49 (4),S.113–1191961BibTEX: ÖsterreichischeZeitschriftfürVermessungswesen TechnischeHochschuleWienIV,Karlsplatz13 HansSchmid EineneueFehleraufteilungfürlangePolygonzüge

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Eine neue Fehleraufteilung f ¨ur lange Polygonz ¨uge

Hans Schmid¹

1 Technische Hochschule Wien IV, Karlsplatz 13

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen¨ 49(4), S. 113–119 1961

BibTEX:

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Title = {Eine neue Fehleraufteilung f{\"u}r lange Polygonz{\"u}ge}, Author = {Schmid, Hans},

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Dur ch Ein eng en d es B er ei ch es könnt e man auf di es e Art Di cht esprüng e mit g erin g em R ech enaufwand find en.

Für größ er e B er ei ch e ist es b ess er d en auf di e Läng en einh eit b ezog en en Bou gu ers ch en -Horizontalgradi ent en für di e B er echnung d er Dicht e zu v erna chlässig en . Man muß also jed e Gl ei chung dur ch di e zug ehörig e Punkt entfernung dividi er en .

Aus d en Erg ebniss en in Tab ell e 1, Ansatz l ,08a, si eht man , daß in di es em Fall d er mittl er e F ehl er für di e Di cht e am kl einst en ist.

Eine neue Fehleraufteilung für lange Polygonzüge

Von Hans Schmid, Wi en

1 . Einleitung

Ein e in der Pra xis imm er wi eder kehr en de Aufga be is t di e Abst eckung der Straß en -od er Eis enbahntrass en von Polygo nzüg en aus . Dab ei hand elt es si ch m eist - w enn man di e Autobahnarb eit en auß er B etra cht läßt - um di e M essung lang er

Polygonzüg e (etwa 5 km), di e nur am An fang und am End e trigonom etris ch e An s chlüss e b esitz en , di e als F estpunktg eripp e sowohl für di e D etailaufnahm e als au ch

na chh er für di e T rass enabst eckung di en en müss en . Da na ch d en d erz eit gültig en Projekti erungsri chtlini en di e Trass en num eris ch , d . h. koordinat enmäßig b er echn et w erd en , hand elt es si ch b ei d er Üb ertr agung in di e Natur um di e Abst eckung von Polarkoor dinat en. Di e Ford erung, di e man dah er an ein en Polygo nzug zu st ell en hat , damit mögli chst wid erspru chslos e Ri chtung en g eg eb en w erd en könn en , gipf elt in d er gl ei chm äßig en Auft eilung d er R est fehl er , d. h . di e Polygonzugsr estfehl er sol l en so b es eitigt w erd en , daß di e Wink el gl ei chm äßig und di e S eit en pr oportional ihr er Läng e v eränd ert w erd en. Di es e Art d er F ehl erauft eilung s ch eint für di e g e

st ell te Aufgab e di e b est en Erg ebniss e zu li efern, wi e im folg end en no ch g ez eigt wird . Das Wort „F ehl erauft eilung " an St ell e d es so b eli ebt en Wort es „Ausgl ei chung "

wurd e absi chtli ch g ewählt, da man unt er „Ausgl eichung " nur di e F ehl erv ert eilung na ch ein em math ematis ch en G es etz (etwa di e Summ e d er F ehl er quadrat e muß ein Minimum w erd en ) v erst eh en soll. In ein er Forts etzung di es es Au fsatz es w erd en v er s ch ied en e Mögli chk eit en d er F ehl erv ert eilung einand er g eg enüb erg est ellt w erd en , wob ei au ch di e Ausgl ei chung d es Polygonzug es na ch d er M ethod e d er kl einst en

Quadrat e v ertr et en s ein wird .

2. At(fteilung der Fehler D, q und D,L

B ei d er übli ch en Auft eilung d er Koordinat enwid ersprüch e f. und fy proportio nal d en S eit en -od er d en Koordinat endi ffer enz en tr et en b ekannt li ch unt er Umständ en stärk er e Br echungswin keld ef ormation en ein, die vom Ri chtungswink el d er Polygon s eit e abhäng en. W erd en nun von ein em Polygonpunkt, in w el ch em ein e d erartig e

Br echungswin keld ef ormation dur ch die F ehl erauft eilung stattg efund en hat, Trass en punkt e abg est eckt, so kann di es zu unli ebsam en Wid erspr üch en führ en. Es soll en dah er all e Wink el so w enig wi e mögli ch und gl ei chmäßig g eänd ert w erd en , wob ei au ch di e Ans chluß - und Abs chlußri chtung en mit einb ezog en w erd en müss en.

(3)

Wir setzen also einen bei dseitig angeschlossenen Polygonzug voraus , de r, wie allgemein üblich , mit Theo dolit un d Maßban d gemessen wur de. Der Winkelwi der spruch j� wir d gleichmäßig auf alle Brechungswinkel zuerst verteilt , hernach der

Polygonzug mit den so verbesserten Brec hungswinkeln durchgerechnet.

Bevor an die weitere Fehleraufteilung geschritten wir d, ist es vorteilhaft , den Polygonzug etwa im Maßstab 1 : 2500 o der 1 : 5000 auf Millimeterpapier zu kar tieren . Diese Arbeit ist keine zusätzliche , da Polygonzugsübersichten für je de der

artige praktische Arbeit hergestellt wer den m üssen. Die Koor dinatenwi derspr üche

fr un d fy wer den nunmehr g raph isch in den Querfe hler D,q un d in den Längsf ehler

D,L umg ewan delt. Durch diese Umwan dlung löst man sich vom Koor dinatensystem un d dam it auch von der Abhängigkei t der Brechungswinkelverbesserung vom Rich tungswinkel der Polygonseiten .

. 1

[ JOI/

Abb. 1

In der Abb. 1 wir d der Einfluß einer Än derung des Brechungswinkels auf den Querfehler D,q gezeigt. Eine Än de rung des Brechungswinkels ß; u m ^D,ß; bewirkt eine Dre hung des Polygonzugsastes P; bis E um P; als Mittelpunkt , wo durch der Punkt Ein den Punkt E' übergeht. Es f olgt daher :

- e' 6 ß.cc

EE' = pcc ' . . . ( 1)

F ür den Einfluß auf den Querfehler ist es aber notwen dig , die Projektion der Strecke EE' auf die Richtung des Querfehlers , also senkrecht zur absoluten Polygonzugs ric htung , zu kennen. Es ergibt sich daher

un d

EE" = EE' cos e:

e = e'cos e:

un d daher weiter wegen der Gleichungen (1) un d (2 a ) EE" = e ,0, ß;"c

pcc

(2a ) (2b )

. . . (3)

Mit Hilfe dieser einf achen Beziehung (3) ist die Fehlergleichung für den Querfehler

D,q wie f olgt aufzustellen , wobei f ür die Größen D,ß;cc die in der Fehlerrechnung übliche Bezeichnung ^„^v"verwen det wir d :

D, q = e 1 v 1 + ^{e2 V2}+ ^{e3 V3}+ . . . + e11 v11 . . . ( 4)

Weiters ist zu beachten , daß sich die An - un d Abschlußrichtungen auch nur ebenso stark än dern dürfen wie die Brechungswinkel. Dies erreicht man am besten da durch ,

(4)

d aß i n ei nem Punkt mögli chst i n d er Mitt e d es Polygo nzug es d er h alb e Qu erfehl er

L, q/2 vo n b eid en End en d es Polygo nzug es h er elimi ni ert wi rd. Di e folg end e Abb . ² z eigt di es en Vo rg ang .

a

Abb. 2

Wü rd e m an d en Qu erf ehl er L,q du rch di e Gl ei chu ng ( 4) elimi ni eren, d ann entst ünd e i m Pu nkt E ei ne Ri ch tu ngsdiff erenz von d er Größ e n. ⁶ßlc für einen n-s eitig en Polygo nzug (g est rich elt er Polygo nzugsv erl auf ). T eilt m an jedo ch vo n b eid en End en komm end etw a i n d er Mitt e d es Polygo nzug es ^{L, q/2}auf , so wird die g rößt e Ri ch

tu ngsä nd erung d er Polygo ns eit en b eim Punkt M s ei n, wob ei si e n/2 ^·⁶ß; cc (du rch

g ezog ener Polygo nzugsv erl auf ) b et rag en wi rd. Di e Verb ess eru ng en d er B rechu ngs wi nkel in d er erst en Polygo nzugshälft e b ewi rken Richtu ngsä nd erung en d er Polygo n

s eit en, di e du rch di e Verb ess eru ng en d er B rechu ngswinkel i n d er zw eit en Polygo n

zugshä lft e aufg ehob en w erd en, so d aß di e An- u nd Abs chluß ri chtu ng en je bis auf 1 . D. ß;" erh alt en bl eib en. M an hat nu n jenen Pu nkt als „Mitt el pun kt " zu wä hl en, für d en gilt

I; ( ev) li11l·s = I; ( ev )rechts Und _{�V li11ks}₌_�Vreclrts . . . (5) D ie B edingu ng en (5) si nd praktis ch m ath em atis ch st reng ni cht einzuh alt en, d a ja d er M itt el pu nkt M mit ei nem Polygo npu nkt zus amm enf all en müßt e. Es ist jedo ch

ras ch d er Pu nkt rei n em pi ris ch zu find en, für d en di e B edi ngung en (5) am b est en erfüllt si nd. Es d arf hi er eri nnert w erd en, d aß es si ch ja um l ang e Polygo nzüg e h an

d elt , so d aß imm er in d er N achb ars ch aft vom id eal en Mitt el pu nkt ei n Polygo npu nkt l iegt. Di e Verb ess eru ngsgl ei chu ng en für di e Polygo nsmitt e l aut en nun , w enn d er l in ke Ast n u nd d er recht e Ast m Polygo npu nkt e b esitzt :

d araus u nd an alog

L q _z;"

T ⁼^{ei Vz}^{+ ez V1}+ . . . + e11 Vt = 1 e . V1 L, q

v cc li11ks ^{= --}2 �'{e · p cc

v cc rechts - � · p cc

- 2 I;�' ^e

.. . (6 a) .. . (6b ) Di e Wi nkelv erb ess eru ng en im li nken u nd recht en Ast w erd en d em nach b ei l ang en Polygo nzüg en praktis ch gl ei ch s ei n, d a !1!_ __:__ 1 s ei n w ird , wodu rch di e B edi ngu ng en

n

(5) praktis ch erfüllt w erd en. Si nd nu n di e G röß en ^vcclinksu nd vccreclrts b erech net , so ist d er Ei nfluß d er Verb ess eru ng en l'; auf di e Koo rdi nat env erb ess erung ^Zll er-

(5)

m itteln. D ies gesch ieht graphisch m it Hilfe des bere its kart ierte n Po lygo nz uges. A uf J'ede Po ly· go nse ite w ird e ine Norma le err ichtet und a uf d ie ser die Strecke ^s_{pcc '}^·^vcc (m it dem Rec he nschie ber berech net) a ufgetrage n (Abb. 3).

11·/

,,

Vy - --- - • Y

Abb. 3

E ntspreche nd der A bb. 3 e nt nimmt ma n sof ort d ie Koord inate nver besser unge n Vx

und ^l'y.Da d ie Projekt io ne n der Se ite nse nkrechte n a uf d ie R icht ung des a bso lute n Querfeh lers in ihrer Gesamthe it de n halbe n Querfeh ler 6 q/2 (A bb. 1 und G le ich un

ge n 6 a und 6 b) betrage n, werde n d ie Ver besser unge n ^l'xund ^l'yin ihrer Gesamthe it e be nfa lls de n Wert des halbe n Querfeh lers erre iche n, a llerd ings wird a ußerde m e in z usätz licher Lä ngsfeh ler 6 L' e ntstehe n (A bb. 4).

•)(

{ ^JUii

Abb. 4

Hat ma n nun sämtliche Ver besser unge n l\ und ^Vywege n des Querfeh lers a nge brac ht , so ist der E ndp unkt E des Po lygo nz uges derart verdreht worde n, daß er nun

mehr a uf e iner Para lle le n z ur a bsolute n Polygo nz ugsr icht ung d urch de n Solle nd p unkt ^Edes Po lygo nz uges liege n m uß ^(E").Nunmehr hat ma n de n Rest lä ngsfeh ler , der s ich a us de n Größe n 6L und .6.L' z usamme nsetzt , z u el im iniere n. D ies gesch ieht

(6)

d urch eine e inf ache M aß st ab sänder ung , wod urch keinerlei Win keländer ung mehr h . d M h " ¹ ^II S 't ' V ·h "l t ^. ^{6 L}+ ^/"-.,^L' ^„ ver ursac t WH' . an atte a so n un a e e i en 1m e r a ms zu ver an -

AE "

dern. E s genügt aber pr akti sch voll kommen, den M aß st ab squotienten aus ^/"-.,^L⁺^{6 L'}

AE'

d t:c, L + /"-., L' b ^' ^{. 1}. l . h . . Q . .

o er z u e shmmen , wie e ic lt e mz use en ist. D ie ser uo hen t n11t

AE

den e inzelnen Se iten m ultipl iz ier t erg ib t d ie Seitenverbe sser ungen, welche, an alog Abb . 3, die Verbe sser ungen l'x und ^Vywegen der M aß st ab sänder ung l iefern. D ie S ummen aller ent sprechenden l'x und ^Vyergeben die endgültigen Koordin aten ver

be sser ungen dt:c,x und dt::,, y und d amit d ie endgül tigen Koord in aten.

3. Praktisches Beispiel

In der Be il age ist n un e in n umer ische s Bei spiel für e inen Polygonz ug mit 20 Sei

ten d urchge führ t. D ie Kart ier ung i st im Or igin al auf Mil limeterp apier im M aß st ab

1 : 2500 er folgt . (Die Be il age i st auf d ie Hälfte ver kle inert.)

Die Soll koord in aten der P un kte 1 und 20 sind gegeben . Die angegebenen Brech ung swin kel ß; sind bereit s d ie auf Gr und de s Rich tung swider spr uche s vorlä ufig verbe sserten Werte . D ie Koord in aten wider sprüche sind im Orig in al im M aß st ab

1 : 10 d arge stell t und betr agen für f,, ⁼ ^-^0,890m und für ^fy= ^-0,270 m (Soll

I st ), wor aus sich für den Läng s- bzw. Querfehler die Werte ^t:c,L= - 0,49 m und

6 _{q =}-0,79 m ergeben . D ie Berechn ung der er sten Polygo nz ug shälfte ergib t e ine

Win kel verbe sser ung von v1;,,�" = 66cc und von ^Vreclrts= 7occ. Die Se ite 9, 10 wi rd d aher um 9 X 66cc = 594cc und d ie Seite 1 1 , 10 wird um 10 X 70cc = 70Qcc in ihren Richt ungen geänder t. Die s ent sprich t einer Win keländer ung im P kt. 10 um 106cc

gegenüber einer solchen von 70cc bz w. 66cc in den P un kten der be iden Polygonzug s

ä ste . D ie se Differenz von r und 30cc re sultiert aus der Differenz der S ummen von

Cunks und ^ereclrts·Für d ie Ab stec kung von Tr assenp un kten i st die ser kle ine Wider

spr uch aber bel anglo s.

In der Sp alte n . vy bz w. n . 1\, der T abelle sind die Einzel verbe sser ungen m it der Ordn ung snummer n der Polygon seite mult ipl iz ier t worden , d a ja z. B. die Se ite 3,4

bere it s um 3 . vcc verdreh t worden i st. In der 8. bz w. 1 1 . Sp alte oben sind die Ge sam tverbe sser ungen wegen de s Quer fehler s verzeichne t. D a der Ab schluß win kel eben so wie der An schl uß win kel erh alten ble iben soll, beg inn t d ie Fehler aufteil ung de s rech ten A ste s m it der letzten Seite , im speziellen F all mit der Seite vom P un kt

20 z um P un kt 19, während die Fehler aufte il ung de s lin ken A ste s von der Seite 1 ,2 aus

geh t. Die Ge samt verbe sser ung wegen de s Quer fehler s be träg t + 1 6 mm in der y-R ich

t ung und ^-8 1 3 mm in der x-R ichtung . Träg t m an d ie se Werte in die gr aphi sche D ar stell ung ein , so liegt der Endp un kt de s Polygonzuge s bereit s auf einer P ar allelen d urch den Sollendp un kt de s Polygonzuge s z ur Zug sh auptrich tung .

Der M aß st ab sfaktor be träg t jetzt 0,29 m, geteil t d urch d ie ab sol ute Zug slänge von r und 1460 m , demn ach 0,0001 99, al so r und 0,0002. M it die sem F aktor i st jede Sei te z u m ultipl izieren , und der so erh al tene Betr ag i st gr aph isch in seine x- und y

An teile z u zerlegen . D ie se Werte sind in den Sp alten 8 und 1 1 unten ausge wie sen .

(7)

Polygon-Brechungs-Ridltungs-Seiten- N punkts-winke! winke! länge nummer in g in g m 1 2 3 4 5 0 1 1 2 210 60 100 -- 2 3 170 70 120 3 4 200 40 80 -- 4 5 200 40 50 5 6 200 40 130 -- 6 7 240 40 100 7 8 1 210 80 1

90

-- 8 9 230 90 120 9 10 220 120 80 10 11 200 140 70 9 12 200 140 80 8 13 200 140 100 -- 7 14 180 140 110 -1 __

6 _1

15 170 120 100 5 16 190 90

90

4 17 180 80 80 3 18 200 60 80 ------ 2 19 200 60 100 -- 1 1 20 60 50

1 1

wegen,6q in mm

Vy

1

n.Vy 6 7 +6 6 6 + 12 +7 21 16 +4 +10·8 54 8·6 51+ -6 + 2·819·6

1

+2 16 -2·4 21·6 -4·5 45 -45 5 -6·5 52 -7 49 1 -3·5 21

+2

1 10 +3 12 + 5·4 16 + 6·3 13 + 3 3 i

DY -Vy verbessert q wegen .6 q in mm ,6x -Vxq

verbessert · DY -VyL 8 ��

1

n��x ,6x -VxL 11 + 80·�6g : 1� -9

106+

·�i6

�:!:i

-11 + 47·g�� :!:2 � -5 + 29-j�g : 1 � -

3·2

+ 76·1i6 :!:i; -8 + 58 . ng =!= i� -5-8 + 85. 603 + 20 1 8 9 600 -17 -. + 118. ��6 =!= i� -12·2 + 76·g�� = i; -7-9 + 56·�i6 =ii -6·1 + 64·;�� = i� -7 + 80·�6� = fä -8·7 + 88·�� = i� -9·6 + 95·�ig =i� -10·5 + 88 . �� =!= i� -9·3 +76•g;� =!=i; -

8·2

+ 64-;�� =!= i� -7 + so·�6� =!= i� -8·7 + 40 -1;� =!= � -4·5

-9 + 58·i�6 = 1i -22 + 54·1�� =ii -15 + 64·�i� = g -13 + 40·1;⁶⁼

1� -40

+10

5·i�6

=i� -35 80+ ·�66 = �� - -+ 63 1 21-;ig =6; -98

+

18·��

=-9! -72 788 -72 -24· 720 + 4 -61 198 -61 -41" 145 + 8 -63 074 -63 -47·020 + 9 -70 838 -70 -58" 730 + 12 -67 711 -67 -64· 657

+ 13

-63 957 -63 -30" 900

+ 6 -47 + 14·g�g = 4 i -33 + 24·�� = 3 ; -21 + 46"990 -21 + 47·020

- 9 -17 + 58·i�6 = ii -5 + 29·��g = � Ast 1-10 : 0·40 = 766 V+ 676 V + 558 V+ 494 V+ 454 V + 352 V + 278 V + 188 V + 70 V = 3836 V. V= 66CC Ast 20-11: 0·40 = 696v + 646v + 556v +480v +400v + 310v +220v + l54v + 90v +40v = 3592v.v = 1occ

y X 12 13 1000·00 1000·00 1080·890 1058·759 1187·801 1113·206 1234·833 1177·899 1264·233 1218·328 1340·682 1323-437 1399·502 1404·286 1485·105 1432·028 1603·618 1450·696 1679·661 1425·908 1736·235 1384·710 1800·897 1337·636 1881 ·729 1278·798 1970·654 1214·087 2065·724 1183·130 2154·606 1197·160 2230·683 1221·842 2295·406 1268·832 2376·303 1327·583 2417-01 1 1357·85 ist 2416-74 1356

·96

soll

!y ⁼

0·270

fx = 0·890

(8)

Die Rückrechnung ergibt bis auf kleine Abwendungsfehler die erwarteten Brechungswinkeländerungen. Es ist empfehlenswert, die Rechnung auf Millimeter durchzuführen, besonders dann, wenn man durch Rückrechnung der Richtungs

winkel eine Überprüfung durchführen will, was aber praktisch nicht notwendig ist.

Allgemeine und spezielle überbestimmte analytische Lösungen der einfachen Punkteinschaltung im Raum

Von Ludwig Starld, Wels (Schluß)

Dieses einfache, übersichtliche Verfahren zur Bestimmung der äußeren Orien

tierungselemente eines Luftbildes kann für die praktisch wichtigste Aufnahmeart, der Senkrechtaufnahme mit möglichst lotrechter Kammerachse so modifiziert werden, daß an Stelle von neun Paßpunkten nur mehr vier Paßpunkte gegeben sein müssen.

Hierbei wird von einer partiellen Linearform der Gleichungen jener bereits von G.

Mange bei seiner graphischen Lösung benützten Wulst- bzw. Torusfiächen ausge

gangen. Diese repräsentieren die geometrischen Örter aller Raumpunkte, von denen aus die Verbindungsgeraden e11 je zweier Paßpunkte P0 und P11 unter den gleichen, homologen Positionswinkeln a11 erscheinen, die durch die Gleichung

r11 . ro o o

COS IX11 = [r"l lro[ =tn ^'fo . . . (24)

bestimmt werden. Aus der zweiten Vektorgleichung (18) folgt durch innere Multipli

kation mit '.)Z0 und mit Einführung der Bezeichnungen

[ ^Yto[ = l'o [ '.)(11 [ ^{= 1'11} . . . (25) die Gleichung der Torusfiächen in der speziellen Gestalt

Tt0 ^•!311 = '.)(02 - '.:>t0 ^•'.)(„ = 1'02 - 1'0 1'11 COS IX„ ⁼C11 . . . (26) In diesem Zusammenhang bietet die reziproke Spiegelung der oben betrach

teten Kreisringflächen an einer um das Abbildungszentrum P0 gelegten Inversions

kugel ein gewisses allgemeines Interesse. Bei der Herleitung von Formeln für die ein

fache und die Doppelpunkteinschaltung in der Ebene vermittelt eine Inversion eine bemerkenswert einfache analytische Lösung [7]. Die Abbildung durch reziproke Ent

fernungen ist für die Aufgabe des ebenen Rückwärtseinschneidens zum ersten Male von C. F. Gauss angewendet worden (Gauss Werke, Bd. VIII, S. 328 -329). Die räumliche Modifikation dieses Verfahrens zeigt allgemein die Entsprechung von Torus- und Kegelflächen in einer durch die Abbildungsgleichungen

, 1 mt 9l' / 1 9t

9t = [ �' 1 _Jl^{o =} ^{9t' 2} ^9t ⁼^[^�\^{[ �o}⁼ _{9t 2} bestimmten, reziprokalen Raumtransformation. Die aus dem Ansatz

9\0 ^•9\11 ⁼f ⁹¹⁰^X^9\11f cot an

über die zweite Gleichung (18) erhaltene Form

'.)to . Oto - 611) ⁼[ ^'.)to^X⁶¹¹[ cot ^a"

. . . (27)

(28)

(29)