6∈ ∈ 6∈ ∈ GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI TeilV AkzeptierbarkeitundEntscheidbarkeit Dank

(1)

Vorlesung

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 1 / 271

Dank

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 2 / 271

Teil V

1 Determinierte Turing-Maschinen (DTMs)

2 Varianten von Turing-Maschinen

3 Indeterminierte Turing-Maschinen (NTMs)

4 Universelle determinierte Turing-Maschinen

5 Entscheidbar/Aufzählbar

6 Determinierte Turing-Maschinen entsprechen Typ 0

7 Unentscheidbarkeit

Akzeptierbarkeit und Entscheidbarkeit

Akzeptieren

Eine DTMakzeptierteine SpracheL, wenn sie für jedes Eingabe-Wortw∈Lirgendwann hält

für jedes Wortv 6∈Lunendlich lang rechnet oder hängt

Entscheiden

Eine DTMentscheideteine SpracheL, wenn sie

für jedes Eingabe-Wortw∈Lhält mit dem BandinhaltY (“Yes”) für jedes Wortv 6∈Lhält mit dem BandinhaltN(“No”)

(2)

Akzeptierbarkeit und Entscheidbarkeit

Definition 13.1 (Entscheidbar)

Lsei eine Sprache überΣ0mit#,N,Y6∈Σ0. M= (K,Σ,δ,s)sei eine DTM mitΣ0⊆Σ. M entscheidetL, falls für allew∈Σ^∗₀gilt:

s,#w#`^∗_M

h,#Y# fallsw∈L h,#N# sonst

Lheißtentscheidbar, falls es eine DTM gibt, dieLentscheidet.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Entscheidbar/Aufzählbar SS 2007 213 / 271

Akzeptierbarkeit und Entscheidbarkeit

Definition 13.2 (Akzeptierbar)

Lsei eine Sprache überΣ0mit#,N,Y6∈Σ0. M= (K,Σ,δ,s)sei eine DTM mitΣ0⊆Σ. M^akzeptiert^{ein Wort}^w∈Σ^∗₀,

fallsM^{bei Input}^w^hält.

Makzeptiert die SpracheL, falls für allew∈Σ^∗₀gilt:

M^akzeptiertw genau dann wenn w∈L

Lheißtakzeptierbar(oder auchsemi-entscheidbar), falls es eine DTM gibt, dieLakzeptiert.

Rekursiv aufzählbar

Definition 13.3 (Rekursiv Aufzählbar (recursively enumerable)) Lsei eine Sprache überΣ0mit#,N,Y6∈Σ0.

M= (K,Σ,δ,s)sei eine DTM mitΣ0⊆Σ^.

M^zählt^Lauf, falls es einen Zustandq_B∈Kgibt (denBlinkzustand), so daß:

L={w∈Σ^∗₀| ∃u∈Σ^∗:s,#`^∗_Mq_B,#w#u}

Lheißtrekursiv aufzählbar, falls es eine DTM gibt, dieLaufzählt.

Rekursiv aufzählbar

Achtung:aufzählbar6=abzählbar.

Unterschied

Mabzählbar: Es gibt eine surjektive Abbildung der natürlichen Zahlen aufM Maufzählbar: Diese Abbildung kann von einer Turing-Maschine berechnet

werden.

Wegen Endlichkeit der Wörter und des Alphabets sind alle Sprachen abzählbar.

Aber nicht alle Sprachen sind aufzählbar.

(3)

Rekursiv aufzählbar: Beispiele

Beispiel 13.4 (Rekursiv aufzählbar aber nicht entscheidbar) Folgende Mengen sind rekursiv aufzählbar abernichtentscheidbar:

Die Menge der Gödelisierungen aller haltenden Turing-Maschinen Die Menge aller terminierenden Programme

Die Menge aller allgemeingültigen prädikatenlogischen Formeln

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Satz 13.5 (Akzeptierbar = Rekursiv Aufzählbar)

Eine Sprache ist genau dann rekursiv aufzählbar, wenn sie akzeptierbar ist.

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Beweis

“⇒”

SeiLrekursiv aufzählbar

Es gibt also eine DTMML, dieLaufzählt.

Zu zeigen:List akzeptierbar.

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Beweis (Fortsetzung)

Wir konstruieren ausMLeine 2-DTMM^{, die}^Lakzeptiert:

Mwird gestartet mit

s₀, #w#

# Msimuliert auf Band 2 die MaschineML.

WennMLdenBlinkzustandq_Berreicht, dann enthält Band 2 vonM^ein Wort

#w⁰#u mitw⁰∈L.

(4)

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Nach erreichen des Blinkzustands:

M^vergleicht^w^und^w⁰^.

Fallsw=w⁰, dann hältM^:^w∈L.

Ansonsten simuliertMauf Band 2 weiter die Arbeit vonML. WennMLhält, ohne das Wortwauf Band 2 erzeugt zu haben, gerätMin eine Endlosschleife.

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

“⇐”

SeiLakzeptierbar

Es gebe also eine DTMML, dieLakzeptiert.

Zu zeigen:List rekursiv aufzählbar.

Wir konstruieren eine DTMM^{, die}^Lrekursiv aufzählt.

Grundidee:

die Wörter ausΣ^∗der Reihe nach aufzählen jedes Wort der MaschineMLvorlegen

wennMLdas Wort akzeptiert, in den Blinkzustandq_Bgehen

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Problem: MLakzeptiert, sie entscheidet nicht.

WennMLein Wort nicht akzeptiert, rechnet sie unendlich.

Lösung: Wir betrachten die Rechnung vonMLzu allen Wörtern ausΣ^∗ gleichzeitig.

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Σ^∗={w₁,w₂,w₃, . . .} (in lexikalischer Reihenfolge aufgezählt).

Dann rechnetM^so:

Im ersten Durchlauf berechne den ersten Rechenschritt vonMLfürw₁. Im zweiten Durchlauf berechne

die ersten zwei Rechenschritte vonMLfürw₁, einen Rechenschritt fürw₂.

Im dritten Durchlauf berechne drei Rechenschritte fürw₁, zwei fürw₂und einen fürw₃und so weiter.

Immer wieder bei der Startkonfiguration anfangen: So müssen wir uns den Bandinhalt der Rechnung vonMLzuw_i nachjSchritten nicht merken.

(5)

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Beweis (Fortsetzung) WennMso rechnet, dann gilt:

Mfängt für jedesw_i∈Σ^∗in endlicher Zeit (nämlich imi-ten Durchlauf) an, die Arbeit vonMLzuw_i zu simulieren, und

fallsw_i ∈Lund fallsML, gestartet mits,#w_i#, injSchritten einen Haltezustand erreicht, dann erreichtMnach endlicher Zeit (nämlich im i+j-ten Durchlauf) den Haltezustand vonMLin der Rechnung zuw_i.

Akzeptierbar gleich rekursiv aufzählbar

Beweis (Ende)

WennMbei Simulation vonMLzur Eingabenw_i auf eine Haltekonfiguration trifft, dann istw_i∈L.

Mnimmt dann eine Konfiguration

q_B,#w_i#u_i ein –q_Bist der Blinkzustand.

In der Nebenrechnungu_i steht, welche Teilrechnung vonMLals nächste zu simulieren ist.

Also zähltM^die^w∈Σ^∗auf, für dieMLhält, und das sind gerade die w∈L.

Entscheidbarkeit und Akzeptierbarkeit

Satz 13.6 (Entscheidbar und akzeptierbar) Jede entscheidbare Sprache ist akzeptierbar.

Beweis

SeiLeine entscheidbare Sprache undMeine DTM, dieLentscheidet.

Dann wirdLakzeptiert von der DTMM⁰^,

die zunächstMsimuliert und danach in eine Endlosschleife geht, fallsM^mit h,#N#endet.

Entscheidbarkeit und Akzeptierbarkeit

Satz 13.7 (Komplement einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar) Das Komplement einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar.

Beweis

SeiLeine entscheidbare Sprache undMeine DTM, dieLentscheidet.

Dann wirdLentschieden von einer DTMM⁰^, die genau wieM^rechnet

und nur am Schluß die AntwortenYundNvertauscht.

(6)

Entscheidbarkeit und Akzeptierbarkeit

Satz 13.8 (Charakterisierung von Entscheidbarkeit) Eine Sprache L ist genau dann entscheidbar, wenn sie und ihr Komplement akzeptierbar sind.

Entscheidbarkeit und Akzeptierbarkeit

Beweis

“⇒”

SeiList entscheidbar.

Zu zeigen:LundLsind akzeptierbar.

List entscheidbar, also istLakzeptierbar List entscheidbar, also istLentscheidbar List entscheidbar, also istLakzeptierbar

Entscheidbarkeit und Akzeptierbarkeit

“⇐”

SeienLundLakzeptierbar.

Zu zeigen:List entscheidbar.

SeiM1eine DTM, dieLakzeptiert.

SeiM2eine DTM, dieLakzeptiert.

Daraus konstruieren wir eine 2-DTMM^{, die}^Lentscheidet:

Mwird gestartet mit s₀,#w#

#

Entscheidbarkeit und Akzeptierbarkeit

Beweis (Ende)

M simuliert abwechselnd

einen Schritt vonM1auf Band 1 und einen Schritt vonM2auf Band 2.

Das tutM, bis entwederM1oderM2hält.

Eine von beiden muss halten:wgehört entweder zuLoder zuL.

WennM1hält, dann hältM^mit

#Y#auf Band 1 und

#auf Band 2.

WennM2hält, dann hältM^mit

#N#auf Band 1 und

#auf Band 2.

(7)

Teil V

1 Determinierte Turing-Maschinen (DTMs)

2 Varianten von Turing-Maschinen

3 Indeterminierte Turing-Maschinen (NTMs)

4 Universelle determinierte Turing-Maschinen

5 Entscheidbar/Aufzählbar

6 Determinierte Turing-Maschinen entsprechen Typ 0

7 Unentscheidbarkeit

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Determinierte Turing-Maschinen entsprechen Typ 0 SS 2007 233 / 271

Rekursiv Aufzählbar = Typ 0

Zur Erinnerung

Formale Sprachen sind vomTyp 0, wenn sie durch beliebige Grammatiken (keinerlei Einschränkungen) erzeugt werden können.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Determinierte Turing-Maschinen entsprechen Typ 0 SS 2007 234 / 271

Rekursiv Aufzählbar = Typ 0

Satz 14.1 (Rekursiv aufzählbar = Typ 0) Die rekursiv aufzählbaren Sprachen

(also die durch DTMn akzeptierbaren Sprachen)

sind genau die durch beliebige Grammatiken erzeugten Sprachen (also die vom Typ 0).

Beweisidee

Zu jeder Turing-Maschine kann eine Grammatik konstruiert werden, deren Ableitungsschritte die Rechenschritte der TM simulieren (spezielle Variable markiert Position des Schreib-/Lesekopfes).

Zu jeder Grammatik kann eine indeterminierte Turing-Maschine (und damit auch eine DTM) konstruiert werden, deren Rechenschritte den Ableitungsschritten der Grammatik entsprechen.