Montag, 25. April 201614:29

Hydrostatik

Mechanik von Fluiden im statischen Gleichgewicht

Fluide: Stoffe, die sich unter Einwirkung von Schub- spannungen fortlaufend deformieren

−→ in ruhendem Fluid k ¨onnen keine tangentia- len Spannungen auftreten

1

Hydrostatik

– die Summe aller angreifenden Kr ¨afte verschwindet – die Fluidelemente bewegen sich nicht

oder mit konstanter Geschwindigkeit – es existieren nur Normalspannungen,

keine Schubspannungen

V

Normalspannungen sind immer Druckspannungen

2

Hydrostatische Grundgleichung

0000000000 0000000000 1111111111 1111111111

00 00 00 00 00 00 00 0

11 11 11 11 11 11 11 1

dA

dz z

g Alle Gr ¨oßen (Druck p, Dichte ρ, . . .) sind Funktionen der Koordinate z p(z), ρ(z), . . .

Gleichgewicht der Kr ¨afte

P F_z = 0

−→ p(z)dA − p(z + dz)dA − G = 0 G = ρ(z + ^dz₂ ) g dz dA

3

Hydrostatische Grundgleichung Taylorreihe von p und ρ:

p(z + dz) = p(z) + ^dp_dzdz + ^d2p

dz²

dz²

2 + · · · ρ(z + ^dz₂ ) = ρ(z) + ^dρ_dz ^dz₂ + ^d2ρ

dz²

dz²

4 + · · · p dA − (p + ^dp_dzdz − (ρ + ^dρ_dz ^dz₂ )g dz) dA = 0

−^dp_dzdzdA − ρ g dz dA − dρ dz

dz²

2 g dA

| {z }

≈0

= 0

−→ dp

dz = −ρ g

4

Druckverteilung

Integration f ¨ur inkompressible Fluide (ρ = konst und ~g = konst)

dp

dz = −ρ g −→ dp = − ρ g dz

−→ p+ρgz = konst Hydrostatische Grundgleichung

5

Druckverteilung

Integration f ¨ur kompressible Fluide

Annahme: perfektes Gas: ρ = p RT

isotherme Atmosph ¨are: T = T₀ = konst dp

dz = −ρ g −→ dp = −ρ(z) gdz = −p(z)

RT gdz Z _p1

p₀

dp

p = −

Z _z1

z₀

g

RT dz ln p₁ − ln p₀ = ln p₁

p₀ = −g(z₁ − z₀) RT₀

−→ p₁ = p₀ e⁻

g∆z RT0 6

Druckverteilung

barometrische H ¨ohenformel

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2000 4000 6000 8000 10000

1.2 p(z)

p0

p(z)

h [m]

7

Hydrostatischer Auftrieb

Ein K ¨orper, der teilweise oder vollst ¨andig in einem Fluid unterge- taucht ist, erf ¨ahrt einen scheinbaren Gewichtsverlust.

−→ Auftrieb

Parallelepiped in einem Fluid mit der Dichte ρ_F

p(h)

p(h+l) l

h z

a

A

ρF

8

Hydrostatischer Auftrieb

Resultierende Kraft in F_p in z-Richtung:

F_p = ( p(h) − p(h + l)) A Hydrostatischer Druck: p(z) = p_a + ρ_F gz

−→ F_p = ( p_a + ρ_Fgh − p_a − ρ_Fg(h + l)) A

F_p = −ρ_F g · |{z}lA

V olumen

= −ρ_F g V = F_L (ARCHIMEDES) Auftriebskraft ⇐⇒ resultierende Druckkraft

9

STEVIN’sches Erstarrungsprinzip A

g a

ρ

G

a ρ

Die Kraft auf eine beliebige Fl ¨ache A im Fluid entspricht dem Ge- wicht der Fl ¨ussigkeitss ¨aule oberhalb der Fl ¨ache plus dem Ober- fl ¨achendruck multipliziert mit der Projektionsfl ¨ache.

F = G + p_aA

10

STEVIN’sches Erstarrungsprinzip

V

A A

V

V = V + V V

u

ρ

o

u

o

o

pa

Ap

Gesamtkraft auf einen K ¨orper mit dem Volumen V

F_L = p_a A_p + ρgV_o − p_a A_p − ρgV_u =

= −ρg(V_u − V_o) = − ρgV

−→ F_L = − ρ g V

11

5.2

Ein Beh ¨alter ist mit einem Fluid der Dichte ρ gef ¨ullt. Der Abfluss des Beh ¨alters ( F ¨ullh ¨ohe h ) ist durch eine Halbkugelschale ( Radius R, Gewicht G ) abgeschlossen.

Gegeben: h, ρ, R, G, g

Welche Kraft F ist notwendig, um den Abfluss zu ¨offnen?

Hinweis: Das Volumen einer Kugel ist: V_k = 4

3 π R³

12

5.2

00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000

11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111

G F

Fp

P F = 0

F − G + F_p = 0 F = G − F_p

F_p = V_HK ρ_w g − ρ_w g hA_HK Die Halbkugel ist nicht vollst ¨andig benetzt.

F_p = ¹₂ ⁴₃ π R³ ρ_w g − ρ_w g h π R²

−→ F = G − ρ_w g π R² (²₃ R − h)

13

5.5

Das unten skizzierte Wehr der L ¨ange L trennt zwei Wasserbecken mit unterschiedlicher Wassertiefe voneinander ab.

Bestimmen Sie den Betrag der Kraft, die das Wasser auf das Wehr aus ¨ubt.

Gegeben: ρ, g, L, a

14

5.5

1 F₁ =

Z

d F₁ = Z

p (z₁) · L · ds Koordinatentransformation : mit S = z₁

cosα ; ds = d z₁ cos α F_1x = F₁ · cos α

15

5.5

F_1z = − F₁ · sin α

=⇒ F_1x =

Z2a

0

cos α p(z₁) · L d z₁

cos α =

Z2a

0

ρ g z₁ L d z₁ = 2 ρ g a² L

F_1z = − Z2a

0

sinα p(z₁)·L d z₁

cos α = − Z2a

0

tan α·ρ g z₁ L d z₁ = −4

3 ρ g a² L mit tan α = 2

3

16

5.5

2 F_2x = 0 ; F_2z = 2ρ g a² L

3 F_3x = +

Z4a

2a

p(z₁)·L dz₁ = + Z4a

2a

ρ g z₁ L dz₁ = 6 ρ g a² L F_3z = 0

4 , 5 , 6

=⇒ F_45z = 1

2ρ · g · a² · L ; F_6z = 0

17

5.5

F_456x = − ρ g 5a

2 · 5a · L = − 25

2 ρ g a² · L F_x = X

i

F_ix = − 9

2 ρ g a² L F_z = X

i

F_iz = + 7

6 ρ g a² L F_ges =

q

F_x² + F_z² = 4.65 ρ g a² L

18

Montag, 25. April 2016 14:29

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Übung 1 Seite 7

Beispiel: Ballon in der Atmosph ¨are

g F

z z

p(z) ρ(z)

∆

Α

Nutzlast

Atmosph ¨are −→ Gas ρ = ρ(z) barometrische H ¨ohenformel

p

p₀ = ρ

ρ₀ = e⁻

Rgz_LT₀

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 2000 4000 6000 8000 10000

p(z)

Druckverteilung

19

Beispiel: Ballon in der Atmosph ¨are typische Werte

∆z = 10 m Dichte ¨anderung in ∆z T₀ = 290 K ⇐⇒ ρ(z + ∆z) − ρ(z)

ρ(z) = e⁻

g∆z

RLT0 − 1

R_L = 288 _{kg K}^{N m} ≈ 1.2 10⁻³

−→ Dichtegradient ¨uber der Ballonh ¨ohe kann vernachl ¨assigt werden.

20

Verschiedene Typen von Ballons

V

p m

p

i a

V p

m

i

1.) starr offen

(Heißluftballon)

offen −→ p_i = p_a starr −→ V = konst offen −→ m 6= konst

2.) ideal schlaff geschlossen (Wetterballon)

keine Kr ¨afte −→ p_i = p_a geschl. −→ m = konst schlaff −→ V 6= konst

21

Verschiedene Typen von Ballons

p m

i V

3.) starr

geschlossen (Zeppelin)

kein Druckausgleich−→ p_i 6= p_a geschl. −→ m = konst

keine Deformation −→ V = konst

22

Beispiel

Ein starrer, geschlossener Ballon mit der Masse m_N (einschließlich Nutzmasse) enth ¨alt die Gasmasse m_G. Das Gasvolumen V und der Innendruck im Ballon ist p_i. Das Volumen der Nutzlast V_N sei ge- gen ¨uber V vernachl ¨assigbar. Der Ballon befindet sich in einer iso- thermen Atmosph ¨are mit der Temperatur T_o. Die Temperatur des Gases (R_G) ist gleich der Temperatur in der umgebenden Luft (R_L).

z ρo

p_i ^a

V g

m

m_N

G

Gegeben: g, V, V_N << V, m_g, m_N, ρ_o, T_i = T = T₀ = konst, R_L, R_G

23

Beispiel

a) Wie groß ist die maximale Steigh ¨ohe des Ballons, wenn der Bal- lon am Boden festgehalten werden muss?

b) Nach einer Kollision mit einem Vogel hat der Ballon auf der Un- terseite ein Loch. Wird der Ballon nun steigen oder sinken?

c) Bestimmen Sie die neue maximale Steigh ¨ohe h_max f ¨ur p_i > p_a(h_max) a)X

F = 0

F_A − F_G − F_N = 0 F_A = ρ_LgV

F_G + F_N = (m_G + m_N)g

ρ_LgV = (m_N + m_G)g −→ ρ_L = m_G + m_N V

ρ_L(z) = ρ_oe⁻

gz RLTo

24

Beispiel ρ_oe⁻

gzmax

RLTo = m_G + m_N

V −→ −gz_max

R_LT_o = ln

m_G + m_N V ρ_o

z_max = R_LT_o g ln

V ρ_o m_G + m_N

b) 2 F ¨alle:

p_i > p_a −→ m_G sinkt −→ z_max steigt p_i < p_a −→ m_G steigt −→ z_max sinkt c)

F_A − F_GLOCH − F_N = 0 F_G = m_Gg −→ ρ_g = p_i

R_GT_o = m_G V ρ_gLOCH = p_a

R_GT_o mit p_a = R_LT_oρ_L

25

Beispiel

ρ_gLOCH = R_L R_Gρ_L

ρ_LgV − ρ_gLOCHgV − m_Ng = 0 ρ_L

1 − R_L R_G

= m_N

V mit ρ_L = ρ_oe⁻

gz RLTo

h_maxLOCH = R_LT_o g ln

V ρ_o

m_N · R_G − R_L R_G

26

5.10

Ein Wetterballon mit Masse m und Anfangsvolumen V⁰ steigt in einer isothermen Atmosph ¨are auf. Bis zum Erreichen des maximalen Volumens V¹ ist die H ¨ulle schlaff.

p⁰ = 10⁵ N/m² ρ⁰ = 1, 27 kg/m³ m = 2, 5 kg V⁰ = 2, 8 m³ V¹ = 10 m³ R = 287 N m/kgK g = 10 m/s²

a) Mit welcher Kraft muß der Ballon vor dem Start festgehalten werden?

b) In welcher H ¨ohe erreicht der Ballon das Volumen V¹? c) Wie hoch steigt der Ballon?

27

5.10

a) vor dem Start

V₀ F F

Fh F z

A G

N

P F_z = 0 = F_A − F_G − F_N − F_H F_H = F_A − (F_N + F_G) =

= ρ_L(z = 0)V₀g − mg =

= (ρ₀V₀ − m)g) = 10.6 N

28

5.10

b) z f ¨ur V = V₁

ideal schlaff f ¨ur V < V₁

die Ballonh ¨ulle kann ihr Volumen ver ¨andern

m_G = konst = ρ_GV = _R^pG

GT_GV p_i = p_a

Die Bewegung ist ¨außerst langsam: −→ T_i = T_a

Annahme: isotherme Atmosph ¨are −→ barometrische H ¨ohenformel V = m_GR_GT_G

p_G ∼ 1

p_G = 1 p_L

29

5.10

V V

V

z z

0 1

1

z = 0 −→ V = V₀ V (z) = V₀e

gz RLT0

V₁ = V (z = z₁) = V₀e

gz1 RLT0

−→ z₁ = ln ^V_V¹

0

R_LT₀

g p₀

ρ₀ = R_LT₀

−→ z₁ = _ρ^p0

0g ln ^V_V¹

0 = 10.0 km

30

5.10 c)

z ≤ z₁ : F_A = ρ_LV g = p_L R_LT₀

m_gR_GT_Gg

p_G = konst

−→ Die Auftriebskraft, die auf einen schlaffen Ballon wirkt, ist kon- stant.

(T_L = T_G, g = konst)

F_A(z ≤ z₁) = ρ₀V₀g = ρ_L(z₁)V₁g F_A(z > z₁) = ρ_L(z)V₁g

F_A(z > z₁) = F_A(z ≤ z₁) · _ρ^ρL(z)

L(z₁) =

= F_A(z ≤ z₁) · e⁻

g(z−z1) RLT0 31

5.10

F

z z

z

A

1 max

32

5.10

maximale Steigh ¨ohe: P

F_z = 0 −→ mg = F_A

= mg − ρ(z_max)V₁g

−→ ρ₀e⁻

gzmax

RLT0 = m V₁ z_max = ^RL_g^T0 ln ^V_m^1ρ0 = _ρ^p0

0g ln ^V_m^1ρ0

= 12.8 km

33

Donnerstag, 28. April 2016 12:05

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Kontinuit ¨at - Gleichung

A ,1 r1 , v1 Stromröhre A ,₂ r₂ , v₂

Massenerhaltung: ρ₁v₁A₁

| {z }

˙ m₁

= ρ₂v₂A₂

| {z }

˙ m₂

( ˙m : Massenfluss)

inkompressibles Fluid: (ρ₁ = ρ₂ = konst) Erhaltung d. Volumenstroms : v₁A₁

| {z }

V˙₁

= v₂A₂

| {z }

V˙₂

( ˙V : Volumenstrom)

1

Kontinuit ¨at - Beispiele Rohrstr ¨omung:

v1

A1 v²

A2

geschlossene Stromr ¨ohre v₂ = v₁ · ^A_A¹

2

Wasserstrahl:

m3

m1

m2

geschlossenes Kontrollvolumen

˙

m₁ = ˙m₂ + ˙m₃

2

Kontinuit ¨at - Geschwindigkeitsprofil

WICHTIG: In der 1-dimensionalen Kontinuit ¨atsgleichung ist ~v ein Mittelwert der Geschwindigkeit. In Wirklichkeit ist ~v nicht konstant (Reibungseffekte, Wirbel, . . .)!

x y

h

Realit ¨at:

~v = ~v(y)

Kontinuit ¨atsgleichung:

~v ist konstant; ~v 6= ~v(y) Der Massenstrom muß der Gleiche sein

−→

Z

ρv(y) dy = ρ¯vh

3

Bernoulli - Herleitung 2.Newton’sches Gesetz:

Masse × Beschleunigung = Summe der ¨außeren Kr ¨afte m · d~v

dt = X F_a

Bewegungsgleichung f ¨ur ein infinitesimales Element entlang einer Stromlinie

ds

g s z

ρd~v

dt = −∂p

∂s − ρgdz

ds − R‘

Tr ¨agheit

Druck

Gravitation

Reibung

4

Bernoulli - Herleitung

entlang einer Stromlinie gilt: v = v(s, t)

d.h.: die Gesschw. ist abh ¨angig vom Weg und der Zeit

d~v = ∂~v

∂tdt + ∂~v

∂sds

−→ d~v

dt = ∂~v

∂t + ds dt

∂~v

∂s = ∂~v

∂t + v∂~v

∂s totale

(substantielle) Beschleunigung eines Partikels

lokale Beschl.

konvektive Beschl.

5

Bernoulli - Beispiel

A

v = f(t) 1

ρ

Diffusor

1

v (t)2

2 1

v (t)₁ x

v(x)

nur lokale Beschleunigung

Bsp.:

f ¨ur A, ρ = konst folgt:

v₁(t) = v₂(t)

nur konvektive Beschl.

Bsp.:

f ¨ur ρ = konst ∧ A 6= konst.: v(x) = v₁ · _A(x)^A1

6

Bernoulli - Herleitung Annahmen:

• inkompressibel (ρ = konst)

• reibungsfrei (R‘ = 0)

• station ¨ar _∂t^∂ = 0

• konstante Gravitation (~g = konst)

ρ2v² + p + ρgz = konst

7

Definition

statischer Druck: p_s, p_stat, p₁, p₂, p_a, p_∞

p_s

Totaldruck: p_t, p_tot, p₀, p₀₁, p₀₂ p₀ = p + ¹₂ρv² + ρgh

bei konstanter H ¨ohe ∆h = 0

−→ p₀ = p + ¹₂ρv²

p_t Pitotrohr

8

Definition

Potentialdruck: p_pot = ρgh

pot

h p

dynamischer Druck: p_dyn = ¹₂ρv²

die kinetische Energie die umgewandelt wird, wenn die Str ¨omung auf ~v = 0 verz ¨ogert wird

Prandtl-Rohr

p_s p_t

9

6.4

Aus einem großen ¨Uberdruckbeh ¨alter str ¨omt Wasser ins Freie. Zwi- schen den Querschnitten A₁ und A₂ wird die Druckdifferenz ∆p ge- messen.

A₁ = 0, 3 m², A₂ = 0, 1 m², A₃ = 0, 2 m², h = 1 m,

ρ = 10³ kg/m³, p_a = 10⁵ N/m²,

∆p = 0, 64 · 10⁵ N/m² g = 10 m/s² Bestimmen Sie

a) die Geschwindigkeiten v₁, v₂, v₃,

b) die Dr ¨ucke p₁, p₂, p₃ und den Druck p ¨uber dem Wasserspiegel!

10

6.4

Druckbeh ¨alter mit D ¨use

h 1

2

3 p_B

h = konst.

scharfkantiger Austritt z

gut gerundeter Einlass

Venturid ¨use

11

6.4

Erhaltung der Gesamtenergie entlang einer Stromlinie (qualitativ)

p

s p p

B

1 2

p₃= p r g h

1/2 r v₁²

1/2 r v₂²

1/2 r v₃²

Bernoulli: p₀ = p_B + ρgh = p_i + 1

2ρv_i²

12

6.4

Kontinuit ¨at (Massenbilanz): m˙ = ρV˙ = konst.

ρ = konst =⇒ v₁A₁ = v₂A₂ = v₃A₃ =⇒ A ↓ =⇒ v ↑ =⇒ p ↓ a) gemessen ∆p = p₁ − p₂ Bernoulli: p₁ + ^ρ₂v₁² = p₂ + ^ρ₂v₂²

=⇒ ∆p = p₁ − p₂ = ρ

2(v₂² − v₁²) > 0 v₁ = v₂A₂

A₁ → ∆p = ρ 2

"

1 − A²₂ A²₁

#

v₂² −→ v₂ =

vu uu t

2 ρ

∆p

1 −

A₂ A₁

₂ = 12m s

v₁ = v₂A₂

A₁ = 4m

s v₃ = v₂A₂

A₃ = 6m s

13

6.4

Die Venturid ¨use dient zur Massen- und Volumenstrommessung!

V˙ = vA = v₂A₂ Prinzip:

• Messung von ∆p

• Berechnung von v₂

• Berechnung von Massen- und Volumenstrom

14

6.4

b) Berechnung der Dr ¨ucke p_B, p₁, . . . , p₃

p₀ stellt die Energie dar, die in kinetische Energie umgewandelt wer- den kann.

p₀ = p_B + ρgh = p₁ + ρ

2v₁² = p₂ + ρ

2v₂² = p₃ + ρ 2v₃²

Wenn ein Druck bekannt ist, k ¨onnen die anderen mithilfe der Bernoulli- Gleichung berechnet werden.

p₃ im Austrittsquerschnitt

Annahme: parallele Stromlinien am scharfkantigen Austritt

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000

111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000

111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

15

Bewegungsgleichung f ¨ur ein Element

x z

p(x+dx)dA dx

g

p(x)dA

Bewegungsgleichung in x-Richtung f ¨ur ein mitbewegtes Kontrollvo- lumen dA · dx (enth ¨alt immer die gleichen Partikel)

16

Bewegungsgleichung f ¨ur ein Element

m^du_dt = ¨x · ρdAdx = p(x)dA − p(x + dx)dA

−→ xρdAdx¨ = p(x)dA −

p + _∂x^∂pdx

dA −→ ρx¨ = −_∂x^∂p Annahme: parallele Stromlinien

−→ x˙ = 0 Geschwindigkeit u = ^dx_dt = ˙x

−→ notwendige Bedingung: x¨ = 0 −→ _∂x^∂p = 0

=⇒ der Druck im Austrittsquerschnitt ist eine Funktion von y,

gem ¨aß ^dp_dy = −ρg. Im Allgemeinen wird die pot. Energiedifferenz

¨uber die Freistrahlh ¨ohe allerdings vernachl ¨assigt, so dass gilt:

p_Austritt = p_{U mgebung} = konst.

17

6.4

weiter mit b)

Bernoulli: 0 −→ 3 mit p₃ = p_a

p_B + ρgh = p_a + ¹₂ρv₃²

−→ v₃ = q

ρ2 (p_B − p_a + ρgh)

Spezialfall: offener Beh ¨alter p_B = p_a

−→ v₃ = p

2gh 6= f(A₃) Theorem von Torricelli*

*(15.Okt. 1608 - 25.Okt. 1647)

18

Mittwoch, 11. Mai 2016 15:30

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Theoretischer Volumenstrom

A A

r = const.

1

v

v

D h ~ D p Verengung

Theoretischer Volumenstrom: V˙_th f ¨ur reibungsfreie Str ¨omung 1. Bernoulli: p₁ + ρ

2v₁² = p₂ + ρ 2v₂² 2. Kontinuit ¨at: v₁A₁ = v₂A₂

1

Theoretischer Volumenstrom

Verh ¨altnis der Querschnitte: m = A₂

A₁ : −→ Konti v₁ = v₂m

−→ Bernoulli: p₁

ρ + 1

2v₂²m² = p₂

ρ + 1 2v₂²

−→ v₂²

1 − m²

= 2p₁ − p₂

ρ = 2∆p ρ

−→ v₂ =

s 2∆p

ρ(1 − m²)

−→ V˙_th = A₂

s 2∆p ρ(1 − m²)

2

Strahlkontraktion

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000

111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000

111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

A = A_S = const.

A ≥ A_S 6= const.

ψ = A_S

A ; ψ = 0, 5 ≤ 1

-

-- --

? 6

6

?

A

A_s

p p

@@

@@

@@

@@

3

Druckverluste - Durchflusszahl

In der Realit ¨at entstehen Verluste durch Dissipation, Wirbel, . . .

−→ Die Reibung muss ber ¨ucksichtigt werden.

Die Verluste und die Kontraktion werden in der Durchflusszahl α zusammengefasst.

Wirbel, Dissipation, . . .

V˙_real = αA₂ s

2∆p ρ

α aus Experimenten

(α = f (Form, m, A₂, v₂, ρ, η))

4

Druckverluste - Allgemein

• durch Rohrreibung (Durchmesser D, L ¨ange L):

∆p_v,R = λ_D^L · ¹₂ρv²

• in Einbauten (Kr ¨ummer, Verengung, . . .):

∆p_v,E = ζ · ¹₂ρv² Beiwerte:

Rohrreibungsbeiwert: λ = ∆p_v,R

12ρv² · D

L = Druckverlust

dynamischer Druck · D L Verlustbeiwert: ζ = ∆p_v,E

12ρv² = Druckverlust

dynamischer Druck

5

Erweiterter Bernoulli Allgemein 1 - 2 :

p_s1 + ̺

2v₁² + ̺gh₁ + e_A = p_s2 + ̺

2v₂² + ̺gh₂ + e_V e_A: Energiezufuhr (Vz: +); Energieabfuhr (Vz: -);

z.B.:

Energiezufuhr: e_A = ̺

2ω²r² Energieabfuhr: e_A = −̺

Z ₁

0

∂u

∂t ds e_V : Verluste (e_V ≥ 0); e_V = P

∆p_v

6

Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli

rho

h(t) v

A

A

v 0

1

0

1

1 0

Annahme:

A₁

A₀ ≪ 1 −→ v₀ ≪ v₁ v₀ ist vernachl ¨assigbar

aber h = h(t) und v₁ = v₁(t)

unstetiger Bernoulli von “0” nach “1”

p_a + ρ

2v₀²(t) + ρgh(t) = p_a + ρ

2v₁²(t) + Z1

0

ρ∂v

∂tds Annahme v₁(t) = p

2gh(t)

Kontinuit ¨atsgleichung: v₁(t)A₁ = −dh dt A₀

−→ Differentialgleichung f ¨ur h(t)

7

Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli

L D

v (t)

s

“gut gerundeter” Einlass 1

Annahme:

s < − D

√8 : radiale Str ¨omung mit V˙ = v · 2πs²

s ≥ − D

√8 : v = v₁

8

Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli

Potentialstr ¨omung ohne Verluste −→ Bernoulligleichung ZL

−∞

∂v

∂tds =

−D/√

Z 8

−∞

∂v(s)

∂t ds +

ZL

−D/√ 8

∂v₁

∂t ds

=

−D/√

R 8

−∞

∂t∂

v₁π^D₄² 2πs²

!

ds +

RL

−D/√ 8

∂v₁

∂t ds

= dv₁(t) dt

−D/√

Z 8

−∞

D²

8s²ds + dv₁(t) dt

ZL

−D/√ 8

ds

9

Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli

=

D

√8 + L + D

√8

· dv₁(t) dt =

D

√2 + L

dv₁(t)

| {z dt } gut gerundeter Einlass wenn L ≫ D −→

ZL

−∞

∂v

∂tds = L · dv₁(t) dt

10

Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank

00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000

11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111 11111111111111111

s z

h

g

h

L

D A

L

0 1

2 3

4

1 1

L = 20m ≫ D, L₁ = 5m h = 5m

ρ = 10^{3 kg}

m³, g = 10^m

s²

a) Zu welchem Zeitpunkt nach dem ¨Offnen des Ventils erreicht die Str ¨omung 99 % ihrer Endgeschwindigkeit?

b) Um wieviel unterscheidet sich dann der Druck im Punkt “A” von seinem Endwert?

11

Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank

a) Bernoulli 0 → 4: p_a + ρg(h + s) = p_a + ρgs + ρ

2v₄² + ρ

s₄

Z

s₀

∂v

∂tds

gut gerundeter Einlass:

s₄

Z

s₀

∂v

∂tds = Ldv₄ dt

−→ ρgh = ρ

2v₄² + Lρdv₄

dt −→

Z _T

0

dt =

0.99v_e

Z

0

L dv₄ gh − ^v₂⁴²

12

Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank Integration

T = 2L

0.99√

Z 2gh

0

dv₄ 2gh − v₄²

= L

√2gh ln

√2gh + v₄

√2gh − v₄

0.99√ 2gh 0

= 10.6 s

13

Beispiel (Forts.)

Die beschleunigte Str ¨omung ist abh ¨angig von L, aber v₄(t → ∞) ist unabh ¨angig von L.

b)

p_a = p_A + ρgh₁ + ρ

2v₄² + ρL₁dv₄ dt t → ∞ : p_a = p_A,∞ + ρgh₁ + ρ

2 2gh aus a) dv₄

dt = 1

L gh − v₄² 2

!

=⇒ p_A − p_A,∞ = ρgh

1 − 0.99² 1 − L₁ L

= 746 N m²

14

Beispiel: beweglicher Kolben

D L

s g

1

P

pa

h

In einem Rohr bewegt sich ein Kolben sinusf ¨ormig: s = s₀ · sin ωt p_a = 1 bar L = 10 m ≫ D h = 2 m g = 10 ^m

s²

s₀ = 0.1 m ρ = 10^{3 kg}

m³ p_D = 2500 ^N

m²

Bei welcher Winkelgeschwindigkeit ω wird am Kolbenboden der Dampf- druck p_D erreicht?

15

Beispiel: beweglicher Kolben

p_a = p_P + ρgh + ρ

2v_P² + ρ

s_P

Z

s₁

∂v

∂t ds

s₀ ≪ L −→

s_P

Z

s₁

∂v

∂tds = Ldv_P dt p_P = p_a − ρgh + ρs₀ω²

L sin ωt − s₀

2 cos ²ωt p_P,min = p_D

16

Beispiel: beweglicher Kolben

p_D = p_P,min beicos ωt = 0 −→ dp_P

dt = 0

=⇒ ω =

sp_a − p_D − ρgh

ρs₀L = 8.8 s⁻¹

17

6.6

Die Klappe am Ende der Ausstr ¨omleitung (konstante Breite B) eines großen Beh ¨alters wird pl ¨otzlich ge ¨offnet. Es stellt sich eine verlust- freie Str ¨omung ein.

Gegeben: H, h₁, h₂, g, L ; L >> h₁

18

6.6

Bestimmen Sie

a) die Differentialgleichung f ¨ur die Ausstr ¨omgeschwindigkeit v₃ b) - die lokale Beschleunigung

- die konvektive Beschleunigung - die substantielle Beschleunigung

an der Stelle x = ^L₂ zu dem Zeitpunkt, an dem die Ausstr ¨omge- schwindigkeit die H ¨alfte des station ¨aren Endwertes erreicht hat!

Hinweis: Zur L ¨osung der Aufgabe ist die Berechnung von v(t) nicht erforderlich.

19

6.6

Bernoulli von ”0” nach ”3”

p_a + ρ g H = p₃ + ρ

2 v₃² + Z3

0

ρ ∂v

∂t ds , p₃ = p_a Aufspaltung des Integrals

Z1

0

ρ ∂v

∂t ds ≈ 0(h₁ << L) Z2

1

ρ ∂v

∂t ds , v = v₂h₂

h , h = h₁ + h₂ − h₁

L x

20

6.6

⇒ ρ dv₂ dt

Z2

1

h₂

h₁ + h₂ − h₁

L x

dx = ρ dv₂ dt

h₂ L

h₂ − h₁ ln h₂

h₁ = ρ dv₂ dt L

ρ Z3

2

∂v

∂t ds = ρ L dv₂ dt in Bernoulli einsetzen

p_a + ρ g H = p_a + ^ρ₂ v₃² + ρ ^dv_dt³ (L + L)

dv₃

dt = ¹

L + L

g H − ^v₂³²

t → ∞ : g H − ¹₂ v_3e² = 0 =⇒ v_3e = √

2 g H

21

6.6

lokale Beschleunigung:

b_l = ∂v

∂t = dv₃ dt

h₂

h , b_{l (v}

3=¹₂ v_3e, x=^L₂) = 1

L + L g H 3 4

2 h₂ h₁ + h₂ konvektive Beschleunigung:

v = v₂^h_h^{2 ∂v}_∂x = −v₂h₂ ¹

h² dhdx

b_k = v _∂x^∂v = − v₃^{2 h22}

h³

dhdx , ^dh_dx = ^h2−_L^h1 b_k(v

3=¹₂ v_3e, x=^L₂) = 4 ^{g H}_L ^{h22 (h1−h2)}

(h₁+h₂)³

22

6.6

substantielle Beschleunigung:

b_s = b_l + b_k = 3 2

g H L + L

h₂

h₁ + h₂ + 4 g H L

h²₂ (h₁ − h₂) (h₁ + h₂)³

23

Mittwoch, 1. Juni 2016 14:34

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