1 Vom Problem zum Program

1 Vom Problem zum Program

EinProblembesteht darin, aus einer Menge von Informationen eine weitere (unbekannte) Information zu bestimmen.

mathematisch:

Ein Problem beschreibt eine Funktionf :E→A, mit E=zulässige EingabenundA=mögliche Ausgaben.

Beispiele:

ñ Addition:f :Q×Q→Q

ñ Primzahltest:f :N→ {yes,no}

ñ Schach:f :P → Z, wobeiPdie Menge aller

Schachpositionen ist, undf (P ), der beste Zug in PositionP.

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EinProblembesteht darin, aus einer Menge von Informationen eine weitere (unbekannte) Information zu bestimmen.

mathematisch:

Ein Problem beschreibt eine Funktionf :E→A, mit E=zulässige EingabenundA=mögliche Ausgaben.

Beispiele:

ñ Addition:f :Q×Q→Q

ñ Primzahltest:f :N→ {yes,no}

ñ Schach:f :P → Z, wobeiPdie Menge aller

Schachpositionen ist, undf (P ), der beste Zug in PositionP.

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1 Vom Problem zum Program

EinProblembesteht darin, aus einer Menge von Informationen eine weitere (unbekannte) Information zu bestimmen.

mathematisch:

Ein Problem beschreibt eine Funktionf :E→A, mit E=zulässige EingabenundA=mögliche Ausgaben.

Beispiele:

ñ Addition:f :Q×Q→Q

ñ Primzahltest:f :N→ {yes,no}

ñ Schach:f :P → Z, wobeiPdie Menge aller

Schachpositionen ist, undf (P ), der beste Zug in PositionP.

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EinProblembesteht darin, aus einer Menge von Informationen eine weitere (unbekannte) Information zu bestimmen.

mathematisch:

Ein Problem beschreibt eine Funktionf :E→A, mit E=zulässige EingabenundA=mögliche Ausgaben.

Beispiele:

ñ Addition:f :Q×Q→Q

ñ Primzahltest:f :N→ {yes,no}

ñ Schach:f :P → Z, wobeiPdie Menge aller

Schachpositionen ist, undf (P ), der beste Zug in PositionP.

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Harald Räcke 3/656

1 Vom Problem zum Program

EinProblembesteht darin, aus einer Menge von Informationen eine weitere (unbekannte) Information zu bestimmen.

mathematisch:

Ein Problem beschreibt eine Funktionf :E→A, mit E=zulässige EingabenundA=mögliche Ausgaben.

Beispiele:

ñ Addition:f :Q×Q→Q

ñ Primzahltest:f :N→ {yes,no}

ñ Schach:f :P → Z, wobeiPdie Menge aller

Schachpositionen ist, undf (P ), der beste Zug in PositionP.

Algorithmus

EinAlgorithmusist einexaktes Verfahren zur Lösung eines Problems, d.h. zur Bestimmung der gewünschten Resultate.

Man sagt auch ein Algorithmusberechnet eine Funktionf.

Ausschnitt aus Briefmarke, Soviet Union 1983 Public Domain

Abu Abdallah Muhamed ibn Musa

al-Chwarizmi, ca.

780–835

Algorithmus

Beobachtung:

Nicht jedes Problem läßt sich durch einen Algorithmus lösen (Berechenbarkeitstheorie).

Beweisidee: (Diskrete Strukturen)

ñ es gibtüberabzählbar unendlichviele Probleme

ñ es gibtabzählbar unendlichviele Algorithmen

Algorithmus

Beobachtung:

Nicht jedes Problem läßt sich durch einen Algorithmus lösen (Berechenbarkeitstheorie).

Beweisidee: (Diskrete Strukturen)

ñ es gibtüberabzählbar unendlichviele Probleme

ñ es gibtabzählbar unendlichviele Algorithmen

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Algorithmus

Dasexakte Verfahrenbesteht i.a. darin, eine Abfolge von elementaren Einzelschrittender Verarbeitung festzulegen.

Beispiel:Alltagsalgorithmen

Resultat Algorithmus Einzelschritte

Pullover Strickmuster eine links, eine rechts, eine fallen lassen

Kuchen Rezept nimm 3 Eier . . .

Konzert Partitur Noten

Beispiel: Euklidischer Algorithmus

Problem:geg.a, b∈N, a, b≠0. BestimmeggT(a, b).

Algorithmus:

1. Fallsa=bbrich Berechnung ab. Es giltggT(a, b)=a.

Ansonsten gehe zu Schritt 2.

2. Fallsa > b, ersetzeadurcha−bund setze Berechnung in Schritt 1 fort. Ansonsten gehe zu Schritt 3.

3. Es gilta < b. Ersetzebdurchb−aund setze Berechnung in Schritt 1 fort.

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Beispiel: Euklidischer Algorithmus

Warum geht das?

Wir zeigen, füra > b:ggT(a, b)=ggT(a−b, b).

Seieng=ggT(a, b),g⁰=ggT(a−b, b).

Dann gilt:

a = qa·g

b = qb·g und a−b = q⁰_a−b·g⁰ b = q⁰_b·g⁰

a−b = (qa−qb)·g

b = qb·g und a = (q⁰_a−b+q⁰_b)·g⁰ b = q_b⁰ ·g⁰ Das heißtgist Teiler vona−b, bundg⁰ ist Teiler vona, b. Daraus folgtg≤g⁰undg⁰≤g, alsog=g⁰.

Beispiel: Euklidischer Algorithmus

Warum geht das?

Wir zeigen, füra > b:ggT(a, b)=ggT(a−b, b).

Seieng=ggT(a, b),g⁰=ggT(a−b, b).

Dann gilt:

a = qa·g

b = qb·g und a−b = q⁰_a−b·g⁰ b = q⁰_b·g⁰

a−b = (qa−qb)·g

b = qb·g und a = (q⁰_a−b+q⁰_b)·g⁰ b = q_b⁰ ·g⁰

Das heißtgist Teiler vona−b, bundg⁰ ist Teiler vona, b. Daraus folgtg≤g⁰undg⁰≤g, alsog=g⁰.

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Beispiel: Euklidischer Algorithmus

Warum geht das?

Wir zeigen, füra > b:ggT(a, b)=ggT(a−b, b).

Seieng=ggT(a, b),g⁰=ggT(a−b, b).

Dann gilt:

a = qa·g

b = qb·g und a−b = q⁰_a−b·g⁰ b = q⁰_b·g⁰

a−b = (qa−qb)·g

b = qb·g und a = (q⁰_a−b+q⁰_b)·g⁰ b = q_b⁰ ·g⁰

Das heißtgist Teiler vona−b, bundg⁰ ist Teiler vona, b. Daraus folgtg≤g⁰undg⁰≤g, alsog=g⁰.

Beispiel: Euklidischer Algorithmus

Warum geht das?

Wir zeigen, füra > b:ggT(a, b)=ggT(a−b, b).

Seieng=ggT(a, b),g⁰=ggT(a−b, b).

Dann gilt:

a = qa·g

b = qb·g und a−b = q⁰_a−b·g⁰ b = q⁰_b·g⁰

a−b = (qa−qb)·g

b = qb·g und a = (q⁰_a−b+q⁰_b)·g⁰ b = q_b⁰ ·g⁰

Das heißtgist Teiler vona−b, bundg⁰ ist Teiler vona, b.

Daraus folgtg≤g⁰undg⁰≤g, alsog=g⁰.

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Eigenschaften

(statische) Finitheit. Die Beschreibung des Algorithmus besitzt endliche Länge. (nichtuniforme Algorithmen)

(dynamische) Finitheit. Die bei Abarbeitung entstehenden Zwischenergebnisse sind endlich.

Terminiertheit. Algorithmen, die nach endlich vielen Schritten ein Resultat liefern, heißenterminierend. (Betriebssysteme,

reaktive Systeme)

Determiniertheit. Bei gleichen Eingabedaten gibt ein Algorithmus das gleiche Ergebnis aus. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen) Determinismus. Der nächste anzuwendende Schritt im

Eigenschaften

(statische) Finitheit. Die Beschreibung des Algorithmus besitzt endliche Länge. (nichtuniforme Algorithmen)

(dynamische) Finitheit. Die bei Abarbeitung entstehenden Zwischenergebnisse sind endlich.

Terminiertheit. Algorithmen, die nach endlich vielen Schritten ein Resultat liefern, heißenterminierend. (Betriebssysteme,

reaktive Systeme)

Determiniertheit. Bei gleichen Eingabedaten gibt ein Algorithmus das gleiche Ergebnis aus. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen)

Determinismus. Der nächste anzuwendende Schritt im Verfahren ist stets eindeutig definiert. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen)

Eigenschaften

(statische) Finitheit. Die Beschreibung des Algorithmus besitzt endliche Länge. (nichtuniforme Algorithmen)

(dynamische) Finitheit. Die bei Abarbeitung entstehenden Zwischenergebnisse sind endlich.

Terminiertheit. Algorithmen, die nach endlich vielen Schritten ein Resultat liefern, heißenterminierend. (Betriebssysteme,

reaktive Systeme)

Determiniertheit. Bei gleichen Eingabedaten gibt ein Algorithmus das gleiche Ergebnis aus. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen) Determinismus. Der nächste anzuwendende Schritt im

Eigenschaften

(statische) Finitheit. Die Beschreibung des Algorithmus besitzt endliche Länge. (nichtuniforme Algorithmen)

(dynamische) Finitheit. Die bei Abarbeitung entstehenden Zwischenergebnisse sind endlich.

Terminiertheit. Algorithmen, die nach endlich vielen Schritten ein Resultat liefern, heißenterminierend. (Betriebssysteme,

reaktive Systeme)

Determiniertheit. Bei gleichen Eingabedaten gibt ein Algorithmus das gleiche Ergebnis aus. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen)

Determinismus. Der nächste anzuwendende Schritt im Verfahren ist stets eindeutig definiert. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen)

Eigenschaften

(statische) Finitheit. Die Beschreibung des Algorithmus besitzt endliche Länge. (nichtuniforme Algorithmen)

(dynamische) Finitheit. Die bei Abarbeitung entstehenden Zwischenergebnisse sind endlich.

Terminiertheit. Algorithmen, die nach endlich vielen Schritten ein Resultat liefern, heißenterminierend. (Betriebssysteme,

reaktive Systeme)

Determiniertheit. Bei gleichen Eingabedaten gibt ein Algorithmus das gleiche Ergebnis aus. (randomisierte Algorithmen, nicht-deterministische Algorithmen) Determinismus. Der nächste anzuwendende Schritt im

Programm

EinProgrammist dieFormulierungeines Algorithmus in einer Programmiersprache.

Die Formulierung gestattet (hoffentlich) eine maschinelle Ausführung.

ñ EinProgrammsystemberechnet i.a. nicht nur eine Funktion, sondernimmer wiederFunktionen in Interaktion mit

Benutzerinnen und/oder der Umgebung.

ñ Es gibt viele Programmmiersprachen:Java,C,Prolog, Fortran,TeX,PostScript, . . .

Programm

Ein Programm istgut, wenn

ñ die Programmiererinin ihr algorithmische Ideennatürlich beschreiben kann, insbesondere später noch versteht was das Programm tut (oder nicht tut);

ñ ein Computerdas Programm leicht verstehen undeffizient ausführen kann.