Bitte antworten Sie in unmissverst¨ andlicher Sprache, mit Formeln oder verbal, wie es Ihnen angenehmer ist. Die Klarheit Ihrer Sprache fließt wesentlich in die Bewertung ein!

(1)

Lineare Algebra 2, SS 2013

Name:

Matrikelnummer:

Dieser Test enth¨ alt 7 Aufgaben auf 2 Seiten und z¨ ahlt insgesamt 36 Punkte. Ein Ergebnis ab 18 Punkten ist positiv.

Bitte antworten Sie in unmissverst¨ andlicher Sprache, mit Formeln oder verbal, wie es Ihnen angenehmer ist. Die Klarheit Ihrer Sprache fließt wesentlich in die Bewertung ein!

Bitte antworten Sie pr¨ agnant: Ausf¨ uhrungen, die nicht zur direkten Beantwor- tung der gestellten Fragen dienen, bringen keine zus¨ atzlichen Punkte, und k¨ onnen sogar, wenn sie falsch sind, auch zu Punkteabzug f¨ uhren!

Danke und viel Erfolg!

* Je eine Definition aus jedem der drei Hauptteile. Hier soll überprüft werden, ob Sie die genauen Begriffe kennen.

Aufgabe 1. Deﬁnieren Sie die folgenden Begriﬀe: (Nur die Definitionen sind ge- fragt.)

(1) 2 Punkte: Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms.

(2) 2 Punkte: Diagonalisierbare Matrix.

(3) 2 Punkte: Unit¨ are Matrix.

* Je eine Wissensfrage aus jedem Hauptabschnitt, hier soll überprüft werden, ob Sie Kenntnis und Überblick über den Inhalt des Stoffes haben. Bei der Beantwortung dieser Fragen müssen Sie nicht begründen oder beweisen.

Aufgabe 2. 4 Punkte:

(1) 2 Punkte: Formulieren Sie das Lemma von Fitting. (Sie m¨ ussen es nicht beweisen!)

(2) 2 Punkte: Wof¨ ur wurde in der Vorlesung Lemma von Fitting gebraucht?

Aufgabe 3. 4 Punkte: Sei V ein Vektorraum mit innerem Produkt ⟨· , ·⟩ , W ein Unterraum von V mit einer Basis (b

₁

, · · · , b

_n

), und x ∈ V . Wie kann man die orthogonale Projektion von x auf W berechnen, wenn (b

1

, · · · , b

n

) eine beliebige Basis ist.

Geben Sie nur die Methode an, Sie m¨ ussen nicht begr¨ unden, warum sie funktioniert.

Aufgabe 4. 4 Punkte: Sei A ∈ C

ⁿ^×ⁿ

normal.

(1) 2 Punkte: Wie kann man an den Eigenwerten von A erkennen, ob A her- mitesch ist?

(2) 2 Punkte: Wenn A hermitesch ist, wie kann man an den Eigenwerten von A erkennen, ob A positiv deﬁnit ist?

Sie m¨ ussen Ihre Antworten nicht begr¨ unden oder beweisen.

(2)

* Je eine Aufgabe zu den Details der Beweise in jedem Hauptabschnitt. Hier soll überprüft werden, ob Sie die mathematischen Zusammenhänge verstehen und auch in unmissverständlicher und klarer Sprache wiedergeben können.

Aufgabe 5. 6 Punkte: Sei K eine konvexe Teilmenge eines Vektorraums V uber ¨ R mit innerem Produkt ⟨· , ·⟩ . Sei x ∈ V und u ∈ K, so dass f¨ ur alle y ∈ K gilt:

∥ x − u ∥ ≤ ∥ x − y ∥ . Zeigen Sie: F¨ ur alle y ∈ K gilt

⟨ x − u, y − u ⟩ ≤ 0 .

Aufgabe 6. 6 Punkte: Sei A ∈ C

ⁿ^×ⁿ

eine normale Matrix, v ∈ C

ⁿ

und λ ∈ C . Zeigen Sie: Ist Av = λv, dann ist A

^∗

v = λv.

Aufgabe 7. 6 Punkte: Sei A ∈ C

ⁿ^×ⁿ

. Beweisen Sie: Sind λ

1

, · · · , λ

k

paarweise

verschiedene Eigenwerte von A und v

1

, · · · , v

k

Eigenvektoren dazu, dann ist das

k-Tupel (v

1

, · · · , v

k

Bitte antworten Sie in unmissverst¨ andlicher Sprache, mit Formeln oder verbal, wie es Ihnen angenehmer ist. Die Klarheit Ihrer Sprache fließt wesentlich in die Bewertung ein!

Lineare Algebra 2, SS 2013

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Matrikelnummer:

Dieser Test enth¨ alt 7 Aufgaben auf 2 Seiten und z¨ ahlt insgesamt 36 Punkte. Ein Ergebnis ab 18 Punkten ist positiv.

Bitte antworten Sie in unmissverst¨ andlicher Sprache, mit Formeln oder verbal, wie es Ihnen angenehmer ist. Die Klarheit Ihrer Sprache fließt wesentlich in die Bewertung ein!

Bitte antworten Sie pr¨ agnant: Ausf¨ uhrungen, die nicht zur direkten Beantwor- tung der gestellten Fragen dienen, bringen keine zus¨ atzlichen Punkte, und k¨ onnen sogar, wenn sie falsch sind, auch zu Punkteabzug f¨ uhren!

Danke und viel Erfolg!

Aufgabe 1. Deﬁnieren Sie die folgenden Begriﬀe: (Nur die Definitionen sind ge- fragt.)

(1) 2 Punkte: Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms.

(2) 2 Punkte: Diagonalisierbare Matrix.

(3) 2 Punkte: Unit¨ are Matrix.

Aufgabe 2. 4 Punkte:

(1) 2 Punkte: Formulieren Sie das Lemma von Fitting. (Sie m¨ ussen es nicht beweisen!)

(2) 2 Punkte: Wof¨ ur wurde in der Vorlesung Lemma von Fitting gebraucht?

Aufgabe 3. 4 Punkte: Sei V ein Vektorraum mit innerem Produkt ⟨· , ·⟩ , W ein Unterraum von V mit einer Basis (b

, · · · , b

), und x ∈ V . Wie kann man die orthogonale Projektion von x auf W berechnen, wenn (b

, · · · , b

) eine beliebige Basis ist.

Geben Sie nur die Methode an, Sie m¨ ussen nicht begr¨ unden, warum sie funktioniert.

Aufgabe 4. 4 Punkte: Sei A ∈ C

normal.

(1) 2 Punkte: Wie kann man an den Eigenwerten von A erkennen, ob A her- mitesch ist?

(2) 2 Punkte: Wenn A hermitesch ist, wie kann man an den Eigenwerten von A erkennen, ob A positiv deﬁnit ist?

Sie m¨ ussen Ihre Antworten nicht begr¨ unden oder beweisen.

Aufgabe 5. 6 Punkte: Sei K eine konvexe Teilmenge eines Vektorraums V uber ¨ R mit innerem Produkt ⟨· , ·⟩ . Sei x ∈ V und u ∈ K, so dass f¨ ur alle y ∈ K gilt:

∥ x − u ∥ ≤ ∥ x − y ∥ . Zeigen Sie: F¨ ur alle y ∈ K gilt

⟨ x − u, y − u ⟩ ≤ 0 .

Aufgabe 6. 6 Punkte: Sei A ∈ C

eine normale Matrix, v ∈ C

und λ ∈ C . Zeigen Sie: Ist Av = λv, dann ist A

v = λv.

Aufgabe 7. 6 Punkte: Sei A ∈ C

. Beweisen Sie: Sind λ

, · · · , λ

paarweise

verschiedene Eigenwerte von A und v

, · · · , v

Eigenvektoren dazu, dann ist das

k-Tupel (v

, · · · , v

) linear unabh¨ angig.