An Old Question Revisited: The Restricted Three-Body Problem

An Old Question Revisited: The

Restricted Three-Body

Problem

Sven Prüfer

An Old Question Revisited: The Restricted Three-Body Problem

Sven Prüfer

Institut für Mathematik, Universität Augsburg

10.05.2014

An Old Question Revisited: The

Restricted Three-Body

Problem Sven Prüfer

An Old Question Revisited: The

Restricted Three-Body

Problem Sven Prüfer

Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form: VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Problem Sven Prüfer

Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion

ω =dp∧dq symplektische Form: VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Problem Sven Prüfer

Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form:

VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form:

VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form:

VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels

ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form:

VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Problem Sven Prüfer

Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form:

VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔

Hamiltonsche Gleichungen

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Problem Sven Prüfer

Hamilton-Formalismus

M Phasenraum von dynamischen System mit 2n (lokalen) Koordinaten (q,p)

H :M −→RHamilton-Funktion ω =dp∧dq symplektische Form:

VF(M)×VF(M)−→Funktion

Geg. H definiert man X_H ∈VF(M)mittels ω(X_H,·) =−dH

XH gibt Differentialgleichung für Fluss⇔ Hamiltonsche Gleichungen

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Problem Sven Prüfer

Energieniveauflächen

H zeitunabhängig =⇒H Erhaltungsgröße

Orbit mit AnfangsenergieE0 bleibt in Energieniveaufläche H⁻¹(E₀)⊂M

=⇒ Suche Lösungen in jeder Energieniveaufläche einzeln

Energieniveauflächen selber sind 2n−1 dimensional =⇒keine symplektische Geometrie

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Energieniveauflächen

H zeitunabhängig =⇒H Erhaltungsgröße

Orbit mit AnfangsenergieE0 bleibt in Energieniveaufläche H⁻¹(E₀)⊂M

=⇒ Suche Lösungen in jeder Energieniveaufläche einzeln

Energieniveauflächen selber sind 2n−1 dimensional =⇒keine symplektische Geometrie

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Energieniveauflächen

H zeitunabhängig =⇒H Erhaltungsgröße

Orbit mit AnfangsenergieE0 bleibt in Energieniveaufläche H⁻¹(E₀)⊂M

=⇒ Suche Lösungen in jeder Energieniveaufläche einzeln

Energieniveauflächen selber sind 2n−1 dimensional =⇒keine symplektische Geometrie

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Energieniveauflächen

H zeitunabhängig =⇒H Erhaltungsgröße

Orbit mit AnfangsenergieE0 bleibt in Energieniveaufläche H⁻¹(E₀)⊂M

=⇒ Suche Lösungen in jeder Energieniveaufläche einzeln

Energieniveauflächen selber sind 2n−1 dimensional =⇒keine symplektische Geometrie

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Das freie Teilchen

M =R⁶ 3(q,p), ω=dp∧dq

und H= p² 2m

=⇒X_H = p m∂q

H⁻¹(E) ={(q,p)|p²=2mE} ∼=S²×R³ für E 6=0

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Das freie Teilchen

M =R⁶ 3(q,p), ω=dp∧dq und H= p² 2m

=⇒X_H = p m∂q

H⁻¹(E) ={(q,p)|p²=2mE} ∼=S²×R³ für E 6=0

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Das freie Teilchen

M =R⁶ 3(q,p), ω=dp∧dq und H= p² 2m

=⇒X_H = p m∂q

H⁻¹(E) ={(q,p)|p²=2mE} ∼=S²×R³ für E 6=0

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Das freie Teilchen

M =R⁶ 3(q,p), ω=dp∧dq und H= p² 2m

=⇒X_H = p m∂q

H⁻¹(E) ={(q,p)|p²=2mE} ∼=S²×R³ für E 6=0

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Das freie Teilchen

M =R⁶ 3(q,p), ω=dp∧dq und H= p² 2m

=⇒X_H = p m∂q

H⁻¹(E) ={(q,p)|p²=2mE} ∼=S²×R³ für E 6=0

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Das freie Teilchen

M =R⁶ 3(q,p), ω=dp∧dq und H= p² 2m

=⇒X_H = p m∂q

H⁻¹(E) ={(q,p)|p²=2mE} ∼=S²×R³ für E 6=0

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Problem Sven Prüfer

Das (mathematische) ebene Pendel

M =S¹×R3(q,p), ω =dp∧dq undH = p²

2 +1−cos(q)

=⇒X_H =−sin(q)∂p+p∂q

Energiehyperflächen zum WertE gegeben durch p² =2(E+cos(q)−1):

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Das (mathematische) ebene Pendel

M =S¹×R3(q,p), ω =dp∧dq undH = p²

2 +1−cos(q)

=⇒X_H =−sin(q)∂_p+p∂_q

Energiehyperflächen zum WertE gegeben durch p² =2(E+cos(q)−1):

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Das (mathematische) ebene Pendel

M =S¹×R3(q,p), ω =dp∧dq undH = p²

2 +1−cos(q)

=⇒X_H =−sin(q)∂_p+p∂_q

Energiehyperflächen zum WertE gegeben durch p² =2(E+cos(q)−1):

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Das (mathematische) ebene Pendel

M =S¹×R3(q,p), ω =dp∧dq undH = p²

2 +1−cos(q)

=⇒X_H =−sin(q)∂_p+p∂_q

Energiehyperflächen zum WertE gegeben durch p² =2(E+cos(q)−1):

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Problem Sven Prüfer

Das (mathematische) ebene Pendel

M =S¹×R3(q,p), ω =dp∧dq undH = p²

2 +1−cos(q)

=⇒X_H =−sin(q)∂_p+p∂_q

Energiehyperflächen zum WertE gegeben durch p² =2(E+cos(q)−1):

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Problem Sven Prüfer

Das eingeschränkte Dreikörperproblem

2 große MassenE,M, 1 kleine Massem=1 mit Newtonscher Gravitation undmE,M

Weitere Annahme:E und M bewegen sich auf Kreisbahnen um Schwerpunkt

=⇒(q,p)∈R²\ {E(t),M(t)} ×R² und

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E(t)|− µ

|q−M(t)|

mit µ= mE

m_E+m_M.

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Das eingeschränkte Dreikörperproblem

2 große MassenE,M, 1 kleine Massem=1 mit Newtonscher Gravitation undmE,M

Weitere Annahme: E und M bewegen sich auf Kreisbahnen um Schwerpunkt

=⇒(q,p)∈R²\ {E(t),M(t)} ×R² und

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E(t)|− µ

|q−M(t)|

mit µ= mE

m_E+m_M.

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Das eingeschränkte Dreikörperproblem

2 große MassenE,M, 1 kleine Massem=1 mit Newtonscher Gravitation undmE,M

Weitere Annahme: E und M bewegen sich auf Kreisbahnen um Schwerpunkt

=⇒(q,p)∈R²\ {E(t),M(t)} ×R² und

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E(t)|− µ

|q−M(t)|

mit µ= mE

m_E+m_M.

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Das eingeschränkte Dreikörperproblem

2 große MassenE,M, 1 kleine Massem=1 mit Newtonscher Gravitation undmE,M

Weitere Annahme: E und M bewegen sich auf Kreisbahnen um Schwerpunkt

=⇒(q,p)∈R²\ {E(t),M(t)} ×R² und

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E(t)|− µ

|q−M(t)|

mit µ= mE

m_E+m_M.

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Restricted Three-Body

Problem Sven Prüfer

Eingeschränktes Dreikörperproblem in rotierenden Koordinaten

Wechsel auf drehendes Koordinatensystem um Schwerpunkt, s.d. E(t) = (µ,0)und M(t) = (−(1−µ),0):

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E|− µ

|q−M|+p₁q₂−p₂q₁

für M =R²\ {E,M} ×R² 3(q,p).

Regularisierung der Kollisionen erlaubt M =R⁴.

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Problem Sven Prüfer

Eingeschränktes Dreikörperproblem in rotierenden Koordinaten

Wechsel auf drehendes Koordinatensystem um Schwerpunkt, s.d. E(t) = (µ,0)und M(t) = (−(1−µ),0):

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E|− µ

|q−M|

+p₁q₂−p₂q₁

für M =R²\ {E,M} ×R² 3(q,p).

Regularisierung der Kollisionen erlaubt M =R⁴.

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Problem Sven Prüfer

Eingeschränktes Dreikörperproblem in rotierenden Koordinaten

Wechsel auf drehendes Koordinatensystem um Schwerpunkt, s.d. E(t) = (µ,0)und M(t) = (−(1−µ),0):

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E|− µ

|q−M|+p₁q₂−p₂q₁

für M =R²\ {E,M} ×R² 3(q,p).

Regularisierung der Kollisionen erlaubt M =R⁴.

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Eingeschränktes Dreikörperproblem in rotierenden Koordinaten

Wechsel auf drehendes Koordinatensystem um Schwerpunkt, s.d. E(t) = (µ,0)und M(t) = (−(1−µ),0):

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E|− µ

|q−M|+p₁q₂−p₂q₁

für M =R²\ {E,M} ×R² 3(q,p).

Regularisierung der Kollisionen erlaubt M =R⁴.

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Eingeschränktes Dreikörperproblem in rotierenden Koordinaten

Wechsel auf drehendes Koordinatensystem um Schwerpunkt, s.d. E(t) = (µ,0)und M(t) = (−(1−µ),0):

H(q,p) = |p|²

2 − 1−µ

|q−E|− µ

|q−M|+p₁q₂−p₂q₁

für M =R²\ {E,M} ×R² 3(q,p).

Regularisierung der Kollisionen erlaubt M =R⁴.

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Problem Sven Prüfer

Energieniveauflächen des eingeschränkten Dreikörperproblems

H hat fünf kritische PunkteL₁, . . . ,L₅ ∈R⁴ (Lagrange-Punkte)

π(H⁻¹(E))fürE <H(L₁) und fürE H(L₅):

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Energieniveauflächen des eingeschränkten Dreikörperproblems

H hat fünf kritische PunkteL₁, . . . ,L₅ ∈R⁴ (Lagrange-Punkte)

π(H⁻¹(E))fürE <H(L₁) und fürE H(L₅):

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Problem Sven Prüfer

Energieniveauflächen des eingeschränkten Dreikörperproblems

H hat fünf kritische PunkteL₁, . . . ,L₅ ∈R⁴ (Lagrange-Punkte)

π(H⁻¹(E))fürE <H(L₁) und fürE H(L₅):

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Problem Sven Prüfer

Energieniveauflächen des eingeschränkten Dreikörperproblems

H hat fünf kritische PunkteL₁, . . . ,L₅ ∈R⁴ (Lagrange-Punkte)

π(H⁻¹(E))fürE <H(L₁) und fürE H(L₅):

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Energieniveauflächen des eingeschränkten Dreikörperproblems

H hat fünf kritische PunkteL₁, . . . ,L₅ ∈R⁴ (Lagrange-Punkte)

π(H⁻¹(E))fürE <H(L₁) und fürE H(L₅):

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Problem Sven Prüfer

Periodische Orbits

Finde periodische Orbits γ : [0,1]−→M mit γ(0) =γ(1)

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Periodische Orbits

Finde periodische Orbits γ : [0,1]−→M mit γ(0) =γ(1)

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Problem Sven Prüfer

Analytische Lösungen

Wie soll das gehen?

Das System ist nicht integrabel.

Es existiert Stabilitätsanalyse nahe der Lagrange-Punkte.

Ansätze? Ideen?

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Problem Sven Prüfer

Analytische Lösungen

Wie soll das gehen?

Das System ist nicht integrabel.

Es existiert Stabilitätsanalyse nahe der Lagrange-Punkte.

Ansätze? Ideen?

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Analytische Lösungen

Wie soll das gehen?

Das System ist nicht integrabel.

Es existiert Stabilitätsanalyse nahe der Lagrange-Punkte.

Ansätze? Ideen?

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Analytische Lösungen

Wie soll das gehen?

Das System ist nicht integrabel.

Es existiert Stabilitätsanalyse nahe der Lagrange-Punkte.

Ansätze? Ideen?

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Problem Sven Prüfer

Numerische Lösungen

Idee: Durchsuche Raum der Startbedingungen R⁴ⁿ und löse Flussgleichung mit geringer Genauigkeit

Wenn Lösung in Nähe der Ausgangsbedingungen zurückkehrt, simuliere jeweiligen Fall genauer

Bekannte Familien von Lösungen: Figure Eight (2000), Butterfly, Yin-Yang (2013)

Schwierigkeit: Man findet nicht alle periodischen Orbits, insbesondere instabile Orbits können unentdeckt bleiben

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Problem Sven Prüfer

Numerische Lösungen

Idee: Durchsuche Raum der Startbedingungen R⁴ⁿ und löse Flussgleichung mit geringer Genauigkeit

Wenn Lösung in Nähe der Ausgangsbedingungen zurückkehrt, simuliere jeweiligen Fall genauer

Bekannte Familien von Lösungen: Figure Eight (2000), Butterfly, Yin-Yang (2013)

Schwierigkeit: Man findet nicht alle periodischen Orbits, insbesondere instabile Orbits können unentdeckt bleiben

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Numerische Lösungen

Idee: Durchsuche Raum der Startbedingungen R⁴ⁿ und löse Flussgleichung mit geringer Genauigkeit

Wenn Lösung in Nähe der Ausgangsbedingungen zurückkehrt, simuliere jeweiligen Fall genauer

Bekannte Familien von Lösungen: Figure Eight (2000), Butterfly, Yin-Yang (2013)

Schwierigkeit: Man findet nicht alle periodischen Orbits, insbesondere instabile Orbits können unentdeckt bleiben

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Numerische Lösungen

Idee: Durchsuche Raum der Startbedingungen R⁴ⁿ und löse Flussgleichung mit geringer Genauigkeit

Wenn Lösung in Nähe der Ausgangsbedingungen zurückkehrt, simuliere jeweiligen Fall genauer

Bekannte Familien von Lösungen: Figure Eight (2000), Butterfly, Yin-Yang (2013)

Schwierigkeit: Man findet nicht alle periodischen Orbits, insbesondere instabile Orbits können unentdeckt bleiben

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Numerische Lösungen

Idee: Durchsuche Raum der Startbedingungen R⁴ⁿ und löse Flussgleichung mit geringer Genauigkeit

Wenn Lösung in Nähe der Ausgangsbedingungen zurückkehrt, simuliere jeweiligen Fall genauer

Bekannte Familien von Lösungen: Figure Eight (2000), Butterfly, Yin-Yang (2013)

Schwierigkeit: Man findet nicht alle periodischen Orbits, insbesondere instabile Orbits können unentdeckt bleiben

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Problem Sven Prüfer

Schleifenraum

Ω :={γ : [0,1]−→M |γ(0) =γ(1)}

Idee: Finde diejenigen Schleifen, die Lösungen des dynamischen Systems sind.

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Schleifenraum

Ω :={γ : [0,1]−→M |γ(0) =γ(1)}

Idee: Finde diejenigen Schleifen, die Lösungen des dynamischen Systems sind.

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Schleifenraum

Ω :={γ : [0,1]−→M |γ(0) =γ(1)}

Idee: Finde diejenigen Schleifen, die Lösungen des dynamischen Systems sind.

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Wirkungsfunktional

A: Ω−→R Wirkungsfunktional, s.d. dessen Euler–Lagrange-Gleichung genau die Hamiltonschen Gleichungen sind

Krit. Punkteγ vonA ⇐⇒γ 1-period. Orbit von dyn. System A(γ) =

Z

D

ω− Z 1

0

H(γ(t))dt für eine Scheibe D⊂M mit Rand γ

Eigentlich: Kontaktfall für geeignete Energiehyperflächen Σ

⇐=Lagrange-Multiplikatorη und Kontaktform α auf Σs.d. ω|_Σ=dα:

A: Ω×R−→R,A(γ, η) = Z

γ

α−η Z 1

0

H(γ(t))dt

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Wirkungsfunktional

A: Ω−→R Wirkungsfunktional, s.d. dessen Euler–Lagrange-Gleichung genau die Hamiltonschen Gleichungen sind

Krit. Punkteγ vonA ⇐⇒γ 1-period. Orbit von dyn. System

A(γ) = Z

D

ω− Z 1

0

H(γ(t))dt für eine Scheibe D⊂M mit Rand γ

Eigentlich: Kontaktfall für geeignete Energiehyperflächen Σ

⇐=Lagrange-Multiplikatorη und Kontaktform α auf Σs.d. ω|_Σ=dα:

A: Ω×R−→R,A(γ, η) = Z

γ

α−η Z 1

0

H(γ(t))dt

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Wirkungsfunktional

A: Ω−→R Wirkungsfunktional, s.d. dessen Euler–Lagrange-Gleichung genau die Hamiltonschen Gleichungen sind

Krit. Punkteγ vonA ⇐⇒γ 1-period. Orbit von dyn. System A(γ) =

Z

D

ω− Z ₁

0

H(γ(t))dt für eine ScheibeD ⊂M mit Rand γ

Eigentlich: Kontaktfall für geeignete Energiehyperflächen Σ

⇐=Lagrange-Multiplikatorη und Kontaktform α auf Σs.d. ω|_Σ=dα:

A: Ω×R−→R,A(γ, η) = Z

γ

α−η Z 1

0

H(γ(t))dt

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Wirkungsfunktional

A: Ω−→R Wirkungsfunktional, s.d. dessen Euler–Lagrange-Gleichung genau die Hamiltonschen Gleichungen sind

Krit. Punkteγ vonA ⇐⇒γ 1-period. Orbit von dyn. System A(γ) =

Z

D

ω− Z ₁

0

H(γ(t))dt für eine ScheibeD ⊂M mit Rand γ

Eigentlich: Kontaktfall für geeignete Energiehyperflächen Σ

⇐=Lagrange-Multiplikatorη und Kontaktform α auf Σs.d.

ω|_Σ=dα:

A: Ω×R−→R,A(γ, η) = Z

γ

α−η Z 1

0

H(γ(t))dt

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Wirkungsfunktional

A: Ω−→R Wirkungsfunktional, s.d. dessen Euler–Lagrange-Gleichung genau die Hamiltonschen Gleichungen sind

Krit. Punkteγ vonA ⇐⇒γ 1-period. Orbit von dyn. System A(γ) =

Z

D

ω− Z ₁

0

H(γ(t))dt für eine ScheibeD ⊂M mit Rand γ

Eigentlich: Kontaktfall für geeignete Energiehyperflächen Σ

⇐=Lagrange-Multiplikatorη und Kontaktform α auf Σs.d.

ω|_Σ=dα:

A: Ω×R−→R,A(γ, η) = Z

γ

α−η Z 1

0

H(γ(t))dt

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Problem Sven Prüfer

Floerhomologie I

Idee: Definiere Vektorraum erzeugt durch periodische Orbits CF(M) :=span_R{γ |γ per. Lösung des dyn. Sys.}

Definiere Differential d:CF −→CF,d(γ) =^X

η

µ(γ, η)η mit d² =0

µ(γ, η) zählt zylindrische Lösungen einer PDE

(Gradientenfluss vonAauf Ω), die γ und η verbinden.

Definition von µerfordert viel Geometrie und Analysis!

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Floerhomologie I

Idee: Definiere Vektorraum erzeugt durch periodische Orbits CF(M) :=span_R{γ |γ per. Lösung des dyn. Sys.}

Definiere Differential d:CF −→CF,d(γ) =^X

η

µ(γ, η)η mit d² =0

µ(γ, η) zählt zylindrische Lösungen einer PDE

(Gradientenfluss vonAauf Ω), die γ und η verbinden.

Definition von µerfordert viel Geometrie und Analysis!

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Floerhomologie I

Idee: Definiere Vektorraum erzeugt durch periodische Orbits CF(M) :=span_R{γ |γ per. Lösung des dyn. Sys.}

Definiere Differential d:CF −→CF,d(γ) =^X

η

µ(γ, η)η mit d² =0

µ(γ, η) zählt zylindrische Lösungen einer PDE

(Gradientenfluss vonAauf Ω), die γ und η verbinden.

Definition von µerfordert viel Geometrie und Analysis!

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Floerhomologie I

Idee: Definiere Vektorraum erzeugt durch periodische Orbits CF(M) :=span_R{γ |γ per. Lösung des dyn. Sys.}

Definiere Differential d:CF −→CF,d(γ) =^X

η

µ(γ, η)η mit d² =0

µ(γ, η) zählt zylindrische Lösungen einer PDE

(Gradientenfluss vonAauf Ω), die γ und η verbinden.

Definition von µerfordert viel Geometrie und Analysis!

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Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0},

und imd:={γ | ∃η mit γ =dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M) nichttrivial ist, mussHF^∗(M) nicht trivial sein, also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

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Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0}, und imd:={γ | ∃η mit γ=dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M) nichttrivial ist, mussHF^∗(M) nicht trivial sein, also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

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Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0}, und imd:={γ | ∃η mit γ=dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M) nichttrivial ist, mussHF^∗(M) nicht trivial sein, also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

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Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0}, und imd:={γ | ∃η mit γ=dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M) nichttrivial ist, mussHF^∗(M) nicht trivial sein, also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

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Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0}, und imd:={γ | ∃η mit γ=dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M)nichttrivial ist,

mussHF^∗(M) nicht trivial sein, also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

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Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0}, und imd:={γ | ∃η mit γ=dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M)nichttrivial ist, muss HF^∗(M) nicht trivial sein,

also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

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Problem Sven Prüfer

Floerhomologie II

kerd:={γ |dγ =0}, und imd:={γ | ∃η mit γ=dη}

HF^∗(M) :=kerd/imd

Es existieren Propositionen à laHF^∗(M)∼=H^∗(M).

=⇒ Wenn H^∗(M)nichttrivial ist, muss HF^∗(M) nicht trivial sein, also muss es mindestens einen periodischen Orbit geben.

An Old Question Revisited: The

Restricted Three-Body

Problem Sven Prüfer

Resultat Albers, Frauenfelder, van Koert, Paternain (2010)

Um Methoden der Floerhomologie im Kontaktsetting anzuwenden, muss H⁻¹(E) im Dreikörperproblem Kontakt sein

Theorem (Albers, Frauenfelder, van Koert, Paternain (2010))

∃ >0s.d. ∀E <H(L1) +die Energieniveauflächen des zirkulären eingeschränkten Dreikörperproblems (kompatibel) Kontakt sind.

Corollary

Für jede Energie E <H(L1)existiert ein periodischer Orbit mit Energie E im zirkulären eingeschränkten

Dreikörperproblem.

An Old Question Revisited: The

Restricted Three-Body

Problem Sven Prüfer

Resultat Albers, Frauenfelder, van Koert, Paternain (2010)

Um Methoden der Floerhomologie im Kontaktsetting anzuwenden, muss H⁻¹(E) im Dreikörperproblem Kontakt sein

Theorem (Albers, Frauenfelder, van Koert, Paternain (2010))

∃ >0s.d. ∀E <H(L1) +die Energieniveauflächen des zirkulären eingeschränkten Dreikörperproblems (kompatibel) Kontakt sind.

Corollary

Für jede Energie E <H(L1)existiert ein periodischer Orbit mit Energie E im zirkulären eingeschränkten

Dreikörperproblem.

An Old Question Revisited: The

Restricted Three-Body

Problem Sven Prüfer

Resultat Albers, Frauenfelder, van Koert, Paternain (2010)

Um Methoden der Floerhomologie im Kontaktsetting anzuwenden, muss H⁻¹(E) im Dreikörperproblem Kontakt sein

Theorem (Albers, Frauenfelder, van Koert, Paternain (2010))

∃ >0s.d. ∀E <H(L1) +die Energieniveauflächen des zirkulären eingeschränkten Dreikörperproblems (kompatibel) Kontakt sind.

Corollary

Für jede Energie E <H(L₁) existiert ein periodischer Orbit mit Energie E im zirkulären eingeschränkten

Dreikörperproblem.