Elektronik II Foliensatz 3: Simulation mit zeitveränderlichen Gröÿen

Gröÿen

G. Kemnitz 22. Juni 2021

Inhaltsverzeichnis

1 Simulationsarten 1

2 Zeitdiskrete Simulation 2

2.1 Geschaltete RC-Glieder . . . . 2

2.2 Gatterschaltzeiten . . . . 4

2.3 Kippstufen . . . . 6

2.4 Sinussignale . . . . 9

2.5 Testsignale . . . . 11

3 Frequenzbereich 11 3.1 Frequenzgang . . . . 12

3.2 Laplace-Transformierte . . . . 13

3.3 Verstärker . . . . 14

3.4 Filter . . . . 18

4 Spektralanalyse 23 4.1 Fouriertransformation . . . . 24

4.2 Klirrfaktor . . . . 27

5 Rauschen 30 5.1 Wärmerauschen . . . . 30

5.2 Rauschquellen . . . . 31

5.3 Stromrauschen . . . . 33

5.4 Bipolartransistoren . . . . 34

1 Simulationsarten

Simulation mit zeitveränderlichen Gröÿen

Bei der Berücksichtigung zeitveränderlicher Spannungen und Ströme sind zusätzlich kapazitive Umlade- ströme und induzierte Spannungen zu berücksichtigen:

u

L

= L ·

^{d i}d t^L

i

L

C

u

C

i

C

= C ·

^{d u}d t^C

Aus den Maschen- und Knotengleichungen werden groÿe Dierenzialgleichungen. Es gibt zwei Simulati- onsarten für diese DGL-Systeme:

ˆ zeitdiskret (Analyseart trans, TRANSition) und

ˆ Frequenzbereich (Analyseart ac, Alternate Current).

Die zeitdiskrete Simulation ist auch für nichtlineare, die Simulation im Frequenzbereich nur für lineare Schaltungen geeignet.

Die Brücke zwischen beiden Simulationsarten bildet die Fourier-Transformation (Analyseart four). Sie berechnet die Spektren gemessener oder berechneter Signalverläufe. Die Ergebnisse müssen in Amplitude und Phase mit denen der ac-Simulation übereinstimmen.

Veränderungen des Spektrums durch nichtlineare Verzerrungen werden durch den Klirrfaktor beschrieben.

Der Klirrfaktor lässt sich auch in der Analyseart four berechnen.

1

Elektronische Bauteile (Widerstände, pn-Übergänge) rauschen. Das Rauschen ist ein Störsignal, das dem Nutzsignal überlagert ist. Die Auswertbarkeit eines Signals verlangt einen hinreichend groÿen Signal- Rausch-Abstand (SNR). Rauschgröÿen werden in der Analyseart noise berechnet.

2 Zeitdiskrete Simulation

Zeitdiskrete Simulation

ˆ C und L werden durch zeitveränderliche Quellen nachgebildet:

u

C

i

C

u

L

i

L

Ersatz

Induktivit¨at Kapazit¨at

u

L

i

L

(n + 1) = i

L

(n) +

^∆t_L

· u

L

(n) i

C

u

C

(n + 1) = u

C

(n) +

^∆t_C

· i

C

(n) Original

ˆ Berechnung von i und u in diskreten Zeitschritten:

Wiederhole für jeden Zeitschritt:

stationäre Schaltungsanalyse

Berechnen der Quellwerte für den Folgeschritt

ˆ Auch für nichtlineare Schaltungen geeignet.

2.1 Geschaltete RC-Glieder

Geschaltete RC-Glieder

Geschaltete RC- und RL-Glieder dienten in Elektronik I zur Abschätzung des Zeitverhaltens geschalteter Systeme (Digitalschaltungen, Pulsweitenmodulation, ...).

Bei einem geschalteten RC-Glied streben Strom und Spannung mit der Zeitkonstanten τ = RC und beim geschalteten RL-Glied mit der Zeitkonstanten τ =

^L_R

gegen ihren stationären Wert.

0 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V

0 0,5 ms 1 ms 1,5 ms 2 ms u

e

u

a

t

Zurückführung auf geschaltete RC- oder RL-Glieder

Schaltungen mit einer geschalteten Quelle und nur einer wesentlichen Kapazität oder Induktivität lassen

sich auf das Modell eines geschalteten RC- bzw. RL-Glieds zurückführen.

0 20 µs 40 µs 60 µs 4 V

3 V

2 V U

a

80 µs t Frage: Wie sieht das funktionsgleiche geschaltete RL-Glied aus?

Bereichsweise Annäherung durch eine RC-Glied

u

R1

D

R

2

≫ R

1

1 kΩ u

R1

1 MΩ 33 nF

C

R

1

u

e

R

1

u

e

C u

a

=

0 u

R1

> − U

F

u

R1

+ U

F

sonst u

a

Konstruktion der Ersatzschaltung für Überschläge:

ˆ Wegen R

2

R

1

kann die Diode näherungsweise als Unterbrechung betrachtet werden. Übrig bleibt ein RC-Glied mit τ = R

1

· C = 33 µs.

ˆ Für negative u

R1

< − U

F

ist die Ausgangsspannung u

R1

− U

F

und sonst null.

u

R1

R

1

u

e

C u

a

=

0 u

R1

> − U

F

u

R1

+ U

F

sonst

u

a

u

R1

t τ

0 1 2

0

2 V

1 V

u

R1

hat nach dem Sprung als Anfangswert die Sprunghöhe (beim Ausschalten von u

e

negativ) und strebt gegen null. Die Ausgangsspannung müsste bei positiven Eingangssprüngen null bleiben und bei negativen müsste ein Nadelimpuls erscheinen.

Simulation

2 V 1 V 0 -1 V -2 V

0 100 µs 200 µs 300 µs t u

R1

u

a

Abweichend vom geschätzten Ausgabesignalverlauf gibt es auch bei der steigenden Flanke am Ausgang einen Nadelimpuls mit der Zeitkonstanten τ

2

≈ 4 µs. Das Simulationsmodell der Diode hat oenbar im Sperrbereich eine Kapazität von:

C

D

≈ τ

₂

R

2

= 4 pF Überschläge vernachlässigen immer viele Details.

2.2 Gatterschaltzeiten

Ringinverter

Die drei einfachen Transistorinverter sind zu einem Ringinverter verschaltet. Die Periode des Ausgangs- signals ist die Summe der drei Ein- und Ausschaltzeiten

¹

.

Ein- und Ausschalt- zeiten der Inverter R

C

R

B

R

C

R

B

R

C

R

B

U

V

T

P

u

1

u

2

u

3

u

3

u

1

u

2

Nimmt T

P

ab oder zu:

ˆ wenn R

B

↓ ⇒ mehr Übersteuerung, T

P

↑ ?

ˆ wenn U

V

↓ ⇒ weniger Übersteuerung, T

P

↓ ?

1

Der Ringinverter diente in Elektronik I, F8, Abschn 3.2 zur Illustration der Zusatzverzögerung durch Übersteuerung.

30 µs 35 µs 40 µs 45 µs 5 V

4 V 2 V 3 V 1 V 0

u

1

u

2

u

3

T

P

= 4,1 µs

Die Simulation zeigt das Gegenteil des erwarteten Verhaltens

²

:

ˆ Verringerung R

B

→ 33 kΩ: Verringerung von T

P

→ 2 µs

ˆ Verringerung U

V

→ 2,5 V: Vergröÿerung von T

P

→ 4,5 µs

ˆ Schottky-Diode zwischen Basis und Kollektor: T

P

→ 11,5 µs Verzögerung eines CMOS-Inverters

Bei einem CMOS-Inverter wird die Lastkapazität C

L

beim Ausschalten über den NMOS-Transistor entla- den und beim Einschalten über den PMOS-Transistor aufgeladen. Die Lastkapazität setzt sich zusammen aus den Kapazitäten der pn-Übergänge am Inverterausgang (Source-Bulk, Drain-Bulk) und den Gate- Kapazitäten an den Eingängen der Folgegatter.

NMOS-Transistor PMOS-Transistor

x y

U

V

x

C

L

n+ y

n+ n+

G G S B

B S U

V

x y

n p

D D

b

N

b

P

l

N

l

P

p+ p+ p+

Die Umladezeiten verhalten sich proportional zur Lastkapazität und umgekehrt proportional zu den Umladeströmen.

Die Umladeströme verhalten sich proportional zum Verhältnis aus Kanalbreite und Kanallänge: w

N/P

= b

N/P

/l

N/P

. Die Ein- und Ausschaltzeit wird folglich erheblich von der Geometrie abhängen. In der nach- folgenden Inverterkette haben die NMOS-Transistoren M

1

und M

3

die relative Breite 1,5 und M

5

drei.

Die PMOS-Transistoren sind wegen der nur halb so groÿen Ladungsträgerbeweglichkeit doppelt so breit gewählt.

x

y

U

V

U

V

U

V

x y

z

1

z

2

t

d1

t

d2

t

d3

M1 M2 M3 M4 M5 M6

2

Die Transistoren übersteuern nicht? Modell ist unvollständig? ...

Wie wirkt sich das auf die Schaltverzögerungen aus?

Parameter: l Kanallänge; w Kanalbreite; ad bzw. as Fläche des Drain- bzw. Source-Gebiets; pd bzw.

ps Umfang des Drain- bzw. Source-Gebiets; Angaben in Metern bzw. Quadratmetern).

x

y

U

V

U

V

U

V

x y

z

1

z

2

z

1

z

2

t

d2

t

d3

t

d1

M1 M2 M3 M4 M5 M6

0 V 2 V 4 V

0 200 ps 400 ps 600 ps 800 ps 1 ns

t

d1

t

d2

t

d3

Die Verzögerung t

d1

des ersten Inverters ist deutlich kürzer als t

d2

des zweiten Inverters mit der doppelten Last und t

d3

ist wieder kürzer, da ohne Last.

2.3 Kippstufen

Astabiler Multivibrator Alter Schaltungsklassiker:

C

1

= C

2

= 10 nF R

4

= 100 kΩ R

3

= 101 kΩ

^∗

R

1

= R

2

= 2 kΩ

Q

1

R

4

R

2

Q

2

C

2

R

1

R

3

C

1

u

a1

u

a2

u

BE1

u

BE2

U

V

= 5 V

∗

Unsymmetrie zur

Verk¨ urzung der

Anschwingzeit

Ohne C

1

und C

2

arbeiten beide Transistoren im Normalbereich. Ausgangsspannung ≈ 1,31 V (siehe nächste Folie). Eine fallende Flanke am Kondensatoreingang schaltet den nachfolgenden Transistor bis zum Umladen des Kondensators aus und eine steigende schaltet ihn voll ein.

Ersatzschaltung ohne Kapazitäten

U

ers

R

ers

U

a1

R

2

= 2 kΩ R

4

= 100 kΩ β ≈ 300 I

C1

I

B1

0,7 V β · I

B

U

a1

R

2

R

4

U

V

= 5 V R

2

R

4

I

C1

Q1 I

B1

U

V

= 5 V

U

a1

I

B1

= U

a1

− 0,7 V R

4

U

a1

= U

V

− (1 + β) · R

2

· I

B1

= U

V

− (1 + β) · R

2

· U

a1

− 0,7 V R

4

U

a1

= U

V

+ (1 + β) ·

^RR²4

· 0,7 V 1 + (1 + β) ·

^RR²4

≈ 5 V + 301 ·

100²

· 0,7 V 1 + 301 ·

100²

≈ 1,3 V

ˆ U

ers

ist U

a1

, wenn kein Ausgangsstrom ieÿt, d.h. der berechnete Wert:

U

ers

= U

a1

≈ 1,3 V

ˆ Der Ersatzwiderstand der Ersatzschaltung ohne Quellen:

R

ers

= R

2

k R

4

1 + β ≈ 286 Ω Rechte Stufe als geschaltetes RC-Glied

1,3 V u

a2

5 V 62% · τ

Q

1

R

2

R

4

5 V

R

ers

R

1

C

1

U

ers

vorm Schalten

0,7 V 5 V R

1

C

1

= 4,3 V

U

_C1⁽⁻⁾

R

ers

bis u

C1

≈ 0,6 V Umladen mit

U

_C1⁽⁺⁾

= − 3,7 V 5 V

C

1

R

2

R

4

u

C1

U

ers

≈ 1,3 V

U

BE

< 0,7 V

-3,0 V u

BE

0,7 V

≈ 0,62ms 1,3 V

u

a1

5 V τ = C

1

· (R

ers

+ R

2

+ R

4

)

τ ≈ 1 ms

t

1

= − τ · ln(1 −

^{3,7 V}8 V

) t

1

≈ 0,62 ms

t U

_C1⁽⁻⁾

= 4,3 V

u

C1

= 0,6 V U

_C1⁽⁺⁾

= − 3,7 V

Wenn Transistor Q

2

einschaltet, schaltet Q

1

für eine Zeit t

1

aus.

Umladen von C

1

beim Zurückschalten

≫

_β·R^4,8V2

U

ers

Q

1

R

4

5 V

R

ers

R

1

C

1

U

_C1⁽⁻⁾

= 0,6 V

R

1

C

1

0,7 V R

2

5 V

0,2 V R

4

i

C1

(0) ≈

^2,9V2kΩ

¨

ubersteuert

τ

2

= R

1

· C

1

= 20 µs nach ≈ 100 µs ist i

C1

abgeklungen, statio- n¨arer Zustand mit u

a2

≈ 1,3 V

u

a1

Transistor

ˆ Beim Zurückschalten liefert C

1

viel mehr Basisstrom als R

4

im stationären Zustand. Transistor übersteuert: u

a

≈ 0,2 V.

ˆ Umladung von C

2

über R

1

nach etwa 100µs abgeschlossen. Stationärer Zustand u

a

≈ 1,3 V.

Funktion der Gesamtschaltung

R

1

= R

2

= 2 kΩ C

1

= C

2

= 10 nF

R

3

= 101 kΩ R

4

= 100 kΩ

R

4

R

2

Q

2

C

2

R

1

R

3

C

1

u

b1

u

b2

U

V

= 5 V

u

a2

Q

1

u

a1

1,3 V 0,2 V 5 V

0,7 V -3,7 V 1,3 V 0,2 V 5 V

0,7 V -3,7 V

≈ 100µs

≈ 520µs u

a1

u

b2

u

a2

u

b1

U

b

5 ms 6 ms 7 ms 8 ms 1,0 V

-1,8 V -4,5 V

t

5,0 V 2,5 V

0 5 ms 6 ms 7 ms 8 ms U

a

t Schwellwertschalter mit Hysterese

In Elektronik I, F6, Abschn. 1.6 wurde ein RC-Oszillator mit einem Schwellwertschalter mit Hysterese konstruiert.

-5,0 V -2,5 V 2,5 V 5,0 V

0

0 1 ms 2 ms 3 ms u

a

u

e

t

Erweiterung zum Rechtecksignalgenerator

-5,0 V -2,5 V 0 2,5 V 5,0 V

27 ms 29 ms 31 ms 33 ms t u

c

u

a

2.4 Sinussignale

Sinussignale

Invertierender Verstärker mit Verstärkung − R

2

/R

1

= − 10 für niedrige Frequenzen. Im Bild bei 1 MHz ist die Verstärkung nur noch − 8,15 und das Ausgangssignal gegenüber dem Eingabesignal um 120 ns verzögert. Bei einer Verringerung der Signalperiode auf die doppelte Verzögerung T

P

≈ 240 ns müsste aus der Rückkopplung eine Mittkopplung werden?

Bei 8 MHz sind Ein- und Ausgabesignal fast gleichphasig. Es kommt zu einer Mittkopplung. Die Verstär- kung (Amplitude der Ausgangsspannung zur Amplitude der Dierenzspannung) ist jedoch nur noch etwa eins. Wenn man R

2

weglässt, ändert sich die Ausgangsspannung kaum.

U

_a

100 1000

10 1

v

u0

= 10 v

u0

= 100 v

u0

→ ∞

10

⁻³

10

⁻²

10

⁻¹

1

^f

fT

^UU^a_e

U

_e

R

1

R

2

v

u0

= −

^RR²1

Die 8 MHz sind oenbar etwa die Transitfrequenz f

T

des Operationsverstärkers, bei der die Verstärkung

eins ist. Eine Verstärkung v

u0

> 1 ist nur für die Spektralanteile mit f <

_v^f_u0^T

erreichbar. Rückgekoppelte

Verstärker, bei denen die Verstärkung bei einer Phasenverschiebung von 180° gröÿer eins ist, wandeln

sich in mitgekoppelte Verstärker um und schwingen.

Verstärker mit RC-Phasenschieber am Ausgang

Jedes RC-Glied halbiert etwa das Ausgangssignal und verzögert es um ≈ 45

^◦

.

Bei Rückführung des Ausgangssignals a

4

auf den Verstärkereingang und einer Erhöhung der Verstärkung auf > 16 sollte die Schaltung schwingen. Bei Rückkopplung von a

4

auf den Eingang wird U

a4

durch R

1

noch etwas mehr gedämpft. Erforderliche Verstärkung R

2

/R

1

≈ 22.

Genau genommen entsteht ein aufschwingendes Signal (Verstärkung mal Dämpfung > 1), das ab einer bestimmten Amplitude durch die Versorgungsspannung begrenzt wird.

Durch die Begrenzung wird das Sinussignal verzerrt. Ein guter Sinusgenerator regelt, wenn die gewünschte

Amplitude erreicht ist, die Verstärkung zurück.

2.5 Testsignale

Programmierung der Signalquellen

Auÿer Rechteck und Sinus können die Spannungs- und Stromquellen des Simulators weitere Signalformen bereitstellen.

Sinus mit einstellbarer Frequenz, Phasenverschiebung, Gleichanteil st¨ uckenweise lineare Verl¨ aufe mit Wert-Zeit-Punkten als Parameter periodische Pulse mit einstellbarer Einschalt-, Ausschalt-, Anstiegszeit, ...

Sinus mit zeitlich ver¨ anderlicher Frequenz, ... (frequenzmoduliert) Exponentialfunktion

t t

t t

3 Frequenzbereich

Frequenzbereich

Im Frequenzbereich wird ein periodisches Zeitsignal durch eine Summe frequenzabhängiger komplexer Exponentialfunktionen dargestellt:

x (t) =

∞

X

m=−∞

X

_m

· e

^j·m·ω0·t

Nach dem Überlagerungssatz ist bei einem linearen System die Systemantwort einer Summe von Eingabe- signalen gleich der Summe der Systemantworten der Summanden und kann somit für jedes ω = m · ω

0

einzeln berechnet werden.

Für jeden Summanden U · e

^j·ω·t

bzw. I · e

^j·ω·t

verhalten sich die komplexen Spannungen U und Ströme I auch an Kapazitäten und Induktivitäten zueinander proportional:

U

_R

I

_R

= R U

_L

I

_L

= X

_L

= jωL; U

_C

I

_C

= X

_C

= 1 jωC

Die Schaltungsanalyse im Frequenzbereich berechnet die frequenzabhängigen Amplituden und Phasen

der komplexen Ströme und Spannungen als Funktion von der Frequenz.

Eine zeitdiskrete Simulation mit Kosinuseingabe berechnet Amplitude und Phase nur für eine Frequenz.

Gibt es imaginäre Ströme und Spannungen?

ˆ In der Rechnung ja,

ˆ in der Wirklichkeit nicht.

Ist das Widerspruch?

ˆ Nein, ein physikalisch darstellbares Signal enthält zu jedem Spektralanteil den konjugiert komplexen Spektralanteil mit der negierten Frequenz. Gerechnet wird aber nur mit dem der positiven Frequenz.

3.1 Frequenzgang

Frequenzgang

Ein Frequenzgang ist das Verhältnis einer komplexen Ausgabe- zu einer komplexen Eingabegröÿe in Abhängigkeit von der (Kreis-) Frequenz ω eines linearen zeitinvarianten

³

Systems.

Amplitudenfrequenzgang: Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsamplitude in Abhängigkeit von der Frequenz.

Phasenfrequenzgang: Phasenverschiebung (gleich Produkt aus Verzögerung und Frequenz) in Abhän- gigkeit von der Frequenz.

Schaltungsanalyse im Frequenzbereich

Die Berechnung des Frequenzgangs erfolgt über Knoten- und Maschengleichungen mit den komplexen Strömen, Spannungen und Widerständen:

X

₃

= R

3

+

_jωC¹₃

U

₃

I

₃

I

₁

U

₁

X

₁

= R

1

X

₄

= R

4

I

₄

U

₄

R

2

+

_jωC¹₂

X

₂

= I

₂

U

₂

U

₅

I

₅

K2 K1

U

_e

M1 M2 M3

X

₅

= jωL

3















1 −1 −1 0 0

0 0 1 −1 −1

R1

R2+_jωC¹

2

0 0 0

0 −

R2+_jωC¹

2

R3+_jωC¹

3

R4 0

0 0 0 −R4 jωL5















·









 I₁ I₂ I₃ I₄ I₅











=









 0 0 U_e

0 0











Die Auösung des Gleichungssystems nach dem Verhältnis

^U_I

ist der Quotiont aus einem Zähler- und einem Nennerpolynom mit jω als Argument:

X = U

I = a

0

+ a

1

· jω + . . . + a

Z

· (jω)

^Z

b

0

+ b

1

· jω + . . . + b

N

· (jω)

^N

(Z Grad des Zählerpolynoms; N Grad des Nennerpolynoms).

R C C R U

a

U

e

U

_a

U

_e

= R k

_jωC¹

R +

_jωC¹

+

R k

_jωC¹

=

R 1+jωRC

R +

_jωC¹

+

_1+jωRC^R

= jωRC

1 + 3 · jωRC − (ωRC)

²

3

Zeitinvariant bedeutet, das sich das Systemverhalten nicht mit der Zeit ändert, d.h. dasselbe Eingabesignal zu einem

anderen Zeitpunkt führt zeitversetzt zum selben Ausgabesignal.

Bode-Diagramm

Doppellogarithmische Darstellung des Amplitudenfrequenzgangs und einfachlogarithmische Darstellung des Phasenfrequenzgangs.

U

_a

= jωRC · 1 V

1 + 3 · jωRC − (ωRC)

²

mit R · C = 22 nF · 10 kΩ = 220 µs Dezibel

Dezibel ist eine logarithmische Angabe für Amplitudenverhältnisse:

d = 20 · log

₁₀

(w) ; w = 10

^20d

Wertangabe (w) 0,01 0,1 1 10 100

Dezibelangabe (d) -40 dB -20 dB 0 dB 20 dB 40 dB Frequenzgangabschätzung

U

_a

= jωRC · 1 V

1 + 3 · jωRC − (ωRC)

²

mit R · C = 22 nF · 10 kΩ = 220 µs

= 1 V ·

j·f 723 Hz

1 +

_{723 Hz}^j·3·f

−

_{723 Hz}^f

2

Bereich Näherung

_{1 V}^Ua

f 723 Hz

j·f 723 Hz

1

f ≈ 723 Hz

j·f 723 Hz

j·3·f 723 Hz

=

¹₃

f 723 Hz

j·f 723 Hz

−

(

723 Hz^f

)

²

=

^{−j·723 Hz}_f

3.2 Laplace-Transformierte

Laplace-Transformierte, Pol-Nullstellen-Diagramm

Ersatz des Frequenzparameters jω durch einen komplexen Frequenzparameter s = α + jω. Laplace- Transformierte sind gebrochenrationale Funktionen bezüglich s:

X = a

0

+ a

1

· s + . . . + a

Z

· s

^Z

b

0

+ b

1

· s + . . . + b

N

· s

^N

= a

0

b

0

·

1 −

q^s1

· . . . · 1 −

q^s_Z

1 −

p^s1

· . . . · 1 −

p^s_N

Bis auf einen Skalierungsfaktor eindeutig durch ihre Pole p

i

und Nullstellen q

i

beschreibbar.

s-Ebene

Pol Nullstelle jω

Pole erlaubt q

1

p

4

p

3

p

1

q

2

p

2

Pole verboten

q

3

α

sich Betrag und Phase abschätzen.

Konjugiert komplexe Pole in der rechten Halbebene zeigen Einschwingvorgänge und in der linken Halb- ebene abschwingende Vorgänge. Systeme mit Einschwingvorgängen sind instabil (schwingen von selbst).

Signalverarbeitende Systeme dürfen nur Pole auf der linken Halbebene haben.

Der Frequenzgang gesteuerter Quellen kann direkt als Laplace-Transformierte einprogrammiert werden:

U

_a

= jω · 0,22 ms · 1 V

1 + jω · 0,66 ms + (jω · 0,22 ms)

²

⇒ s · 0,22 ms · 1 V 1 + s · 0,66 ms + (s · 0,22 ms)

²

3.3 Verstärker

Frequenzgang von Verstärkern

f

o

| A | =

^U_U^a

e

| A | =

^U_U^a

e

f

u

f

o

f

f B

B

U

_e

U

_a

U

_e

U

_a

Wechselspannungsverst¨arker Gleichspannungsverst¨arker

Ein Verstärker ohne induktive und kapazitive Beschaltung hat von f = 0 bis nahe an die Übergangs- frequenz f

0

eine betragsmäÿig nahezu konstante Verstärkung | A | . Die Übergangsfrequenz ist die, bei der | A | auf 1/ √

2 abgefallen ist

⁴

und gleichzeitig die Bandbreite B. Weitere Frequenzganganpassung / Bandbreitereduzierung durch externe L − und C − Beschaltung.

Rückgekoppelter Operationsverstärker Frequenzgang ohne Rückkopplung:

v

₀

= U

_a

U

_Diff

≈ −j · f

T

f U

_a

R

2

v

u0

=

^R1_R^+R₁ ²

100 1000

10 1

v

u0

= 10 v

u0

= 100 v

u0

→ ∞

10

⁻³

10

⁻²

10

⁻¹

1

^f

fT

U

_e

R

1

^UU^a_e

U

_Diff

U

a

= v

₀

·

U

e

− U

a

v

_u0

mit v

u0

= R

1

+ R

2

R

₁

; v

₀

≈ −j · f

T

f U

_e

= U

_a

·

1 v

₀

+ 1

v

u0

U

a

= U

e 1 v₀

+

_v¹

u0

= v

u0

· U

e v_u0

v₀

+ 1 = v

u0

· U

e j·f·v_u0

f_T

+ 1 U

_a

= v

u0

· U

_e

1 + j ·

_f^f

mit

v0

v

u0

= R

₁

+ R

₂

R

1

; f

v0

= f

_T

v

u0

(f

T

Transitfrequenz der Stromverstärkung; v

u0

Verstärkung für niedrige Frequenzen; f

v0

=

_v^f_u0^T

Übergangsfrequenz der Spannungsverstärkung).

4

Realteil gleich Imaginärteil.

Rückkopplung mindert die Verstärkung und erhöht die Bandbreite B. Verstärkungs-Bandbreite-Produkt für Verstärker ohne L − und C −Beschaltung:

B · v ≈ f

T

(B Bandbreite; v Verstärkung; f

T

Transitfrequenz).

Beispielsimulation:

Frequenzgang von Transistorverstärkern Frequenzgang der Stromverstärkung:

β = β

0

· 1 1 + j ·

_f^f

0

β

0

Grundverstärkung

f

0

Übergangsfrequenz

β^β0

0,1

0,01 1 10

0,1 1 0,01

f f0

Für hohe Frequenzen f f

0

gilt wie beim Operationsverstärker:

β ≈ β

0

· 1 j ·

_f^f

0

= −j · β

0

· f

0

f = −j · f

T

f

f

T

= β

0

· f

0

Transitfrequenz, Frequenz für β = − j.

Emitterschaltung mit Stromgegenkopplung

Emitterschaltung mit Stromgegenkopplung über R

E

und einer Signalquelle mit Quellenwiderstand R

Q

.

R

Q

Ersatzschaltung f¨ ur f = 0

U

e

I

B

U

BEF

R

E

β

0

· I

B

R

Q

R

C

U

a

U

V

Ersatzschaltung f¨ ur f 6 = 0 R

C

U

_e

R

E

U

_a

β · I

_B

I

_B

R

C

u

a

U

V

R

E

u

e

R

Q

Aus der Ersatzschaltung für f 6 = 0 berechnet sich der Frequenzgang.

R

Q

R

C

U

_e

U

_a

R

E

β · I

_B

I

_B

U

_e

= R

Q

+ R

E

· 1 + β

· I

_B

U

_a

= −R

C

· β · I

_B

= − R

C

· β · U

_e

R

Q

+ R

E

· 1 + β

= − R

C

· U

_Q

(R

Q

+ R

E

) ·

¹_β

+ R

E

Einsetzen des Frequenzgangs der Stromverstärkung:

1 β = 1

β

0

+ j · f f

T

U

_a

= − R

C

· U

_e

(R

Q

+ R

E

) ·

1 β₀

+

^j·f_f

T

+ R

E

= v

V0

· U

_e

1 +

_f^j·f

V0

(1) Für niedrige Frequenzen beträgt die Verstärkung:

v

V0

= − R

C

(R

Q

+ R

E

) ·

_β¹

0

+ R

E

≈ − R

C

R

E

Die Übergangsfrequenz der Spannungsverstärkung f

V0

(Realteil gleich Imaginärteil):

(R

Q

+ R

E

) · f

V0

f

T

= R

E

+ R

Q

+ R

E

β

0

f

V0

= f

T

·

RQ+RE β0

+ R

_E

(R

Q

+ R

E

) ≈ f

T

· R

E

R

Q

+ R

E

Sonderfall kleiner Quellenwiderstand R

Q

R

E

:

f

V0

≈ f

T

Maximal Transitfrequenz der Stromverstärkung. Abnahme mit R

Q

. Simulation: DC-Analyse zur Arbeitspunktfestlegung

Für R

Q

im gesamten variierten Bereich von 100 Ω bis 3,3 kΩ ist U

e

= 1,4 V ein guter Arbeitspunkt.

AC-Analyse

Die Verstärkung für niedrige Frequenzen ist wie vorhergesagt −

^RR^CE

=

_{330 Ω}^{1 kΩ}

= 3 ≈ 9,5 dB. Erwartete Übergangsfrequenz (f

T

Transitfrequenz der Stromverstärkung):

R

Q

100 Ω 330 Ω 1 kΩ 3,3 kΩ f

V0

≈ f

T

·

_R^RE

Q+RE

0,77 · f

T

0,5 · f

T

0,25 · f

T

0,09 · f

T

Basisschaltung

Basis an Masse. Signaleinspeisung am Emitter. Die Übergangsfrequenz der Spannungsverstärkung ist etwa die Transitfrequenz der Stromverstärkung:

R

E

I

E

R

C

U

_a

β 1+β

· I

_E

U

_e

I

_E

R

E

R

C

U

a β0

1+β0

· I

E

Ersatzschaltung f = 0

U

e

U

BEF

U

V

Ersatzschaltung f 6 = 0 u

a

U

V

u

e

R

C

R

E

R

C

U

_a

β 1+β

· I

_E

U

_e

R

E

I

_E

I

_E

= − U

_e

R

_E

U

_a

= − β · R

C

· I

_E

1 + β = R

C

· U

_e

R

E

·

1 +

_β¹

U

_a

= R

C

· U

_e

R

E

· 1 +

_β¹

0

+

^j·f_f

T

≈ R

C

· U

_e

R

E

·

1 +

^j·f_f

T

= v

U0

· U

_e

1 +

_f^j·f

V0

Die Verstärkung für niedrige Frequenzen:

v

V0

≈ R

C

/R

E

Übergangsfrequenz der Spannungsverstärkung:

f

V0

=

1 + 1 β

0

· f

T

≈ f

T

DC-Analyse zur Arbeitspunktfestlegung

Ein guter Arbeitspunkt ist U

e

= − 1,6 V.

AC-Analyse

Der Betrag der Verstärkung ist wie bei der Emitterschaltung ca. 9 dB. Die Übergangsfrequenz der Schal- tung und die Transitfrequenz des Transistors liegt bei etwa 80...90 MHz.

3.4 Filter

Filter

Filter sind Schaltungen zur Einstellung eines gewollten Phasen- und Amplitudenfrequenzgangs. Wichtige Filterarten:

f

o

f f

u

f

f

o

f

u

f f

u

f

o

f

| A | =

^U_U^a

e

| A | =

^U_U^a

e

Bandpass Bandsperre

| A | =

^U_U^a

e

| A | =

^U_U^a

e

Tiefpass Hochpass

Tiefpässe dienen z.B. als Antialiasing-Filter

⁵

vor der Abtastung, Bandpässe zur Sendertrennung beim Rundfunk- und Fernsehempfang. Entwurf im Laplace-Raum (s statt jω).

5

Beseitigung von Spektralanteilen gröÿer der halben Abtastfrequenz.

Entwurf von Tiefpässen

Ein Tiefpass hat im Laplace-Raum die Übertragungsfunktion:

A (s

n

) =

 



 

A0

(1+a0·sn)·Q^N−12

i=1 (1+ai·sn+bi·s²n)

für ungerade N

A0

Q^N₂

i=1(1+ai·sn+bi·s²_n)

für gerade N

(N Filtergrad; a

0

, a

i

, b

i

Filterkoezienten; s

n

=

_ω^s₀

normierte Frequenzvariable).

Der einfachste Tiefpass: RC-Glied mit s

n

= jωRC.

^UU^a_e

0,1

0,01 1 10

-20 dB 0 dB -40 dB

DB

| s

n

| = ωRC DB 100

SB Sperrband (min. D¨ampfung 40 dB) Durchlassband (max. D¨ampfung 3 dB)

SB

fD=f0

fS= 100·f0

R

U

_e

C U

_a

U_a U_e

=

1 j·ω·C

R+_j·ω¹_·C

=

_1+j·^U_ω^e_·R·C

⇒

1+s¹n

^UU^a_e

0,1

0,01 1 10

-20 dB 0 dB -40 dB

DB

| s

n

| = jωRC 100

SB

fD=f0

fS= 100·f0

Bei geforderter Mindestdämpfung im Sperrband von 40 dB ist die Anfangsfrequenz des Sperrbands 100- mal so groÿ wie die obere Frequenz des Durchlassbands. Zur Digitalisierung müsste die Abtastfrequenz 200 · f

0

sein. Abstandsverringerung durch Erhöhung der Filterordnung N. Verkettung von zwei RC- Gliedern.

^UU^a_e

DB

SB Sperrband (min. D¨ampfung 40 dB) Durchlassband (max. D¨ampfung 3 dB)

C R

C v = 1 R U

_e

·

(1+s¹n)²

U

_a

= U

_e

0,1

0,01 1 10

-40 dB 0 dB -80 dB

DB SB

ω · R · C ⇒ s

n fS= 10·f0

fD= 0,64·f0

Konjugiert komplexe Pole

Tiefpass 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen:

C U

_a

L R U

_e

0 dB -20 dB -40 dB

Q = 1,4300

1 10

0,1

^UU^a_e

DB

SB Q = 2,8569 Q = 0,7100

| s

n

| =

_ω^ω₀

U

_a

U

_e

=

1 j·ω·C

R + j · ω · L +

_j·ω·C¹

= 1 1 +

_Q·ω^j·ω

0

−

ω ω0

2

Laplace normiert:

U

_a

U

_e

= 1

1 + a · s

n

+ b · s

²_n

mit a = 1

Q ; b = 1; s

n

= j · ω

ω

0

Pole:

p

_1/2

= − 1 2 · Q ±

r 1 4 · Q

²

− 1

Verkettung von Filtern mit konjugiert komplexen Polen

⁶

:

Einstellung ¨ uber a

i

Einstellung ¨ uber b

i

| s

n

| = 1

1 1+a1·sn+b1·s²n

1 1+a2·sn+b2·s²_n

Filterkette

DB SB

Standard-Tiefpassentwürfe

A (s

n

) =



 

 

A0 (1+a0·sn)·Q^N−

1 2

i=1

(

1+ai·sn+bi·s²_n

)

für ungerade N

A0 Q

N

i=12

(

1+ai·sn+bi·s²_n

) für gerade N

(N Filtergrad; a

0

, a

i

, b

i

Filterkoezienten; s

n

normierte Frequenzvariable). Für die Filterkoef- zienten a

0

, a

i

, b

i

gibt es Tabellen. Der Filtertyp (Potenz-, Tschebysche-, ...) beschreibt die Form des Übergangs vom Sperr- zum Durchlassband. Cauer-Filter haben den steilsten Übergang und die gröÿte Verzerrung

⁷

. Bessellter haben im Durchlassbereich eine nahezu konstante Verzögerung (Gruppenlauf- zeit), d.h. sie verzerren kaum. Dafür ist für denselben Abstand zwischen Durchlass- und Sperrband ein höherer Filtergrad erforderlich.

Bessel-Filter

Bessellter haben konjugiert-komplexe Mehrfachpole:

A (s

n

) =



 

 

A0

(1+a0·s_n)·

(

1+a·sn+b·s²_n

)

^N−21

für ungerade N

A0

(

^1+a·sn+b·s²_n

)

^N2

für gerade N

0,4140 b 0,1892 0,1225 0,0718 0,0905 2

6 4 8 10

a 1,2872 0,8700 0,6999 a

- 1,0197 0,7712

0,6453 0,6017

0,5358 1

a

0

1,0000 0,5098 0,3856 0,3226

b - 0,2599 0,1487 0,1401 0,2829 0,5659 0,0801 9

7 5 3

Filtergrad ungerade Filtergrad grade

N N

(N Filtergrad; a

0

, a

i

, b

i

Filterkoezienten). Die verketteten Tiefpässe zweiter Ordnung sind identisch, d.h. im Gegensatz zu den anderen Filtertypen braucht man nur einen Tiefpass 2. Ordnung zu entwerfen und verkettet davon mehrere.

Simulation eines Bessellters 6. Ordnung

6

Verkettung bedeutet Addition der logarithmischen Beträge.

7

Frequenzabhängige Unterschiede der Dämpfung und Verzögerung im Durchlassbereich.

f

| U

a

| SB min.

40 dB D¨ampfung D¨ampf.

3 dB DB max.

Das Durchlassband endet bei 10 kHz und das Sperrband fängt bei 50 kHz an.

Entwurf als RLC-Filter

I = 0 L

R

C v = 1

Ua

=

Uz2

=

1 1+jωRC−ω²LC

1

1+0,6999·sn+0,1225·s²_n Uz2

=

Uz1

=

1 1+jωRC−ω²LC

1

1+0,6999·sn+0,1225·s²n

Uz1

=

Ue

=

1 1+jωRC−ω²LC

1

1+0,6999·sn+0,1225·s²n

I = 0 L

R

C

v = 1 R L I = 0 C

U

_e

U

_z1

U

_z2

U

_a

Restliche Berechnung über Koezientenvergleich:

s

n

= jω 2π · 10 kHz 0,1225 ·

jω 2π · 10 kHz

2

= −ω

²

LC C = 31,03 µs

²

L 0,6999 · jω

2π · 10 kHz = jωRC; R = 11,139 µs C Beispielwerte: L = 100 µH, C = 310,30 nF und R = 35,90 Ω Simulation

Die Funktionen R(), C() und L() erzeugen Zufallswerte im Bereich ± 5% vom Nennwert. Die Step-

Anweisung wiederholt die Simulation 100 mal.

Entwurf mit Operationsverstärkern

I

₂

I

₁

I

₂

U

_e

C

2

R

2

U

_C2

M1

I = 0 K

U

_R2

U

_R1

R

1

∆U = 0

C

3

U

_C1

I

₃

M2

U

_a

M3

K : I

₁

− I

₂

+ I

₃

= 0 M1 : R

1

· I

₁

+

R

2

+

_j·ω·C¹

2

· I

₂

= U

_e

M2 : −

_j·ω·C¹

2

· I

₂

+ U

_a

= 0 M3 : −R

2

· I

₂

−

_j·ω·C¹ ₁

· I

₃

= 0

Auösen nach U

_a

= f (U

_e

) durch eliminieren der 3 unbekannten Ströme:

U

_a

U

_e

= 1

1 + jω·C

2

· (R

1

+ R

2

) − ω

²

·R

1

·R

2

·C

1

·C

2

= 1

1 + a

i

· s

n

+ b

i

· s

²_n

Unter Vorgabe von C

1

und C

2

betragen die Widerstände:

R

1/2

= a · C

2

∓ p

a

²

· C

₂²

− 4 · b · C

1

C

2

4π · f

0

· C

1

C

2

Damit der Wert unter der Wurzel positiv ist:

C

2

C

1

≥ 4 · b

a

²

= 4 · 0,1225

0,6999

²

= 1 ⇒ C

2

= C

1

= C

Mit den Bessel-Koezienten wird der Ausdruck unter der Wurzel genau für C

2

= C

1

= C null. Damit werden auch beide Widerstände gleich:

R

1

= R

2

= a

4 · π · 10 kHz · C = 0,6999

4 · π · 10 kHz · C = 5,5696 µs C

Beispielwerte: C = C

1

= C

2

= 1 nF und R = R

1

= R

2

= 5,5696 kΩ.

Simulation

Die rückgekoppelten Operationsverstärker sind durch gesteuerte Spannungsquellen mit Verstärkung eins

ersetzt.

Hochpass und Bandpass

Tiefpass-Hochpass-Transformation: Ersatz s

n

7→ 1/s

n

. Als Beispiel unser Bessellter 6. Ordnung:

A

TP

(s

n

) = 1

(1 + 0,6999 · s

n

+ 0,1225 · s

²_n

)

³

Korrespondierender Hochpass:

A

HP

(s

n

) = 1

1 + 0,6999 ·

_s¹

n

+ 0,1225 ·

_s¹2 n

3

Tiefpass-Bandpass-Transformation: Ersatz s

n

7→

∆ω¹n

·

s

n

+

_s¹_n

(∆ω

n

relative Breite des Durchlass- bands. Als Beispiel unser Bessellter 6. Ordnung mit einer relativen Bandbreite ∆ω

n

= 1:

A

BP

(s

n

) = 1

1 +

^0,6999_∆ω

n

· s

n

+

_s¹

n

+

^1,225_∆ω2

n

· s

n

+

_s¹

n

2

3

Simulation von Tief-, Hoch- und Bandpass

4 Spektralanalyse

Das Spektrum eines Signals

Im Frequenzbereich wird ein periodisches Zeitsignal durch eine Summe zeitabhängiger komplexer Expo- nentialfunktionen dargestellt:

x (t) =

∞

X

m=−∞

X

_m

· e

^j·m·ω0·t

Die Spektralwerte X

_m

6 = 0 bilden das Spektrum. Sie haben je eine Amplitude und eine Phase. Berechnung durch Fouriertransformation.

ˆ Wiederholung Berechnung Spektrum.

Beispiel 1. Berechnung des Spektrums mit LT-Spiece.

Weitere im Abschnitt untersuchte Fragestellungen:

ˆ Die Ausgabe eines linearen Systems hat nur Spektralwerte 6 = 0 für Frequenzen, die im Eingabe- spektrum enthalten sind.

ˆ Wie ist das bei nichtlinearen Systmen?

4.1 Fouriertransformation

Fouriertransformation

... ... Abtastfolge einer Periode ... ...

t in s 1

0 -1

u in V 20

T

P

= 16 · T

A

(Signalperiode) T

A

= 1 s (Abtastintervall) u(8) u(12)

5

10 15

0

u(4) u(0)

Berechnung von N Spektralwerten aus N äquidistanten Abtastpunkten eines bandbegrenzten Signals.

Abtasttheorem:

X

m

= 0 für |f

m

| ≥ f

max

= N 2 · T

P

(T

P

Signalperiode).

f

max

0 f

| X | = 0

| X | ≥ 0

| X |

Die Spektrakwerte ergeben sich aus den Abtastwerten über ein lineares Gleichungssystem:











X −

^N₂

X −

^N₂

+ 1

.. . X

^N₂

− 1











= Q

⁻¹

·









 x (0) x (1) .. . x (N − 1)











Q

⁻¹

N × N-Matrix mit den komplexen Koezienten:

q

mn

= 1

N · e

^{−j·2·π·m·nN}

Praktische Berechnung mit der FFT (Fast Fourier Transformation), die durch geschickes Ausklammern nur N · log (N) statt N · N komplexe Multiplikationen erfordert.

Spektrum aufgezeichneter Zeitfolgen mit LTSpice

Das Spektrum kann für jedes bei der Simulation aufgezeichnete Signal berechnet und angezeigt werden.

Menü: view, t, Signalauswahl, im Beispiel V(a):

Angezeigt wird der Betrag der Spektralwerte für positive Frequenzen.

Das Beispielsignal _{V (a) =1 V · sin} ^{2π · f} 1 kHz

sollte nur für | f | = 1 kHz einen Spektralwert 6 = 0 enthalten. Ursache weiterer Werte 6 = 0 sind numerische Fehler, reduzierbar mit

⁸

:

.plotwinsize=0

U

_a

(f )

mit Komprimierung ohne Komprimierung

Verbesserung

Spektrum eines Rechtecksignal

ˆ Ein symmetrisches Rechtecksignal hat die Fourie-Reihe (vergl. Elektronik I, Foliensatz 7):

f

M

(t) = 4 π ·

M

X

m=0

sin

^π·m₂

m · cos

2π · m · t T

ˆ Annäherung bis zur 9-fachen Frequenz:

-1 0 1

0 t/T

− 1 1

f

9

(t)

f

9

(t) = 4 π · cos

2π · t T

− cos

^2π·3·t_T

3 + cos

^2π·5·t_T

5 − . . . + cos

^2π·9·t_T

9

!

Nur Spektralwerte ungeradzahliger Vielfacher der Grundfrequenz.

Bestimmung durch Simulation 1,0 V 0,8 V 0,6 V 0,4 V 0, 2V

0 V 0 1 2 3 4

t in ms

-20 dB 0 dB

-40 dB -60 dB -80 dB -100 dB

0 5 10 15 20

f in kHz u

a

(Zeitsignal) Spetrum von u

a

ˆ Theoretisch nur Spektralwerte für ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz (Oberwellen) von 1 kHz.

ˆ Geringe Spektralwerte geradzahliger Oberwellen durch Dierenz zwischen Ein- und Ausschaltzeit.

ˆ Spektralwerte < − 80 dB durch numerische Fehler.

ˆ Zusätzlich Berechnung der Phase mit .four 1kH 10 V(a).

8

Deaktiviert die Datenkompression für aufgezeichnete Signalverläufe. http://www.audio-perfection.com/spice-

ltspice/distortion-measurements-with-ltspice.html

Mit der zusätzlichen Spice-Anweisung .four 1kHz 10 V(a)

werden die Spektralwerte, im Beispiel für die 1kHz-Grundwelle und 9 Oberwellen (Vielfache der Grund- frequenz berechnet und im ErrLog-File incl. Phase dargestellt:

Harmonic Frequency Fourier Normalized Phase Number [Hz] Component Component [degree]

1 1.000e+03 6.366e-01 1.000e+00 -0.36°

2 2.000e+03 2.000e-03 3.142e-03 89.28°

3 3.000e+03 2.122e-01 3.333e-01 -1.08°

4 4.000e+03 2.000e-03 3.141e-03 88.56°

5 5.000e+03 1.273e-01 2.000e-01 -1.80°

6 6.000e+03 2.000e-03 3.141e-03 87.84°

7 7.000e+03 9.092e-02 1.428e-01 -2.52°

8 8.000e+03 2.000e-03 3.141e-03 87.12°

9 9.000e+03 7.070e-02 1.111e-01 -3.24°

10 1.000e+04 1.999e-03 3.141e-03 86.40°

Das Spektrum eines periodischen Impulses

1,000 ms 1,001 ms 1,100 ms 1,101 ms

0 V 1 V

0, 2V 0 V 0,4 V 0,6 V 0,8 V 1,0 V

0 3 6 9

t in ms u

a

(Zeitsignal)

0,1 1 10 100

f in kHz -30 dB

-40 dB -50 dB -60 dB -80 dB -70 dB

Spektrum von u

a

Für f <

_2π·t¹_Puls

= 1,6 kHz (t

Puls

Pulsbreite) U

a

= konst.

Spektren nicht periodischer Signale

Das Spektrum eines nicht periodischen Signals ergibt sich durch den Grenzwertübergang der Anzahl der Abtastpunkte je Periode N → ∞ . Beispiel Impuls. Erster Abtastwert A · N, alle anderen null:

x (n) = lim

N→∞

( A · N n = 0 0 sonst Spektralwerte aller Frequenzindizes: X (m) = A.

Zusammensetzen eines Impulses aus seinen Spektralanteilen:

. . .

Impuls (Spektrum)

Bandbegrenzung f x

t

| X |

Impuls (Zeitverlauf)

Die aufsummierten Kosinussignale für den Impuls haben alle dieselbe Amplitude und Phase null. Kon- stante Amplitude für alle Frequenzen hat auch ein ganz anderes Zeitsignal, das sog. weiÿe Rauschen, das sich aus vielen kleinen Impulsen zu zufälligen Zeitpunkten zusammensetzt (siehe später Seite 30).

t

a

t t

e

u

reff

(Effektivwert) u

r

(t)

Das Amplitudenspektrum allein reicht nicht für eine eindeutige Signalbeschreibung.

In der Praxis werden Spektren meist aus Abtastfolgen berechnet, die nicht genau eine Signalperiode lang sind, überlagert von einem Quantisierungsrauschen. Das sich dabei typisch ergebende Amplitudenspek- trum besteht aus einem Grundrauschen und Peaks für die periodischen Anteile.

4.2 Klirrfaktor

Spektrum und Nichtlinearität

ˆ Die Ausgabe eines linearen Systems hat nur Spektralwerte 6 = 0 für Frequenzen, die im Eingabe- spektrum enthalten sind.

ˆ Nichtlineare Systeme werden im Arbeitspunkt linearisiert durch Vernachlässigung der quadrati- schen, kubischen etc. Terme:

f (x) = f(x

0

) + f

⁰

(x

0

) 1! ·(x - x

0

)

| {z }

lineare N¨aherung

+ f

⁰⁰

(x

0

)

2! ·(x - x

0

)

²

+ f

⁰⁰⁰

(x

0

)

3! ·(x - x

0

)

³

+ ...

| {z }

vernachl¨assigte nichtlineare Anteile

Tangente Arbeits-

punkt f(x)

x

0

x

1. Was entsteht, wenn ein Kosinussignal mit n potenziert wird?

cos (ωt)

ⁿ

= 1 2

ⁿ

X

n k=0

n k

cos ((n − 2k) · ω · t) (2) Spektralanteile mit der 2 bis n-fachen Frequenz.

2. Was entsteht aus einem Kosinussignal an einer nichtlinearen Kennlinie, bei der die Abweichung vom Arbeitspunkt entsprechend Taylor-Reihe linear + quadratisch + kubisch + ...eingeht?

0 1 2 3 4 f /f

0

| Y |

Oberwellen

0 1 2 3 4 f /f

0

| X |

x y

x y

der Eingabe

Amplitudenspektrum Amplitudenspektrum

System nichtlineares

der Ausgabe

Spektralanteile für Summen- und Dierenzfrequenzen.

Herleitung Gleichung 2:

cos (ωt)

ⁿ

= 1 2

ⁿ

n

X

k=0

n k

cos ((n − 2k) · ω · t)

cos (ω · t)

ⁿ

= 1

2 ·

e

^j·ω·t

+ e

^−j·ω·t

n

Nach dem Binomischen Lehrsatz:

e

^j·ω·t

+ e

^−j·ω·t

n

= 1

2

ⁿ

·

n

X

k=0

n k

· e

j·ω·t·(n−k)

· e

^{−j·ω·t·k}

| {z }

ej·ω·t·(n−2k)

Summe enthält paarweise konjugiert komplexe Terme, z.B für n = 4 :

k 0 1 2 3 4

Exponent: n − 2k 4 2 0 -2 -4 n

k

1 4 6 4 1

Signalverzerrung an einer Diode

ˆ Die Strom-Spannungs-Kennlinie einer Diode ist näherungsweise eine Exponentialfunktion.

ˆ Der untere Teil des Ausgabesignals wird gestaucht und der obere gestreckt.

ˆ Spektralwerte des Diodenstroms berechnet mit:

.four 1kHz 10 I(D1) Frequency Fourier Phase [Hz] Component [degree]

1.000e+03 5.927e-04 0.01° : Grundwelle

2.000e+03 2.740e-04 -89.99° : 1. Oberwelle

3.000e+03 9.073e-05 -179.98° : 2. Oberwelle

4.000e+03 2.303e-05 90.03° : 3. Oberwelle

5.000e+03 4.649e-06 0.03° : 4. Oberwelle

6.000e+03 7.509e-07 -89.96° : 5. Oberwelle

7.000e+03 9.288e-08 -179.96° : 6. Oberwelle

8.000e+03 6.882e-09 89.99° : 7. Oberwelle

9.000e+03 4.010e-10 -178.20° : 8. Oberwelle

1.000e+04 2.657e-10 90.08° : 9. Oberwelle

Total Harmonic Distortion: 48.864496%

Klirrfaktor (Harmonic Distortion)

Der Klirrfaktor beschreibt Anteil der Energie der Oberwellen an der Gesamtenergie. Er berechnet sich als Verhältnis der Eektivwerte

k = s P

∞

m=2

|X

_m

|

²

P

∞

m=1

|X

_m

|

²

(m Frequenzindex) und ist ein Maÿ der Verzerrung. Bei Audiosignalen wird ein groÿer Klirrfaktor als klirren wahrgenommen.

Für den Diodenstrom im Beispiel gilt:

k = s

(2,740 · 10

⁻⁴

)

²

+ (9,073 · 10

⁻⁵

)

²

+ . . .

(5,927 · 10

⁻⁴

)

²

+ (2,740e · 10

⁻⁴

)

²

+ (9,073 · 10

⁻⁵

)

²

+ . . .

= 48,8%

Das Ergebnis steht unter den Spektralwerten im SPICE Error Log:

Total Harmonic Distortion: 48.864496%

Der Klirrfaktor eines Verstärkers

Wenn das Eingabesignal eines Verstärkers zu groÿ ist, übersteuert er, d.h. er verlässt seinen linearen Kennlinienbereich:

Das Eingabesignal ist U

g

= 2 V + 0,5 V · sin (2π · 1 kHz · t). Für zu groÿe Werte der Eingangsspannung geht der Transistor in die Übersteuerung. Die Verstärkung wechselt von -2 nach 1.

Fourier-Koezienten und Klirrfaktor aus dem SPICE Error Log:

Harmonic Frequency Fourier Normalized Phase Number [Hz] Component Component [degree]

1 1.000e+03 7.883e-01 1.000e+00 -180.00°

2 2.000e+03 1.396e-01 1.770e-01 -90.04°

3 3.000e+03 8.518e-02 1.081e-01 179.96°

4 4.000e+03 3.380e-02 4.287e-02 90.03°

5 5.000e+03 1.275e-04 1.618e-04 44.24°

6 6.000e+03 1.318e-02 1.671e-02 89.62°

7 7.000e+03 1.124e-02 1.426e-02 -0.06°

8 8.000e+03 3.207e-03 4.068e-03 -88.60°

9 9.000e+03 3.201e-03 4.060e-03 -1.90°

10 1.000e+04 4.716e-03 5.983e-03 -90.54°

Total Harmonic Distortion: 21.307795%

5 Rauschen

Rauschen

Jede Spannung und jeder Strom ist mit einem Rauschsignal überlagert:

t

a

t t

e

u

reff

(Effektivwert) u

r

(t)

Rauschsignale werden durch ihren Eektivwert (Leistungsmittelwert), Abschätzung für das Zeitfenster [t

a

, t

e

]

ˆ u

reff

=

s 1 t

a

− t

e

·

Z

te

ta

u

²_r

(t) · dt und seine spektrale Rauschdichte beschrieben:

f

f

u

f

o

u

reff

= qR

fo

fu

u

r

(f )

²

· df u

r

(f )

SNR und Simulationsart noise

Nutzsignale sind nur auswertbar, wenn sie vom Rauschen unterscheidbar sind. Maÿ für die Trennbarkeit ist der Signal-Rausch-Abstand SNR (Signal-Noise-Ratio) als Verhältnis des Leistungsumsatzes von Nutz- und Rauschsignal an einem Widerstand und gleich dem Verhältnis der Eektivwertquadrate:

SN R = U

_eff²

u

²_reff

LT-Spice berechnet in der Simulationsart noise äquivalente Rauschdichten für auf den Schaltungsaus- gang transformiertes:

ˆ Wärmerauschen an Widerständen,

ˆ Stromrauschen (Schrotrauschen) an pn-Übergängen,

ˆ gesamte äquivalente Rauschdichte am Ausgang,

ˆ frequenzabhängige Verstärkung (gain) und

ˆ gesamte äquivalente Eingangsrauschdichte (Ausgangsrauschdichte durch gain).

Daraus lassen sich unter Angabe des Frequenzbereichs die Eektivwerte des Rauschens und damit die Signal-Rausch-Abstände bestimmen.

5.1 Wärmerauschen

Wärmerauschen an Widerständen

Driftende Leitungselektronen erzeugen mit groÿer Rate statistisch unabhängige Spannungs- und Stro- mimpulse kurzer Dauer, deren Überlagerung zu einem Spektrum mit frequenzunabhängiger konstanter Amplitude und zufälliger Phase führt (weiÿes Rauschen):

Rauschspannungsdichte: u

r.R

(f ) = √

4 · k

B

· T · R Effektivwert

^(∗)

: u

reff.R

= √

4 · k

B

· T · R · ∆f Rauschstromdichte: i

r.R

(f ) = q

4·kB·T

R

=

^ur.R_R^(f)

Effektivwert

^(∗)

: i

reff.R

=

^√4·kB_R^·T·∆f

=

^ireff.R_R^(f)

(3)

(k

B

= 1,38 · 10

^{−23 Ws}_K

Boltzmannkonstante; T Temperatur in Kelvin;

^(∗)

bei frequenzunabhängiger Rauschdichte; ∆f genutzte Bandbreite). Die eektive Rauschleistung beträgt unabhängig vom Wider- standswert:

P

reff.R

= u

reff.R

· i

reff.R

= 4 · k

B

· T · ∆f

Beispiel zum Wärmerauschen an einem Widerstand T = 300 K; R = 1 kΩ; ∆f = 1 MHz:

u

reff.R

= r

4 · 1,38 · 10

⁻²³

Ws

K · 300 K · 1 kΩ · 1 MHz = 4,07 µV i

reff.R

= u

reff.R

R = 4,07 nA

P

_reff.R

= u

_reff.R

· i

_reff.R

= 16,6 · 10

⁻¹⁵

W

Kontrolle durch Simulation:

5.2 Rauschquellen

Rauschquellen

Rauschen wird durch ungerichtete Spannungs- oder Stromquellen mit frequenzabhängiger Rauschdichte modelliert:

R u

r.R

i

r.R

R Widerstand mit Rauschspannungsquelle

Widerstand mit

Rauschstromquelle

u

r.R

(f ) = √

4 · k

B

· T · R i

r.R

(f ) = q

4·kB·T R

Die Rauschdichten der einzelnen Quellen werden in äquivalente Rauschdichten am Schaltungsein- oder Ausgang umgerechnet und zusammengefasst.

Zusammenfassen von Rauschquellen

Addition unkorrelierter Rauschanteile (Rauschdichten, Eektivwerte) nach Pythagoras:

u

r.R2

R

12

= R

1

+ R

2

u

r.R12

= p

u

²_r.R1

+ u

²_r.R2

u

r.R1

R

1

R

2

i

r.R1

R

1

i

r.R12

=

p i

²_r.R1

+ i

²_r.R2

i

r.R2

R

1

k R

2

R

2

Wärmerauschdichte von zwei Widerständen in Reihe:

q

u

²_r.R1

(f ) + u

²_r.R2

(f ) = qp

4 · k

B

· T · R

1 2

+ p

4 · k

B

· T · R

2 2

= p

4 · k

B

· T · (R

1

+ R

2

)