Vy) ( Vz) ( 3 u) ( V v ) ( 3w)P(x,y,z,u,v,w).

Elimineerides olemasolukvantoreid, asendame muutuja x konstandiga a, muutuja u Skolemi funktsiooniga f(y,z) ning muutuja w Skolemi funktsiooniga g(y,z,v). Saame valemi F standardkuju

( Vy) ( Vz) ( Vv)P(a,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v>).

Näide 2.4. Teisendame standardkujule prefiksiga nor—

maal kujul esitatud valemi F:

( V x) ( 3 y) ( 3 z) ( ( 1 P(x ,y) & Q ( x , z ) ) V R(x,y,z) ).

Kõigepealt teisendame maatriksi konjunktiivsele normaalkuju-

U

( ] P ( x , y ) V R ( x , y , z > ) & (Q (x , z ) V Rlx,y,z)).

Elimineerinud olemasolukvantorid, saame valemi F standardku- ju:

( V x ) ( ( 1 P(x ,-f (x) ) V R ( x ( x ) , g (x))) &

& (Q (x , g (x ) ) V R(x,f(x) ,g (x>)>).

E l e m e n t a a r v a l e m i t või se l l e e i tu st n i m e t a t a k s e l i t e r a a — liks. L i t e r a a l i d e d i s j u n k t s i o o n i (milles erijuhul võib olla ka О literaali või 1 literaal) n i m e t a t a k s e disjunkt ik s .

Kui d i s j u n k t ei s i s a l d a ühtki li t eraali, siis n i m e t a t a k s e t e d a t ü h i d i s j u n k t i k s ja t ä h i s t a t a k s e СЭ. Kuna t ü h i d i s j u n k t ei s i s a l d a ühtki literaali, mis v õ i k s s u v a l i s e s i n t e r p r e t a t s i o o n i s o l l a tõene, s ii s on t ü h i d i s j u n k t alati v ä ä r .

L o e m e d i s j u n k t i d e h u l k a S kõigi t e m a s s e ku u lu v a t e d i s ­ j u n k t i d e ko nj u nk ts i o o n i k s . Kõiki h u l g a S d i s j u n k t i d e s e s i n e v a i d m u u t u j a i d l o em e d l d s u s k v a n t o r i g a seotuiks.

S e l l e k o k k u l e p p e ko ha s el t võib valemi s t a n d a r d k u j u e s i ­ t ad a d i s j u n k t i d e h u l g a n a (jättes n i i s i i s A r a ü l d s u s k v a n t o r i d ja k o n j u n k ts io on i märgid).

Näi_de 2.5. N ä i d e t e s 2.1 ja 2.2 v a a d e l d u d valemi s t a n ­ d a r d k u j u võib e s i t a d a ü h e e l e m e n d i1ise d i s j u n k t i d e h u l ga na

{ l P ( x , z ) V 1 P (у , z ) V Q(x,y,-f (x,y,z> )>.

N ä i t e s 2 .4 v a a d e l d u d valemi s t a n d a r d k u j u e s it u b d i s j u n k t i d e h u i g a n a

<lP(x,4(x)) V R(x ,-f (x) ,g (x) ) , Q(x,g(x)) V R (x , f (x ) , g (x ) ) > . Kui s am a s e l t v ä ä r a s v a l e m i s e l i m i n e e r i d a o l e m a s o l u k v a n — torid, sii s sa ad u d v a le m on ikka s a m a s e l t väär ja v a s ta v d i s j u n k t i d e hul k on v a st ur ä äk iv . K e h t i b jä rg m in e

t e o r e e m 2 . 1 . O l g u S d i s j u n k t i d e hulk, mis es itab valemi F s t a nd ar dk u ju . V a l e m F on s a m a s e l t väär parajasti siis, kui h ul k S on vast u rä äk iv .

T^õestus. Ü ldsust k i t l e n d a m a t a võib eelda d a, et v a le m F on e s i t a tu d no rm a al ku ju l :

F = (Q^ x^ ) ... (Qflxn )MCx4 ^{, x rt3.}

le:

1ч

O lg u Q r v a s a k p o o l s e i m o l e m a s o l u k v a n t o r . T ä h i s t a m e

F< = ( V x „ > . . . ( Vx,.,,) ( Q ^ x , . ^ )... (Qn xn )MCx1 ^{,f (x,, ,}

••1 x r->( * * ХГ+<(

kus f on m u u t u j a l e x v as t a v Skolemi f u n k t s i o o n (1 ^ r ^ n).

Tõestame, et v a le m F on sa ma s e l t väär pa ra jasti siis, kui on s a m as el t väär.

O le t a m e vastuväi t e l i s e l t , et Fj ei o l e sa m a s e l t väär.

S ii s leidub i n t e r p r e t a t s i o o n 1, nii et Fj on tõene i n t e r p r e t a t s i o o n i s 1, s.t. iga x4 ,..., x,..^ korral leidub v ä h e ma l t üks e le m en t (ja nime lt f(x4 ,..., * r-i )), m i l l e k o r ­ ral va l e m

( xr H xr_4 » ■f(x< 1 ..., x ^ ) , Xjj3

on tõene. Ka v al e m F p e a k s s ii s o l e m a tõ e n e i n t e r p r e t a t s i o o ­ n is I, mis ag a on v a s t u o l u s eeldusega. J ä r e l i k u l t peab v a l e m E| ol e ma s a m as e lt väär.

O l e t a m e nuud vastuväi t e l l s e l t , et v a l e m F ei o l e s a m a ­ selt väär. S i i s leidub i n t e r p r e t a t s i o o n I, k a n d j a g a D, m i l ­ les F on tõene, s.t. iga x( ,..., x,..,, korral leidub s e l l i n e e le m e n t xr , et va lem

x r<-4 )■..( 0ц xn >Mtx„ ,...,xr_,j , x r , x r+4 «■»■» x n-l on tõene. L a i e n d a m e i n te rp r et at si o on i 1, li sa d e s f un ktsiooni f, m is k ujutab (x^,..., x r.( ) e l e m e n d i k s xr iga x, ,... , x,^

korral pi i r k o n n a s t D, s.t. f(x^ , ... , xr_^ ) = x r . T ä h i s t a m e s aadud inte rp re t at si oo n i I'. Iga x{ , ...,xr_4 ^kor—

rai on v alem

(Qr4.< xr*< (Qn xu )Mi;x4 x *4;+ (N » xr * 4 ... X" 11 t õ e n e i n t e r p r e t a t s i o o n i s I ‘, s.t. v al e m F on t õe ne i n t e r p r e ­ t a t s i o o n i s I'. See aga on v a s t u o l u s eeldusega. J ä r e l i k u l t peab v a l e m F ol e ma s am as e l t väär.

O l e t a m e nüüd, et v al e m i s F on m o l e m a s o l u k v a n t o r i t , ja o lg u F0 = F. O lg u va l e m F* saa du d val e mi st Fk_,j es im e s e ol e m a s o l u k v a n t o r i a s e n d a m i s e teel Skolemi f u n k t s i o o n i g a (k =

= l,...,m>. A n a l o o g i l i s e l t e e l n e v a g a saab näidata, et valem Fic-4 on s am a se lt väär parajasti siis, kui FK on samase lt väAr. Aga F m — S. S e e g a F on s a m a se lt väär p a rajasti siis, kui d i s j u n k t i d e hulk S on v asturääkiv.

Valemi F t e i s e n d a m i n e d i s j u n k t i d e h u l g a k s toimub n i i s i i s j är gm i s t e t e g e v u s t e järjest r a k e n d a m i s e teel:

15

Ц*

1. i mp l ikatsiooni m ä r k i d e el im i ne er im i ne , 2. e i t u s e m ä r k i d e v i i m i n e e l e m e n t a a r v a l e m i t e n i , 3. seo tu d m u u t u j a t e (Ümbernimetamine,

4. k v a n t o r i t e e t t e t o om in e ,

5. m aa triksi t e i s e n d a m i n e k o n j u n k t i i v s e l e n o r m a a l k u j u ­

le, >

6. o l e m a s o l u k v a n t o r i t e e li m in ee r i m i n e , k a s u t a d e s Sk o l e - mi -funktsioone,

7. pre+iksi är aj ät mi n e,

S. k on j un k t s i o o n i m ä r k i d e ärajätmine.

N ä i d e 2.6. T e i s e n d a m e d i s j u n k t i d e h u l g a k s valemi F:

( 3 x) ( 1 ( ( 3 y)P(x ,y> ) -> ( ( 3 z ) Q (z ) — > R (x) ) ) (ühtlasi n ä i d a t e s k as ut a t u d t e g e v u s e numbri).

.

F = ( 3 x) ( ( ( 3 y)P(x ,y> ) V ( ( V Z ) 1q(z) V R (x ) ) ) = 4

= ( 3 x) ( 3y) ( V Z ) (P(x,y) V l Q ( z ) V R (x ) ) = 6

= ( V z ) (P (a, b) V 1q(z) V R (a) ) , 7: <P(a,b> V l(3(z) V R(a)>.

Näide_2.7. Teisendame disjunktide hulgaks valemi F:

( V x ) ( V y > ( ( 3z)P(x,y,z) & (( 3 u) Q (x , u) (3v)Q(y,v) ) ) . 1,2

F = ( Vx) ( Vy) (( 3z)P(x,y,z) & (( Vu)

1

V ( 3 v) Q (y, v) ) ) = 4

= ( Vx) ( V y ) ( 3z)( Vu)( 3v)(P(x,y,z) & ( 1 Q(x,u) V V Q (y, v ) ) ) =

6

= ( Vx) ( Vy) ( Vu) (P(x,y,f (X,y) ) & ( 1 Q (x , u) V V Q ( y , g ( x , y , u ) ))),

7,8: -CP <X, у , + (x , у ) , l Q ( x , u ) V Q (y , g (x , у , u >) >.

S i i t p e a l e eeldame, et ku m mu t a m i s p r o t s e d u u r i sisendil on a ntud v a l e m i l e F v a s t a v d i s j u n k t i d e hulk S. Tõestuse, et v a ­ lem F on s a m a s e l t väär, a s e n d a m e tõestus eg a , et d i s j u n k t i d e

16

h ul k S on v as turääkiv.

3. D i s j u n k t i d e h u l g a H- i nt er p r e t a t s i o o n . H er brandi t e o r e e m

3.1. Herbrandi u n i v e r s u m ja H - i n t e r p r e t a t s i o o n

Teoreemi F, & .. . & Fn — > 6 t õ e s t a m i s e k s t u le b näidata, et v a s t a v d i s j u n k t i d e hulk S on vasturää ki v. V a l e m i t e hulk on ag a v a s t u r ä ä k i v pa ra jasti siis, kui t e m a s s e k u u l u v a t e v a l e m i t e k o n j u n k t s i o o n on v A & r k õ i k v õ i m a l i k e s i n t e r p r e t a t ­ s i o o n i d e s k õ i k v õ i m a l i k e kandjatega. K u n a v õ i m a t u on ' A a d e l - da kõiki i n t e r p r e t a t s i o o n e k õ i k i d e kandjat eg a , s i i s on mei e j ä r g m i s e k s e e s m ä r g i k s le ida ü k s " h e a ” Kandja, m i s e s i n d a k s k õ i k v õ i m a l i k k e ja m id a s a a k s h õl psasti k o n s t r u e e r i d a k u m m u t a t a v a valemi põhjal. S e l l i n e k a n dj a leidub t õ e po ol es t , t e d a n i m e t a t a k s e d i s j u n k t i d e h u l g a H er brandi u ni ve rs u mi ks .

D i s j u n k t i d e h u l g a H er brandi u n i v e r s u m k o n s t r u e e r i t a k s e järgmiselt.

Def. O l g u H0 h u l g a S d i s j u n k t i d e s e s i n e v a t e k o n s t a n ­ t id e hulk. Kui S ei s i s a l d a k on stante, s ii s p a i g u t a t a k s e h u l k a H© s u v a l i n e konstant, n ä i t e k s H e = ta>. Seejärel o l g u i=0,l,... korral

H ^ = H;, U (t4 ,...,tn ) J +” on h u l g a s S e s i n e v n - k o h a l i n e -funktsioon, t^ €■ Hj, , j = l,...,n>.

H u l k a H = S h . n i m e t a t a k s e d i s j u n k t i d e h u l g a S H e rb randi

ьвО *

u ni ve r s u m i k s , iga h u l k a H^ a g a He rbrandi u n iv er su m i i_— n d a k s t a s e m e k s (i - 0,1,...).

Näide 3.1. O lg u S « IPix) V Q ( y ) ,] P (а),]Q(b)>. Siis H =

= H0 = H,, = ... = ia,b>.

N ä i d e 3.2. Olg u S - < R < x > , P(g(x>> V Q(y)>. S i i s H0 - Ca>,

H< = H0 0 Cg(a)>, H x = H< U lg( g(а))>,

H = Ca, g(a), g(g(a)), g(g ( g( a) )) , ...}.

17

5

De_f . D i s j u n k t i d e h ul g a S Herbrandi^ b a a s i k s n i m e t a ­ t a k s e kõigi el e m e nt aa rv a l emi te hu l k a kujul pn (h, ,... , h n ) , kus p r e d i k a a t s ü m b o l pn s i s a l d u b h u l g a S d i s j u n k t i d e s ja h^ , . . . , h„ e H.

Näi_de 3.3. N ä i t e s 3.1 t o od u d d i s j u n k t i d e h u l g a H er b- randi b a a s i k s on hul k

H6 = (P(a>, P(b), Q ( a ) , Q(b)>.

Näi^de 3.4. N A i t e s 3 . 2 t o od ud d i s j u n k t i d e h u l g a H e r b — randi b a a s i k s on hulk

H b = <R(a), P(a), Q(a), R(g(a)), PCg(a )) , Q(g(a>), R (g (g <a) ) ) , P ( g ( g ( a ) ) ) , Q ( g ( g( a) )) , ...>.

V a a t l e m e nüüd i n t e r p r e t a t s i o o n e , m i l l e ka n d j a k s on Herb ra n di u ni v e r s u m , n i n g e r a l d a m e n e n d e h u lg as t nn.

H - i n t e r p r e t a t s i o o n i d .

Def. In t er pr et a t s i o o n i I n i m e t a t a k s e d i s j u n k t i d e h u l g a S H-i^nterpretatsioonüks par a ja st i siis, kui kehtivad j ä r g m i s e d t ingimused.

1. I kujut ab h u l g a S iga konstandi iseendaks.

2... O l g u f s u v a l i n e n - k o h a l i s e f u n kt si o on i sümbol, mis s i s a l d u b h u l g a S d i s j u n k t i d e s , ja o l gu h^ ,. .., h n h ul ga S H er br a nd i u n i ve rs um i H elemendid. I nt e r p r e t a t s i o o n I seab f u n k t s i o n a a l s ü m b o l i l e f v a s t a v u s s e f u n k t s io on i , mi s kujutab

(hulga H n elemendi) (h+ hn ) (hulga H elemendiks)

* < h < ... h„>.

H u l g a s S s i s a l d u v a i d p r e d i k a a t s õ m b o l e i d võib v ä ä r t u s t a ­ da su valiselt.

D i s j u n k t i d e h u l g a S iga H — in te r p r e t a t s i o o n i või b v a a ­ d e l d a kui h u l g a S Herb r an di baasi e le m e n t i d e v ä ä r t u s t a m i s t . O l g u H- = CA^ A n ,...> d i s j u n k t i d e h u l g a S Herbrandi baas. S u v a l i s e H — in te rp r et a t s i o o n i võib s ii s e s i t a d a kujul 1 = <m4 ,. .. , m n ,. .. > , kus ny on kas Aj vöi

Al , s i is o n e le m e n t a a r v a l e m i1e IAj (j = 1,2,...). Kui mj on _t

A^ o m i s t a t u d t õ e v ä ä r t u s "tõene", v a s tu pi di s el juhul aga

" v ä ä r ".

Näi_de 3.5. V a a t l e m e n ä i t e s 3.1 toodud d i s j u n k t i d e h ul ka S. T e m a H er brandi u n i v e r s u m on H = Ca, b>. H - i n t e r p r e t a t s i —

ia

oon seab k o n s t a n d i l e a v a s t a v u s s e a ja k o n s t a n d i l e b v a s t a ­ v u s s e b. H u l g a S H - i n t e r p r e t a t s i o o n i d on n ä i t e k s

1^ = CP (a) , P(b), Q (a) , Q(b)>

(s.o. H - i n t e r p r e t a t s i o o n , m i l l e s köik e l e m e n t a a r v a l e m i d P(a), P(b), Q(a), Q(b) on t Ö e s e d ) ;

1Л = { lP ( a ) , lP(b), 1 Q (a) , "]Q (b) >

(s.o. H - i n t e r p r e t a t s i o o n , m i l l e s köik e l e m e n t a a r v a l e m i d on v ä ä r ad) ;

I5 = CP(a), P(b), 1 Q (a) , l Q ( b ) >

jne. M ä ä r a t e s er in e v a i d tõeväär tu s i e l e m e n t a a r v a i e m i tele, s aa me k okku 16 a ntud d i s j u n k t i d e h u l g a H - i n t e r p r e t a t s i o o n i .

Näi_de^ 3.6. V a a t l e m e n ä i t e s 3 . 2 t o od u d d i s j u n k t i d e hulka. H -i n t e r p r e t a t s i o o n i ka n d j a k s on hulk H = ia,g(a), g (g (a) ),...}. K u j u t u s (de-Finitsiooni kohaselt):

a — > a ,

g — * g nii, et g(h) — > g(h) iga h б- H k o r r a l . H ul g a S H - i n t e r p r et a ts io on e :

Ц = { R (a ) , P (a) , Q (a ) , R(g(a)>, P(g(a)), Q ( g( a ) ) , . . . >

(s.o. i n t e r p r e t a t s i o o n , m i l l e s iga e l e m e n t a a r v a l e m on t ö e n e ) ;

I* = < 1 R (a) , lP(a), 1Q (a) , lR( g( a) ), l P (g ( a> ), 1q ( g ( a ) ),...>;

I3 ^{= i} 1 R (a) , P (a) , Q (a) , l R ( g ( a ) ) , P(g(a ) >, Q(g(a)),

. . . >

jne.

D i s j u n k t i d e h u l g a igale i n t e r p r e t a t s i o o n i l e saab v a s t a ­ v u s s e s e a d a t e a t a v a H — i n t e r p r e t a t s i o o n i .

O l g u I i n t e r p r e t a t s i o o n , mi ll e k andja on D. I n t e r p r e ­ t a t s i o o n i l e I v a s t a v a k s ^ - i n t e r p r e t a t s i o o n i k s 1* n i m e t a t a k s e i n t e r p r e t a t s i o o n i , mi s k o n s t r u e e r i t a k s e järgmiselt:

o l g u h,| ,. . . , h n Herbrandi u ni versumi H elemendid. O lg u t e r m i l e h;, i n t e r p r e t a t s i o o n i s I* v a s t a v e le m e n t d;, ۥ D.

Kui P ( d 4 ,..., d „ ) o m an da b i n t e r p r e t a t s i o o n i s I v ä ä r t u s e t (vastavalt v ) , sii s ka P(h< t ..., hn ) o ma n da b i n t e r p r e t a t s i ­ o o n i s I* v ä ä r t u s e t (vastavalt v ) .

K eh t i b j är g mi ne

t e o r e e m 3 . 1 . D i s j u n k t i d e hulk on v a s t u r ä ä k i v p ar ajasti 19

5*

si is, kui ta on välr kõigis oma H— interpretatsioonides.

Tõ e s t u s . <=>) Kui S on vasturääkiv, siis peab ta olema väär kõigis interpretatsioonides igasuguste kandjatega, sealhulgas ka kõigis oma H-interpretatsioonides.

(<=> Olgu S väär kõigis oma H— interpretatsioonides.

Oletame vastuväi teliselt, et S ei ole vasturääkiv. Siis leidub selline interpretatsioon I, kandjaga D, milles S on tõene. Olgu I* interpretatsioonile 1 vastav H-interpretatsi­

oon. S on tõene interpretatsioonis 1*. See aga on vastuolus eeldusega. Järelikult peab hulk S olema vasturääkiv.

S e e g a p i i s a b h u l g a S v a s t u r ä ä k i v u s e v ä l j a s e l g i t a m i s e k s t e m a H - i n t e r p r e t a t s i o o n i d e l ä o i va a ta mi se s t. Kui H- i n t e r p r e t a t s i o o n i d e h ul k on lõ pl ik (nagu n ä i t e s 3.5), siis on s e l l e teoree mi alusel v õ i m a l i k t õ e s t a d a d i s j u n k t i d e h u lg a va s t u r ääk i v u s t .

3.2. S e m a n t i l i s e d puud

H u l g a S kõik H - i n t e r p r e t a t s i o o n i d võib e s i t a d a graa-fi- na, m i d a n i m e t a t a k s e s e m a n t i l i s e k s puuks. D i s j u n k t i d e hulga v a s t u r ä ä k i v u s e t õ e s t a m i s t v õ i b s ii s v a a d e l d a kui t e m a s e m a n ­ t i l i s e puu k o n s tr u ee ri mi s t.

E s i t a m e kõ i g e p e a l t m õ ne d de-finitsioonid.

2ef_. O l g u A e ie me nt a a r v a l e m . L i t e r a a l e A ja ] A n i m e t a t a k s e k o n t r ä ä r s e t e k s , h u l k a (A, 1 A) n i m e t a t a k s e k o n t r a a r s e k s paari ks .

Eef,. O lg u S d i s j u n k t i d e hul k ning o lg u H b tema Herbrandi baas. H u l g a S semanti_liseks g u u k s n i m e t a t a k s e puud, m i l l e s i g a l e ka a r e l e on v a s t a v u s s e s e a t ud lõplik hulk l i t e r a a l e h u l g a s t H b nii, et

(i) igast t i p u s t N v ä l j u b ain u lt lõplik hulk kaari Lj , . . . , L „ . O lg u k a a r e l e Lj, v a s t a v a t e l i t e r a a i i d e k o n j u n k t ­ sioon (i = 1,..., n). S i i s 3,, V ... V G h on s a m a s e l t tõene vai em.

(ii) T ä h i s t a g u iga t ip u N korral I(N> kõ i k i d e h u l k a d e ihendi t, mis v a s t a v a o ti p p u N v ii va tee kaartele. S i i s I (N) ei s i s a l d a k o n t r a a r s e i d paare.

20

Nä i d e 3.7. Olgu H b = CP, Q, R> h u l g a S Her br a nd i baas.

Joonisel on k uj utatud h ulga S kaks s e m a n t i l i s t puud.

DejF. O lg u H & = -CA« A n ,...> d i s j u n k t i d e hu l g a S H er brandi baas. Öeldakse, et h u l g a S s e m a n t i l i n e puu on täieJULjk^ pa ra jasti siis, kui iga i = 1^, 2, ... ja iga r i p p u v a ti p u N korral si sa l da b I (N) kas A|_ või 1 A^ .

E e l m i s e s n ä i t e s toodud se ma n t i l i s e d puud on täielikud.

Kui h u lg a S He rbrandi b a a s on lõpmatu, s i i s on ka S iga täie l ik s e m a n t i l i n e puu lõpmatu.

T äi e li k s e m a n t i l i n e puu esi ta b h u l g a S kõ i k v õ i m a l i k u d H-i n t e r p r et at s i oon i d .

Iga tip u N korral m o o d us ta b I<N> osa h u l g a S mingist i n t e r p r e t a t s i o o n i s t .

Kui S on v a st ur ää k iv , sii s ta peab ol e m a väär igas H - i n t e r p r e t a t s i o o n i s , Me v õ i m e s e m a n t i l i s e p u u ha r u k o n s t r u e e r i m i s e p e a t a d a ti pu s N, kui I CN) ei r a h u l d a hu lk a S.

N ä i d e 3.3. Ol g u S = (P, Q V R, l P V 1ö, ] р V lR}.

H u l g a S Herbrandi b aa s on H = -CP, Q, R>. Joonisel on v a s a ­ kul n ä i d a t u d h u l g a S täie l ik s e m a n t i l i n e puu, m i l l e k o n s t ­ r u e e r i m i n e on p e a t a t u d igas n i i s u g u s e s t ip u s N, kus selgub,

21

6

et I (N) ei rahulda hulga S mingit disjunkti. Tipus 1 selgub

nimelt, et v ä ä r t u s e v saab d i s j u n k t I P V lQ, t ip us 2 — d i s j u n k t I P V lR, t i p us 3 - d i s j u n k t Q V R, ti p u s 4 - d i s ­ junkt P.

3.3. H er brandi t e o r e e m

H er br an di t e o r e e m on al us e k s e n a m i k u l e ka as ae g s e t e l e m a s i n a i g o r i t m i dele, m i s on v ä l j a tö ö t a t u d t e o r e e m i d e t õ e s t a ­ miseks. H er brandi t e o r e e m põ hi n e b eespol t õ e s t a t u d teoreemil 3.1, s.t. s e l l e k s et selgi ta da , kas d i s j u n k t i d e hulk on v as tu r ä ä k i v , on t a r v i l i k ja p i i s a v k o n t r o l l i d a ai nu lt H — in t er pr e t a t s i o o n e . K un a d i s j u n k t i d e hu l g a S H — i n t e r p r e t a t ­ s i o o n e võib o ll a l õ p m a t u hulk, s i i s t uleb neid teataval viisil s ü s t e m a t i s e e r i d a . S e l l e k s saab k a s u t ad a s e m a nt i li st p u u d .

Def. D is j unkti С -fundamentaalnäi^teks n i m e t a t a k s e d i s ­ junkti, mis on saa du d С kõigi m u u t u j a t e ase n da mi se l H e r br a nd i u n i ve rs um i e l e m e n t i d e g a (samad m u u t u j a d a s e n d a t a k ­

22

se s a m a d e elementidega).

N ä i d e 9_. V aa t le me n ä i t e s 3.1 t o od u d d i s j u n k t i d e h u l k a S = -tP(x) V Q ( y ) , P(a), Q(a)>. Di sj unkti P(x) V Q(y) -fun- d a m e n t a a l n ä i ted on P(a) V Q(a), P(a) V Q(b), Р(Ь) V Q(a), P(b) V Q ( b ).

T e o r e e m 3 . 2 (Herbrandi teoreem). D i s j u n k t i d e hul k S on v a s t u r ä ä k i v parajasti siis, kui e k s i s t e e r i b te m a d i s j u n k t i d e

■fundamentaalnäidete lõplik v a s t u r ä ä k i v hulk S / .

Tõestus. (=>) O l g u d i s j u n k t i d e hul k S vas tu rä ä ki v. Siis on ta väär o m a kõ i k i d e s i n t e r p r e t a t s i o o n i d e s , s e a l h u l g a s H — i n t e r p r et a ts io on i de s. H a k k a m e j uurest a l a t e s läb im a h u l g a S t ä i e l i k k u s e m a n t i l i s t puud. S el l e pu u iga h a r u l ä b i m is e k a t k e s t a m e niipea, kui j är j e k o r d s e s t i p u s selgub, et v a s t a v i n t e r p r e t a t s i o o n ei r a h u l d a hu l g a S mingi dis ju nk ti С -funda- m e n t a a l n ä i d e t C ‘. Õhtlasi e e m a l d a m e veel l ä b i m a t a o s a s e l ­ lest harust. Sa a m e s e m a n t i l i s e puu, m i l l e s on l õplik arv t ip p e ja lÖplik arv kaari (see järeldub Kftnigi l emmast * ).

J ä r e l i k u l t leidub f u n d a m e n t a a l n ä i d e t e l õplik hulk , kus iga f u n d a m e n t a a l n ä i d e C' on väär v ä h e m a l t ü he s H - i n t e r p r e t a t - sioonis. S e e t õ t t u on ka hulk S' vasturääkiv.

(<=) Oletame, et leidub d i s j u n k t i d e h u l g a S

■f u n d a m e n t a a l n ä i d e t e lõplik hulk S', mis on vasturä äk iv . Kun a S iga i n t e r p r e t a t s i o o n 1 sis al da b h u l g a S' in te rp r et a t s i o o n i I' ning I* ei r a h u l d a h u l k a S', si i s i n t e r p r e t a t s i o o n I ei r a h u l d a samuti hu l k a S ‘. Kui d ükski i n t e r p r e t a t s i o o n I* ei r a h u l d a hu l k a S'. J är e l i k u l t ka ükski (hulga S) i n t e r p r e t a t s i o o n I ei r a h u l d a h ul k a S ‘. S e e p ä r a s t ei r a hu l d a h ul k a S tlkski hu lg a S' i n te rp r et at si o o n . J ä r e l i k u l t on S vastur ää k i v.

Näi^de 3. 10. V a a t l e m e v a le mi t ( V x ) P ( x ) 4 ( 3 x ) 1 P(y).

T em a s t a n d a r d k u j u võib e s i t a d a d i s j u n k t i d e h u l g a n a S =

= CP(x), 1 P(f(a))>. See on v a s t u r ä ä k i v d i s j u n k t i d e hulk, sest l eidub tema -fundamentaalnäidete v a s t u r ä ä k i v hulk

S' = <P(+ (a) ) , i P ( f l a ) ) } .

^vt. näit. Д* Кнут. Искусство программирования для jBM.

Т. I. Основные алгоритмы. М., Мир, 1976, lk. 472.

23

6*

Teoree mi 2.1 põhjal on va l e m ( Vx)P(x) & ( 3 y) l p ( y ) s a m a ­ selt väär.

H er br an di teore em i põhjal saab TTÜ k o n s t r u k t i i v s e l t la­

hendada; g e n e r e e r i m e valemi s t a n d a r d k u j u e si t a v a d i s j u n k t i d e h u l g a S + u n d a m e n t a a l n ä i d e t e hulki S„ ~ Sj - S^ - ... . Iga h u l g a Sj s a a m i s e k s (i = 0,1, 2, . .. ) as e n d a m e hu l g a S di s j u n k - t i d e s m u u t u j a d (kõikvõimalikel viisidel) Herbrandi u n i v e r s u ­ mi i - n d a t a s e m e e l e m e nt id e ga . K o nt ro ll i me , kas S.‘ on v a s ­ t u r ä äk iv , k a s u t a d e s s e l l e k s s u v a l i s t l a u s e a r v u t u s e s sobivat m e e t o d i t (hulga S-' d i s j u n k t i d e s ei s i s a l d u muutujaid). Kui S o n va s t u r ä ä k i v , s i is He r brandi teoreemi põhjal on ka S v a s t ur ää ki v . Vastas e l korral g e n e r e e r i m e jär gm is e h u l g a S£^.

P r o t s e s s võib p r e d i k a a t a r v u t u s e p o o l 1 a h e n d u v u s e t õ t t u kesta lõpmatus en i. Kui aga S on v a s t u rä ä ki v, siis g ar an t e e r i b He r br an di teoreem, et see p r o t s e d u u r avas ta b hu l g a S -funda­

m e n t a a l n ä i d e t e v a s t u r ä ä k i v a h u l g a S f .

H er brandi t e o r e e m oli e s i m e s t e arvutil re al i s e e r i t u d kummutami s p r o t s e d u u r i de a l u s e k s .

N ä i d e 3. 1_1. Olg u S = CP(x), l P ( f (y))>. Tõestame, et S on v as t u r ä ä k i v , k o n s t r u e e r i d e s -f u n d a m e n t a a l n ä i d e t e hulki.

Kuna

H0 = Ca>, siis

= CP(a) , 1P(+ (a) )>.

Hulk Sõ ei o l e vas tu rä ä ki v. L e i a m e H er brandi universumi 1.

taseme:

H,, = Ca, + (a)>.

Siis

S.j = CP(a), P (-f (a) ) , 1 P (+ (a) ) , 1 P (-f ( + (a))) >.

Hulk S^ on va st u r ä ä k i v , ses t s i s a l d a b ko n t r a a r s e paari P(-f(a)), 1 P(f (a)), s e e g a He rb randi teoreemi ko ha se lt on ka hulk S vasturää k iv .

Näi^de 3.12. V a a t l e m e d i s j u n k t i d e h u lk a S = C P ( x , a , g ( x , b ) ), l P ( + ( y ) , z, g (-f (a) ,b) ) > .

Tõ e stame, et S on v as t u r ä ä k i v , k o n s t r u e e r i de s f u n d a m e n t a a l — n ä i d e t e hulki. K u na

K e = Ca,b>, siis

^4

Sõ= с P(a,a,g(a,b>), P (b ,а ,g <b ,b ) ) , IP (a) ,a ,g (-F (a) ,b) ) , 1 P<f < a ) , b , g < a ) , b ) ), 1 P (b) ,a,g ta) ,b> > , TP (b) ,b ,g <+ (a> ,

b) ) >.

Hulk S g ei ol e vasturääkiv. L e i a m e Her br an d i universuThi 1.

taseme:

i-ц = { a, b, -f ( a) ,f (b ) ,g <a,a),g<a,b),g(b,a),g(b,b)>.

Si i s

= Sõ U <P(-f (a) ,a,g(-f (a> ,b>)

H ul k S,j on v as t ur ää ki v , sest s is a l d a b k o n t r a a r s e paari P (-Ma) ,a,g (-f(a) ,b) ) ja 1 P ( + ,<a) ,а ,g (-f (a) ,b ) ) .

Herbrandi teoreemi kohas el t on ka hulk S va sturääkiv.

Näi_de 3.13. L a h e n d a m e nüõd j ä r gm is e ülesande.

MÖned p a t s i e n d i d a r m a s t a v a d kõiki doktoreid. Ökski p at si en t ei a r m a s t a posijaid. Tõestada, et tlkski do kt o r p o l e posija.

K õ i g e p e a l t e s i t a m e e el d u s e d ja v äi te p r e d i k a a t a r v u t u s e valemitena. T ä hi st a me

P (x) - x on patsient, D(x) - x on doktor, Q(x) - x on posija, L(x,y) — x a rm a st ab y-t.

Eeldused võib siis e s i t a d a j är gm i s t e valemitena:

F1 = ( 3x)(P( x ) & ( V y ) ( B ( y ) — > L (x ,y) ) ) ; Fj, = ( Vz) (P(z) -> ( Vt)lQ(t) -» 1 L(z ,t) ) ) . V ä i d e esi tub v al e m i n a

G = ( V u) (D(u) —!► lQ(u) > .

TTÜ l a h e n d a m i s e k s tuleb tõestada, et va l e m (F^ & FA ) —> G on s a m a s e l t tõene, s.t. tema e i tu s & Ffc & 1G on s am as el t väär. T e i s e n d a m e v i i m a s e valemi d i s j u n k t i d e h u l g a k s (kon­

j un ktsiooni iga li i km e võib s e e j u u r e s muidugi t e i s e n d a d a eral d i ):

1

F^ = ( 3x) <P(x) & ( V y M 1 D (у) V L (x ,y) ) ) = 4

= P (a) & ( V y ) < T D (y) V L <a , у ) ) = 5

= ( V y X P l a ) & ( 1 D(y) V L ( a , y ) )) = 7

= P (а) & ( 1 D (у) V L (a,y>), 25

7