Klausur TheoA WS07/08 Aufgabe 1
a)
1
√1 12
√2
·
2 1 2
= 2 + 1
√2+ 2
√2
= 2 + 3
√2
b)
dy
dx(x) = x3y ˆ 1
ydy = ˆ
x3dx lny = 1
4x4 y(x) = e14x4 c)
detA= 1
√2 3
·2√ 2 = 1 d)
~ r(t) =
R(ωt−sinωt) R(1−cosωt)
0
i)
v(t) = ~r(t) =˙ ωR
1−cosωt sinωt
0
a(t) = ~r¨(t) =
ω2Rsinωt ω2Rcosωt
0
1
ii) ˆ
rT(t) =
~˙ r(t)
|~r(t)|˙
= 1
q
(1−cosωt)2+ sin2ωt
1−cosωt sinωt
0
= 1
p1−2 cosωt+ cos2ωt+ sin2ωt
1−cosωt sinωt
0
= 1
√2−2 cosωt
1−cosωt sinωt
0
iii)
Mit Höhe der Kreise von 2R und Periodiztät von2πω.
iv)
cosθ sinθ 0
−sinθ cosθ 0
0 0 1
·ωR
1−cosωt sinωt
0
=ωR
cosθ·(1−cosωt) + sinθ·sinωt
−sinθ·(1−cosωt) + cosθ·sinωt 0
2
Aufgabe 3
Hier soll man zeigen, dass sich die GröÿeA~sich nicht über die Zeit ändert, wenn sich ein Teilchen frei durch das Potential bewegt.
A ~ = ~ p × ~ L mk − ~ r
r d A ~
dt = 1 mk
d~ p
dt × L ~ + ~ p × d L ~ dt
!
− r ~ r ˙ − r~ ˙ r r
2Zuerst sollen noch die verbleibenden Ableitungen bestimmt werden.
d~p
dt = F~ =−gradU(r) =−grad
−k r
= k r2rˆ= k
r3~r dL~
dt = d
dt(~r×p)~
= ~r˙×~p+~r×~p˙
= ~r˙×m~r˙
| {z }
=0
+~r×m~r¨
= ~r× k r3~r
= 0
Es folgt das nicht verschwindende Kreuzprodukt d~p
dt ×~L = −k
r3~r×(~r×~p)
= −k
r3(~r(~r·~p)−~p(~r·~r))
= −k r3~r
~ r·m~r˙
+ k r3m~r˙·r2
= −mk r3~r
~r·~r˙ +mk
r
~r˙
= mk
−
~r
~ r·~r˙ r3 +
~˙ r r
Das Skalarprodukt aus~r·~r˙ lässt durch Umformen mit der Kettenregel verein- fachen
~
r~r˙=2~r~r˙ 2 = 1
2· d~r2 dt =1
2 ·dr2 dt = 2rr˙
2 =rr˙ 3
Es gilt also für das Kreuzprodukt d~p
dt ×~L = mk
~˙ r r−~r·r˙
r2
!
Einsetzen in Ausgangsgleichung dA~
dt = 1
mk d~p
dt ×L~ +~p×d~L dt
!
−r~r˙−r~˙r r2
= 1
mk mk
~˙ r r −r~˙r
r2
! + 0
!
−~r˙ r+r~˙r
r2
=
~˙ r r −r~˙r
r2 −~r˙ r +r~˙r
r2
= 0
⇒Erhaltungsgröÿe
4
