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Fahrihtung 7.4 Mehatronik

WS2008/2009

SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur

VorlesungSystemtheorie I

am30.01.2009

Name:

Vorname(n):

Matrikelnummer: Note:

Aufgabe 1 2 3 4

P

erreihbare Punkte 10 10 10 10 40

erreihte Punkte

Bearbeitungshinweise:

•

^{Bitte Name, Vorname und} Matrikelnummerauf dem Dekblatt eintragen.

•

^{Bitte die Aufgaben auf separaten Blättern rehnen, niht auf dem} Angabeblatt!

•

^{Für jedeAufgabeeine neue Seite beginnen.}

•

^{Auf jedem Blatt den Namen, sowie die} Matrikelnummerangeben.

•

^{Begründen Sie IhreAntworten} ausführlih!

VielErfolg!

PSfrag replaements

F A

F G

z

i L

m B

u L

Abbildung1:Skizze eines Magnetlagers

Die Kräfte, die auf den Bolzen (Masse

m B

^{)wirken, sind einerseits die Shwerkraft}

F G = m B g

und andererseits die Kraft

F A = 1

2 µ 0 A N i ² _L z .

Hierbezeihnet

i L (t)

^{denStromdurhdieSpuledes}Elektromagnetenund

z(t)

^dieLuft-

spaltlänge(

µ ₀

^{...magnetishe}PermeabilitätvonLuft,N...Windungszahl,A...Quershnitt des Luftspaltes). Berüksihtigen Sie fürden elektrishen Teildas Ersatzshaltbild aus

Abbildung2.

PSfrag replaements

i L

R L

u L

L(z)

ErstellenSieein mathematishes ModellmitderSpannung

u L

^{alsEinganginderForm}

˙

x = f (x, u L )

Wählen Sie dazu geeignete Zustandsgröÿen

x

^{. Beahten Sie, dass der verkettete Fluss}

der Spule folgende Form hat

Ψ(z, i L ) = L(z)i L .

b) (3Punkte)

Berehnen Sie allgemein die Ruhelagen des Systems. Welhe stationäre Spannung

u L

benötigen Sie, um den Bolzen an der Position

z ₀ = 1

^{zu halten? Nehmen Sie für die}

Parameter folgendeWerte an:

N = µ 0 = A = R L = g = m = 1

) (3Punkte)

Linearisieren Sie das Zustandsmodellum eine allgemeine sowie um die inb)berehne-

te(n) Ruhelage(n) für

z 0 = 1

^{und geben Sie es inder Form}

∆ x ˙ = A∆x + b∆u L

an.

a) (3Punkte)

Gegeben ist ein System der Form

˙

x =f (x, u, t) , x(t ₀ ) = x ₀ y = h ( x, u, t) .

DenierenSie anhanddieses Systems die Begrie Linearitätund Zeitinvarianz.

b) (1Punkt)

KlassizierenSiedie folgendenbeidenSysteme hinsihtlihLinearitätund Zeitin-

varianz.

Σ 1 : ˙ x =t + 2x + u y =x

Σ 2 : ˙ x =2tx + u y =x

) (2Punkte)

Geben SieEigenshaftenderTransitionsmatrix

Φ (t)

^{eineslinearen}zeitinvarianten Systems der Form

x ˙ = Ax

^an.

d) (4Punkte)

Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System der Form

˙ x =





0 0 −3

0 α − 2 0

α 0 −α − 3



 x +



 0 2 1



 u y =

1 0 1 x

BestimmenSie denWertebereihdes Parameters

α

^{so,dass das System asympto-}

tish stabil ist.

a) (2Punkte)

Gegeben ist ein lineares, zeitinvariantes Eingröÿensystem der Form

d

dt x = Ax + bu y = c ^T x + du

^.

ZeigenSie, dass das harakteristishe Polynom der Matrix

A

^{invariantgegenüber}

regulären Zustandstransformationender Form

z = Vx

^ist.

Hinweis: Esgilt die Beziehung

det (AV) = det (A) det (V)

^.

b) (3Punkte)

Zeihnen Sie die Nyquist-Ortskurven von

G (s) = 1

s ²

^und

G (s) = 1 s ³

^.

) (2Punkte)

Geben Sie für die Übertragungsfunktion

G (s) = s s ² + 1

eine Zustandsrealisierung minimalerOrdnung

(A, b, c, d)

^an.

d) (3Punkte)

BestimmenSie zum System

d dt x =

−3 −2

0 1

x +

1 0

u y = [1 0] ^T x

die Übertragungsfunktion

G(s)

^{vom Eingang}

u

^{zum Ausgang}

y

^{. Erläutern Sie}

anhand dieses Beispiels den Untershied zwishen BIBO-Stabilität und globaler

asymptotisher Stabilität.

G(s) = 1 s ² 100 + s

10 .

a) (2Punkte)

SkizzierenSie das Bode-Diagrammder Strekenübertragungsfunktion anhandder

Asymptoten. Verwenden Sie dafür die beiliegende Vorlage.

b) (3Punkte)

Entwerfen Sie für die Streke

G(s)

^{mit dem F}requenzkennlinienverfahren einen Regler

R(s)

^{mitdem der} geshlossene Regelkreis folgende Spezikationen erfüllt:

•

Anstiegszeit

t r = 0.15 s

•

Prozentuelles Übershwingen ü

= 25%

•

^Bleibende Regelabweihung

e ^∞ = lim t →∞ e(t)| r(t)=σ(t) = 0

i) Geben Sie die Anforderungen anden oenen Kreis an.

ii) Welhes Übertragungsglied benötigen Sie für denRegler, um diesenAnforde-

rungen gereht zu werden? Berehnen Sie die Reglerkoezienten.

R (s) y (t)

G (s ) d (t)

+ -

r (t)

Abbildung 3:Regelkreis miteinem Freiheitsgrad.

) (3Punkte)

Auf den Eingangder Streke aus Abbildung3 wirkt eine Störung der Form

d(t) = 0.25σ(t) + 0.5 sin

10 · 2 ^{1 4} t .

Bestimmen Sie die eingeshwungene Lösung des Ausgangs

y(t)

^für

r(t) = 0

^mit

i) IstdieFührungsübertragungsfunktion

T r,y

^desgeshlossenenRegelkreisesBIBO- stabil?

ii) Ist der geshlossene Regelkreis intern stabil?

Begründen Sie Ihre Aussagen.