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Aufgabe 3 Färbung von Regionen (H) Betrachten Sie eine planare Einbettung eines planaren GraphG

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Ludwig-Maximilians-Universität München WS 2008/09

Institut für Informatik Aufgabenblatt 10

Dr. Brandt, Dr. Johannsen / Brill, Fischer 26. Januar 2009

Übung zur Vorlesung Algorithmische Graphentheorie

Abgabetermin: 2. Februar 2009

Aufgabe 1 Planare Graphen (H)

Betrachten Sie eine planare Einbettung eines planaren Graph G. Zeigen Sie, dass G genau dann 2-zusammenhängend ist, wenn jedes Gebiet durch einen Kreis berandet wird.

Aufgabe 2 Stabilitätszahl planarer Graphen (H)

Zeigen Sie, dass für einen zusammenhängenden planaren Graphen G= (V,E) mit δ(G) >3 gilt:

α(G)6 2|V|−4 δ(G) Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 1(a) von Blatt 9.

Aufgabe 3 Färbung von Regionen (H)

Betrachten Sie eine planare Einbettung eines planaren GraphG. Zeigen Sie: Falls jeder Knoten in G geraden Grad hat, dann lassen sich die Regionen von G mit 2 Farben so färben, dass benachbarte Regionen verschieden gefärbt sind.

Hinweis: Betrachten Sie das in der Vorlesung definiertegeometrische Dual G von G(vgl.

Diestel (2006), S. 113 ff.)

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