Priv.-Doz. Dr. Gennadiy Averkov Felix Jost, Clemens Zeile
Sommersemester 2018
Algorithmische Mathematik II – Blatt 10
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/sose18/algomat2/
Abgabe der Aufgaben bis zum 28.6.2018 vor der Vorlesung.
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Sei A wie folgt gegeben
A=
⎛
⎜
⎝
4 1 5
2 2 3
−2 −1 −3
⎞
⎟
⎠
. (1)
a) Berechnen Sie die LUP-Zerlegung von A.
b) L¨osen Sie mit der in a) berechneten LUP-Zerlegung das Gleichungssystem Ax =b mit b= (1,0,0)T.
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Wie h¨angen die Matrizen Pσ−1, Pσ−1 und PσT zusammen? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Beweisen Sie Theorem 2.12 aus der Vorlesung:
Theorem: Relativer Fehler bei St¨orung der linken und rechten Seite Sei A∈Rn×n regul¨ar und sei ∆A∈Rn×n Matrix mit
∥∆A∥
∥A∥ ≤ 1 κ(A). Sei b∈Rn∖ {0} und ∆b∈Rn. Dann gilt:
Die Matrix A+∆A ist regul¨ar und f¨ur die L¨osungx∗ vonAx=b und die L¨osung x∗+∆x von (A+∆A)x=b+∆b gilt die Absch¨atzung
∥∆x∥
∥x∗∥
≤
κ(A)2∥∆A∥∥A∥
1−κ(A)∥∆A∥∥A∥
+κ(A)∥∆b∥
∥b∥ .
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Schreiben Sie ein C++ Programm, welches den in der Vorlesung kennengelernten Newton- Algorithmus zur L¨osung von f(x) =0 anhand einer konkret gegebenen Funktion f um- setzt. Sie d¨urfen die Ableitungen von f analytisch bestimmen und f¨ur den Algorithmus verwenden. f sei definiert als
f ∶R→R, f(x) ∶=x3+4x2−51x−54. (2) Das Programm soll als Eingabe den Startwert x0 und die Abbruchtoleranz T OL haben.
Neben der approximierten Nullstelle xn soll die Anzahl der ben¨otigten Iterationen n ausgegeben werden.
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