¨Uber Biextensionen und H¨ohenpaarungen algebraischer Zykel

Uber Biextensionen und ¨

H¨ohenpaarungen algebraischer Zykel

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)

der Fakult¨at f¨ur Mathematik der Universit¨at Regensburg

vorgelegt von Oliver Meyer aus Hehlen

Fakult¨at f¨ur Mathematik der Universit¨at Regensburg Regensburg im Mai 2003

Pr¨ufungsaussschuß :

Einleitung

Es sei A_K eine abelsche Variet¨at ¨uber einem globalen K¨orper K, d.h. einem Zahlk¨orper oder einer endlich erzeugten K¨orpererweiterung vom Transzendenzgrad 1 eines K¨orpersk, der inK algebraisch abgeschlossen ist. Man fixiere einen algebrai- schen Abschluß ¯KvonKund ein Geradenb¨undelL aufA_K. Ein klassisches Resultat von A. N´eron und J. Tate besagt die Existenz einer kanonischen H¨ohenfunktion

ˆh_L :AK( ¯K)−→R,

die im geometrischen Fall schon rationale Werte annimmt, nur von der Isomorphie- klasse von L abh¨angt und vertr¨aglich mit Basiswechsel ist. Ist L ∈Pic⁰(A_K), d.h.

istLK^¯ =L ⊗_KK¯ algebraisch ¨aquivalent zum trivialen Geradenb¨undel auf AK¯, so induzieren die H¨ohenfunktionen h_L die H¨ohenpaarung

<·,·>:A_K( ¯K)×A^∨_K(K)−→R.

Betrachtet man etwas allgemeiner Geradenb¨undel auf A_K ×_K L f¨ur eine endliche Erweiterung L|K, so l¨aßt sich die H¨ohenpaarung kanonisch auf A_K( ¯K)×A^∨_K( ¯K) ausdehnen. BezeichnetPK das Poincar´eb¨undel auf A_K×_KA^∨_K, so n¨ahrt die Formel

< x,L >= ˆh_PK(x,L), (x,L)∈(A_K×_K A^∨_K)( ¯K),

die Vermutung, daß eine geometrische Beschreibung der H¨ohenpaarung existiert.

Dies ist in der Tat richtig, wie folgende Betrachtung im Funktionk¨orperfalle zeigt:

Es sei S das regul¨are Modell von K, d.h. das zusammenh¨angende, glatte und ei- gentliche k-Schema mit Funktionenk¨orper K, und A_S (resp. A^∨_S) das N´eron-Modell von A_K (resp. A^∨_K) ¨uber S. Wir nehmen der Einfachheit halber an, daß A_K gute Reduktion besitze, AS also ein abelsches Schema ist. Je zwei Punkte x ∈ AK( ¯K) und L ∈ A^∨_K( ¯K) sind ¨uber einem endlichen Zwischenk¨orper L von ¯K|K definiert und geben in kanonischer Weise Schnitte x ∈ A_S⁰(S⁰) bzw. L ∈ A^∨_S0(S⁰), wobei S⁰ die Normalisierung vonS inLundAS⁰ der Basiswechsel vonAS bez¨uglich des endli- chen Morphismusπ:S⁰ →S ist. Dann ist (x,L)^∗PS⁰ ein Geradenb¨undel aufS⁰ und man setzt (x,L)^∗PS = _deg(S¹0:S)π∗((x,L)^∗PS⁰)∈Pic(S)_Q. Dies ist unabh¨angig vom gew¨ahlten Zwischenk¨orper Lund mit der Gradabbildung deg_S/k : Pic(S)_Q →Qgilt

< x,L >= deg_S/k(x,L)^∗PS.

Im arithmetischen Fall gilt eine analoge Formel (vgl. [MB], S. 70ff), wenn man das Poincar´eb¨undel auf dem Modell an den archimedischen Stellen mit der kubischen Metrik versieht und den Grad im Arakelovtheoretischen Sinne bildet. Ein Vorteil dieser Beschreibung der H¨ohenpaarung ist ihre offensichtliche Zerlegung in lokale H¨ohenpaarungen, die durch Schnitttheorie auf Modellen berechnet werden k¨onnen.

Es seiX_K nun eine glattes projektives Schema der Dimensionduber¨ K. Dann ist die Picardvariet¨at (Pic⁰_XK/K)_redeine abelsche Variet¨at, deren duale abelsche Variet¨at die Albanesevariet¨at Alb_XK/K ist, und man hat kanonische Abbildungen

CH¹(X_K)_alg −→Pic⁰_X

K/K(K), CH^d(X_K)_hom −→Alb_XK/K(K).

Da der Kokern der Inklusion CH¹(X_K)_alg ⊆CH¹(X_K)_hom nach einem Ergebnis von Matsusaka ([K], S. 312, Cor. 1) eine Torsionsgruppe ist, erh¨alt man durch Kompo- sition mit der N´eron-Tate-H¨ohenpaarung f¨ur die Picard- und Albanesevariet¨at eine H¨ohenpaarung

<·,·>: CH¹(XK)hom×CH^d(XK)hom →R

f¨ur homologisch triviale Divisoren und Nullzykel vom Grad 0. Diese Paarung wurde von Beilinson und Bloch ([Be2],[Bl2]) unter gewissen Voraussetzungen an X_K, die im Falle guter Reduktion immer erf¨ullt sind, zu einer Paarung

<·,·>: CHⁿ(X_K)_hom×CH^d+1−n(X_K)_hom→R

von Chowgruppen homologisch trivialer Zykel komplement¨arer Kodimension erwei- tert. Der Ausgangspunkt f¨ur die weiteren ¨Uberlegungen ist folgende Beobachtung von Bloch: Es sei S eine quasiprojektive Kurve ¨uber einem K¨orper und X_S/S ein glattes und eigentliches Modell von X_K und bezeichnet CHⁿ(X_S/S)_hom die zur Pr¨agarbe (U →S)7→CHⁿ(XS×SU)hom assoziierte ´etale Garbe, so existiert eine ka- nonische ´etaleGm-Biextension Evon CHⁿ(X_S/S)_hom×CH^d+1−n(X_S/S)_hom, die die Poincar´e-Biextension verallgemeinert. IstW ein homologisch trivialer, (d+ 1−n)- kodimensionaler Zykel auf XS, so hat man eine exakte Sequenz von Garben

0−→Gm,S −→E^CH_W −→CHⁿ(XS/S)−→0,

die durch Betrachten einer langen exakten Sequenz von h¨oheren Chowgruppen und Bilden eines geeigneten Pushout entsteht. Die Einschr¨ankung dieser Sequenz auf CHⁿ(X_S/S)_hom ist die Faser der Biextension E uber dem Schnitt¨ W ∈ CH^d+1−n(XS/S). Zwei homologisch triviale Zykel Z ∈ Zⁿ(XK)hom und W ∈ Z^d+1−n(X_K)_hom, die sich nicht schneiden, definieren einen Schnitt im Produkt die- ser Garben. Durch Zur¨uckziehen der Biextension Emit diesem Schnitt erh¨alt man ein ´etales (und damit Zariski-) Geradenb¨undel (Z, W)^∗E aufS. Das Hauptergebnis des ersten Kapitels ist, daß dieses Geradenb¨undel die H¨ohenpaarung von Bloch und Beilinson berechnet, genauer, daß die Gleichung

< Z, W >= deg_S/k((Z, W)^∗E)

iii besteht. Die Beweisidee ist dabei die folgende: Analog zum klassischen Fall l¨aßt sich sowohl die H¨ohenpaarung von Bloch und Beilinson, wie auch die Konstruktion der Biextension E ´etale-lokal auf S beschreiben. Zu fixierten homologisch trivia- len Zykeln Z und W, die sich generisch nicht schneiden, betrachte man die (mit denselben Symbolen bezeichneten) flachen Ausdehnungen auf das Modell X_S. Der 0-dimensionale Schnittzykel von Z und W liegt in den abgeschlossenen Fasern des Morphismus X_S → S und beschreibt deren H¨ohenpaarung. Andererseits definie- ren die Zykel Z und W ein Pullback (Z, W)^∗E der Biextension E auf die Basis S.

Auf einer geeigneten ´etalen Umgebung eines abgeschlossenen Punktes s von S ist (Z, W)^∗Emit einer durchW induzierten Trivialisierung wie auch mit einem durchZ definierten rationalen Schnitt versehen. Es stellt sich heraus, daß sich der lokale Grad von (Z, W)^∗Edurch die lokale Schnittzahl des zykeltheoretischen Schnitts in der Fa- ser ¨ubers berechnen l¨aßt und daher mit der lokalen H¨ohenpaarung ¨ubereinstimmt.

Da mit dem Moving-Lemma zwei homologisch triviale Zykel Z ∈ Zⁿ(X_K)_hom und W ∈Z^d+1−n(X_K)_hom durch rationale ¨Aquivalenz zu Zykeln ˜Z und ˜W, die sich nicht schneiden, verschoben werden k¨onnen, ist die Bloch-Beilinson-H¨ohenpaarung durch die angegebene Konstruktion festgelegt.

Im Gegensatz zum ersten Teil der vorliegenden Arbeit, in der lokale und glo- bale nichtarchimedische H¨ohenpaarungen studiert werden, befaßt sich der zwei- te Teil mit einer lokalen archimedischen H¨ohenpaarung und deren Beschreibung durch eine geeignete Metrisierung der Blochschen Biextension E. Es sei dazu X ein d-dimensionales glattes projektives Schema ¨uber C. Die Blochsche Biextensi- onE liefert in diesem Fall eineC^×-Biextension von CHⁿ(X)_hom×CH^d+1−n(X)_hom. Die Chowgruppen von homologisch trivialen Zykeln CHⁿ(X)_hom bilden sich ¨uber die h¨oheren Abel-Jacobi-Abbildungen jⁿ in die intermedi¨aren Griffith-Jacobischen Jⁿ(X) ab. F¨ur komplement¨are Kodimensionen n und d + 1 − n sind die kom- plexen Tori Jⁿ(X) und J^d+1−n(X) zueinander dual und damit tr¨agt das Produkt Jⁿ(X)×J^d+1−n(X) die kanonische Poincar´e-Biextension P. Nach Resultaten von M¨uller-Stach ist das Pullback (jⁿ×j^d+1−n)^∗P kanonisch isomorph zur Blochschen Biextension E. Versieht man P mit der eindeutig bestimmten Metrik mit trans- lationsinvarianter Kr¨ummung, welche die Rigidifizierung respektiert, so wird E in offensichtlicher Weise eine metrisierteC^×-Biextension. Zu zwei homologisch trivialen Zykeln Z ∈Zⁿ(X)_hom und W ∈Z^d+1−n(X)_hom, die sich nicht schneiden, kann man die Faser EW,Z definieren. Dies ist ein eindimensionaler metrisierterC-Vektorraum, versehen mit einem durch Z definierten Element {Z}_W. Das Hauptresultat dieses Abschnittes ist, daß die Norm des so gebildeten Elements die archimedische Schnitt- zahl von Z und W berechnet, genauer die Formel

< Z, W >_arch= log(||{Z}_W||²_kan,W,Z)

gilt. Der Beweis dieses Theorems ergibt sich dabei in zwei Schritten: Die Norm

||{Z}W||kan,W,Z kann nach Konstruktion im Poincar´eb¨undel auf den intermedi¨aren Griffith-Jacobischen berechnet werden. Die invariante Norm definiert maximalkom- pakte Untergruppen der Restriktion vonPauf die Fasern. Diese Untergruppen cha-

rakterisieren gleichzeitig aber auch die Restriktion der archimedischen H¨ohenpaa- rung, was die Vergleichsaussage liefert.

Der dritte Teil dieser Arbeit besch¨aftigt sich mit einer m¨oglichenK-theoretischen Interpretation der Blochschen Biextension f¨ur die Chowgruppen. Es seiSeine glatte Kurve ¨uber einem K¨orper undX ein glattes projektives Schema ¨uberS. IstW eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge vonX, so wird in [Bl3] eine relativeK-Gruppe K(X, W) konstruiert. In Verallgemeinerung hierzu modellieren nach dem Vorbild der h¨oheren relativen Chowgruppen h¨ohere relative K-Gruppen f¨ur beliebige Zykel W auf X. Dabei werden Multiplizit¨aten geometrisch realisiert als Homotopiefasern der n-Multiplikation auf simplizialen Garben, welche dieK-Theorie berechnen. Die relativen Gruppen ergeben sich durch eine Kegelbildung. Verm¨oge simplizialer Me- thoden wird ein relativer h¨oherer Cherncharakter konstruiert, der vertr¨aglich mit den langen exakten relativen Sequenzen ist. Ist W ein regul¨arer Zykel (d.h. alle Primkomponenten von W sind regul¨ar), so zeigen wir ein Riemann-Roch-Theorem f¨ur die relativen K-Gruppen. Dies verallgemeinert das entsprechende Theorem in [Bl3] f¨ur Primzykel auf beliebige Zykel. Wir nehmen nun an, daß W homologisch trivial entlang den geometrischen Fasern von X → S ist. Es bezeichne K0(X/S) die zu (U ⊆S)7→K₀(X_U) assoziierte Zariskigarbe auf S. Diese Garben tragen eine γ-Filtration und durch Bildung eines geeigneten Pushouts erh¨alt man in Analogie zur Blochschen Konstruktion von E^CH_W eine ExtensionE^K_W von grⁿ_γK0(X/S)_Q durch Gm,S,Q. Das Hauptergebnis dieses Kapitels ist die Existenz eines kommutatives Dia- gramms

0 −−−→ Gm,S,Q −−−→ E^K_W −−−→ grⁿ_γK0(X/S)_Q −−−→ 0

=



 y

∼=



 y

∼=



 y

0 −−−→ Gm,S,Q −−−→ E^CH_W,Q −−−→ CHⁿ(X/S)_Q −−−→ 0

von Zariski-Garben aufS, dessen mittlerer vertikaler Morphismus ein Isomorphismus ist. Dabei ist Anzumerken, daß die Gesamtheit aller unteren Zeilen f¨ur homologisch triviale Zykel W die Blochsche Biextension beschreiben, wir also mittels des oberen Diagramms eineK-theoretische Interpretion derselben haben. Die obere Zeile dieses Diagramm kann aber in einer weitaus allgemeineren Situation gebildet werden: IstS ein regul¨ares, noethersches, affines Schema undXuber¨ S quasiprojektiv, so existiert eine γ-Filtration auf der h¨oheren (relativen) K-Theorie von X und man kann obige Konstruktion durchf¨uhren. Dies ist interessant f¨ur Anwendungen in der Theorie der arithmetischen Schemata.

Zuletzt untersuchen wir eine weitere M¨oglichkeitK-Garben und H¨ohentheorie zu verbinden. Dieser Teil ist unabh¨angig von den vorgehenden Kapiteln. H¨ohenpaarun- gen von Zykeln wurden zuerst von Bloch und Beilinson mittels K-theoretischer Me- thoden eingef¨uhrt, wobei sich globale aus lokalen H¨ohenpaarungen berechnen. Dabei definiert Bloch lokale Paarungen in der folgenden Situation: Es sei S ein diskreter Bewertungsring mit generischer Charakteristik 0, X ein glattes projektives Schema uber¨ SundF^• ein Komplex von koh¨arenten Garben, dessen Cherncharakter entlang

v den geometrischen Fasern von π : X → S verschwindet. Es sei F⁺ (bzw. F⁻) die Summe der geraden (bzw. ungeraden) Komponenten vonF^•. Die Schnittabbildung, die einem Vektorb¨undelV aufX das direkte Bildπ∗(F⁺⊗V)−π∗(F⁻⊗V) aufS zuordnet, wird als stetige Abbildung von topologischen R¨aumen, die dieK-Theorie von X bzw. S berechnen, realisiert. Die Fundamentalgruppe der Homotopiefaser ergeben nach Tensorieren mit Q eine Extension

0−→K₁(S)_Q −→E(F^•, X/S)−→K₀(X)_Q −→0.

von K₀(X)_Q durch K₁(S)_Q = Gm,S,Q(S). Es sei nun S ein eindimensionales, re- gul¨ares, integres Schema mit generischer Charakteristik 0. Zu einem glatten und projektiven Schema X ¨uber S und einem homologisch trivialen Komplex F^• auf X studieren wir das Verhalten der obigen Konstruktion unter flachem Basiswechsel und nach Garbifizieren erhalten wir so eineGm,S,Q-Extension der relativenK-Garbe K0(X/S)_Q. Wir weisen nach, daß diese K-Garbe die Eigenschaften der lokalen Ex- tension von Bloch verallgemeinert, also additiv ist, nur von der Homologie von F^• abh¨angt und fasernweise aus der Konstruktion von Bloch ¨uber diskreten Bewertun- gringen besteht. Als Ergebnis erhalten wir eine Extension von Zariski-Garben

0−→Gm,S,Q −→E0^K(F^•, X/S)_Q −→K0(X/S)_Q −→0

aufS. F¨ur den Fall, daßF eine Aufl¨osung eines homologisch trivialen ZykelsW auf X ist, vermuten wir, daß dieses Objekt eine γ-Filtration tr¨agt und der ¨Ubergang zum assoziierten graduierten Objekt die zuvorgehend betrachtete K-theoretische Extension liefert. Dies sei einer weiteren Arbeit vorbehalten.

An dieser Stelle m¨ochte die Gelegenheit nutzen, mich recht herzlich bei Herrn Prof. Dr. K. K¨unnemann f¨ur die zahlreichen Anregungen und die freundliche Be- treuung dieser Arbeit zu bedanken. Des weiteren m¨ochte ich den Herren Professoren Dr. U. Jannsen, Dr. S. Bloch und Dr. C. Soul´e daf¨ur danken, daß sie sich die Zeit genommen haben, mit mir einige Problemstellungen dieser Arbeit zu diskutieren.

Meinem Kollegen Dr. N. Heinz danke ich f¨ur rege Diskussionen und die unerm¨udliche Arbeit, die er sich bei der Durchsicht dieser Dissertation gemacht hat.

Inhaltsverzeichnis vii

Inhaltsverzeichnis

Einleitung i

Kapitel I. Schnittzahlen und Gm-Biextensionen 9

§1. Grundlegende Notationen . . . 9

1.1. Simpliziale Objekte. . . 9

1.2. H¨ohere Chowgruppen. . . 11

1.3. Torseure und Gm-Biextensionen. . . 15

§2. Gm-Biextensionen zu homologisch trivialen Zykeln . . . 18

2.1. Homologisch triviale Zykel. . . 18

2.2. Die Abbildung θ_w. . . 19

2.3. Gm-Extensionen zu homologisch trivialen Zykeln. . . 23

2.4. Die lokale Struktur dieser Extensionen. . . 25

§3. Zusammenhang zu Schnittzahlen . . . 28

3.1. Geradenb¨undel und Grade. . . 28

3.2. Lokalisierung von Graden von Geradenb¨undeln. . . 28

3.3. Lokalisierung von Schnittzahlen. . . 29

3.4. Zusammenhang zu Schnittzahlen. . . 30

Kapitel II. Archimedische Schnittzahlen und Poincar´eb¨undel 33 §1. Delignekohomologie und h¨ohere Zykelabbildungen . . . 33

1.1. Delignekohomologie. . . 33

§2. Komplexe Tori und intermedi¨are Jacobische . . . 36

2.1. Dualit¨at komplexer Tori. . . 36

2.2. Poincar´eb¨undel. . . 37

2.3. Die Biextensionseigenschaft des Poincar´eb¨undels. . . 39

2.4. Intermedi¨are Jacobische. . . 41

2.5. Abel-Jacobi-Abbildungen. . . 42

§3. Vergleich von Poincar´e- und Blochbiextension. . . 42

3.1. Die Blochsche Konstruktion f¨ur S = specC. . . 42

3.2. Vergleich mit der Poincar´e-Biextension. . . 43

§4. Archimedische Schnittzahlen. . . 45

4.1. Metrisierung des Poincar´eb¨undels. . . 45

4.2. Definition von Archimedischen Schnittzahlen. . . 47

4.3. Archimedische H¨ohenpaarungen und invariante Metriken. . . 48

Kapitel III. K-Theorie und Extensionen von Chowgruppen 51 §1. K-theoretische Interpretation der Blochschen Erweiterung von Chowgruppen. . . 52

1.1. Die simpliziale klassifizierende Garbe eines Gruppenschemas. . . 52

1.2. Chowgruppen simplizialer Schemata. . . 54

1.3. Eine K-theoretische Beschreibung der Blochschen Extension. . . 59

§2. H¨ohenpaarungen und K-Garben . . . 61

2.1. Der H-Raum RC einer kleinen Kategorie C. . . 61

2.2. K-theoretische Vorbereitungen. . . 63

2.3. Die K-theoretische Extension. Teil I. . . 64

2.4. Die K1-Garbe. . . 66

2.5. Die K-theoretische Extension. Teil II. . . 67

Literatur 71

Erkl¨arung 75

Kapitel I. Schnittzahlen und G

-Biextensionen

Es seiS eine glatte Kurve ¨uber einem K¨orper undX ein glattes, projektives Schema

¨uberS. In [Bl1] konstruiert S. Bloch eineGm,S-Biextension E^CH gewisser Chowgar- ben. Diese Biextension enth¨alt schnitttheoretische Informationen f¨ur homologisch triviale Zykel komplement¨arer Kodimension aufX. Sind genauerZ und W zwei sol- che Zykel, so kann man zu E^CH ein Geradenb¨undel LW,Z auf S assoziieren, dessen Grad die Schnittzahl vonZ und W ist. Dies ist das Hauptergebnis des vorliegenden Kapitels (Satz 3.4.1). Um den Beweis vorzubereiten, wird zun¨achst die Blochsche Konstruktion vonE^CHrekapituliert. Dabei wird der Begriff von relativen Chowgrup- pen f¨ur Zykel, der in [Bl1] implizit autaucht, genau definiert (Definition 1.2.2) und Grundeigenschaften bewiesen (Lemma 1.2.3, 1.2.4). Es schließt sich ein Abschnitt, in dem der Begriff der Biextensionen erl¨autert wird, an. Desweiteren werden fehlende Details bei der Konstruktion vonE^CH ausgef¨uhrt (Prop. 2.2.1ff).

§ 1. Grundlegende Notationen

Es seiX ein Schema von endlichem Typ ¨uber einem K¨orper undW ein abgeschlos- senes Unterschema vonX. In dieser Situation wurden relative h¨ohere Chowgruppen CH^p(X, W, q) erstmals von S. Bloch in [Bl3] eingef¨uhrt. Der allgemeinere Begriff der relativen h¨oheren Chowgruppen f¨ur einen ZykelW taucht zwar implizit in [Bl1] auf, allerdings ist dem Autor keine Referenz zur Definition dieses Begriffs bekannt. F¨ur die vorliegende Arbeit erweist es sich daher als notwendig, die Definition f¨ur den allgemeineren Fall eines Zykels W zu geben, also Multiplizit¨aten zu ber¨ucksichti- gen. Unter Benutzung eines geeigneten Abbildungskegels ergibt sich dieser Begriff in nat¨urlicher Weise; insbesondere folgt die Existenz einer langen exakten Sequenz f¨ur relative h¨ohere Chowgruppen. Die folgenden Abschnitte beschreiben diese ver- allgemeinerte Konstruktion.

1.1. Simpliziale Objekte. Es sei ∆ die Kategorie, deren Objekte die geord- neten Mengen ∆_n = {0, . . . , n}, n ∈ N, und deren Morphismen f : ∆_n → ∆_m monoton wachsende Abbildungen sind, d.h. es gilt f(i)≤f(j) f¨ur i≤j. F¨urn ≥1 und 0≤i≤n definiert man Morphismen δ_iⁿ: ∆n−1 →∆n verm¨oge

δ_iⁿ(j) =

(j f¨urj < i, j+ 1 f¨urj ≥i,

und f¨urn ≥0, 0≤i≤n, Morphismen σ_iⁿ: ∆_n+1 →∆_n via σ_iⁿ(j) =

(j f¨urj ≤i, j−1 f¨urj > i.

Diese Morphismen bilden ein Diagramm der Form

· · · ₄₄₉₉

σ²_i

AA∆₂

oooooo ^δ2ioo 44

σ_i¹

99∆₁

oooo ^δ1ioo

σ⁰_i

44∆₀

oo ^δ0ioo

in ∆ und gen¨ugen den Relationen

δⁿ⁺¹_i δ_jⁿ=δ_j−1ⁿ⁺¹δ_iⁿ f¨ur i≤j, σⁿ_iσⁿ⁺¹_j =σⁿ⁺¹_j σ_iⁿ f¨ur i≤j, δⁿ_iσⁿ⁺¹_j =σⁿ⁺¹_j δⁿ_i f¨uri < j, δⁿ_iσⁿ⁺¹_j =σⁿ⁺¹_j δⁿ_i f¨uri > j, δⁿ_jσⁿ⁺¹_j =σⁿ⁺¹_j δⁿ_j = id_∆j.

Zu jedem Morphismus f ∈ Hom_∆(∆_n,∆_m) gibt es eindeutig bestimmte nat¨urliche Zahlen s, t, i₁, . . . , i_t, j₁, . . . , j_s mit 0 ≤ i_s < . . . < i₁ ≤ m ,0 ≤ j₁ < . . . < j_t ≤ n, n+s =m+t derart, daß f eine Faktorisierung der Form

δ_i1 ◦ · · · ◦δ_is ◦σ_j1 ◦ · · · ◦σ_jt

besitzt. Ein kontravarianter Funktor S : ∆ → C in eine Kategorie C ent- spricht daher der Vorgabe einer Familie von Objekten (X_n)n∈N aus C, Morphismen δ_iⁿ:X_n→Xn−1 mit n≥1, 0≤i≤n, und Morphismenσ_iⁿ: ∆_n→∆_n+1 mitn ≥0, 0≤i≤n, sodaß die zu den obigen Relationen dualen Relationen erf¨ullt sind.

Ein simpliziales Objekt in einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor S : ∆ →C und ein Morphismus von simplizialen Objekten S₁ und S₂ in C ist eine nat¨urliche Transformation f : S1 →S2 von Funktoren. Die simplizialen Objekte in C und deren Morphismen bilden eine Kategorie ∆(C).

Eine simpliziale abelsche Gruppe ist ein simpliziales Objekt in der Kategorie der abelschen Gruppen. Ist

G• = · · ·

δ_i² ////////G₂

δ¹_i

//////

jjbb

σ²_i

[[ G₁ ^δ

0 i ////

jj

σ¹_i

ee G₀

σ⁰_i

jj

eine simpliziale abelsche Gruppe, so definiert man Homomorphismen d_n+1 : G_n+1 → G_n, n ≥ 0, d_n = Pn

i=0(−1)ⁱδ_iⁿ. Setzt man G_n = 0, n < 0, und d_n = 0, n ≤ 0, so gilt f¨ur diese Morphismen d_nd_n+1 = 0, n ∈ Z, und somit ist (G•, d•) ein Komplex abelscher Gruppen. Die Homologie der simplizialen abelschen Gruppe G• ist definiert als Homologie des Komplexes (G•, d•), also H_p(G) =H_p(G•, d•). Diese Bildung ist offensichtlich funktoriell inG•.

§1. Grundlegende Notationen 11 1.2. H¨ohere Chowgruppen. Wie geben in diesem Abschnitt eine Definition f¨ur h¨ohere relative Chowgruppen CH^p(X, W) f¨ur algebraische SchemataXund Zykel W aufX. Als Referenz sei auch auf [Bl3], [Bl4] und [MS1] verwiesen.

Es sei k ein K¨orper. Das Standard n-Simplex ∆_n, n ≥ 0, in der Kategorie der lokal-algebraischen (d.h. lokal von endlichem Typ) k-Schemata ist definiert durch

∆_n= speck[T₀ . . . , T_n]/(

n

X

i=0

T_i−1)∼=Aⁿk.

Ist ρ : {0, . . . , m} → {0 . . . , n} eine monoton wachsende Abbildung, so sei

˜

ρ: ∆_m →∆_n der durch den k-Algebren-Homomorphismus k[T₀ . . . , T_n]/(

n

X

i=0

T_i−1)−→k[T₀ . . . , T_m]/(

m

X

j=0

T_j −1), T_i 7−→ X

ρ(j)=i

T_j

definierte Morphismus von k-Schemata. Ist ρ surjektiv, so ist ˜ρ flach und f¨ur injek- tives ρ ist ˜ρ eine regul¨are abgeschlossene Immersion der Kodimension n−m. Das Bildschema in ∆_n heißt eine Seite von ∆_n. Zu einem lokal-algebraischen k-Schema X undp≥0 seiz^p(X, n) die freie abelsche Gruppe erzeugt von der Menge der integ- ren, abgeschlossenen UnterschemataY ⊆X×_k∆_nder Kodimensionp, die jede Seite X×_k∆_m ⊆X×_k∆_n von X×_k∆_n eigentlich schneiden, d.h.Y ∩X×_k∆_m ist von reiner Kodimensionp+n−m in X×_k∆_n. Folglich sind f¨ur jeden Morphismus der Form ˜ρ die irreduziblen Komponenten von (id_X×_kρ)˜⁻¹(Y) = Y ×X×_k∆n X×_k∆_m von Kodimension p inX×_k∆_m. Sind Y_i, i∈I, die irreduziblen Komponenten von (id_X×_kρ)˜⁻¹(Y) und n_i die Multiplizit¨aten von Y_i in (id_k×_kρ)˜ ⁻¹(Y_i), so induziert die Vorschrift ˜ρ^∗ : z^p(X, n) → z^p(X, m), [Y] 7→ P

i∈In_i[Y_i], einen kontravarianten Funktor

z^p(X,·) : ∆−→(Ab), n 7−→z^p(X, n)

in die Kategorie der abelschen Gruppen (Ab), also eine simpliziale abelsche Gruppe z^p(X,·).

Definition 1.2.1 ([Bl3], S.267ff ). F¨ur ein algebraisches (d.h. von endlichem Typ) k-Schema X sind die h¨oheren Chowgruppen CH^p(X, q) definiert als Homologie der simplizialen abelschen Gruppe z^p(X,·), also

CH^p(X, q) = H_q(z^p(X,·)).

Es seiVk die Kategorie der ¨aquidimensionalen quasiprojektiven Schemata ¨uberk undk-algebraischen Morphismen. Die h¨oheren Blochschen Chowgruppen CH^p(X, q) haben folgendes Eigenschaften:

i) Ist X eine Variet¨at in Vk, so gilt f¨ur die gew¨ohnlichen Chowgrup- pen in der Kodimensionindizierung nach [F] die kanonische Isomorphie CH^p(X,0) = CH^p(X).

ii) Ist f : X → Y ein eigentlicher Morphismus in Vk von relativer Dimension d= dimX−dimY, so hat man einen kanonischen Gruppenhomomorphismus f∗ : CH^p(X, q)→CH^p−d(Y, q). Diese Bildung ist kovariant funktoriell.

iii) Es sei f : X → Y ein Morphismus in Vk. Ist f von vollst¨andigem Durchschnitt oder ist f flach, so hat man einen Gruppenhomomorphismus f^∗ : CH^p(Y, q) → CH^p(X, q). Dabei nennt man f^∗ im ersten Fall Gysinmor- phismus und im zweiten Fall flaches Pullback. Ist f flach und von vollst¨andi- gem Durchschnitt, so stimmen flaches Pullback und Gysinmorphismus ¨ube- rein. Insbesondere ist f^∗ f¨ur glattes Y definiert. Diese Bildung ist kontravari- ant funktoriell, und Gysinmorphismen vertauschen mit flachem Pullback und eigentlichem Pushforward.

iv) Sind X, Y ∈ Vk, so hat man eine Z-bilineare Abbildung CH^p(X, q) × CH^r(Y, s) → CH^p+r(X ×_k Y, q + s). Ist X glatt, so indu- ziert der Diagonalmorphismus ∆_X/k : X → X ×_k X mit iii) eine Struktur als bigraduierter Ring auf CH^∗(X,∗) = L

p,q∈NCH^p(X, q). Dieser ist antikommutativ bez¨uglich q.

v) F¨ur glatteX, Y ∈Vk und f :X →Y ist f^∗ : CH^∗(Y,∗)→ CH^∗(X,∗) aus iii) ein Ringhomomorphismus.

vi) Ist X glatt, so gilt kanonisch CH¹(X,1) = OX(X)^×. Insbesondere gilt CH¹(specC,1) =C^× =C/Z(1).

vii) Bezeichnetz^p_X(·) den zur Pr¨agarbe (U ⊆X)7→ z^p(U,·) assoziierten Komplex abelscher Garben, so gilt H^q(X, z^p_X(·))∼= CH^p(X, q). Diese Isomorphie erweist sich bei der Beschreibung von Regulatorabbildungen im simplizialen Kontext als n¨utzlich (cf. Kap. III).

viii) F¨ur ein glattes SchemaX ∈Vk und eine zur Charakteristik vonk verschiedene Primzahllhat man eine Zykelabbildung cl^p,q_l : CH^p(X, q)−→H_´et^2p−q( ¯X,Zl(p)) in diel-adischen Kohomologiegruppen. Dabei ist ¯X =X×_k¯kf¨ur einen separa- belen Abschluß ¯k von k. Diese Zykelabbildung ist vertr¨aglich mit eigentlichem Pushforward f¨ur glatte Morphismen, Gysinmorphismen und Pullback in der l-adischen Kohomologie.

ix) F¨ur ein glattes, C-algebraisches Schema X hat man eine Zykelabbildung cl^p,q_B : CH^p(X, q) → H_B^2p−q(X(C),Z(p)) in die singul¨are Kohomologie der zu- geh¨origen komplexen MannigfaltigkeitX(C); diese ist vertr¨aglich mit Gysin-, eigentlichen Pushforward- und flachen Pullbackmorphismen.

x) F¨ur glattes X ∈ VC hat man eine Zykelabbildung in die Delignekohomologie (cf. II.1.1 v)) cl^p,q_D : CH^p(X, q)→H_D^2p−q(X,Z(p)).

§1. Grundlegende Notationen 13 Wir kommen nun zur Definition f¨ur relative h¨ohere Chowgruppen. Es sei dazuX ein glattesk-Schema. Zu einem ZykelW =P

r∈Rn_rW_r mit irreduziblen Komponen- ten W_r,r ∈R, sei z_W^p (X, n) die Untergruppe von z^p(X, n), die von integren Unter- schemataZ vonX×_k∆ⁿder Kodimensionp, welche alle SeitenW_r×_k∆_m ⊆X×_k∆_n eigentlich schneiden, erzeugt ist. Nach [Bl3] Lemma 4.2 istz_W^p (X,·) eine simpliziale Untergruppe vonz^p(X,·) und die Inklusion j :z_W^p (X,·)→z^p(X,·) ist ein Quasiiso- morphismus. Versieht man die irreduziblen Komponenten W_r mit der reduzierten, induzierten Unterschemastruktur, so ergibt der Schnitt von Zykeln eine wohldefi- nierte Abbildung i^∗_Wr : z_W^p (X, n) → z^p(W_r, n) von simplizialen Gruppen, und man erh¨alt eine Abbildung

i^∗_W :z^p_W(X, n)−→M

r∈R

z^p(W_r, n), Z 7−→(n_ri^∗_Wr(Z))r∈R.

Bezeichnet C^p(i^∗_W,·) den Abbildungskegel dieser Abbildung von Komplexen und setzt man z^p(W,·) = L

r∈Rz^p(W_r,·), so erh¨alt man mit z^p(X, W,·) = C^p(i^∗_W,·)[1]

eine kurze exakte Sequenz von Komplexen

0−→z^p(W,·)−→z^p(X, W,·)[−1]−→z_W^p (X,·)[−1]−→0, und damit eine lange exakte Homologiesequenz

· · · −→M

r∈R

CH^p(W_r, q)−→H_q(z^p(X, W,·)[−1])−→H_q(z_W^p (X,·)[−1])

−→M

r∈R

CH^p(W_r, q−1)−→ · · · . Definition 1.2.2. F¨ur ein glattes k-Schema X und einen Zykel W = P

r∈Rn_rW_r aufX mit paarweise verschiedenen Primzykeln Wr sind die relativen h¨oheren Chow- gruppen durch

CH^p(X, W, q) =H_q(z^p(X, W,·)) gegeben. Die Chowgruppen des Zykels W sind definiert als

CH^p(W, q) = H_q(z^p(W,·)) =M

r∈R

CH^p(W_r, q).

Benutzt man den Isomorphismus H_q(z_W^p (X,·)) ∼= CH^p(X, q), so erh¨alt man eine lange exakte Sequenz

· · · −→CH^p(X, W, q)−→CH^p(X, q)−→CH^p(W, q)

−→CH^p(X, W, q−1)−→ · · · −→CH^p(X,0)−→CH^p(W,0)−→0

f¨ur die h¨oheren Chowgruppen. Dabei ist CH^p(W, q) offenbar nur von den Primkom- ponentenW_r bestimmt, die Abbildung CH^p(X, q)→CH^p(W, q) ist jedoch auch von den Multiplizit¨atenn_r abh¨angig. Weiter gilt f¨ur den Nullzykel 0 die triviale Identit¨at

CH^p(X,0, q) = CH^p(X, q). Istf :X⁰ →X flach undW⁰ =f^∗(W) der zur¨uckgezoge- ne Zykel mit einer Darstellung W⁰ =P

r∈R⁰n⁰_rW_r⁰ durch Primzykel W_r⁰, so induziert der Pullback von Zykeln ein kommutatives Diagramm der Form

z_W^p (X,·) −−−→ L

r∈Rz^p(Wr,·)



 y



 y z^p_W0(X⁰,·) −−−→ L

r∈R⁰z^p(W_r⁰,·)

und damit einen Morphismus zwischen den jeweiligen Abbildungskegeln. Es folgt also

Lemma 1.2.3. Die langen exakten Sequenzen f¨ur relative h¨ohere Chowgruppen sind funktoriell unter flachen Morphismen, d.h. man hat ein kommutatives Diagramm der Form

· · · −−−→ CH^p(X, W, q) −−−→ CH^p(X, q) −−−→ CH^p(W, q) −−−→ · · ·



 y



 y



 y

· · · −−−→ CH^p(X⁰, W⁰, q) −−−→ CH^p(X⁰, q) −−−→ CH^p(W⁰, q) −−−→ · · · Es sei nun Z = P

s∈Sm_sZ_s ein Zykel der Kodimension n auf X mit Prim- komponenten Z_s. Schneidet Z den Zykel W nicht, so verschwindet die Zykelklasse {Z} ∈CHⁿ(X) von Z offensichtlich unter der Abbildung CHⁿ(X)→CHⁿ(W) und es gilt

Lemma 1.2.4. Man hat eine kanonische Liftung {Z}_W ∈ CHⁿ(X, W) von {Z}

unter CHⁿ(X, W)→CHⁿ(X).

Beweis. Es bezeichne j_s : Z_s → X die kanonische Inklusion der Primkomponente Z_s in X. Eigentliches Push-Forward ergibt f¨ur jedes s einen Komplexhomomor- phismus j_Ws∗ : z^p(Z_s,·) → z^p+n(X,·) und somit einen Komplexhomomorphismus jZ∗ : z^p(Z,·) → z^p+n(X,·). Da Z den Zykel W nicht trifft, so ist das Bild von jZ∗

offenbar im Unterkomplex z^p_W(X,·) enthalten und es gilt offenbar i^∗_Wj_Z∗ = 0. Also kommutiert

z^p(Z,·) −−−→ 0

jZ∗



 y



 y z_W^p+n(X,·) ⁱ

∗

−−−→W z^p+n(W,·), und man erh¨alt einen induzierten Morphismus

z^p(Z,·) = C(z^p(Z,·)→0)[1]−→z^p+n(X, W,·)

der Abbildungskegel. Betrachtet man die zugeh¨origen langen exakten Sequenzen, so erh¨alt man f¨ur p= 0 das kommutative Diagramm

CH⁰(Z) −−−→⁼ CH⁰(Z)



 y



 y CHⁿ(X, W) −−−→ CHⁿ(X)

§1. Grundlegende Notationen 15

und somit die Behauptung.

1.3. Torseure und Gm-Biextensionen. Um im weiteren Verlauf des Tex- tes eine allgemeine Sprache zur Behandlung von Biextensionen zu Verf¨ugung zu haben, werden wir diesen Begriff in einer kategorientheoretischen Weise ein- zuf¨uhren. Als wichtige Spezialf¨alle, die sp¨ater auch noch einmal getrennt als Bei- spiele betrachtet werden, erhalten wir den Begriff der Biextension von Gruppen und den Begriff der ´etalen Biextension. Weitere wichtige geometrische Beispiele von Zariski-algebraischen (bzw. komplex analytischen) Biextensionen werden durch Poincar´eb¨undel auf dem ProduktA×A^∨ einer abelschen Variet¨at (bzw. eines kom- plexen Torus) A mit ihrem Dual A^∨ gegeben, cf. II.2.3. Wir treffen zun¨achst einige Vorbereitungen.

Es sei E eine Kategorie und G : E → (Ab) ein kontravarianter, darstellbarer Funktor in die Kategorie der abelschen Gruppen. Einen solchen Funktor nennen wir im folgenden auch eine Gruppe in E und bezeichnen das darstellende Element dieses Funktors wieder mit G (es sei also ein darstellendes Element fest gew¨ahlt).

Existiert ein terminales Objekt und existieren die ProdukteG×GsowieG×G×G in E, so ist G ein Gruppenobjekt im ¨ublichen Sinne. Ein (links-)homogener Raum

¨uber der Gruppe G in E ist ein kontravarianter, durch ein Objekt P dargestellter Funktor P : E → (Mengen) derart, daß f¨ur jedes Objekt S in E die Menge P(S) ein (links-)homogener Raum unter der Gruppe G(S) ist und f¨ur jeden Morphismus f : S⁰ → S die Identit¨at P(f)(gp) = G(f)(g)P(f)(p) f¨ur alle g ∈ G(S), p ∈ P(S) erf¨ullt ist. Ist S ein Objekt von E, so nennt man eine Gruppe G in der Kategorie E_/S der Objekte ¨uber S eine S-Gruppe. Zwischen den mengenwertigen Funktoren G×P → P ×P gibt es offenbar eine nat¨urliche Transformation u, die auf den S-wertigen Punkten durch

u_S :G(S)×P(S)→P(S)×P(S), (g, x)7→(gx, x)

gegeben ist. Ist uein nat¨urlicher Isomorphismus, sind also alleu_S bijektiv, so nennt man P einen G-Pseudotorseur.

Definition 1.3.1 (cf. [G], S. 106ff.). Es sei T ein Topos und P/S ein Pseu- dotorseur unter einer S-Gruppe G ¨uber einem Objekt S in T. Dann heißt P ein G-Torseur ¨uber S, falls der Strukturmorphismus P → S ein Epimorphismus ist.

Ein Torseur in dem Situs E ist ein Torseur auf dem Topos E˜ der mengenwertigen Garben auf E.

Bemerkung 1.3.2. i) Diese Definition ist lokal f¨ur die kanonische Topologie auf dem Topos E, i.e. P →S ist genau dann epimorph, wenn es eine epimor- phe Familie (S_i → S)i∈I gibt mit P(S_i) = Hom_S(S_i, P) 6= ∅. Dies ist gerade eine Bedingung von lokaler Trivialit¨at.

ii) Eine kommutative Gruppe in dem Topos E˜ eines Situs E ist gerade eine dar- stellbare Garbe von abelschen Gruppen auf E.

iii) Ist T ein Topos und E die zugrundeliegende Kategorie von T, versehen mit der kanonischen Topologie, so identifizieren sich die Begriffe von Torseuren in E und T, da man eine kanonische Isomorphie von Topoi E˜ ∼=T hat.

iv) Es sei E ein Situs. Nach [SGA IV] Thm 4.4 ist eine Familie (S_i → S) von Morphismen in E genau dann eine ¨Uberdeckung von S, wenn die assoziierte Familie ( ˜S_i →S)˜ eine epimorphe Familie im Topos E, also eine ¨˜ Uberdeckung f¨ur die kanonische Topologie, ist. Insbesondere ist die Bedingung ii) f¨ur Pseu- dotorseure in einem Situs E lokal in der Topologie von E.

Es seien nun G, G⁰ und H drei kommutative Gruppen in einem Topos T. Dann existiert G×G⁰ in T und ist darstellbar, und man kann also H(G×G⁰)-Torseure E

¨

uber G×G⁰ studieren. Es bezeichne µ: G×G →G die Multiplikation auf G und pr_i : G×G→G die Projektion auf den i-ten Faktor, i = 1,2. Durch Pullback mit µ×id_G⁰ (resp. pr_i×id_G⁰) erh¨alt man H_(µ) (resp. H_(pri))-TorseureE_(µ) (resp. E_(pri))

¨

uber G×G×G⁰. Da H uber dem terminalen Objekt von¨ T definiert ist, so hat man kanonische Isomorphismen H_(G×G×G⁰₎ ∼= H_(pr1) ∼=H_(pr2) ∼= H_(µ). Insbesondere ist das kontrahierte Produkt (cf. [G] Def. 1.3.1) (E_(pr1)×G×G×G⁰ E_(pr2))/H(G×G×G⁰)

ein H(G×G×G⁰)-Pseudotorseur, der im folgenden mit EH⊗E bezeichnet sei. Analog erh¨alt man einen H_(G×G⁰_×G⁰₎-PseudotorseurE⊗_H E auf G×G⁰ ×G⁰.

Definition 1.3.3. Eine H-Biextension von (G, G⁰) ist ein H(G×G⁰)-Torseur ¨uber G×G⁰ zusammen mit zwei Isomorphismen

+₁ :E_H⊗E −→E_(µ), +₂ :E⊗_H E −→E_(µ⁰₎

von H_(G×G×G⁰₎-Pseudotorseuren (bzw. H_(G×⁰_G×G⁰₎-Pseudotorseuren) und damit Tor- seuren. Dabei soll folgende Kompatibilit¨atsbedingung zwischen +₁ und +₂ gelten:

Durch Pullback auf G×G×G⁰ ×G⁰ kommutiert das Diagramm von HG×G×G⁰×G⁰- Torseuren

(E⊗_H E)_H⊗(E⊗_H E)∼= (E_H⊗E)⊗_H (E_H⊗E) −−−−−→^+1⊗H+1 E_(µ)⊗_H E_(µ)

+2H⊗+₂



 y



 y

+_2(µ)

E(µ⁰)H⊗E(µ⁰)

+_1(µ0)

−−−→ E(µ×µ⁰).

Ein Morphismus von H-Biextensionen (E,+₁,+₂) und ( ˜E,+˜₁,+˜₂) ¨uber (G, G⁰) ist ein Morphismus von HG×G⁰-Torseuren f :E →E˜ ¨uber (G, G⁰), sodaß die Diagram- me

E_H⊗E −−−→⁺¹ E_(µ)

fH⊗f





y ^f(µ)



 y E˜_H⊗E˜ −−−→^+˜1 E˜_(µ)

,

E⊗_H E −−−→⁺² E_(µ⁰₎

f⊗_Hf



 y

f_(µ0)



 y E˜⊗_H E˜ −−−→^+˜2 E˜_(µ⁰₎ kommutieren.

§1. Grundlegende Notationen 17 Wir wollen nun noch zwei Spezialisierungen des Begriffs der Biextension ange- ben: F¨ur ein SchemaX ist nach Descent-TheorieGm,X = specOX[T, T⁻¹] eine ´etale Garbe abelscher Gruppen und damit eine kommutative Gruppe im Topos ˜XEt´ der mengenwertigen ´etalen Garben auf dem großen ´etalen Situs XEt´ vonX. Durch Hin- zuf¨ugen des Nullschnittes erh¨alt man eine ¨Aquivalenz zwischen der Kategorie der Gm,X-Torseure in ˜XEt´ und der ´etalen Geradenb¨undel aufX. Es seienGundG⁰ zwei kommutative Gruppenschemata ¨uberX. EineGm,X-BiextensionE von (G, G⁰) ent- spricht daher der Vorgabe eines ´etalen Geradenb¨undels E auf G×_X G⁰ zusammen mit Isomorphismen ´etaler Geradenb¨undel

+₁ :E_(pr1)⊗E_(pr2) −→E_(µ), +₂ :E_(pr⁰

1)⊗E_(pr⁰

2)−→E_(µ⁰₎

auf G×X G×X G⁰ (bzw. G×X G⁰ ×X G⁰), so daß +1,+2 f¨ur jeden geometrischen Punkt (s, t, s⁰, t⁰)/X : spec Ω→G×_X G×_X G⁰×_X G⁰ ein kommutatives Diagramm von Isomorphismen

E_(s,s⁰₎⊗_ΩE_(s,t⁰₎⊗_ΩE_(t,s⁰₎⊗_ΩE_(t,t⁰₎ −−−→ E_(s+t,s⁰₎⊗_ΩE_(s+t,t⁰₎



 y



 y E_(s,s⁰₊⁰_t⁰₎⊗_ΩE_(t,s⁰₊⁰_t⁰₎ −−−→ E_(s+t,s⁰₊⁰_t⁰₎

eindimensionaler Ω-Vektorr¨aumen induziert. Dabei seien + (bzw. +⁰) Gruppenge- setze aufG(Ω)/X (bzw.G⁰(Ω)/X). Wir erhalten somit den Begriff der ´etalenGm,X- Biextensionen. Analog erh¨alt man eine Definition von Zariski Gm,X-Biextensionen und der Satz Hilbert 90 ([T] Thm. 4.3.1) ergibt eine Kategorien¨aquivalenz zwischen der Kategorie der ´etalen Gm,X-Biextensionen und der Kategorie der ZariskiGm,X- Biextensionen.

Als zweites Beispiel betrachten wir Biextensionen von abelschen Gruppen. Es sei dazu T der Topos von Garben auf einem einpunktigen topologischen Raum.

Dann ist T die Kategorie der Mengen und ein darstellbarer Gruppenfunktor ist eine Gruppe im gew¨ohnlichen Sinne. Es seien daher also H, G und G⁰ abelsche Gruppen. Eine H-Biextension von (G, G⁰) ist eine Menge E, zusammen mit einer surjektiven Abbildung π :E →G×G⁰, einer Operation von H auf E, die einfach- transitiv auf den FasernEx,y =π⁻¹(x, y) vonπ operiert und zwei partiell definierten Verkn¨upfungen +₁,+₂ :E×E →E mit:

i) a+₁b(resp.a+₂b) f¨ura ∈E_x,y,b ∈E_z,w ist genau dann definiert, wenny=w (resp. x=z) gilt. In diesem Fall gilt a+₁b ∈E_x+z,y (resp. a+₂ b∈E_x,y+w).

ii) Es gilt

h+ (a+ib) = (h+a) +ib =a+i(h+b), fallsa+_ib, i= 1,2, definiert ist.

iii) F¨ura, c∈E_x,y,b, d∈E_z,y mita+₁b =c+₁dgibt es ein eindeutig bestimmtes h∈H mit c=h+a,d= (−h) +b. F¨ur +₂ ist die analoge Bedingung erf¨ullt.

iv) F¨ura∈E_x,y, b ∈E_z,y, c∈E_x,w, d∈E_z,w gilt

(a+₁b) +₂ (c+₁d) = (a+₂c) +₁(b+₂d)∈E_x+z,y+w.

§ 2. G

-Biextensionen zu homologisch trivialen Zykeln

2.1. Homologisch triviale Zykel. Es sei im folgendenSein zusammenh¨angen- des Schema, glatt und quasiprojektiv ¨uber einem K¨orper k. Weiter sei π : X → S ein glattes, projektives Schema von relativer Dimension d ¨uber dem BasisschemaS.

Es sei n eine nat¨urliche Zahl und Z ∈Zⁿ(X) ein Zykel von Kodimension n auf X.

Dann bestimmt Z eine Klasse z = [Z]∈CHⁿ(X) im Chowring CH^∗(X) von X.

Definition 2.1.1. i) IstS = speck unds : spec Ω→S ein geometrischer Punkt eines separabel abgeschlossenen K¨orpers Ω in S, so induziert z ein Element z_s ∈CHⁿ(X_s) und damit ein Element

cl^n,0_l (z_s)∈H_´et²ⁿ(X_s,Zl(n))

in der l-adischen Kohomologie vonX_s. Ist cl^n,0_l (z_s) = 0 f¨ur jedes solche s und jede von chark verschiedene Primzahl l, so heiße z homologisch trivial.

ii) IstSallgemein, so heißtZ (resp. dessen Klassez) homologisch trivial bez¨uglich π, falls zs homologisch trivial auf jeder geometrischen Fasern Xs von π ist.

iii) Die homologisch trivialen Zykel (resp. deren Klassen) bilden eine Unter- gruppe von Zⁿ(X) (resp. CHⁿ(X)). Wir bezeichnen diese im folgenden mit Z_homⁿ (X/S) (resp. CHⁿ_hom(X/S).

Bemerkung 2.1.2. i) Die Definition 2.1.1 ii) ist unabh¨angig von der Wahl der geometrischen Faser: Sind n¨amlich s₀ : spec Ω₀ → S und s₁ : spec Ω₁ → S zwei geometrische Punkte von S und ist OX,s1 → OX,s0 eine Spezialisierung von s₀ zu s₁, so induziert diese f¨ur l 6= chark nach dem Basiswechselsatz f¨ur glatte, eigentliche Morphismen in der ´etalen Kohomologie einen Gruppeniso- morphismus (cf. [Mi1] VI, cor.4.2))

H_´et²ⁿ(X_s1,Zl(n))−→H_´et²ⁿ(X_s0,Zl(n))

mit cl^n,0_l (z_s1) 7→ cl^n,0_l (z_s0). Da S zusammenh¨angend ist, so k¨onnen je zwei geometrische Fasern ¨uber solche Spezialisierungsabbildungen mit einer geome- trischen generischen Faser verglichen werden.

ii) Es sei k in C einbettbar, also insbesondere chark = 0. Ist s₁ : Ω → S ein geometrischer Punkt von S derart, daß sich s₁ zu einem geometrischen Punkt s0 : spec(C)→spec(Ω)→S fortsetzen l¨aßt, so induziert s0 eine Abbildung

H_´et²ⁿ(X_s1,Zl(n))−→H_B²ⁿ(X_s0(C),Zl(n))

§2. Gm-Biextensionen zu homologisch trivialen Zykeln 19 mit cl^n,0_l (z_s1)7→cl^n,0_B (z_s0)⊗1. Da der Kern der kanonischen Abbildung

H_B²ⁿ(Xs0(C),Z(n))→H_B²ⁿ(Xs0(C),Zl(n))∼=H_B²ⁿ(Xs0(C),Z(n))⊗Zl

aus denjenigen Elementen besteht, deren Ordnung prim zu l ist, ist die Ver- schwindungsbedingung f¨ur alle l ¨aquivalent zu cl^n,0_B (z_s1) = 0. Da π vom endli- chem Typ ist, so ist die homologischen Trivialit¨at von Z nach i) lediglich eine Bedingung an eine(!) C-wertige Faser von π.

2.2. Die Abbildung θ_w. Wir ¨ubernehmen die Bezeichnungen von 2.1. Es sei W ∈ Z^d+1−n(X) ein Zykel von Kodimension d + 1 − n auf X mit Klas- se w ∈ CH^d+1−n(X). Das Bilden des Cupproduktes mit w und Pushforward π∗ : CH^d+1(X,1)→CH(S,1) auf den h¨oheren Chowgruppen induziert einen Grup- penhomomorphismus

θw : CHⁿ(X,1)−→CH^d+1(X,1)−→CH¹(S,1), z 7−→π∗(z·w).

Das Schl¨usselergebnis f¨ur die Konstruktion der besagten Biextension ist die folgende Proposition 2.2.1 ([Bl1], Lemma 1). Ist W homologisch trivial bez¨uglich π, so ist θ_w = 0.

In [Bl1] wird ein Beweis nur im Fall positiver Charakteristik gegeben. Wir ar- beiten die noch fehlenden Details f¨ur char(k) = 0 aus: Der Beweis besteht in einer Folge von Reduktionschritten, die die Aussage auf den Fall eines endlichen K¨orpers oder des K¨orpers der komplexen Zahlen zur¨uckf¨uhrt. Der ¨Ubersichtlichkeit halber zeigen wir zun¨achst zwei Lemmata, die die Nat¨urlichkeit von θ_w formalisieren und eine Methode der sukzessiven Faserung ¨uber Kurven bereitstellt:

Lemma 2.2.2. i) Es sei ˜k|k eine K¨orpererweiterung und S˜ = S ⊗_k k,˜ X˜ = X⊗kk˜undW˜ =W⊗kk˜die jeweiligen Basiserweiterungen nach˜k. Bezeichnen f : ˜S → S und f⁰ : ˜X → X die kanonischen Abbildungen, so kommutiert das Diagramm

(2.2.2.1)

CHⁿ(X,1) −−−→^·w CH^d+1(X,1) −−−→^π∗ CH¹(S,1)

f^0∗





y ^f

0∗





y ^f

∗



 y CHⁿ( ˜X,1) −−−→^·w˜ CH^d+1( ˜X,1) −−−→^π˜∗ CH¹( ˜S,1).

ii) Ist i : ˜S → S eine regul¨are abgeschlossene Immersion von konstanter Kodi- mension, X˜ =X×_SS˜ und w˜=i^∗(w), so kommutiert

(2.2.2.2)

CHⁿ(X,1) −−−→^·w CH^d+1(X,1) −−−→^π∗ CH¹(S,1)

i^∗





y ⁱ

∗





y ⁱ

∗



 y CHⁿ( ˜X,1) −−−→^·w˜ CH^d+1( ˜X,1) −−−→^π˜∗ CH¹( ˜S,1).