Anwendung von Matrizen

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Anwendung von Matrizen

Dr. Jürgen Leitz, Hamburg

Illustrationen von Dr. Jürgen Leitz

In diesem Beitrag modellieren die Jugendlichen einfache Verflechtungen (betriebswirt- schaftliche Modelle) mithilfe von Übergangsgraphen (Gozintographen) und Matrizen.

Zur Lösung der Aufgaben verwenden sie die üblichen Verknüpfungen zwischen Matrizen und Vektoren (Addition / Multiplikation von Matrizen, Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar bzw. Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor).

Illustration: Mona Hitzenauer

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Anwendung der Matrizenrechnung

Oberstufe (weiterführend)

Dr. Jürgen Leitz, Hamburg

Illustrationen von Dr. Jürgen Leitz, Hamburg

Hinweise 1

M 1 Definition einer Matrix 2

M 2 Spezielle Matrizen 3

M 3 Matrixoperationen 5

M 4 Produktionsprozesse 8

M 5 Populationen 9

M 6 Übungsaufgaben zum Rechnen mit Matrizen 11

M 7 Matrizen bei Produktionsprozessen 13

M 8 Matrizen bei Populationen 17

M 9 Lösungen 21

Die Schüler lernen:

die Grundlagen der Matrizenrechnung anhand einfacher Aufgaben kennen. Sie vertiefen das mathematische Modellieren und Lösen von Problemen mithilfe der Matrizenrechnung an Praxisaufgaben aus der Wirtschaft und Biologie.

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Überblick:

Legende der Abkürzungen:

Ab = Arbeitsblatt Info =Informationsblatt BA = Bildanalyse

Thema Material Methode

Matrizenrechnung M1 – M3 Info

Produktionsprozesse, Populationen M4 – M5 Info, BA

Aufgaben M6 – M9 Info, Ab, BA

Erklärung zu Differenzierungssymbolen

einfaches Niveau mittleres Niveau schwieriges Niveau Dieses Symbol markiert Zusatzaufgaben.

Kompetenzprofil

Inhalt: Matrix, Dimension einer Matrix, Indizierung der Elemente einer Matrix, Zeilen- und Spaltenvektoren, quadratische und symmetrische Matrix, Addition/Subtraktion von Matrizen, Skalarmultiplikation (Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar), Multiplikation zweier Matrizen, Matrix- Vektor-Multiplikation, transponierte Matrix, Gozintograph, inverse Matrix, Prozessmatrix, lineares Gleichungssystem (LGS), Popula- tionsmatrix, Leslie-Matrix, Übergangsgraph, Geburten-, Übergangs-, Verbleiberate, reproduzierbarer Bestandsvektor

Medien: GTR/CAS, GeoGebra

Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), kommuni- zieren (K6)

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RAABE UNTERRICHTS-MATERIALIEN Analytische Geometrie Sek. II

Hinweise

Die Matrizenrechnung ist ein wichtiges Instrument für die mathematische Modellierung und Lösung von Problemen aus verschiedenen Anwendungsbereichen unseres Alltags (z. B. Wirtschaft, Statistik, Physik, Technik). Entwicklungen, Prozesse und Beziehungen können mithilfe von Matrizen einfach dargestellt werden, wobei ein wesentlicher Vorteil darin liegt, dass man mit Matrizen weitgehend wie mit reellen Zahlen rechnen kann. In der Wirtschaft treten Matrizen als Prozessmatrizen bei Material- und Volkswirtschafts- verflechtungen sowie bei Produktions- und Übergangsprozessen auf. Eine Anwendung der Matrizenrechnung in der Biologie ist die Populationsprognose. Eine Population stellt eine Gruppe gleichartiger Individuen (z. B. Menschen, Tiere, Pflanzen) dar, die in einem einheitlichen Areal genetisch miteinander verknüpft sind. Die Entwicklung einer Population, d. h. das Wachstum der Population in den einzelnen Entwicklungsphasen, kann durch eine Populationsmatrix, die sogenannte Leslie-Matrix, beschrieben werden.

Unterrichtsverlauf

Zunächst wiederholen die Jugendlichen mithilfe der Info-Blätter (M 1–M 3) die Matrizen- rechnung und Matrixoperationen, lernen Produktions- und Populationsprozesse kennen (M 4, M 5) und festigen anhand passender Anwendungsaufgaben (M 6–M 9) wie ein- und mehrstufigen Verflechtungen in arbeitsteiliger Gruppenarbeit ihr erworbenes Wissen.

Alternativ zur arbeitsteiligen Gruppenarbeit können Sie die Aufgabenauswahl auch je- dem Klassenmitglied – nach eigener Einschätzung des Kenntnisstands und von Defiziten – selbst überlassen. Dadurch tragen Sie dem unterschiedlichen Leistungsstand der Lernenden Rechnung.

Lernvoraussetzungen

– Zeilen- und Spaltenvektor, Rechnen mit Vektoren, Skalarprodukt – Begriff der Matrix, Rechnen mit Matrizen

– (Prozessmatrizen bei Materialverflechtungen) – (Populationen, Leslie-Matrix, Übergangsgraph) – Lineare Gleichungssysteme (Matrix-Vektor-Form)

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2 von 38 Matrizen und Determinanten  Lineare Gleichungssysteme  C.1.13

M 1 Definition einer Matrix

Begriff der Matrix

Eine Matrix (Mehrzahl: Matrizen) ist ein Zahlenschema, das in runde Klammern ein- geschlossen ist:

11 12 13 1n

21 22 23 2n

(m,n) 31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a ... a

A a a a ... a

... ... ... ... ...

a a a ... a

 

 

= 

 

 

; Beispiel:

5 1 3 2

B 3 0 4 7

2 6 8 3

 

 

=  

− − 

 

Die einzelnen Werte in diesem Schema heißen Elemente der Matrix. Die „waagerechten Elemente“ bilden jeweils die Zeilen, die „senkrechten Elemente“ bilden jeweils die Spalten der Matrix.

Dimension einer Matrix

Durch die Anzahl der Zeilen und der Spalten wird die Dimension einer Matrix festgelegt. Die Dimension einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten, also m n⋅ Elementen, lautet (m n),× sprich: „m Kreuz n“. Eine Matrix der Dimension (m n)× nennt man auch (m n)× -Matrix.

Beispiel: Die o. a. Matrix B hat 3 Zeilen und 4 Spalten, ihre Dimension lautet somit(3 4).× Indizierung der Elemente

Durch die Indizierung ist die Position eines Elements in der Matrix eindeutig bestimmt. Dies geschieht durch zwei In- dizes. Der erste Index gibt die Zeile an, in der das Element in der Matrix steht, der zweite Index die Spalte.

Beispiel: Das Element a₃₂ befindet sich in der 3. Zeile und 2. Spalte und hat in der o. a. Matrix B den Wert 6.

Grafik: Dr. Jürgen Leitz

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M 2 Spezielle Matrizen

Transponierte Matrix

Vertauscht man in einer Matrix A der Dimension (m n)× die Zeilen mit den Spalten, so erhält man eine Matrix der Dimension (n m).× Eine solche Matrix wird die zur Matrix M transponierte Matrix genannt und mit A^T bezeichnet.

Beispiel:

T

5 3 2

5 1 3 2

1 0 6

A 3 0 4 7 A

3 4 8

2 6 8 3

2 7 3

 − 

   

   

=− − ⇒ = − 

(3 4)× -Matrix ⇒ (4 3)× -Matrix Zeilen- und Spaltenvektoren

Jede Zeile der Matrix stellt einen Zeilenvektor, jede Spalte der Matrix einen Spaltenvektor dar. Eine Matrix der Dimension (m n)× hat somit m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren.

Vektoren sind spezielle Matrizen

– Der Spaltenvektor

1 2 3

m

a a

s a

...

a

  

=   

  

 

 ist eine (m 1)× -Matrix.

– Der Zeilenvektor s^T = =z (a , a , a . . . a )₁ ₂ ₃ _n ist eine (1 n)× -Matrix.

Es ist zu erkennen, dass ein Spaltenvektor durch Transponieren in einen Zeilenvektor umgewandelt werden kann und umgekehrt.

– Quadratische Matrix:

Stimmt in einer Matrix die Anzahl der Zeilen mit der Anzahl der Spalten (n m)= überein, so nennt man diese Matrix eine quadratische Matrix. Die Spaltenanzahl n nennt man Ordnung der Matrix. Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix um- fasst die Elemente a , a , a , ... , a .₁₁ ₂₂ ₃₃ _nn