Nachholklausur STATISTIK 2 für Diplom VWL

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Nachholklausur STATISTIK 2 f¨ ur Diplom VWL

Name, Vorname:

Matrikel-Nr.

Die Klausur enth¨alt zwei Typen von Aufgaben:

Teil Abesteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine Antwort richtig ist und von denen mehrere Antworten richtig sein können. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten in den Kästchen unterhalb der Aufgabe an. Sind alle Kreuze richtig, erhalten Sie für die Aufgabe 3 Punkte. Jede Abweichung ergibt 1,5 Punkte Abzug. Es werden keine negativen Punktezahlen vergeben, Sie erhalten also für jede Aufgabe mindestens 0 Punkte. Wenn Sie keine Antwort ankreuzen, gilt die Aufgabe als nicht bearbeitet und Sie erhalten 0 Punkte.

Teil B enthält ausführlich zu lösende Aufgaben. Nur mit der Darstellung der einzelnen Rechenschritte oder der Begründung Ihrer Vorgehensweise kann die volle Punktzahl erreicht werden.

Zul¨assige Hilfsmittel: Nicht programmierbarer Taschenrechner, Lehrbuch von Schira, gebundene Aus- gabe (rot) des Skriptes ¨Okonometrie und eine handschriftlich von Ihnen selbst beschriebene Seite im DIN A4 Format (”Spickzettel”, kann auf beiden Seiten beschrieben sein).

Teil A umfasst 8 Aufgaben und Teil B umfasst 2 Aufgaben. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Exemplars.

Die maximal zu erreichende Punktzahl ist 60, davon k¨onnen maximal 24 Punkte in Teil A und maximal 36 Punkte in Teil B erreicht werden.

Studierende im Diplomstudiengang VWL bestehen mit mindestens 24 erreichten Punkten die Klausur.

Die Bearbeitungszeit dieser Klausur betr¨agt 120 Minuten.

Auswertung - Teil A

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8

Erreichte Punktzahl Auswertung - Teil B

Aufgabe 1 2

Erreichte Punktzahl

Erreichte Gesamtpunktzahl

1

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Teil A (24 Punkte)

1. Eine normalverteilte ZufallsvariableXhabe den Erwartungswertµ= 10 und die Standardabweichung σ= 2. Die transformierte VariableW sei definiert alsW = 2(X−10).

A) E(W) = 0

B) Die Wahrscheinlichkeit, dass W zwischen −4 und 4 liegt, betr¨agt D(1) = 0,8413 (auf vier Nachkommastellen gerundet).

C) V(W) = 8

D) Das obere Dezil (das 90%-Quantil) vonW betr¨agt 6,6 (auf eine Nachkommastelle gerundet).

A B C D

X

2. Es sei das logarithmierte Einkommenln(Y) normalverteilt mit Erwartungswertm= 6,5 und Va- rianz s²= 6,25.

A) E(Y) = 665 (gerundet) B) E(Y) = 15139 (gerundet)

C) Der Interquartilsabstand vonY betr¨agt 16317 (gerundet).

D) P(10000≤Y ≤20000)≥10%

A B C D

X

(3)

3. Der Mittelwert µ einer Normalverteilung mit der Varianz σ² = 25 soll gesch¨atzt werden. Eine Stichprobe mit dem Unfangn= 150 ergibt den Mittelwert ¯X = 6,35.

A) V( ¯X) = 1/6

B) Die Standardabweichung von ¯X betr¨agt 5.

C) KI(µ, 0,9) = [6,08 ; 6,62] (auf zwei Nachkommastellen gerundet) D) KI(µ, 0,9) = [−1,88 ; 14,58] (auf zwei Nachkommastellen gerundet)

A B C D

X

4. Auf Basis einer Stichprobe mitnBeobachtungen, wobei neine gerade Zahl mitn >8 ist, soll der Erwartungswertµeiner unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen geschätzt werden. Es stehen folgende Schätzer zur Auswahl:

(1) ˆµ1= x1+x2+xn−1+xn

4

(2) ˆµ2= x1+x3+x5+x7+...+xn−1

n/2

Beachten Sie, dass in die Berechnung von ˆµ2nur die ungeraden Beobachtungen eingehen.

Die Varianz der Zufallsvariablen seiσ². A) V(ˆµ2) = σ²

2n

B) Der Sch¨atzer ˆµ1 ist erwartungstreu.

C) Der Sch¨atzer ˆµ1 ist asymptotisch erwartungstreu.

D) Der Sch¨atzer ˆµ2 ist konsistent.

A B C D

X X X

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5. Ein Wohnungsmakler vermittelt insgesamt 51 Wohnungen in einer Stadt. Er zeichnet die Kaltmiete Y in eauf und berechnet:

¯

y= 1.020e y²= 1.050.400e² Die Kaltmiete kann als exakt normalverteilt angesehen werden.

A) Die gesch¨atzte Standardabweichung der Kaltmiete betr¨agtσ= 101e(aufegerundet).

B) Das 95%-Konfidenzintervall f¨ur die durchschnittliche Kaltmiete in der Stadt ist KI(µ , 0,95) = [819e, 1.220e] (aufegerundet).

C) Das 95%-Konfidenzintervall f¨ur die durchschnittliche Kaltmiete in der Stadt ist KI(µ , 0,95) = [992e, 1.048e] (aufegerundet).

D) Das 95%-Konfidenzintervall f¨ur die Varianz der Kaltmiete in der Stadt ist KI(σ², 0,95) = [7.141e² , 16.075e²] (auf e²gerundet).

A B C D

X X

6. Die Varianz eines normalverteilten Merkmals sei σ². Es soll die Hypothese H0 : σ² ≥ 100 = σ₀² gegen die Alternativhypothese H1 : σ² < 100 getestet werden. Auf Basis einer Stichprobe von n = 101 Beobachtungen wird die Stichprobenvarianz s² = 98,7 gesch¨atzt. Unterstellen Sie ein Signifikanzniveau von α= 5%. – ACHTUNG: C und D wurden nicht bewertet, da die Aussagen nicht eindeutig sind.

A) Wenn die wahre Varianz 100 beträgt, dann ist die Prüfgröße 1,01·S²chi-quadrat-verteilt mit 100 Freiheitsgraden.

B) Die Prüfgröße beträgt 99,687.

C) Die Prüfgröße übersteigt den kritischen Wert χ²₁₉₉ [0,95]. Deshalb ist die Nullhypothese abzulehnen.

D) Die Pr¨ufgr¨oße unterschreitet den kritischen Wert χ²₁₉₉ [0,05]. Deshalb ist die Nullhypothese abzulehnen.

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7. Gegeben ist folgendes Modell: yi=β1+β2xi+ui, bei dem folgende Werte bekannt sind:

X^′X =

20 5

5 10

X^′Y =

10

2

Es soll die Kleinste-Quadrate-Sch¨atzung durchgef¨uhrt werden.

A) Der Stichprobenumfang ist 40.

B) F¨ur das arithmetische Mittel vony gilt ¯y= 0,5.

C) ˆβ1= 0,514 (auf drei Nachkommastellen gerundet) D) ˆβ2=−0,062 (auf drei Nachkommastellen gerundet)

A B C D

X X

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8. ImAnhang zu Aufgabe A.8finden Sie ein TSP-Programm zur Analyse der Konjunkturlage und der Konjunkturerwartungen in West- und Ostdeutschland. Die Daten stammen aus der in den Vor- lesungenOkonometrie¨ undEinf¨uhrung in die Empirische Wirtschaftsforschung zu Semesterbeginn durchgef¨uhrten Umfrage, die Sie im PC-Pool analysiert haben.

Variablenbeschreibung:

F2 gesamtwirtschaftliche Situation zur Zeit, Ostdeutschland F3 gesamtwirtschaftliche Situation zur Zeit, Westdeutschland F5 gesamtwirtschaftliche Situation mittelfristig, Ostdeutschland F6 gesamtwirtschaftliche Situation mittelfristig, Westdeutschland

Sie analysieren die Daten im Hinblick auf Geschlechterunterschiede. Die Variable FRAU sei eine Indikatorvariable, die den Wert 1 für Frauen und den Wert 0 für Männer annehme.

A) Der Anteil der Frauen, die eine Verbesserung der gesamtwirtschaftlichen Situation in West- deutschland mittelfristig erwarten, ¨ubersteigt den Anteil der Frauen, die eine Verschlechterung erwarten, um 23,1 Prozentpunkte.

B) Die Anzahl der Männer, die ihre Einschätzung zu den Konjunkturerwartungen in Westdeutsch- land abgeben, übersteigt die Anzahl der Frauen, die ihre Einschätzung zu den Konjunktur- erwartungen in Westdeutschland abgeben.

C) Die M¨anner sind optimistischer als die Frauen im Hinblick auf die Konjunkturerwartungen in Westdeutschland (kein Hypothesentest).

D) Die Frauen sind signifikant optimistischer (auf einem Signifikanzniveau von 10%) als die M¨anner im Hinblick auf die Konjunkturerwartungen in Westdeutschland.

A B C D

X

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Teil B (36 Punkte)

1. Tests f¨ur Median und Quantile: Es soll statistisch getestet werden, ob der Median und das un- tere Quartil der Pisatestergebnisse Y (gemessen in Punkten) bestimmte Werte annehmen. Die Nullhypothesen sind:

H0:y[0,25]= 480 (unteres Quartil) H0:y[0,5]= 500 (Median)

Eine Stichprobe von 250 Schülern ergibt, dass 30% der Schüler ein Pisatestergebnis von unter 480 und 54% der Schüler ein Pisatestergebnis von unter 500 aufweisen. Führen Sie für das un- tere Quartil und den Median getrennt den zweiseitigen Hypothesentest durch. Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherungsverteilung, aber führen Siekeine Stetigkeitskorrektur durch. Das Signifikanzniveau sei 10%. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise und interpretieren Sie kurz das Ergeb- nis der beiden Hypothesentests.

(6 Punkte)

2. In dieser Aufgabe sollen Sie sich mit Regressionen zur Erkl¨arung der Entlohnung auseinanderset- zen, die auf einer Stichprobe von 2610 Arbeitnehmern basieren. Im Anhang zu Aufgabe B.2 werden deskriptive Statistiken, Kleinste-Quadrate-Regressionen und Graphiken aufgef¨uhrt, die in TSP berechnet bzw. erstellt wurden.

Die Variablen im zugrundeliegenden Datensatz sind wie folgt definiert:

lnw logarithmierter Bruttomonatsverdienst in DM ex Berufserfahrung in Jahren

sex Geschlecht (Frau=1)

dau Dauer der Schulausbildung in Jahren

Im TSP-Programm werden weitere Variablen definiert. Die TSP-Befehle ’select (sex = 0);’ und

’select (sex = 1);’ schr¨anken die Stichprobe auf jene Beobachtungen ein, f¨ur welche die Variable sex den Wert 0 bzw. 1 annimmt.

Beantworten Sie die folgenden Fragen unter Bezugnahme auf die Schätzergebnisse imAnhang zu Aufgabe B.2. Begründen Sie Ihre Antwort, beispielsweise indem Sie geeignete Tests durchführen.

Ohne Begründung können keine Punkte erzielt werden. Erläutern Sie gegebenenfalls in Ihrer Antwort, welche zusätzlichen Annahmen notwendig sind bzw. welche zusätzlichen Informationen Sie benötigen.

(8)

A) Was ist der durchschnittliche logarithmierte Bruttomonatsverdienst von M¨annern und Frauen?

Was ist das geometrische Mittel des Bruttomonatsverdienstes von Männern und Frauen in DM? Was ist das arithmetische Mittel des Bruttomonatsverdienstes von Männern und Frauen in DM? Was ist die durchschnittliche Dauer der Schulausbildung von Männern und Frauen?

Was ist die durchschnittliche Berufserfahrung von M¨annern und Frauen?

(5 Punkte) B) Interpretieren Sie ausführlich die in Equation 1 geschätzte Gleichung. Was ist die ökonomische Interpretation der geschätzten Koeffizienten? Welche Koeffizienten sind signifikant? Ist die Berufserfahrung ein signifikanter Bestimmungsfaktor der Entlohnung? Wie hoch ist die Ren- dite der Berufserfahrung beim Berufseinstieg? Wie hoch ist die Rendite der Berufserfahrung nach 15 Jahren Berufserfahrung?

Hinweis: Unter der Rendite der Berufserfahrung versteht man den lohnerh¨ohenden Effekt eines weiteren Jahres Berufserfahrung, d.h. mathematisch ∂ln(w)/∂ex.

(9 Punkte) C) Befassen Sie sich nun kurz und prägnant mit der in Equation 2 geschätzten Gleichung. Welche Koeffizienten sind signifikant? Was ist die ökonomische Interpretation der geschätzten Koef- fizienten? Ist die Berufserfahrung ein signifikanter Bestimmungsfaktor der Entlohnung? Wie hoch ist die Rendite der Berufserfahrung beim Berufseinstieg? Wie hoch ist die Rendite der Berufserfahrung nach 15 Jahren Berufserfahrung?

( 6 Punkte) D) Wie hoch ist der geschätzte durchschnittliche partielle Effekt der Berufserfahrung für Männer und für Frauen? Wie hoch ist die geschätzte Standardabweichung dieser Größe? Testen Sie, ob sich die Größe zwischen Männern und Frauen signifikant unterscheidet. Unterstellen Sie, dass die beiden Teilstichproben unabhängig voneinander sind.

(6 Punkte) E) Die Gleichstellungsbeauftragte der Gewerkschaften argumentiert, dass die Diskriminierung von Frauen im Verdienst dadurch entstehe, dass Frauen im Vergleich zu Männern geringere Karrierechancen haben. Dies könne man daran erkennen, dass die Berufserfahrungseffekte für Männer höher als für Frauen sind. Wie bewerten Sie diese Aussage auf Basis der bisherigen Ergebnisse. Wie würden Sie diese Aussage weiter statistisch untersuchen?

(4 Punkte)

(30 Punkte)

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Anhang zu Aufgabe A.8

TSP–Programm

dblist(doc) ku2009;

smpl 1 260;

in ku2009;

msd(terse,byvar) F2 F3 F5 F6;

diffost = F2-F5;

msd(terse,byvar) diffost;

set tstat1 = abs(@mean)/(@stddev);

print tstat1;

diffwest = F3-F6;

msd(terse,byvar) diffwest;

set tstat2 = abs(@mean)/(@stddev/sqrt(@nobmsd));

print tstat2;

set tstat3 = abs(@mean)/(@stddev);

print tstat3;

title ’Geschlechterunterschiede’;

select FRAU=1;

msd(terse,byvar) F6;

set nfrau = @nobmsd;

set mfrau = @mean;

set sdfrau= @stddev;

print nfrau mfrau sdfrau;

select FRAU=0;

msd(terse,byvar) F6;

set nmann = @nobmsd;

set mmann = @mean;

set sdmann= @stddev;

print nmann mmann sdmann;

set tfrau_mann = abs(mfrau-mmann)/sqrt(sdfrau**2/nfrau + sdmann**2/nmann);

print tfrau_mann;

(10)

TSP–Output basierend auf dem obigen Programm Class Name Description

--- ---- ---

SERIES F1 260 obs., 1-260, N

gesamtwirtschaftl. Situation z.Zt. D-Gesamt F2 260 obs., 1-260, N

gesamtwirtschaftl. Situation z.Zt. Ost-D F3 260 obs., 1-260, N

gesamtwirtschaftl. Situation z.Zt. West-D F4 260 obs., 1-260, N

gesamtwirtschaftl. Situation mittelfr. D-Gesamt F5 260 obs., 1-260, N

gesamtwirtschaftl. Situation mittelfr. Ost-D F6 260 obs., 1-260, N

gesamtwirtschaftl. Situation mittelfr. West-D ...

FRAU 260 obs., 1-260, N

1=Geschlecht weiblich, 0 sonst ...

Current sample: 1 to 260

Univariate statistics

=====================

*** WARNING in command 7 Procedure MSD: Missing values for series ====>

F2: 30, F3: 8, F5: 19, F6: 12 Number of Observations: 260

Num.Obs Mean Std Dev Minimum Maximum

F2 230.00000 -0.81739 0.42994 -1.00000 1.00000

F3 252.00000 -0.23810 0.61752 -1.00000 1.00000

F5 241.00000 0.15353 0.68105 -1.00000 1.00000

F6 248.00000 0.53226 0.64180 -1.00000 1.00000

(11)

*** WARNING in command 8 Procedure GENR: Missing values for series

====> F2: 30, F5: 19

=====================

*** WARNING in command 9 Procedure MSD: Missing values for series ====>

DIFFOST: 37

Number of Observations: 260

DIFFOST 223.00000 -0.98206 0.73499 -2.00000 1.00000 TSTAT1 = 1.33615

*** WARNING in command 12 Procedure GENR: Missing values for series

====> F3: 8, F6: 12

=====================

*** WARNING in command 13 Procedure MSD: Missing values for series

====> DIFFWEST: 16 Number of Observations: 260

DIFFWEST 244.00000 -0.77869 0.92529 -2.00000 2.00000

TSTAT2 = 13.14555 TSTAT3 = 0.84156

(12)

*** WARNING in command 19 Procedure SELECT: Missing values for series

====> FRAU: 5

=====================

====> F6: 6

F6 97.00000 0.55670 0.62864 -1.00000 1.00000

NFRAU MFRAU SDFRAU

Value 97.00000 0.55670 0.62864

*** WARNING in command 25 Procedure SELECT: Missing values for series

====> FRAU: 5

=====================

====> F6: 4

F6 148.00000 0.50676 0.65462 -1.00000 1.00000

NMANN MMANN SDMANN

(13)

Anhang zu Aufgabe B.2

TSP-Programm

title ’Deskriptive Statistiken fuer Maenner’;

select (sex = 0);

msd(terse) lnw ex dau;

set mittel = exp(@mean(1));

print mittel;

w = exp(lnw);

msd(terse) w;

title ’Deskriptive Statistiken fuer Frauen’;

select (sex = 1);

msd(terse) lnw ex dau;

set mittel = exp(@mean(1));

print mittel;

w = exp(lnw);

msd(terse) w;

select 1;

ex2 = ex*ex;

select (sex = 0);

title ’Maenner’;

ols lnw c dau ex ex2;

print @vcov;

frml fex ex;

frml fex2 ex2;

analyz(noconstr) fex fex2;

frml fdauex dau-ex;

(14)

analyz(noconstr) fdauex fex2;

title ’Partieller Effekt der Berufserfahrung’;

pe_ex = @coef(3) + 2*@coef(4)*ex;

msd(terse) pe_ex;

msd(terse) ex; set ave_ex = @mean(1); print ave_ex;

select (sex = 1);

title ’Frauen’;

ols lnw c dau ex ex2;

print @vcov;

frml fex ex;

frml fex2 ex2;

analyz(noconstr) fex fex2;

frml fdauex dau-ex;

analyz(noconstr) fdauex fex2;

title ’Partieller Effekt der Berufserfahrung’;

pe_ex = @coef(3) + 2*@coef(4)*ex;

msd(terse) pe_ex;

msd(terse) ex; set ave_ex = @mean(1); print ave_ex;

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TSP-Output auf Basis des obigen Programms Deskriptive Statistiken fuer Maenner

====================================

=====================

Mean Std Dev Minimum Maximum

LNW 8.43047 0.59223 5.03695 10.30895

EX 18.56346 8.52537 1.00000 35.00000

DAU 12.18870 2.91626 1.50000 19.00000

MITTEL = 4584.65456

=====================

W 5299.30044 2808.56285 153.99991 29999.92018 Deskriptive Statistiken fuer Frauen

===================================

=====================

LNW 7.78820 0.77226 4.24850 9.47271

EX 18.22986 9.07981 0.50000 35.00000

DAU 11.68597 2.57048 1.50000 19.00000

MITTEL = 2411.96845

=====================

W 3038.02975 1798.07915 69.99998 13000.00473

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Maenner

=======

Equation 1

============

Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: LNW

Number of observations: 1505

Mean of dep. var. = 8.43047 LM het. test = 23.7691 [.000]

Std. dev. of dep. var. = .592235 Durbin-Watson = 1.90347 [<.039]

Sum of squared residuals = 314.556 Jarque-Bera test = 3023.90 [.000]

Variance of residuals = .209565 Ramsey’s RESET2 = 25.1166 [.000]

Std. error of regression = .457782 F (zero slopes) = 338.734 [.000]

R-squared = .403703 Schwarz B.I.C. = 972.183 Adjusted R-squared = .402511 Log likelihood = -957.550

Estimated Standard

Variable Coefficient Error t-statistic P-value

C 6.22576 .074778 83.2566 [.000]

DAU .079930 .406814E-02 19.6477 [.000]

EX .116640 .614079E-02 18.9942 [.000]

EX2 -.224037E-02 .157106E-03 -14.2602 [.000]

@VCOV

1 2 3 4

1 0.0055917

2 -0.00021231 0.000016550

3 -0.00031498 5.75880D-07 0.000037709

4 7.14783D-06 -2.37598D-10 -9.39659D-07 2.46824D-08

(17)

Results of Parameter Analysis

=============================

Standard

Parameter Estimate Error t-statistic P-value

FEX .116640 .614079E-02 18.9942 [.000]

FEX2 -.224037E-02 .157106E-03 -14.2602 [.000]

Wald Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero:

CHISQ(2) = 710.83801 ; P-value = 0.00000

F Test for the Hypothesis that the given set of Parameters are jointly zero:

F(2,1501) = 355.41901 ; P-value = 0.00000 Results of Parameter Analysis

=============================

Standard

Parameter Estimate Error t-statistic P-value FDAUEX -.036710 .728748E-02 -5.03739 [.000]

FEX2 -.224037E-02 .157106E-03 -14.2602 [.000]

CHISQ(2) = 339.24217 ; P-value = 0.00000

F(2,1501) = 169.62108 ; P-value = 0.00000

(18)

Partieller Effekt der Berufserfahrung

=====================================

=====================

PE_EX 0.033462 0.038200 -0.040186 0.11216

=====================

EX 18.56346 8.52537 1.00000 35.00000

AVE_EX = 18.56346

(19)

Frauen

======

Equation 2

============

Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: LNW

Number of observations: 1105

Mean of dep. var. = 7.78820 LM het. test = .677960 [.410]

Std. dev. of dep. var. = .772263 Durbin-Watson = 1.91755 [<.105]

Sum of squared residuals = 605.042 Jarque-Bera test = 401.382 [.000]

Variance of residuals = .549539 Ramsey’s RESET2 = .983595 [.322]

Std. error of regression = .741309 F (zero slopes) = 32.3739 [.000]

R-squared = .081062 Schwarz B.I.C. = 1249.17 Adjusted R-squared = .078558 Log likelihood = -1235.16

Estimated Standard

Variable Coefficient Error t-statistic P-value

C 6.52417 .138510 47.1027 [.000]

DAU .080687 .882119E-02 9.14691 [.000]

EX .037870 .010579 3.57967 [.000]

EX2 -.890387E-03 .279567E-03 -3.18488 [.001]

@VCOV

1 2 3 4

1 0.019185

2 -0.00094713 0.000077813

3 -0.00084036 -6.84477D-07 0.00011192

4 0.000018568 1.21241D-07 -2.87423D-06 7.81575D-08

(20)

Results of Parameter Analysis

=============================

Standard

FEX .037870 .010579 3.57967 [.000]

FEX2 -.890387E-03 .279567E-03 -3.18488 [.001]

CHISQ(2) = 14.367613 ; P-value = 0.00076

F(2,1101) = 7.1838065 ; P-value = 0.00079 Results of Parameter Analysis

=============================

Standard

FDAUEX .042816 .013824 3.09725 [.002]

FEX2 -.890387E-03 .279567E-03 -3.18488 [.001]

CHISQ(2) = 87.733507 ; P-value = 0.00000

F(2,1101) = 43.866754 ; P-value = 0.00000

(21)

Partieller Effekt der Berufserfahrung

=====================================

=====================

PE_EX 0.0054069 0.016169 -0.024457 0.036980

=====================

EX 18.22986 9.07981 0.50000 35.00000

AVE_EX = 18.22986

ENDE DER KLAUSUR