Die Diffusion erfolgt durch das Wasser, welches in den Poren der Membran eingeschlossen ist

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 04/05 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 7, vom 31.01.2005 R ¨uckgabe am 07.02.2005

Aufgabe 1Diffusion durch eine Membran (Pr¨ufungsaufgabe Herbst 2002)

Einem mit Wasser gef ¨ullten vollst¨andig durchmischten chemischen Reaktor mit dem Volumen

wird pro Stunde des Stoffes X zugef ¨uhrt. Dieser Stoff geht durch eine Reaktion erster Ordnung quanti- tativ in den Stoff Y ¨uber (d.h. aus X wird Y). Die dazugeh¨orende spezifische Rate ist (keine R ¨uckreaktion). Die Konzentrationen der Stoffe X und Y innerhalb des Reaktors seien bzw.^! . Der Stoff Y verl¨asst den Reaktor indem er durch eine f ¨ur den Stoff X undurchl¨assige Membran diffundiert. Die Diffusion erfolgt durch das Wasser, welches in den Poren der Membran eingeschlossen ist. Die Membranaus- senseite wird durchgehend mit reinem Wasser gesp ¨ult, wodurch der Stoff Y so schnell abtransportiert wird, dass die Konzentration an der Aussenseite der Membran in guter N¨aherung gleich Null gesetzt werden kann.

F ¨ur den Massentransport durch Diffusion kann damit ein Prozess erster Ordnung angenommen werden. Die dazugeh¨orende spezifische Rate sei^" .

(a) Zeichnen Sie ein Boxschema und Stellen Sie die Bilanzgleichungen f ¨ur die Stoffkonzentrationen und

! der Substanzen X und Y im chemischen Reaktor auf.

(b) Berechnen Sie die spezifische Rate mit Hilfe des 1. Fick’schen Gesetzes. Innerhalb der Membran gilt zu jedem Zeitpunkt

# %$'&)(

# & "*,+.-0/213+/54

wobei^& die Ortskoordinate senkrecht zur Membranfl¨ache bezeichnet (siehe Abbildung 1). Die Dicke der Membran ist^{6 879:} . Der Diffusionskoeffizient f ¨ur den Stoff Y in der Membran ist^{;: <.}.>=?A@B-5

Die f ¨ur die Diffusion relevante Membranfl¨ache ist^{C 8"D@} . .

Wenn Sie unter (b) f ¨ur kein Ergebnis finden, so verwenden Sie im Folgenden den Wert ^E . (c) Welche Stoffkonzentrationen stellen sich im station¨aren Zustand im Reaktor ein.

(d) Nach welcher Zeit sind die unter (c) berechneten Station¨arkonzentrationen ab dem Zeitpunkt der Inbe- triebnahme des Reaktors bis auf weniger als 5% erreicht? Die Anfangskonzentrationen sind ⁸ und

< .

(e) Welche Menge (Masse) des Stoffes Y wird im station¨aren Zustand pro Stunde aus dem Reaktor gewon- nen?

PSfrag replacements

innerhalb

Reaktor ausserhalb

Reaktor Membran

Membran

F GIHBJLK%M

N

N

O

P J

Q

R)ST

N"U

V

GXWYZLK K

Reaktor^{[ G]\0JLK_^}

Abbildung 1: Konzentrationsverlauf in der Membran