Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen

Stabilitätsprobleme Stabilitätsprobleme

¾ Arten der Gleichgewichtslagen

¾ Stabilitätskriterium

¾ Verzweigungsproblem & Durchschlagsproblem

¾ Theorie II. Ordnung und Knickgleichung

¾ Arten der Gleichgewichtslagen

¾ Stabilitätskriterium

¾ Verzweigungsproblem & Durchschlagsproblem

¾ Theorie II. Ordnung und Knickgleichung

Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen

Ein Tragwerk muss in stabiler Gleichge-

wichtslage sein. Viele Tragwerke versagen wegen struktureller Instabilität, nicht aber wegen Materialversagen.

Ein Tragwerk muss in stabiler Gleichge-

wichtslage sein. Viele Tragwerke versagen

wegen struktureller Instabilität, nicht aber

wegen Materialversagen.

Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen

stabil

Nach einer kleinen Störung kehrt es in seine Anfangslage zurück!

instabil

Nach einer kleinen Störung kehrt es nicht in seine Anfangslage zurück!

Ausgelenkte Lage ist ebenfalls eine

Gleichgewichtslage!

indifferent

Stabilitätskriterium Stabilitätskriterium

instabil

Bei einer Gleichgewichtslage hat die Potentialkurve Π(x) eine horizontale Tangente!

indifferent

=

Π

Π

=

) (x

Π

) (x

Π

) (x

Π

x0

=

Π

=

Π

Stabilitätskriterium Stabilitätskriterium

stabil labil

Gleichgewichtslagen

=

Π′

indifferent

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

<

=

>

Π ′′

0 0

0 ^stabil

instabil

indifferent

=

Π

=

Π

=

Π

Stabilitätskriterium Stabilitätskriterium

,

=

Π ′′

Falls dann müssen höhere Ableitungen von

Π

=

Π

(

Falls alle Ableitungen von

Π

Bemerkungen:

Wann kommt ein Stabilitätsproblem vor?

Wann kommt ein Stabilitätsproblem vor?

Stab unter Zug Stab unter Druck Last-Verformungskurve

eindeutig

Kein Stabilitätsproblem !

Last-Verformungskurve nicht mehr eindeutig

Stabilitätsproblem !

Verzweigungsproblem Verzweigungsproblem

ϕ

F

F

stabil instabil

ϕ

c

F

F <

F

F >

Durchschlagproblem Durchschlagproblem

ϕ F

Fk

instabil

ϕ

Fk

F <

Fk

F >

Warum ist Knicken gefährlich ? Warum ist Knicken gefährlich ?

Stab unter Zug:

Versagen mit Vorankündigung !

Risse !

Stab unter Druck (Knicken):

Versagen ohne Vorankündigung ! Viel gefährlicher!

Hauptaufgabe der Stabilitätstheorie Hauptaufgabe der Stabilitätstheorie

Hauptaufgabe der Stabilitätstheorie:

Bestimmung kritischer Lasten F_k Knicken: gedrückte Stäbe

Seitliches Ausweichen

oberhalb der kritischen Lasten F_k

Kippen: Biegebalken Drillknicken: Torsionsstäbe Beulen: Platten, Schalen

Fk

F < F > F_k

Wovon hängt F

ab ? Wovon hängt F

ab ?

• Knicklänge und Schlankheitsgrad

• Randbedingungen (gelenkig, eingespannt, frei)

• Aussteifung des Systems (verschieblich, unverschieb- lich)

• Imperfektionen

• Bewehrungsmenge und Bewehrungsanordnung

2 2

k

k

l

F ₌ π EI Beispiel: Euler-Knicklast

(Leonard Euler, 1707-1783)

Theorie II. Ordnung Theorie II. Ordnung

Vergleich: Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung

F

Th. I. Ordnung

Gleichgewicht am unverformten System !

!

= 0 M

F

Th. II. Ordnung

Gleichgewicht am verformten System !

w

! w F

M

= ⋅

M_II (aus Druck) vergrößert das Bemessungsmoment zusätzlich !

Knickgleichung Knickgleichung

2

′′ = 0 + w

w

λ

Knickgleichung: Differentialgleichung 4ter Ordnung

EI

= F

λ

mit

Allgemeine Lösung:

D x

C x

B x

A x

w ( ) = cos( λ ) + sin( λ ) + ( λ ) + :

, ,

, B C D

A

Randbedingungen zu bestimmen!

Bemerkungen zur Knickgleichung Bemerkungen zur Knickgleichung

1) Herleitung der Knickgleichung: Siehe Arbeitsblätter!

2) Zur Lösung der Knickgleichung werden Randbedin- gungen benötigt. Für einige Lagerungsfälle sind die Randbedingungen in den Arbeitblättern zusammen- gestellt.

3) Bestimmung der Knicklast: Vorgehensweise siehe Beispiel in den Arbeitsblättern!

Euler-Knickstäbe (Eulerfälle) Euler-Knickstäbe (Eulerfälle)

F

l

k 2 l = l

F

lk =l F

0, 70 lk = l

0, 30l

F

4 l

k 2 l = l

4 l

2

4 2 krit

F EI l

=π

2 krit 2

F EI l

=π

2 2

(1, 43) 2 krit

F EI

l

= π _krit 4 ²₂EI

F l

= ⋅π