Analysis einer Variablen (LAG):

LMU M¨unchen PD Dr. Heribert Zenk

Mathematisches Institut M. Feistl, K. Matzke

WiSe 2019/20

Analysis einer Variablen (LAG):

Hausaufgabenblatt 7

Aufgabe H7.1 (10 Punkte):

Untersuche die Folgen (a_n)n∈N,(b_n)n∈N,(c_n)n∈N,(d_n)n∈N,(e_n)n∈Nund (f_n)n∈Nauf Konvergenz, wobei

a_n:= 2n+ 5

7n+ 3i, b_n:= 3 + 2n

√3 +√

2n +in, c_n:= (−2)ⁿ 3²ⁿ , d_n:= 2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ⁺¹

2ⁿ+ 3ⁿ , e_n:=i³ⁿ, f_n:=

1− 1

n² n

.

Aufgabe H7.2 (10 Punkte):

Gegeben sei a1 ∈R und die rekursiv definierte Folge (an)n∈Nmit an+1 := a²_n+ 3

4 . Zeige, dass

(a) die Folge, unabh¨angig von a₁, h¨ochstens die Grenzwerte 1 und 3 besitzen kann, (b) limn→∞a_n= 1 f¨ur|a₁|<3,

(c) limn→∞a_n= 3 f¨ur|a₁|= 3, (d) die Folge f¨ur|a₁|>3 divergiert.

Aufgabe H7.3 (10 Punkte):

Es sei a:=i ¹₂ +₂ⁱ√ 3

. Berechne alle H¨aufungswerte der Folge (bn)n∈N mit b_n:=aⁿ+

i 4

n

=

i 1

2 + i 2

√ 3

n

+ i

4 n

.

Aufgabe H7.4 (10 Punkte):

(a) Zeige, dass die Folge

n

q3n²−n+7 n!

n∈N

konvergiert und berechne den Grenzwert.

(b) Seia, b >0. Zeige, dass die Folge (√ⁿ

aⁿ+bⁿ)n∈N konvergiert und den Grenzwert

n→∞lim

√n

aⁿ+bⁿ= max{a, b}

besitzt.

Abgabe je Zweier-/Dreiergruppe eine L¨osung bis Donnerstag 05.12.2019, 10.15 Uhr vor der ¨Ubung oder im Abgabekasten zwischen B138 und Bibiliothek. Bitte einen der Namen markieren; danach wird bei der R¨uckgabe sortiert.

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