Patrik Rohner, 10. Dez. 08 Christian Forster, 5. Dez. 07 rohnerpa@student.ethz.ch cforster@student.ethz.ch

THERMODYNAMIK 1

Patrik Rohner, 10. Dez. 08 Christian Forster, 5. Dez. 07 rohnerpa@student.ethz.ch cforster@student.ethz.ch

THERMODYNAMIK 1

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KONZEPTE UND DEFINITIONEN KONSTANT EN

- Avogadro-Zahl N _A =6.022∙ 10 ²⁶ 1

kmol

- Bolzmannkonstante k _B =1.38 ∙10 ⁻²³ J K

- Gaskonstante

R=R ´ ₀ =8.314 kJ

kmol K = N _A ∙ k _B

- Normdruck

p ₀ =101325 Pa=1.01325 ¯ ¿

- Normalfallbeschleunigung g ₀ = 9.81 m s ⁻²

- Normtemperatur T ₀ =298 K ≅ 25 °C

- Tripelpunkt Wasser T _c =273.16 K =0.01 °C

EIN HEITEN

- Molmasse M : [ ^{kmol kg} ]

N = m

M ∙ N _A = n∙ N _A

- Druck p: [ ^{m N 2} ] ^{= [ Pa ] 1 ¯ ¿ 10 5 Pa}

- Spezifisches Volumen v = V m = 1

ρ [ m ³ kg ] 1l =0.001 m ³

- Innere Energie

U : [ kJ ] , u: [ ^{kJ kg} ] ^{, ´ u: [ kmol kJ ]}

- Enthalpie

H : [ kJ ] , h: [ ^{kJ kg} ] ^{, ´ h :[ kmol kJ ]}

- Entropie

S : [ ^{kJ K} ] ^{, s :} [ ^{kgK kJ} ] ^{, ´ s :} [ ^{kmolK kJ} ]

- Gaskonstante

R : [ ^{kgK J} ] ^{= R ∙1000 ´ M , R :} [ ^{kgK kJ} ] ^{= M R ´}

- Kraf F : [ N ] =[ kg m

s ² ]

- Energie E : [ J ] =[ kg m ²

s ² ]

- Exergie Ex : [ J ] =[ kg m ²

s ² ]

- Leistung P: [ W ] =[ J

s ]=[ kg m ² s ³ ]

- Arbeit

W = ∫ ^{⃗ F ds=} ∫

V 1 V 2

p ( v ) dV [ Nm ] =[ J ]

- Kinetische Energie KE= 1

2 m w ²

- Potentielle Energie PE=mgz

W >0 Vom System geleistete Arbeit = abgeführte Arbeit

W <0 Am System geleistete Arbeit = zugeführte Arbeit

Q>0 Dem System zugeführte Wärme

Q<0 Vom System abgegebene Wärme SI-PRÄFIXE

P ^Peta- 10 ^{15 k Kilo-} 10 ^{3 m Milli-} 10 ⁻³

T ^Tera- ₁₀ ¹² h ^Hekto- ₁₀ ² μ ^Mikro- ₁₀ ⁻⁶

G ^Giga- 10 ^{9 d Dezi-} 10 ^{−1 n Nano-} 10 ⁻⁹

M ^Mega- ₁₀ ⁶ c ^Zenti- ₁₀ ⁻² p ^Pico- ₁₀ ⁻¹²

Zustandsgrössen Thermische

- Druck p - Temperatur T

- Volumen V - Masse m

- Stoffmenge n

Kalorische - Innere Energie U (T, (E pot ))

- Entropie S (T,p) - Enthalpie H (T,p) Prozessgrössen

- Wärme Q - Arbeit W

 Intensive Grössen: ändern ihre Werte bei der gedachten Teilung des (homogenen) Systems nicht (p,T)

 Extensive Grössen: Sind auf Masseneinheiten bezogen (m, V)

 Spezifische Grössen: x= X

m extensive Zustandsgrössen in intensive umgewandelt:

 Molare Grössen u ´ : U=n ∙ u= ´ m

M ∙ u ,u= ´ u ´

M Bezieht sich auf N _A Moleküle. Bsp: Molares Volumen

v ´ = M ρ [ m ³

kmol ]

THERMO DYN AMISCH ES SYSTEM

 Massenstrom-System

- geschlossenes System: Anz. im System enthaltene Moleküle konst.

- offenes System: Es fliessen Massenströme über die Syst. Grenze

 Wärmestromsystem

- adiabates Systeme: Keine thermische E über Syst. Grenze = isoliert

- diathermes Systeme: nicht isoliert

 physikalisch-chemisches System

- homogenes System: physikalische und chemische Zusammensetzung ist überall gleich.

- heterogenes System: Bsp: Mineralien

 ein nur chemisch homogenes System kann auch 2 Phasen beinhalten; das System [H 2 O (l) und H 2 O (g)] ist chemisch homogen aber phisikalisch heterogen

Nullter Hauptsatz: Wenn sich zwei Systeme mit einem dritten im Gleichgewicht befinden, sind sie auch untereinander im thermischen GG.

ELEMENTE DER KINETISCHEN GASTHEORIE

Perfektes Gas Ideales Gas Realgas

Innere Energie

U U= E _th U= E _th + E _{m , pot}

Therm. Energie

E _th E _th = ∑

i=1

N m _M

2 ∙ w _i ²

Temperatur

T T = 1

3 E _th

N T = 1

f E _th

N N= m

M ∙ N _A n= m

M ∙ N _A ∙ 1 V ρ= m

V v = V

m

2Phasenraum Isotherme

 Thermische Energie Bewegung aller Moleküle (Translation, Rotation, Oszillation) ergibt eine endliche Menge von kinetischer E = E th

E _th = ∑

i=1

N m _M

2 ∙ w _i ² , E ´ _th = E _th N = m _M

2 ∙ w ´ _i ² , e _th = E _th N ∙ m M

= w ´ _i ²

2

 Wärme Q Über Systemgrenze transportierte thermische Energie.

 Abs. Temperatur Die Temperatur ist gleich der thermischen Energie dividiert durch die Anz. Freiheitsgrade.

E _th = N ∙ f

2 k _b ∙ T , E ´ _th = f

2 k _b ∙ T , e _th = f 2

k _b ∙ T m _M k _b beschreibt die Umrechnung der Temp. als Energie in J nach Kelvin.

 Innere Energie bei perfekten Gasen △ U = △ E _th u= 3

2 RT

 Innere Energie bei idealen Gasen △ U = △ E _th u= f

2 RT f : Anz. Freiheitsgrade. Daraus folgt :

c _v = f

2 R und c _p = ( ^f 2 + 1 ) ^{R c p − c v =R}

gilt weiterhin (auch bei realen Gasen)

Einatomig: f=3 Bsp: He (Translation in 3 Richtungen) Zweiatomig: f=5 Bsp: O 2 , N 2 (Translation und Rotation) Dreiatomig: f=5 Bsp: CO 2 (Translation und Rotation) Dreiatomig: f=12 Bsp: CO 2 (ab 1800K auch Oszillation)

 Innere Energie bei realen Gasen

△ U =△ E _th + △ E _pot

 Druck Krafwirkung der Moleküle bezogen auf eine Flächeneinheit.

p ₀ = 1

3 ∙ m∙ n ∙ w ₀ ² , p=n ∙ k _B ∙ T , p ∝T , n

 Enthalpie bei perfekten Gasen h= u+ pv = 5 2 RT

 Enthalpie bei idealen Gasen h= u+ pv =( f

2 + 1) RT

 Enthalpie bei realen Gasen ist in Tabellen nachzuschlagen 1. HAUPTSATZ: ENERGIE EINES SYSTEMS

Energie im System: E= KE + PE +U bleibt konstant.

U ist die innere Energie und umfasst Wärme-, Elektrische-, Bindungs-E, …

ΔE =Q −W=Q − ∫ ^{pdV =∆ KE +∆ PE+ ∆ U}

mit ∆ KE ^und ∆ PE vernachlässigt:

△U =Q−W =Q− ∫ ^pdV

DER ERST E HAUPT SATZ AL S LEISTUNGSB IL ANZ

dE

dt = ´ Q− ´ W dU

dt =mc dT dt U ( ^T 2 ) ^−U ( ^T 1 ) ^=m ∫

T 1 T 2

c (T ) dT

EN ERGIEANALYS E VON K REIS PROZESS EN

Q _KP =W _KP △ U =0

DIE P-V-T-BEZIEHUNG

Dampfmassenteil:

x= v _x −v _f v g −v f

= m _x −m _f

m g −m f ⋯ TR ∷ xvap ( v , v _f , v _g )

2-Phasenraum: v ( x , T )=x ∙ v _g ( T )+(1−x) ∙ v _f (T )

Linear Interpolieren: y= y ₂ − y ₁

x 2 − x 1 ( ^{x− x} 1 ) ^{+ y} 1

TR ∷ ipl ( ^x 1 , x , x ₂ , y ₁ , y ₂ )

DIE IDEALE GAS GL EICHUNG

pv= RT pV =mRT pV =n R T ´ p= ρRT ρ= 1

v R= R ´

M U =U (T ) c _p − c _v = R

IDEALE GASE: POLYTROPE ZUSTANDSÄNDERUNGEN

p∙ V ⁿ = konst T ₂ T ₁ =( p ₂

p ₁ )

n−1 n =( V ₁

V ₂ )

n−1

W = ∫

V 1 V 2

p (V )dV

n: Polytropenkoeffizient

Für ideale Gase gilt: u ( T ) , h(T )

Folgende Formeln gelten nur für ideale Gase

n= 1 ISOTH ERMER PROZES S

T =const .→ p∙ V = const .

W ₁₂ = p ₁ V ₁ ⋅ ln ( ^{V V 2} 1 ) ^{=mRT ⋅ ln} ( ^{V V 2} 1 )

W ₁₂ = p ₁ V ₁ ⋅ ln ( ^{p p 1} 2 ) ^{=mRT ⋅ ln} ( ^{p p 1} 2 )

W ₁₂ = p ₂ V ₂ ⋅ ln ( ^{V V 2} 1 ) ^{= p 2 V 2 ⋅ ln} ( ^{p p 1} 2 )

∆ U =0 ⟹Q ₁₂ =W ₁₂ n= 0 ISOBARER PROZESS

p= const . →T / V = const .

W ₁₂ = p ₁ ( ^V 2 −V ₁ )

W ₁₂ =m p ₁ ( ^v 2 −v ₁ ) ^=mR ( ^T 2 −T ₁ )

T ₁ V ₁ = T ₂

V ₂

∆ Q= ∆ H=m ∙ c _p ∙ ∆ T

p T

n= ∞ ISO CHO RER PROZES S

V =const . →T / p= const . W ₁₂ =0 T ₁

p ₁ = T ₂ p ₂

∆ U =Q ₁₂ →Q ₁₂ = m(u ₂ −u ₁ ) Q 12 =m∙ c V ∙(T 2 −T 1 )

ISEN TH AL PER PROZESS

H = const . →U + p ∙ V =const .

∆ H= 0→ H ₁ = H ₂

dH = d (U + pV )=dU +d ( pV )=m c _V dT + mRdT =m c _p dT dH = 0=mc _p dT → dT =0 ⇛ im idealen Gas auf der

Isothermen!

n= κ ISENTROPER PROZESS

S= const . → p ∙ V ^κ = const .

Isentrop = adiabatisch und reversibel

n= κ= c _p c _v Q ₁₂ =0

p∙ V ^κ =const . T ∙ V ^κ−1 =const . p ^1−κ ∙T ^κ = const .

∆ U =−W ₁₂ → W ₁₂ =U ₁ −U ₂ u m∙ (¿¿ 1−u ₂ )

W ₁₂ =¿

W 12 =m ∙c V ∙(T 1 −T 2 ) W ₁₂ = m∙ R

κ−1 ∙(T ₁ −T ₂ ) W ₁₂ = p 1 V 1 κ

1−κ ∙ [ ^V 2

1−κ −V ₁ ^1−κ ]

W ₁₂ = p ₁ V ₁

1− κ ∙ [ ^{( p p 1 2 ) 1−κ κ −1} ]

n ≠ 1 AL LGEMEINER PROZESS

p∙ V ⁿ = const .

p∙ V ⁿ = const . T ⁿ ∙ p ¹⁻ⁿ =const . T ∙ v ⁿ⁻¹ = const . W ₁₂ = R ∙ m

1−n (T ₂ −T ₁ ) W ₁₂ = p ₂ V ₂ − p ₁ V ₁

1−n W ₁₂ = p ₁ V ₁ ⁿ

1−n ( ^V 2

1−n −V ₁ ¹⁻ⁿ )

REALE GASE: POLYTROPE ZUSTANDSÄNDERUNGEN Allgemein:

ΔU =m (u ₂ −u ₁ )=m( c _v2 T ₂ −u c _v1 T ₁ )

Isotherm: ΔU =Q−W ⟺ W =Q− ΔU

Isobar:

W ₁₂ = p ₁ ( ^V 2 −V ₁ ) ^{= m p} 1 (v ₂ −v ₁ )

Isochor: W ₁₂ =0

Isentrop/adiabat: ΔQ =0

THERMODYNAMISCHE ZUSTANDSDATEN

Enthalpie (Wärmefunktion)

H=U + pV h= H

m =u + pv

pV ist die Arbeit die nötig ist um das Volumen V des Systems gegen die Wirkung des Aussendrucks p aufzuspannen.

Verdampfungsenthalpie h _fg =h _g −h _f

Energie die nötig ist um ein Fluid unter konst. Druck und Temp gasförmig zu machen.

Wärmemenge △ Q=m∙ c ∙ △ T

Spezifische Wärmekapazität c Energie die nötig ist um 1kg der Masse um 1K zu erwärmen. Man unterscheidet zwischen c _v und c _p :

 Wärmezufuhr bei konstantem Volumen (isochore Wärmekap.)

c _v =( ∂U

∂ T )

v

[ kJ

kg K ] (Verwenden in

Verbindung mit u)

du=( ∂ U

∂ T )

⏟ v c v

dT +¿

( ∂U

∂ v )

T

dv beidv =0

⇒ du=c _v dT

 Wärmekapazität bei konstantem Druck (isobare Wärmekap.)

c _p =( ∂ h

∂T )

p

[ kJ

kg K ] (Verwenden in

Verbindung mit h)

dh=( ∂ h

∂ T )

⏟ p c p

dT +¿

( ∂h

∂ p )

T

dp bei dp= 0

⇒ dh=c _p dT MATHEMATIS CHES

z ( x , y ) dt

→ dz= ( ∂ x ^{∂ z} ) _y ^{dx +} ( ∂ y ^{∂ z} ) _x ^dy ∂ y ^∂ [ ^{( ∂ x ∂ z ) y} ] ^{x = ∂ x ∂} [ ^{( ∂ y ∂ z ) x} ] ^y

Mit ( ^{∂ x} ∂ y ) _z ( ^{∂ y} ∂ x ) _z ^{=1 und} ( ^{∂ y} ∂ z ) _x ( ∂ x ^{∂ z} ) _y ( ^{∂ x} ∂ y ) _z ⁼⁻¹

MAX WELL‘SC HE GLEIC HUNGEN DER THERMODYN AMIK Aus 1. & 2. HS  du =T ∙ ds− p ∙ dv (1)

dh =T ∙ ds+ v ∙ dp (2)

Isobare gesättigter flüssiger Zustand

trocken gesättigter Dampf

1. HAUPTSATZ IN OFFENEN SYSTEMEN

Der Massenstrom über die Systemgrenze und die damit verbundenen Energieströme werden in die Energiebilanz mit einbezogen.

MAS SENSTROMBIL AN Z

d M _S

dt = ∑ ^{m ´ i=inlet −} ∑ ^{m ´ e=exit} stationärer Betrieb

⇒

∑ ^{m ´} i = ∑ ^{m ´} e

In Integralform:

⃗ w ∙d ⃗ A ρ(¿)=0 d

dt ( ^∫ V

ρdV ) ^{+ ∫} A

¿

In differentieller Form: ¿ ( p ∙ ⃗ w ) =0 → quellenfrei ENERGIEST RO M-BIL AN Z

Energiezunahme = Energiezunahme durch Wärme und Arbeit + Energie der Eintretenden Masse – Energie der austretenden Masse.

Die Arbeit wird dabei in zwei Komponenten zerlegt:

(1) Anteil der nicht mit Massenstrom über Systemgrenze verbunden ist. z.B. Bewegliche Kolben oder elektrische Flüsse → W _s

gewünschte Arbeit.

(2) Notwendige Arbeit zum Ein- und Ausschieben des bewegten Fluids.

Einschiebeleistung: W ´ _i = p _i A _i w _i Ausschiebeleistung:

W ´ e

h _i + w i 2

2 h _e + w _e ²

2 m ´ _e (¿ + g z _e ) m ´ _i (¿ + g z _i )− ∑ ^¿

d E _s

dt = ´ Q− ´ W _s + ∑ ^¿

- h=u+ pv Enthalpie; w ²

2 kinetische Energie; g z

potentielle Energie

-

△ E =△ U =m ₂ u ₂ −m ₁ u ₁ wenn KE , PE

vernachlässigt werden.

- stationär: d E _s

dt =0 , m ´ _i = ´ m _e ⟹

⟹ Q ´ − ´ W _s = ´ m∙ [ ^{h e −h i + 1 2 ∙ ( w e 2 −w i 2 ) + g ∙ ( z e − z i )} ]

- isoliert: Q=0 ´

- keine Arbeit: W ´ _s =0 (z.B. beim Wärmetauscher) - 3-d: m= ´ V ´

v =ρ V ´ beim idealen Gas:

m= ´ p V ´ RT

- 1-d: m= ´ V ´ v = Aw

v beim idealen Gas:

m= ´ pAw RT

DÜSE UN D DIF FUSO R

 Düse (Nozzle) Eine Düse ist eine Verengung in einer Strömung. Die Enthalpie des Fluids wird in kinetische Energie umgewandelt (Beschleunigung).

w ₂ > w ₁ p ₂ < p ₁ h ₂ < h ₁

Bsp. stationär ( E= ´ 0 ), isoliert ( Q=0 ´ ), Arbeit wird keine abgegeben ( W ´ _s =0 ), pot. Energie wird vernachlässigt.

h ₁ + w 1 2

2 =h ₂ + w 2 2

2 = const . Interpretation: w ↑ ^, h ↓ ^, u const . ^, p↓

 Diffusor (Diffuser) Ein Diffusor ist eine Erweiterung in einer Strömung.

Anwendungsbeispiel ist ein Überschallflugzeug, wo die Luf auf Geschwindigkeit unter M=1 abgebremst werden muss.

Umgekehrter Vorgang wie Düse:

w ₂ < w ₁ p ₂ > p ₁ h ₂ >h ₁

 Isentroper Düsenwirkungsgrad

η _{D, s} = w ₂ ²

w _{2, max} ² = h ₂ −h ₁ h _{2 , s} −h ₁

(falls adiabat) → tatsächliches h ₂

TURB INE

Gas durchströmt die Turbine und wird dabei von einem hohen Druckniveau auf ein tiefes entspannt. Dabei wird Arbeit geleistet.

Bsp E= ´ 0, E pot =0 ^→

0=− ´ W _S + ´ Q + ´ m ( ^{h 1 + w} 2 ^{1 2} ) ^{− ´ m} ( ^{h 2 + w} 2 ^{2 2} )

h _1,2 lassen sich aus Tabellen ablesen. 2. Zustand ev. im 2 Phasengebiet. Bei Krafwerken soll w ₂ möglichst klein sein, bei Jet – Turbinen soll der Rückstoss möglichst gross sein.

Isentroper Turbinenwirkungsgrad

h _{1−¿ h 2,s} η _{T ,s} = W ´

W ´ _rev = h ₁ −h ₂

¿

(falls adiabat)

KOMPRESS OR / PUMPE

 Kompressor: Durch aufwenden von Arbeit wird Druck des Fluids erhöht.

 Pumpe: Durch aufwenden von Arbeit wird ein Massenstrom erzeugt, bei möglichst geringem Druckanstieg.

- isentrop & inkompressibel: h _{2 , s} −h ₁ =v ∆ p

 Isentroper Kompressorwirkungsgrad Vergleich der isentrop minimal

aufzuwendenden Arbeit mit realer Arbeit:

h _{1−¿h 2,s} h ₁ −h ₂ η _{K , s} =

W ´ _rev W ´ =¿

WÄRMEÜBERTRAGER

↓ Ventouri – Düse für den Unterschallbereich

→ Laval – Düse für den Überschallbereich

(Mach-Zahl beim Austritt > 1)

Bei Durchströmung soll möglichst viel Wärme aufgenommen/abgegeben werden. Arbeit wird keine geleistet, W ´ _s =0 . Wärmetransport mit Umgebung meist vernachlässigbar, Q=0 ´ ^.

wenn ∆ KE ^und ∆ PE ≈ 0

⟹ 0= ´ m ₁ ( ^h 2 −h ₁ ) ^{+ ´ m} 3 ( ^h 4 −h ₃ )

DROS SEL EL EMEN TE (THROT TL IN G DEVICES) In der Drossel wird ein Fluid entspannt. Bsp.: Kompressions- wärmepumpen und –kältemaschinen

⟹ p ₂ < p ₁ W ₁₂ =0 Q ₁₂ =0 h ₁ = h ₂

ISEN TROPE ENT SPAN NUNG IN EIN ER TURB IN E 1

stationäres System, ohne Änderung der KE und PE, überhitztes Gebiet:

− ´ W s = ´ m∙ [ ^{h e − h i} ] ^{⟹ W ´ s = ´ m∙} [ ^{h i −h e} ] ^{⟹ W ´ s = ´ m∙} [ ^{h 1 −h 2} ]

Gegeben: m , p ´ ₁ , p ₂ , T ₁ , h ₁ , s ₁

Gesucht: T ₂ , h ₂ ⟹ W ´ _s

Vorgehen: - S= const .

- in Tabelle A-4 bei p ₂ , S ₂ ⇒ T ₂ , h ₂ finden - nun mit h ₁ , h ₂ ⟹ W ´ _s ^finden

ISEN TROPE ENT SPAN NUNG IN EIN ER TURB IN E 2

stationäres System, ohne Änderung der KE und PE, 2-Phasen Gebiet:

− ´ W _s = ´ m∙ [ ^h e − h _i ] ^{⟹ W ´} s = ´ m∙ [ ^h i −h _e ] ^{⟹ W ´} s = ´ m∙ [ ^h 1 −h ₂ ]

Gegeben: m , p ´ ₁ , p ₂ , T ₁ , h ₁ , s ₁

Gesucht: T ₂ , h ₂ ⟹ W ´ _s

Vorgehen: - in Tabelle A-3: nach s _f , s _g suchen.

- aus xvap ( s , s _f , s _g ) = x 2 berechnen. ⟹ h ₂ ,T ₂

- nun mit h ₁ , h ₂ ⟹ W ´ _s ^finden

ADIABATE IRREVERSIBLE ENTSPANNUNG TURBINE 1 Wie Bsp. isentrop, aber neu irreversibel mit η _{T ,s} =0,9

Vorgehen:

i. Punkt 2 S finden: Vorgehen wie wenn reversibel ⇒ T ₂ , h _{2 , S}

ii. ∆ h _rev =h _{2 ,S} −h ₁

iii.

h

η _{T ,s} (¿ ¿ 2, S−h 1 )

∆ h _irr =¿

iv. ∆ h _irr = h ₂ −h ₁

v. h ₂ = ∆ h _irr + h ₁

vi. h ₂ > h _{2, S}

vii. Mit h ₂ ,T ₂ ist der Zustand bekannt, aus der Tabelle können alle geforderten Werte herausgelesen werden.

viii. W ´ s , irr = ´ m∙ [ ^{h 1 − h 2} ] oder auch mit

W ´ _{s , irr} = ´ W _{s , rev} ∙ η _{T , s}

ix. im h-s Diagramm ersichtlich: h ₂ > h _{2, S} die Punkte 2 und 2 S

liegen beide auf p 2 .

ADIABAT E IRREVERS IBL E ENTS PANN UN G TURB IN E 2 Wie Bsp. isentrop, aber neu irreversibel mit η _{T ,s} =0,9

Vorgehen:

i. Punkt 2 S finden: Vorgehen wie wenn reversibel

⇒ x _2,S ⇒h _2,S , T ₂

ii. W ´ _{s , irr} = ´ W _{s , rev} ∙ η _{T , s}

iii. h ₂ = ∆ h _irr + h ₁

iv. Check h ₂ <, >h _{2 ,g}

v. Falls h ₂ >h _{2 , g} mit h ₂ ,T ₂ ⟹ alle Werte vi. Falls h ₂ <h _{2 , g} mit h ₂ ,T ₂ ⟹ x ₂

mit h ₂ , x ₂ ⟹ alle Werte

2. HAUPTSATZ DER THERMODYNAMIK Bedeutung:

- Wärme kann nicht von selbst (spontan) von einem Körper mit tieferer Temperatur auf einen Körper mit höherer Temperatur übertragen werden. (Clausius).

- Ein Kreisprozess kann zugeführe Wärme nicht zu 100% in Arbeit umwandeln. Es gibt immer Abwärme (Kelvin-Planck).

- Der Thermodynamische Teufel ist unfähig, er kann nur Arbeit in Wärme, aber nicht Wärme in Arbeit umwandeln.

REVERSIBLE UND IRREVERSIBLE PROZESSE

Reversibel d.h. umkehrbar, ist ein Prozess wenn der Ausgangszustand im System und der Umgebung wieder hergestellt werden kann. Die Arbeit um das System wieder in den Ausgangszustand zu bringen soll also ohne Verlust gespeichert werden. Abgeführe Temperatur müsste bei der gleichen Temperatur gespeichert werden. Praktisch nicht möglich.

Irreversibel d.h. unumkehrbar, sind Prozesse, wenn sie irreversible Teilprozesse enthalten z.B.:

- Wärmeübertragung - Reibung

- Expansion zu tieferem Druck, thermodynamischen Ungleichgewicht - Vermischung Stoffe unterschiedlicher

Temperaturen

- spontane chemische Reaktionen

REVERSIBLE VS. IRREVERS IBL E EX PANS IO N

| ^W rev | ^> | ^W irr |

∆ U _rev = ∆U _irr

| ^Q rev | ^> | ^Q irr |

Der Teufel bremst die Expansion;

es wird weniger Arbeit geleistet, es muss dafür aber auch weniger Wärme zugeführt werden.

Irreversibilität im p-v Diagramm nicht zu erkennen REVERSIBLE VS. IRREVERS IBL E KOMPRESS IO N

| ^W rev | ^< | ^W irr |

∆ U _rev = ∆U _irr

| ^Q rev | ^< | ^Q irr |

Der Teufel bremst die Kompression;

es muss mehr Arbeit geleistet

werden, mehr

Wärme wird frei.

Irreversibilität im p-v Diagramm nicht zu erkennen

REVERSIBLE VS. IRREVERS IBL E ADIABATISCH E EXPANS ION

| ^W rev | ^> | ^W irr |

| ^{∆ U} rev | ^> | ^{∆ U} irr |

| ^Q rev | ⁼ | ^Q irr | ^{= 0}

Der Teufel bremst die Expansion;

es wird weniger Arbeit geleistet, Wärme rückgeführt, Abnahme der inneren Energie geringer.

Irreversibilität im p-v Diagramm erkennbar.

p∙ V ^{η i ( κ −1 ) +1} = const . c _v ∙ ln ( T

T ₀ ) ⁺ η i ∙ R ∙ ln ( ^{v v} 0 ) ⁼⁰

s= c _v ∙ln ( T

T ₀ ) ⁺ R ln ( ^{v v} 0 ) ^{+ s 0}

∆ s= ( ^{1− η 1} i ) ^{c V ln T T} 0

DER CARNOT KREISPROZESS

Der Carnot Prozess ist ein idealisierter reversibler Kreisprozess. Er dient zur Definition der theoretisch maximalen umsetzbaren Wärmemenge in Arbeit

Die Abblidungen zeigen den Carnot-Wärme-Kraf-Prozess im p-V – Diagramm links und im T-S – Diagramm rechts. (1=C, 2=D, 3=A, 4=B)

1-2: Isotherm Komprimieren: W ₁₂ wird aufgewendet. Da isotherme Reaktion geht Wärme Q ab an kaltes Reservoir.

2-3: Adiabatisch Komprimieren: Arbeit wird hineingesteckt, die Temperatur steigt. Es findet kein Wärmeaustausch statt. Entropie konstant.

3-4: Isotherm Expandieren: Das System leistet Arbeit W 34 . Da isotherme Reaktion muss Wärme Q zu dazukommen

4-1: Adiabatisch Expandieren: Es wird Arbeit geleistet. Entropie konstant.

Beim idealen Gas: 1-2: Q=W, 2-3: Q=0,

3-4: Q=W, 4-1: Q=0

WÄRME-KRAF T-PROZES S

Carnot Prozess im Uhrzeigersinn. Der Prozess liefert Arbeit. Wärme aus dem heissen Reservoir und Abwärme an das kalte Reservoir.

1 → 2

W ₁₂ = p ₁ V ₁ ⋅ ln ( ^{V V 2} 1 )

Q ₁₂ = p ₁ V ₁ ⋅ ln ( ^{V V 2} 1 )

2 → 3 W ₂₃ =m ∙ (u ₂ −u ₃ ) Q ₂₃ =0

3 → 4 W ₃₄ = p ₃ V ₃ ⋅ ln ( ^{V V 4} 3 )

Q ₃₄ = p ₃ V ₃ ⋅ ln ( ^{V V 4} 3 )

4 → 1 W ₄₁ = m∙(u ₄ −u ₁ ) Q ₄₁ =0

↑ Das linke Bild zeigt den Wärme-Kraf – Prozess im UZS, die Differenz aus

Q _H und Q _C ist gerade die geleistete Arbeit.

↗ Das rechte Bild zeigt den Wärme-Kraf – Prozess links und den Kältemaschinen – Prozess rechts. Links wird “die Wärme in Arbeit umgewandelt“; rechts wird “die Arbeit in Kälte umgewandelt“.

K ÄLTEMASCH IN EN- UND WÄRMEPUMPEN PROZESS

Carnot Prozess im Gegenuhrzeigersinn. Es muss Arbeit hineingesteckt werden um Wärme aus dem kalten Reservoir an das Heisse abzugeben.

−W _KP =Q _zu −Q _ab (−W ) weil am System geleistete Arbeit.

1 → 2 W 12 =m ∙(u 1 −u 2 ) Q ₁₂ =0

2 → 3

W ₂₃ = p ₂ V ₂ ⋅ ln ( ^{V V 3} 2 )

Q ₂₃ = p ₂ V ₂ ⋅ln ( ^{V V 3} 2 )

3 → 4 W 34 = m∙(u 3 −u 4 ) Q ₃₄ =0

4 → 1 W ₄₁ = p ₄ V ₄ ⋅ ln ( ^{V V 1} 4 )

Q ₄₁ = p ₄ V ₄ ⋅ ln ( ^{V V 1} 4 )

 Kältemaschine Nutzen ist dem kalten Reservoir abgeführte Wärme:

Leistungsziffer ε _k = Q _ab

−W _S = Q _C

−W _S = Q _C Q _H −Q _C

wenn reversibel ε _k =ε _{k ,max} = T _C T H −T C

 Wärmepumpe Nutzen ist dem warmen Reservoir zugeführe Wärme:

Leistungsziffer ε _w = Q _zu

−W _S = Q _H

−W _S = Q _H Q _H −Q _C

wenn reversibel ε _w =ε _{w, max} =1+ T _C T H −T C

=1+ ε _k

DER THERMISCHE WIRKUNGSGRAD ALLGEMEIN

Der thermische Wirkungsgrad ist das Verhältnis zwischen Nutzen, meist mechanische Arbeit, und aufgewendeter Energie, meist Wärme.

η _th = Nuzten

Aufwand = W _nutz Q _zu

Für Kreisprozesse: Q _KP =W _KP , △U =0

⟹ η _th = W _nutz Q zu

= Q _zu −Q _ab Q zu

=1− Q _ab Q zu

=1− Q _C Q H Einige Wirkungsgrade realer Kreisprozesse

Kombikrafwerk 50-60% Windkrafwerk Bis 50% Elektromotor 20-99%

Leichtwassereakto

r 30-40% Brennstoffzelle 20-70% Glühlampe 3-5%

Solarzelle 5-25% Dieselmotor Bis 45% LED 5-25%

Kohlekrafwerk 25-50% Ottomotor Bis 37% Lautsprecher 0.3%

Wasserkrafwerk 80-95% Turbinentriebwerk 40%

WIRKUNGS GRAD DES CARN OT PROZESS ES

Wäre T _C /T _H gerade null, so wäre der Wirkungsgrad gerade 1.

Aber aus dem 2. Hauptsatz folgt, dass zwingend ein Teil der zugeführen Wärmemenge an das kalte Reservoir abgegeben werden muss:

η _c <1 .

Der Carnot Wirkungsgrad ist der höchst mögliche Umwandlungsgrad von Q in W. Er geht mit mit steigender Temperatur T _H → ∞ oder mit

T _C =0 gegen 1. (

T _H =1500 K , T _C = T ₀ → η _c ≈ 0.75 )

η _c = Nutzen Aufwand = W

Q =1− Q _ab

Q _zu =1− T _C T _H Q _C

Q _H = T _C

T _H (reversibel)

Der thermische Wirkungsgrad eines irreversiblen Wärmekraftprozesses ist immer geringer als derjenige eines reversiblen.

WIRKUN GS GRAD ISEN TROPE PROZES SE

reversibel – keine Dissipation – kein Wärmetransport – adiabat Isentroper Düsenwirkungsgrad

η _{D, s} = w ₂ ²

w _{2, max} ² = h ₂ −h ₁ h _{2 , s} −h ₁

Isentroper Turbinenwirkungsgrad

h _{1−¿h 2,s} η _{T ,s} = W ´

W ´ _rev = h ₁ −h ₂

¿

Isentroper

Kompressorwirkungsgrad

h _{1−¿ h 2,s} h ₁ − h ₂ η _{K , s} =

W ´ _rev W ´ =¿

inkompressibel , T=const  p ₂ − p ₁

△ h=h ₂ − h ₁ = v ¿ ⁾

ENTROPIE

Die Entropie S ist ein Mass für die Unordnung im System.

S _y = S _x + ∫

x y d Q _rev

T _G

[ ^{kJ K} ]

Ein Prozess wird spontan immer in der Richtung ablaufen, dass die Entropie zunimmt. Die Entropie ist ein Mass für die Irreversibilität.

isentrop d.h. d s=0 ist ein Prozess, wenn kein Wärmeaustausch stattfindet (adiabat) und der Prozess reversibel ist.

- überhitzter Dampf s ( T , p )

- gesättigter Zustand T ↔ p s ( T ) bzw . s ( p)

- Nassdampfgebiet s ( x , T )

- unterkühlte Flüssigkeit s (T , p)≈ s(T )

inkmprssibel T-S – DIAGRAMM Im Nassdampfgebiet gilt:

s= x ∙ s _g + (1− x ) ∙ s _f

Im Gebiet der unterkühlten Flüssigkeit gilt:

s ( T , p )= s(T )

Im grau schattierten Bereich gilt:

h(T , p) ≈ h(T )

Dort sind die Molekülabstände gross, die Drücke daher klein und zu vernachlässigen, womit die Enthalpie nur noch eine Funktion der Temperatur sind.

H -S – DIAGRAMM AK A MOLL IER - DIAGRAMM

Position des kritischen Punktes beachten !

Im Nassdampfgebiet gilt: h= x ∙ h g +(1− x )∙ h f Im grau schattierten Bereich verlaufen die Isothermen horizontal, somit ist die Temperatur dort nicht mehr von der Entropie abhängig, sondern alleine von der Enthalpie.

TdS GL EICH UN GEN

Die TdS Gleichungen stellen Beziehungen der verschiedenen Grössen der Thermodynamik her. Auch 1. Hauptsatz in Differentialen:

T ∙ dS =dU + pdV T ∙ dS =dH −Vdp T ∙ ds=du+ pdv T ∙ ds=dh− vdp T ∙ d ´ s=d u+ ´ pd ´ v T ∙ d ´ s=d h−´ ´ v dp

Gilt für reversible und irreversible Prozesse.

Bei Verdampfung/Kondensation gilt:

p= const . ⟹T ∙ds= dh Aus der Integration (T=const.) folgt T ∙ ( ^s g −s _f ) ^=(h g −h _f )

CLAUSIUS UNGLEICHUNG Entropiezuwachs: △ S= △ Q

T _G =S ₂ − S ₁ Clausius: ∮ ^δQ _T

G

= Q _H T H

− Q _C T C

≤ 0

für Carnot-Prozess:

∮ ^δQ _T

G

= Q _H T _H − Q _C

T _C = △ S _zu − △ S _ab =0

∮ ^δQ _T : Umlaufintegral über Kreisprozess. Q: zugeführte Wärmemenge.

T: absolute Temperatur an Systemgrenze wo Wärme übertragen wird, d.h. Temperatur des Reservoirs, gegen das gearbeitet wird.

ENTROPIEÄNDERUN G IDEAL ER GAS E

 Allgemein:

Air (A-22):

s ( T ₂ , p ₂ ) ⁻ s ( T ₁ , p ₁ ) ⁼ s ⁰ ( T ₂ ) ⁻ s ⁰ ( T ₁ ) −R ∙ ln ⁡ ( p ₂ p ₁ )

else (A-23ff):

´ s ( ^T 2 , p ₂ ) ^{−´ s} ( ^T 1 , p ₁ ) ^{=´ s 0} ( ^T 2 ) ^{−´ s 0} ( ^T 1 ) ^{− ´ R ∙ ln ⁡ ( p 2}

p 1

)

s ⁰ für einen Referenzdruck, R ln ( ^{p p 2} 1 ) ist dann der Druckkorrekturterm

 c= const . ⟹ s ⁰ (T , p)=c _p (T ) ∙ ln ( ^{T T} 0 )

(T,p): s ₂ − s ₁ = c _p ∙ ln ( ^{T T 2} 1 ) ^{− R ∙ ln} ( ^{p p 2} 1 )

(T,v): s ₂ − s ₁ = c _v ∙ ln ( ^{T T 2} 1 ) ^{− R ∙ ln} ( ^{v v 2} 1 )

 Isothremer Prozess:

s ⁰ ( T ₂ ) −s ⁰ ( T ₁ ) =0 yields

→ s ₂ −s ₁ = R∙ ln ⁡ ( p ₂ p ₁ )

IS ENT ROPER PROZESS BEIM IDEAL EN GAS

s ₂ −s ₁ = 0 mit

κ= c _p

c _v , c _p =c _v + R → c _p = R ∙ κ

κ−1 , c _v = R ∙ 1 κ−1

⟹ T 2

T ₁ = ( ^{p p 2} 1 ) ^{κ−1 κ =} ( ^{v v 2} 1 ) ^{1−κ und p p 2} 1

= ( ^{v v 1} 2 ) ^κ (siehe auch p .2)

EN TROPIEÄN DERUN G INKOMPRES SIBL ER STOF FE

 v =const . ⟹ s ₂ − s ₁ = ∫

T 1

T ₂

c (T ) T dt

 v , c=const . ⟹ c _p = c _v =c ⟹

s ₂ − s ₁ = c ln ( ^{T T 2} 1 )

ENTROPIEBILANZ FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME

S _erz = S ₂ −S ₁ − ∑ _T ^Q

G [ kJ / kgK ]

S ´ _erz = ´ S− ∑ _T ^{Q ´}

G

[ kW / kgK ]

 stationärer Prozess: △ S =S ₂ − S ₁ = 0

 Kreisprozess Zustand ist am Ende wieder der selbe

S _{erz , KP} =− ∑ _T ^Q

G

 reversibler Prozess: S _erz =0 dS= dQ T _G T _G : Temp. an Grenze der Wärmeübertragung

 Entropie Produktion S _erz bei nicht reversiblen Prozessen.

S _erz ist keine Zustandsgrösse! Im realen Kreisprozess wird Entropie erzeugt, die Entropie S hat jedoch nach jedem Zyklus wieder den selben Wert.

ENTROPIEBILANZ FÜR OFFENE SYSTEME

S ´ ⏟ _erz

1

=´ S ⏟

2

− ∑ _T ^{Q ´}

⏟ G 3

+ ∑ ⏟ ^{m ´ e s e}

4

− ∑ ⏟ ^{m ´ i s i}

5 1. Erzeugungsrate im System

2. Zunahme des Entropieinhaltes des Systems

3. Entropietransport über Systemgrenze per Wärmeleitung 4. Mit Masse ausströmender Entropiestrom

5. Mit Masse einströmender Entropiestrom

 stationärer Prozess , 1 Massenstrom:

S ´ _erz =− ∑ _T ^{Q ´}

G

+ ´ m (s _e − s _i )

STATION ÄRE INTERN REVERS IB LE PROZES SE

 Entropiebilanz für offene Systeme mit ∂

∂t =0 ^, m ´ _e = ´ m _i

, S ´ _erz =0 ^: 0=− ∑ _T ^{Q ´}

G

+ ´ m∙ ( ^s 2 − s ₁ ) ^{⟹ Q ´ rev}

m ´ = ∫

1 2

Tds

 1. HS mit d E _s

dt =0 ^und Q ´ _rev

m ´ = ∫

1 2

Tds Tds= dh−vdp

→ h ₂ − h ₁ − ∫

1 2

v dp ^: W ´ _rev

m ´ =− ∫

1 2

v dp− w ₂ ² −w ₁ ²

2 − g ( z ₂ − z ₁ )

 Berechnung des Integrals − ∫

1 2

v dp ^mit p∙ v ⁿ =const .

n=1 (isotherm):

− ∫

1 2

v dp =− ⏟ p ₁ v ₁

const .

ln p ₂

p ₁ ideales Gas ^⇒ − R T ₁ ln p ₂ p ₁

n≠1 (polytrop):

− ∫

1 2

v dp = −n

n−1 ( ^p 2 v ₂ − p ₁ v ₁ ) ^iG

⇒

− n

n−1 R (T ₂ −T ₁ )

 In Düsen/Diffusoren: W ´ rev =0 folgt der stationäre Bernoulli

∫

1 2

v dp + w ₂ ² − w ₁ ²

2 + g ( ^z 2 −z ₁ ) ^{=0 inkompr.}

→

p ρ + w ₂ ²

2 + gz=const .

 Für isotherme Prozesse gilt auch (mit v dp=dh−T ds ⁾ W ´ _rev

m ´ =T ( ^s 2 −s ₁ ) ^{−( p} 2

V ´ ₂

m ´ − p ₁ V ´ ₁

m ´ )− w ₂ ² −w ₁ ²

2 −g ( z ₂ − z ₁ )

EXERGIE

Exergie ist ein Mass für die vorhandene Arbeitsmöglichkeit der Energie.

Es ist der Anteil des Energieinhaltes eines Systems, der maximal mittels eines reversiblen Prozesses in Arbeit umgewandelt werden kann.

Anergie ist der Energieanteil, der nach dem Erreichen des Gleichge- wichtes im System zurückbleibt und nicht mehr in Arbeit umgewandelt werden kann.

Die Exergie eines isolierten, geschlossenen Systems kann nur abnehmen.

Zum Beispiel wird im System Motor und Umgebung bei der Verbrennung keine Energie, wohl aber Exergie verbraucht.

EX ERGIE F ÜR GES CHLOSS EN E SYSTEME

E _x =U −U ₀ + p ₀ ( ^{V −V} 0 ) ^−T 0 ( ^{S− S} 0 ) ^{+ KE + PE}

e _x =u −u ₀ + p ₀ ( ^v−v 0 ) ^−T 0 ( ^s−s 0 ) ^{+ke + pe}

mit KE= m w ²

2 , PE=mgz , ke= w ²

2 , pe= gz

EX ERGIEDIFF EREN Z FÜR GES CH LOS SEN E SYSTEME

△ E _x = E _{x ,2} − E _{x ,1} = △ U + p ₀ ( ^V 2 −V ₁ ) ^−T 0 ( ^S 2 −S ₁ ) ^{+ ∆ KE+ ∆ PE}

△ e _x =e _{x , 2} − e _{x ,1} =△ u+ p ₀ ( ^v 2 − v ₁ ) ^−T 0 ( ^s 2 −s ₁ ) ^{+ ∆ ke+ ∆ pe}

EX ERGIE F ÜR OF FEN E SYSTEME

E ´ _{x, str} = ´ m [ ^{( h−h 0 ) −T 0 ( s−s 0 ) +ke + pe} ]

e _{x , str} = ( ^h−h 0 ) ^{− T} 0 ( ^s−s 0 ) ^{+ ke + pe}

EX ERGIEDIFF EREN Z FÜR OF FEN E SYSTEME

△ E ´ _{x ,str} = ´ E _{x , str ,2} − ´ E _{x ,str ,1} = ´ m [ ^{( h 2 −h 1 ) −T 0 ( s 2 − s 1 ) + ∆ ke +∆ pe} ]

△ e _{x, str} =e _{x , str ,2} −e _{x, str ,1} = ( ^h 2 −h ₁ ) ^−T 0 ( ^s 2 − s ₁ ) ^{+ ∆ ke +∆ pe}

EX ERGIEVERLUST :: GO UY-STO DOL A-TH EOREM

Die verlorene Arbeitsmöglichkeit ist die Differenz zwischen der maximal möglichen und der effektiv vorhandenen Arbeitsleistung. Max. verlorene Arbeit kann als Exergieverlust betrachtet werden. Exergie  Entropie

E _{x, Verlust} =T ₀ ∙ S _erz =W _Verlust =W _rev −W [ kJ ]

EXERGIEBILANZ FÜR GESCHLOSSENE SYSTEME

△ E _x = ∫ _⏟ ( ^{1− T T} G ⁰ ) ^δQ

E x ,Q

− ( ⏟ ^{W − p} 0 ∆ V )

E _x,W

⏟

reversibel

− T ⏟ ₀ ∙ S _erz

E _{x ,Verlust}

⏟

irrreversibel

T ₀ : Umgebungstemperatur T _G : Temperatur am Ort der Q-Übertragung

∫ ( ^{1− T T} G ⁰ ) ^{δQ= Q 12 − T 0 ∙ ∆ S=Q 12 −T 0 ∙ m ∙} [ ^{s 2 0 −s 1 0 −R ∙ ln ( p p 2 1 )} ]

 stationärer Prozess: △ E _x =0

 reversibler Prozess: T ₀ ∙ S _erz = 0

 keine Arbeit: W − p ₀ ∆ v=0

EXERGIEÄNDERUN GS GES CHWIN DIGKEIT

dE _x

dt = ´ E _x = ∑ ( ^{1− T T 0} i ) ^{Q ´ i − ( W − p 0 dV dt ) −T 0 ∙ ´ S erz}

 Gouy – Stodola: − d E _{x ,irr}

dt =E _{x, v} =T ₀ ∙ S ´ _erz

 Bei Wärmeübergang: - stationäres System:

d E _x

dt =0 , Q ´ ₁ = ´ Q ₂ = ´ Q

- keine Arbeit: W − p ₀ dV dt =0 E _{x, v} =T ₀ ∙ S ´ _erz = ∑ ( ^{1− T T 0} i ) ^{Q ´ i = ´ Q} ( ^{T T 0} 1

− T ₀ T ₂ )

− d E _{x ,irr}

dt =E _{x, v} =T ₀ ∙ S ´ _erz = ´ Q ( ^{T T 0} 1

− T ₀ T ₂ )

EXERGIEBILANZ FÜR OFFENE SYSTEME

d E _x

dt = ∑ ^{m ´} i e _{x, str ,i} − ∑ ^{m ´} e e _{x ,str , e} − ( ^{W ´ s − p 0 dV} dt ) ^{+ ∑ Q ´ i} ( ^{1− T T 0} i ) ^{−T 0 S ´ erz}

d E _x

dt = ∑ ^{m ´ i ∙ e x , str, i −} ∑ ^{m ´ e ∙ e x , str, e − ´ W s +} ∑ ^{Q ´ i} ( ^{1− T T 0} i ) ^{−T 0 ∙ S ´ erz}

↑ wobei angenommen wurde, dass dV dt =0

 Jeder Term enthält 100% nutzbare Energie.

 reversibler Prozess: T ₀ ∙ S _erz = 0

 stationär, 1 Massenstrom: d E _x

dt =0 , m ´ _i = ´ m _e = ´ m

∑ ( ^{1− T T o} i ) ^{Q ´ i − ´ W s −T 0 ´ S erz = ´ m [ h 2 −h 1 −T 0 ( s 2 −s 1 ) + ∆ ke +∆ pe ]}

oder anderst geschrieben:

∑ ( ^{1− T T o} i ) ^{Q ´ i − ´ W s −T 0 ´ S erz = ´ E x, str ,e − ´ E x ,str ,i}

DER EXERGETISCHE WIRKUNGSGRAD (2 ^{N D} LAW EFF.) Der energetische Wirkungsgrad η bewertet die Nutzung der Energie in der Quantität, währenddessen der exergetische Wirkungsgrad

ε die Nutzung der Exergie in der Quantität bewertet – und damit

die qualitative Nutzung der Energie beschreibt.