Universit¨ at Regensburg Mathematik
On a Cahn-Hilliard Model for Phase Separation with Elastic Misfit
Harald Garcke
Preprint Nr. 4/2004
!" #
#!
$ #% !&
#
!!"! !
#! # "!
$ # % #
&'! (! &'! (!
#) $ # !
* +!
, $ - !
! (./
0!-1 ! " *
%!!-$
% $ # $ !
"! ! *
' ! ! Æ!
! ! $
'((' )*)*%)***% )*+*,%-),.%)*/0*%
)*+1*%2..0
% % % #
#!%#
"! ! ! $!!
$!
!$ ! ! !
& ! 2 1 * ! $ $
! ! $ #
! & ! 2
( ! $ # # ! 3 !
$
4#4
!%
4 Æ
564
4
*7
4
8 ##!
!$
! &)
64
*7
4
/ 4
" $ % %
!$9
8
!! $ )#
4
9
:&'!;(!-"
!
4
9<99
$ = *7
*> ! $ (' !
% $
/ ' #
! < !
' <#
;% !
$
<4
9
$ *7 ! !
) 4
$ $ ?$ #
! ! ! @'
! 3 ! : )
4
$ $
# ! *7
( ! !
! # #! $
#%
;#) $ % #) ?
! ! <
! "
# ! ) A ? 1
B (!-! C %$!
! &'!;(!
B $ -
# 3 *
# ! D
$-"!
4
6
E
$ 6 ;! $ $ % 6
64
*7
3 !
# % !
#! $ ! $
! * # !
#
!
! *
#!
!
!
! ) 5 F!
)
4
! GH$ E
$ - $- B I
J! C , $# $ $ !
" ! )
? $ !
64
6
)
,
#! $
"! #! "! !
2 !! !
"! - $ $!
!; !!
4/
$
4
3- !
*
$ ! !!
4
4
"! !
4
#! %
$ !
$
% # ## $
4K
9<
9
>$0H!EDI+!)
# 8 !
#
$ ! J- L!
I EC
4
D
$)4
*7
0
$ I EC E D )
$$!$ #%
+!) "! !$
4
1
! "! !1 $
4 $ ! +!) # !%
4/
8 D #
$ #
4/ C
)4
$!
$ : ! "! ! 1
4
4
K
"! !)#
"
* ! #!
# # "
4
4
$ !M *7
54
4
*7
4/
$ 5 : !
# ## $ -
4 ! * ! 4 $
4
$ (!
4
:$ # # !
4 K I
4 K9<
9
,
4 / /
4
* $ !
9
4! !
* !I;$%(.
/ 4/ ' 0!- 1
:!$;+!)
!! $ #
! $ $ !
4 /
4 / E
4
D
$ !! = * $
/4
1
# !
$
5 = 8 $ !
!! !
3 - ;+!) !
! I;1
# ! /
4
0 ! ? ) $ !
A ! =
!
! ! ! ! D
! %
%
;! ! $ # " #!
! $ %
%
64
)
-$
! 49
! !
64
=Ê
4/
4
3 - !
<
$ !
' * ! )
< !
) @! < !
;# 0 $ !
! ! !
! ! #
# #! * !
#! ! $ ! !
:
! !
#! E * ! E I;
!$ !
# !
; $
!$!!B(!-!
C # ) ! ! ! ?
$!#" !
" !, $
8 ! ;
$ !$"$
$ # $ ( !
%! ! # Æ!
! " !
$ !
3 $ ) ! & ! 21
D $ # !
! $
<
=
* ! $ #
$ % * ! $ $
# #$
?$- )
$ (!#
$
9<99
9
4/
# %
* $ ! ) ! !
! 3 $ !
!"#6
:=*7
! $ (' !
: /
:E ! < $
/ *7
:D
*7
*7
*7$!
:D
*7
4
*7
*7
:D
!
)
/ !
*7
6
:DE )
/!
5
*7
9
9
9
9
9
9
:1 !
4
6
$
: ) 4
!
:
: !%
4/
:E # % 5
:C
=*7
! !%
#$
/ 4
( ! ! !
: :! I ,%
! # !
:D ! ! % !;
$ :D
)#
!
9
5
*7 !
#! # : '
#!
4 / $
$!
4 / #$
$ $ !
;
! ) !
; $
$#% &'(' )"!* C
/N
=*7
/N
=*7
/N
5 <
=
9
64/
/N
=*7
=
4/
4
69<
9
C
/N
=*7
=
*7
64
6 I
/N
=*7
!
/N
=
/N
=
/N
=*7
=
!
/
3#! !!
! ! #
$
4
,
$
4
$ ! ! :
4
6
/
$#% $! !%
!!
$#% &'&' )+",* !
" # #$ "%
&
" #
! ! $ ) $
! < $
D
E
0! ) ! $
! !
? $ ! !%
:DD
4/
*7
$
*7
! $! ! !
! ! & ) !!
$
?! # Æ / $ <
;!
<
Æ
4
Æ
9
$
Æ
64
Æ
Æ Æ
9
Æ
Æ
? ! $ %
<
Æ
4
Æ
<
4
! ! B (!-! C
) ; $!
$ B (!-! C
<
Æ
!! $ 5
Æ/Æ
<
Æ
5
$ ) ! !
!$
$ -
- .'&' '
"#
( Æ/Æ
) Æ
Æ
Æ
* " #
+ , / Æ
/Æ
!
Æ
9
Æ
!
<
Æ
Æ
9 Æ
Æ
Æ
/
( +&
Æ
Æ
/Æ
+ -
Æ
/N
= /
Æ
Æ
).
/N
=
! Æ
/N
=
Æ -
! !% !
E Æ /Æ
$ - ! (
E $- ! ! )
$(!#
* ) $ (
EE ED $ # #
$ ! $
Æ - Æ
Æ ( EE
=*7
$ ( ED E1
3 O * ! $
"
Æ
ÆÆ
3
! Æ
ÆÆ
!
#!
Æ
ÆÆ
! !
/N
=*7
$ ! %
$ ) ! ! Æ
ÆÆ
$
# $-
/N
=*7
# $ ! $-
4K9<
9
E
$
<
4
9
9
! 0!
!
Æ
Æ
=
3
Æ
) 4 $
;!$% # 4
9
=
=
$
$ ! ! E $
Æ
Æ
!
;!
Æ
Æ
!
Æ
Æ
$ #
$# Æ
ÆÆ
#
Æ
Æ
9
=
! !
Æ
$
/ #$ 4
: ! # $ % # # ! !
Æ
ÆÆ
- .'.' / Æ
Æ /Æ
<
Æ
Æ
Æ
+&
Æ
Æ
/Æ
+
-
Æ
)
/N
=
Æ
4
Æ
Æ
$
Æ
4
Æ
4
<
Æ
Æ
9
Æ
Æ
#!(! Æ
$
@ @$ 8 Æ
!%C$ !
<
Æ
$ #6
Æ
9
Æ
4 D
Æ
6 9<
Æ
Æ
9
Æ
Æ
=*7
=*7
/
? / & ) $ !
#) <
Æ
/ Æ
5 #$
<
Æ
/
<
Æ
Æ
9
<
Æ
Æ
/ Æ
4
<
Æ
Æ
9
<
Æ
Æ
/ Æ
1
8 !%
4/
$ 4/ Æ
!D / - !
) ! ! 1 $ !
<
Æ
/
<
Æ
Æ
<
/ Æ
/ Æ
9
Æ
6 Æ
9
Æ
/ Æ
9
Æ
/ Æ
/ 3 $ ! # !
Æ
/ Æ
F
/
9
/
! ! $ #! ' $
/
Æ
/ Æ
9 Æ
9 Æ
9
9 Æ
9 Æ
:!:C
Æ
!
)"/!/
"
Æ
"
/4
Æ
9"# Æ
#
Æ
#
# Æ
#
Æ
"=
9 Æ
* # Æ
#
Æ
/ ! Æ
4
# Æ
#
Æ
Æ
$ $
( E # #!
Æ
/ P. !
! $
!
D
* ! $ ! !! $
$6
)!/$#
=
- 0'(' )"1$% "!1%-"2"!34 "!%"#% !"-!* '
=*7
$ / 0
=*7
*
=*7
64
6 C
+
=*7
! =
=
¼
¢
¢
9
9
4==
$
! #
Q ! ! ! ! & E
& ! 2 1 ! $ -$
* ! Æ! #
! !
$ #
!
(
= %/ !
&
64'*7
'
'
% =
$ % !" ! (
= $
( 4/ =&
/( = ( 4 &
(
>$ $ $ ! C $
4(
$ *7
3!
4(
9(
(
9(
A!
$
(
69
(
6
(
4
(
69
(
6
(
I
:! :D :DE
69
9
6
(
99
8 ! L!H ! $
! I ) /
!
(
(
9
9
(99
(
9
9
B
(4(9
(
9(
$
(
(
9
(
>$$ JH !!$! #!
' !
(
(
9
9
,
8
(4(9(
$ # ,
9
9
>$$4
!P.;8# !
C !
9
9
?PC$)4
4
* 4
9
# !
$#% 0'(' )"1$% "!1%-"2"!3*'
=*7
$ / 0
$
=*7
*
=*7
64
6 E/
=*7
!
¢
¢
9
9
4=
$
$(D
$ ! 8 =
(' ! )
= (' !
+ 6 *7 *7 ! ; !
; ! = !
+ *+ !=
$%
& 64 3*7
,
%
4
&
64 3&,
/
& 64 3&,
/
&
64 3&,
4/
6& *7
3 364,
, +,
, 9,
$ ! ) %
/!
&
=
&
*7
R
=
* $$ $!
+ %
!
# ! >$ $ %
6&
*7
6&
*7
#
4Æ 4Æ
* $ 3&
)34
3 3&
/ 3&&
0!PC!) $
%/ % 3
&
)
, -
),
9
*
, E
4
* 4
9
# $ 3
& %
3
&
6
&
3
&
4
E ' !
&
3
& 4
A (' + &
3
&
3
#
$
!" ! (
= $
( 4/ =
&
3
/( = ( 4 &
3
(
)
E/ $ 4(
$ *7
!
( D $
9
9
%
9
9
%
$ 4
!
8#;P. ! $ !
9
9
%
)
,
%
),
9
*
, E
2! % $# !
E
&
3
&
4 &
3
& 4 EE
? R
%/ $%
&
3
64&
3
&
&
3
64&
3
&
? EE
&
3
&
4
&
3
! =
&
3
=4
(' ! + !
&
3
=
&
3
=
%
$ $ ! !" !(
= $
( 4/ = &
3
/( = ( 4 &
3
=
(
)
8 ( 4/ $ *7
= JH
! ( 4 / E/ $
4(
$
9
9
%
? EE $ !
&
3
%
./&
3
%
3 8#;P. ! $!
9
9
&
3
9
9
%
*$#&
3
&
3
#$
E $ ! % ! E
>$ E P C #
! !( D
# ! !
1
! "
Æ
!
Æ
4K Æ
9
0 Æ
Æ
9 Æ
9
Æ
Æ
ED
$ $ % 0 Æ
64
Æ
! Æ
)
4 0 Æ
4
Æ
! Æ / 3
- Æ
$ ! 0 Æ
! $ 0 Æ
Æ
!!
=
3 $ # $- !
!
$ $ 0 Æ
Æ
- 5'(' /
Æ/
Æ
0 Æ
Æ
( 1/ $ %
0 Æ
40 Æ
0 Æ
$0 Æ
%'0 Æ
'0 Æ
!!
*7 ? 1/ ! 0 Æ
" '
! 0 Æ
" / $ %
!
0 Æ
$ ! 0 Æ
*7/ $ # 0 Æ
*7
"/
$-! !
Æ
Æ
4
Æ
69
0 Æ
Æ
E1
9 Æ
9
Æ
Æ
$
/N
=*7
=
*7 8#
( E Æ
/N
= E
/N
= 2
4
=
4 3 !
! ! D
Æ
/N
= 3 !
D !
E
Æ
Æ
/N
= !
/N
=*7
=
*7
$ E1
3 E1 $ !
4
0 Æ
Æ
$ 1 / $ 1
0 Æ
! 3
Æ
0
Æ
Æ
4 E
Æ
0
Æ
Æ
9
0 Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
9
Æ
0 Æ
Æ
9
Æ
Æ
0 Æ
Æ
?! $#
0 Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
4
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
4
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
9
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
4
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
/
0 Æ
0 Æ
F 0 Æ
/ $ ! %
E ;# E
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
Æ
0
Æ
Æ
Æ
0 Æ
Æ
Æ
Æ
0 Æ
Æ
)
0
Æ
Æ
Æ
9 Æ
9
Æ
Æ
)
0
Æ
Æ
P " 6 ! D
(E(EE !Q
L! # ) /
!
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
EC
)
0
Æ
Æ
9
2#
Æ
4$ #
Æ
)
Æ
F 0 0
!
L!H ! $ !
0 Æ
Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
)
0
Æ
Æ
0
Æ
0
Æ
Æ
0
Æ
)
0
Æ
Æ
0 Æ
0
Æ
Æ
0
Æ
Æ
0
Æ
90
Æ
)
0 Æ
Æ
0 Æ
0
Æ
Æ
0 Æ
Æ
0
Æ
90 Æ
)
0
Æ
Æ
* Æ
0 Æ
4 0
$ !
Æ $ EC $ #
)
0
Æ
Æ
)
0
Æ
Æ
9
8 14
! # !
3 $
(E(EE#;
$ $-
! !
Æ
4K Æ
Æ
Æ
4/
! ! #
Æ
Æ
Æ
$
*
Æ
4K Æ
9
0 Æ
Æ
9 Æ
9
Æ
Æ
EI
B) 0 Æ
Æ
! !
) )
( ! $ 0 Æ
Æ
# #$ 0
/ #$ F # Æ
Æ 0
Æ
Æ
Æ
0
Æ
Æ
>) $ #
Æ 0
Æ
Æ
4
0
Æ
Æ
4
/
$
E,
#$ ? $ - =
$
Æ
Æ
4
/ 8 0 Æ
4
Æ
4
4 0 Æ $
0 Æ
Æ
0
>$! =
!
Æ
Æ
4
/ $ Æ !
0 Æ
Æ
0)
Æ
Æ
# Æ ' $ #
E, FE, ( 1 $
/ #$
0
0 Æ
Æ
0
#$
8 $! $ GH
0 Æ
Æ
0
=
! $- ! EI
C
* $ -$ ! ! )
$#% 7'(' )8#%9",-2"!3*1 =+ +
1- +
/
6
3
64
=*7
4 /
4
64
=*7
*7
)
*7
49
=*7
4/
/
6
3
: ! ) T C
3 # 8#;P. !
$ 8# P.
% 3 $ !
# 8#;P. ! ! !
$#% 7'&' )##2:#"-%; ",-2"!3*
3
3
£
£
./4
3
4 *7
3
4
4
./4 4
3! $ !
444
64
'
/'
*
$ < 4 *
*
/ *
*
: !
!
8#;P. !
!
!
£
£
!
D/
!
4
$%) $4
! ! 4*7
>$ 4 44
3
4
$ %
!343*
,
*
,
34
!34*
3*
,
*
,
D
!3
*
3*
,
*
,
# D/ !
! 4
3 $
3
3
£
*
*
£
*
3
*
*
8
44*
*
*
./4 $
%# #"!"# 7'(' 1 & *7
+ + )
&
) / ' - /
*
& 1 * /
)
'-
)'
9
*
'
& %/ %
&
)
& 295 5 /
)
'
)
'
9
*
'
& % / &
&
5 - 1
? $-& !D
& ! 2 1
3'4
!5
6%-.7'((*8%##.*-9.2-
3.4
!
$6+5% '07'((08%##.*-9.2-
3)4
%#:%
;%'0*7.,,.8%##1290*
314 % " #
# % + ;%<.27'(*28%##.*29
.0-
3*4
# !+;=% ))7'(-.8%##
.2-9)',
6 6 ; ;!% +> 78%
$ = 5 6% < 22% /?<%
/%##)*9-)
3-4 !"## '
%=>/.*0
@&/%;#'(*7'(('8
324 %( ! ;=6%.
7'(0'8%##2(9'1,
3(4 $% ""$%
%+=;%(**A07'(((8%##'1.(9
'*,)
3',4 % )
%!7.,,,8
3''4 %B % ; =
!7##8
3'.4 !&#' ($%
* "+ !$
>/% )7.,,'8%##','9''2
3')4 )% $
++
! 6%'),7'(-)8%##.0*9.--
3'14 !*#% +
! 6 =% ;@&;%
7'(2)8
3'*4 !*# !%,
%+?6%)''A)'.7'(-(8%
'1*9'0(
3'04 $ !
6)27'((,8%##'1,*9'1'.
3'-4 +# %
!>C & %27'(008%##.-,(9.-'-
=&;=27'(008%##.'0)
3'24 + ,#)-' !
$6%7'(2-8
3'(4 "
-
% $
% 6%.07'(-28%##'*-(9'*2(
3.,4 "
-
% $ ' '
! 6%),7'(2.8%##'2)*9'21*
3.'4 " ")# #%'
+ %6%107'((28%
##.'')9.'),
3..4 ./0%$%*
+ &6 =##%27'((28%##(0*9(2*
3.)4 " %)% , + #! ; & )-
7'()'8%##1,*91.0
3.14 " %)% , + ##! ;& )2
7'()'8%##..0*9..-(
%+;=+#%*27'(2(8%##),0*9),02
3.04 / $
+ 1-2!<
D%<'%7'2()8% !+=%
+=;%.,7'(-(8%##'(-9.11
3.-4 1%3" #4%=#%
59E%/%!7'(228
