Die Zustandsdichte ergibt sich: ν

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F – Statistische Mechanik) SS 17

Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterl¨osung: Blatt 9

PD Dr. Igor Gornyi, Janina Klier Besprechung: 23.06.2017

1. Ideales Fermi-Gas in zwei Dimensionen: (4+12+12=28 Punkte) Betrachten Sie ein freies Elektronengas mit der Dispersionsrelation

_~p = |~p|²

2m (1)

in D = 2 r¨aumlichen Dimensionen (ein solches zweidimensionales Elektronengas kann z.B. in Halbleiterstrukturen realisiert werden).

(a) Berechnen Sie die Zustandsdichte ν() pro Spinprojektion.

L¨osung:

Hier ist es hilfreich, Polarkoordinaten zu benutzen, das Volumenelement ist dann d²p = dϕpdp. Die Zustandsdichte ergibt sich:

ν() = Z 2π

0

dϕ Z ∞

0

pdp (2π~)²δ

− p² 2m

= m

π~² Z ∞

0

dp p δ p²−2m

= m

π~² 1 2√

2m Z ∞

0

dp p δ

p − √ 2m

dk +

Z ∞ 0

dp p δ

p + √ 2m

= m

2π~²

, (2)

wobei das zweite Integral wegf¨allt, da dort die Deltafunktion um ein negatives k zentriert ist und hier nur von [0,∞) integriert wird.

Wichtiges Ergebnis: Offenbar ist die Zustandsdichte in zwei Dimensionen konstant.

(b) Gegeben sei der Fermi-Impuls p_F. Berechnen Sie die Gesamtteilchenzahl N, die innere Energie U, das großkanonische Potential Ω und den Druck P des Elektro- nengases im Volumen V bei T = 0. Verwenden Sie die erhaltenen Werte von Ω, U und N und ¨uberpr¨ufen Sie, dass diese Werte die Beziehung Ω =U −T S−µN erf¨ullen.

L¨osung:

Wir betrachten ein Fermi-Gas bei T = 0. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass sich die Fermi-Funktion n_F() = hn_λi zu n_F() = θ(µ−) reduziert. Dabei ist auch bekannt, dass das chemische Potential µ des Fermi-Gases bei T = 0 gerade der Fermi-EnergieF =p²_F/2m entspricht, mit dem Fermi-Impuls pF.

In dieser Aufgabe erweist es sich als vorteilhaft, die Summen als Integrale ¨uber die Zustandsdichte auszudr¨ucken:

X

~ p

f(_~p) → V (2π~)²

Z

d²p f(_~p) = V Z

d ν()f()

wovon man sich durch Einsetzen der Definition der Zustandssichte ¨uberzeugen kann.

Die Gesamtteilchenzahl ist im großkanonischen Ensemble durch N = X

λ

hn_λi = X

λ

n_F(_λ) = X

σ

X

~ p

n_F(_~p) ^T=⁼⁰ X

σ

X

~ p

θ(_F − _~p)

= (2s+ 1)X

~ p

θ(_F − _~p),

gegeben, wobei wir hier auch den Spin der Fermionen ber¨ucksichtigt haben (s= 1/2 f¨ur Elektronen). Wir ersetzen nun P

~

p durch ein Integral ¨uber die Zustandsdichte:

N = (2s+ 1)V

∞

Z

0

dν()θ(_F − ) ⁽²⁾= (2s+ 1)V m 2π~²

F

Z

0

d·1

= (2s+ 1)V m_F 2π~²

= (2s+ 1)V p²_F 4π~²

.

Wir berechnen die innere Energie im großkanonischen Ensemble:

U = hEi = X

λ

_λW_λ(_λ) = X

λ

_λ

Z_λe^{−β(λ−µ)}. Mit dem bekannten Ausdruck f¨urZ_λ ergibt das:

U=X

λ

_λe^{−β(λ−µ)}

1 + e^{−β(λ−µ)} =X

λ

_λ

e^β(λ−µ) + 1 =X

λ

_λn_F(_λ)^T=⁼⁰ X

λ

_λθ(_F − _λ).

(3) Analog zum vorigen Aufgabenteil berechnen wir diese Summe wieder als Integral

¨

uber die Zustandsdichte:

U = (2s+ 1)V

∞

Z

0

d ν() θ(F − ) = (2s+ 1)V m 2π~²

F

Z

0

d

= (2s+ 1)V m²_F

4π~² = (2s+ 1)V p⁴_F 16mπ~².

Wir berechnen nun das großkanonische Potential Ω = −k_BTln(Z_G). Im Falle des idealen Fermi-Gases faktorisiert die Zustandssumme und man erh¨alt:

Ω = −k_BT ln Y

λ

Z_λ

!

= −k_BT X

λ

ln 1 + e^{−β(λ−µ)}

= −(2s+ 1)k_BT V Z ∞

0

d ν() ln 1 + e^−β(−µ) ,

wobei wir die Summe wieder in ein Integral umgeschrieben haben. Dieses Integral kann man nun partiell integrieren:

Ω = −(2s+ 1)k_BT V

ln 1 + e^−β(−µ) Z

0

d⁰ν(⁰) ∞

0

+ (2s+ 1)k_BT V Z ∞

0

d Z

0

d⁰ν(⁰)

| {z }

m 2π~2

(−β) e^−β(−µ) 1 + e^−β(−µ)

| {z }

nF()

. (4)

Der erste Summand in (4) verschwindet f¨ur=∞, dae^(...) →0 in diesem Limes. Er verschwindet auch f¨ur = 0 da R=0

0 d⁰ν(⁰) = 0 gilt. Im Limes T →0 gilt wieder n_F() =θ(_F −) und wir erhalten:

Ω = −(2s+ 1)V m 2π~²

Z _F 0

d = −(2s+ 1)V m²_F

4π~² = −(2s+ 1)V p⁴_F 16mπ~². Hier berechnen wir den Druck des entarteten (T = 0) Fermigases aus der Relation

P =− ∂Ω

∂V T ,µ

: P(T = 0) = (2s+ 1) p⁴_F 16π~²m =

π~² 2s+ 1

N V

2

. Wenn man das mit dem Ergebnis f¨ur ein klassiches Gas

P = k_BTN V

vergleicht, so sieht man ein v¨ollig verschiedenes Tieftemperaturverhalten von dem des Quantengases.

Die Ergebnisse f¨ur Ω, U und N beiT = 0 waren:

Ω(T = 0) = − 1 16

(2s+ 1)V π~²

p⁴_F

m = − 1 16A, U(T = 0) = 1

16

(2s+ 1)V π~²

p⁴_F m = 1

16A, µN = 1

8

(2s+ 1)V π~²

p⁴_F m = 1

8A, wobei

A= (2s+ 1)V π~²

p⁴_F m. Die zu ¨uberpr¨ufende Relation

Ω =U −T S−µN gilt offensichtlich, weil

− 1 16 = 1

16− 1 8 und wir uns im GrenzfallT = 0 befinden.

(c) Betrachten Sie nun das freie Elektronengas bei tiefen TemperaturenT _F/k_B, wo- bei_F =p²_F/2mdie Fermi-Energie des Gases bezeichnet. Mit Hilfe der Sommerfeld- Entwicklung bestimmen Sie das f¨uhrende Tieftemperaturverhalten des chemischen Potentials µ(T). Finden Sie dabei die innere Energie U(T) und die W¨armekapa- zit¨at c_V(T) des Elektronengases in niedrigster nichtverschwindender Ordnung in der Temperatur.

L¨osung:

Wir verwenden wie in der Vorlesung diskutiert die Sommerfeld-Entwicklung f¨ur das großkanonische Potential um das chemische Potential zu berechnen:

Ω(T, V, µ) =−(2s+ 1)V Z ∞

−∞

d b() [n⁰_F()], (5)

wobei

a() = Z

0

d₁ν(₁) = m

2π~², b() = Z ∞

0

d₁a(₁) = m² 4π~². Mit

n⁰_F() = 1 4kBT cosh²

−µ 2kBT

kann das Integral exakt berechnet werden. Mit den Relationen aus der Vorlesung lautet die L¨osung

Ω(T, V, µ) =−(2s+ 1)V m 4π~²

µ²+ π²

3 (k_BT)²

. (6)

Das chemische Potential in Abh¨angigkeit der Teilchenzahl wird mit N = −∂_µΩ berechnet. Mit der Sommerfeld-Entwicklung erh¨alt man

N = (2s+ 1)mV

2π~² µ ⇒ µ= 2π~² (2s+ 1)m

N V =F.

Die W¨armekapazit¨at wird mit Hilfe der inneren EnergieU(T) berechnet. Aus Gl. (3) und (4) sieht man, dass folgende Relation gilt

Ω(T) =−U(T).

Damit erhalten wir in der Sommerfeld-Entwicklung U(T) = (2s+ 1)V m

4π~²

µ²+ π²

3 (k_BT)²

⇒ c_V(T) = ∂U

∂T = (2s+ 1)V mπ 6~²

k_B²T.

Bemerkung:Die Sommerfeld-Entwicklung ergibt nicht das Niedrigtemperaturver- halten vonµ(T) f¨ur zweidimensionales Fermi-Gase, da die Zustandsdichte konstant ist, ∂ν(µ)/∂µ = 0, und die Korrekturen f¨uhrender Ordnung nur nicht-perturbativ berechnet werden k¨onnen. Dies kann mit der exakten Berechung des chemischen Potentials gezeigt werden (s. Zusatzaufgabe). Die Korrekturen in f¨uhrender Ord- nung ergeben sich aus = 0, wenn die Integrationsgrenze in Gl. (5) nicht durch

−∞ersetzt wird:

µ(T)≈_F −k_BT exp

− F

k_BT

| {z }

nicht-perturbativ um T=0

.

2. Ultrarelativistisches Fermi-Gas: (8+8+6=22 Punkte) Wir betrachten ein ultrarelativistisches Elektronengas in D= 3 r¨aumlichen Dimensio- nen. Die Energie der Teilchen soll im Folgenden als groß im Vergleich zu mc² ange- nommen werden, wobei m die Masse der Teilchen ist und c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. In diesem Fall kann man die lineare Dispersionsrelation verwenden:

_~p =c|~p|. (7)

Bemerkung: Der Einfachheit halber ignorieren wir die thermische Aktivierung von Antiteilchen (d.h. wir betrachten nur die Zust¨ande mit positiver Energie >0).

(a) Betrachten Sie das ultrarelativistischen Elektronengas mit dem linearen Spektrum (7) bei T = 0. Finden Sie den Fermi-Impuls p_F, die Fermi-Energie _F, die innere Energie des SystemsU und den Druck P in Abh¨angigkeit von dem Volumen V und der Dichten =N/V.

L¨osung:

BeiT = 0 haben wir gerade einen gef¨ullten Fermi-See. Die Relation zwischen Fermi- Impuls und der Dichte ist unabh¨angig vom jeweiligen Spektrum. Daraus folgt durch Z¨ahlen von ein-Teilchenzust¨anden (der Fakor 2 resultiert vom Spin: 2s+ 1 = 2)

n= 2 4πp³_F

3(2π~)³, p_F =~(3π²n)^1/3 (8) Es gilt zudem_F =cp_F.

Die innere Energie und der Druck P =−∂U/∂V sind U = 4πV

Z pF

0

p²dp

(2π~)³cp= cp⁴_F 8π²~³

= 3

4 3π²1/3

~cN(N/V)^1/3, (9)

P = U/3V. (10)

(b) F¨ur beliebige Temperaturen kann man die thermodynamische Gr¨oßen durch Inte- grale ¨uber die Fermi-Funktion ausdr¨ucken. Bestimmen Sie auf diesem Weg die innere EnergieU(T) und das großkanonische Potential Ω(T) (die explizite Berechnung der Integrale ¨uber die Fermi-Funktion ist nicht gefordert). ¨Uberpr¨ufen Sie außerdem, dass Ω =−U/3 gilt.

L¨osung:

F¨ur die folgenden Teilaufgaben wollen wir aus Gr¨unden der Bequemlichkeit nun wirklich die Zustandsdichteν() benutzen:

ν() = 1 V

X

p

δ(−_p) =

Z d³p

(2π~)³δ(−cp) = 4π (2π~)³

Z ∞ 0

dp p²δ(−cp)

= ²

2π²(~c)³. (11)

Das großkanonische Potential ist dann durch

Ω = −2k_BT

Z ∞ 0

d ν() ln 1 +e^−β(−µ)

(11)= −2k_BT 1 2π²(~c)³

Z ∞ 0

d²ln 1 +e^−β(−µ)

part. Int.

= − 1

π²(~c)³ Z ∞

0

d ³ 3

1

e^β(−µ)+ 1 (12)

gegeben. F¨ur die inenere Energie gilt:

U = X

λ

_λf(_λ) = 2X

p

_p 1 e^β(p−µ)+ 1

= 2 Z ∞

0

d ν() 1 e^β(−µ)+ 1

(11)= 1 π²(~c)³

Z ∞ 0

d ³ 1

e^β(−µ)+ 1. (13) Nun vergleichen wir Gl. (12) und Gl. (13):

Ω =−U/3.

(c) Mit Hilfe der Sommerfeld-Entwicklung bestimmen Sie das f¨uhrende Tieftempera- turverhalten der EntropieS(T) des entarteten ultrarelativistischen Fermi-Gas.

L¨osung:

Um das Tieftemperaturverhalten der W¨armekapazit¨at zu bestimmen, f¨uhren wir die Sommerfeld-Entwicklung des großkanoischen Potentials Ω f¨ur unser System durch (s. Vorlesung)

Ω(T, V, µ)'Ω(T = 0, V, µ)− π²

3 V ν(µ)(k_BT)² (14) Die Entropie lautet

S(T, V, µ)' 2π²

3 V ν(µ)k²_BT. (15) An diesem Punkt sollten wir im Prinzip das chemische Potential dieses Systems als Funktion vonT, V, undN schreiben: µ(T, V, N). Allerdings bemerken wir, dass es ausreichend ist das chemische Potentialµ(T, V, N) an seinem Wert f¨ur T = 0,

µ(T = 0, V, N) =_F(n),

zu betrachten. Die temperaturabh¨angigen Terme in µ(T, V, N) werden nur kleine Korrekturen zum Endresultat liefern. Die Zustandsdichte wurde in der letzten Auf- gabe berechnet

ν(_F) = ²_F 2π²(~c)³. Wir erhalten:

S(T, V, N) ' 2π²

3 V ²_F

2π²(~c)³k²_BT = 1 3(~c)³V

"

c~

3π²N V

1/3#2

| {z }

²_F=c²p²_F

k_B²T

= k_B π²N2/3 (3V)^1/3

~c k_BT. (16)

Bemerkung:Das lineare Spektrum findet sich auch in sogenannten Weyl-Halbmetallen.

Bonusaufgabe. Elektronen in Graphen: (10 Bonuspunkte) Betrachten Sie ein ultrarelativistisches Elektronengas mit linearen Dispersionsrelation (7) im zweidimensionalen Volumen V (wie in Aufgabe 2 ignorieren Sie die Zust¨ande mit negativer Energie).

Zeigen Sie, dass f¨ur einen adiabatischen Prozess

P V^γ = konst, P T^δ = konst

gilt, wobei P der Druck des Gases bezeichnet und T die Temperatur ist. Bestimmen Sie die Exponenten γ und δ.

Hinweis: Die Bestimmung dieser Exponenten erfordert keine explizite Berechnung von Integralen ¨uber die Fermi-Funktion.

L¨osung:

Hierzu verwenden wir das großkanonische Potential (Faktor 2 wegen Spin) Ω =−2k_BTX

~ p

ln 1 +e^{−β(p~−µ)}

=−2k_BT V (2π~)²

Z

d²pln 1 +e^{−β(~p−µ)}

=−k_BT 4πV (2π~)²c²

Z ∞ 0

dln 1 +e^−β(−µ)

= V

β³f(βµ), (17) wobei

f(y) = − 1 π~²c²

Z ∞ 0

dxxln 1−e^−x+y

. (18)

Die Entropie berechnet sich zu S =−∂Ω

∂T =k_Bβ²∂Ω

∂β =−3k_BV

β² f(βµ) + k_BV µ

β f⁰(βµ) =k_BV

β² g(βµ), (19) mit

g(y) =−3f(y) +yf⁰(y). (20) Die Teilchenzahl l¨asst sich ebenfalls ¨uber Ω bestimmen:

N =−∂Ω

∂µ = V

β²f⁰(βµ). (21)

Da ein adiabatischer Prozess (S = konst. undN = konst.) betrachtet wird, ergibt sich S

N =k_Bg(βµ)

f⁰(βµ) = konst., (22)

und somit

βµ = konst. (23)

Es folgt dann aus Gl. (21):

N

V T² = konst ⇒ V T² = konst. (24)

Des Weiteren gilt

Ω =−P V =T³V k³_Bf(βµ)

| {z }

konst.

⇒ P

T³ = konst. (25)

Somit ist

P ∝T³ ∝V^−3/2 ⇒ P V^3/2 = konst. (26) Die gesuchten Exponenten sind also durch

γ = 3

2, δ=−3 (27)

gegeben.