Tutoriumsblatt 10 zu Mathematik II f¨ ur Physiker

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 23.6.2020

Tutoriumsblatt 10 zu Mathematik II f¨ ur Physiker

Aufgabe 1:

Es sei (X,O) ein hausdorffscher topologischer Raum und (K_i)i∈I eine Familie von kompakten TeilmengenKi ⊆X. Zeige oder widerlege:

a) \

i∈I

Ki ist kompakt.

b) [

i∈I

K_i ist kompakt.

c) IstJ ⊆I endlich, dann ist [

i∈J

Ki kompakt.

Aufgabe 2:

Es seiV einK-Vektorraum mit Skalarprodukt h·,·i. Zeige:

a) F¨ur jedes v∈V ist f_v :V → K

w 7→ hv, wi

eine stetige lineare Abbildung.

b) |||f_v|||=kvkist die Operatornorm vonfv. Aufgabe 3:

VerseheC([0,1],R) mit der Supremumsnormk · k_∞ und zeige:

a) F¨urf ∈C([0,1],R),x∈[0,1] wird durch

(T[f])(x) :=

∞

X

n=1

1

4n(n+ 1)f(xⁿ) ein stetiger linearer Operator

T :C([0,1],R) → C([0,1],R) f 7→ T[f] definiert.

b) |||T|||= ¹₄ und id−T ist invertierbar.