Induktive Beweise und rekursive Deﬁnitionen

(1)

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Ubung¨ Logik in der Informatik HU Berlin

2. ¨Ubungsstunde

(2)

Programm f¨ ur heute

Rekursive Definition von Mengen

Rekursive Definition von Funktionen

Induktion ¨uberN

Koinzidenzlemma f¨ur AL

(3)

Programm f¨ ur heute

Induktion ¨uberN

(4)

Rekursive Definition von Mengen

Eine rekursive Definition einer MengeM besteht aus:

Basisregeln der Form “m∈M”

Rekursiven Regelnder Form

“Sindm1, . . . ,mk ∈M, dann ist auchm∈M”, wobeim vonm1, . . . ,mk abh¨angt.

(5)

Rekursive Definition von Mengen (Beispiel)

Die MengeLaller Zeichenketten ¨uber dem Alphabet A := {x,:=,+,−,6=,;,while,do,end} ∪N,

die syntaktisch korrekteWHILE-Programmesind, ist wie folgt definiert:

Basisregeln:

(B1) F¨ur Zahleni,j,c∈Ngilt: xi:=xj+c ∈L.

(B2) F¨ur Zahleni,j,c∈Ngilt: xi:=xj−c ∈L.

Rekursive Regeln:

(R1) Sindw1∈Lundw2∈L, so ist auchw1;w2 ∈L.

(R2) Istw ∈Lundi∈N, so ist while xi6=0 dowend ∈L.

(6)

Rekursive Definition von Mengen

Zur Erinnerung: Die Menge L aller syntaktisch korrekten WHILE-Programme ist rekursiv wie folgt definiert:

Basisregeln:

(B1)F¨ur Zahlen i,j,c∈Ngilt: xi:=xj+c ∈L.

(B2)F¨ur Zahlen i,j,c∈Ngilt: xi:=xj−c ∈L.

Rekursive Regeln:

(R1)Sind w1∈L und w2∈L, so ist auchw1;w2 ∈L.

(R2)Ist w∈L und i∈N, so ist while xi6=0 dowend ∈L.

Aufgabe 1:

Welche der folgenden Zeichenketten geh¨ort zur MengeLaller syntaktisch korrekten WHILE-Programme, welche nicht?

(1) x3:= x7−2

(2) x3:=1; x2:= x3+5

(3) while x16=0do x0:= x0+1; x1:= x1−1 end (4) x1:= x1+42; while x16=0 do x1:= x1−1

(7)

Programm f¨ ur heute

Induktion ¨uberN

(8)

Rekursive Definition von Funktionen

SeiM einerekursiv definierteMenge und seiP eine beliebige Menge.

Die rekursive Definition einer Funktionf:M →P sieht folgendermaßen aus:

Rekursionsanfang:

F¨ur jede Basisregel der Form “m∈M” in der Definition vonM, definieref(m)∈P.

Rekursionsschritt:

F¨ur jede rekursive Regel der Form

“Sindm1, . . . ,mk ∈M, dann ist auch m∈M”

in der Definition vonM, definiere f(m)∈P ausf(m₁), . . . ,f(m_k).

(9)

Rekursive Definition von Funktionen, Beispiel (1)

Basisregeln:

Rekursive Regeln:

Aufgabe 2:

Definiere Funktionenf: L→Nundg:L→Nrekursiv, so dass f¨ur alle w ∈Lgilt:

f(w) := Anzahl der “:=” inw, g(w) := Anzahl der “;” inw.

(10)

Rekursive Definition von Funktionen, Beispiel (2)

Basisregeln:

Rekursive Regeln:

Aufgabe 3:

Zeige, dass f¨ur allew ∈Lgilt:

f(w) ≥ g(w) + 1.

(11)

Programm f¨ ur heute

Induktion ¨uberN

(12)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

F¨urn∈NseiA(n)eine Aussage ¨uber die Zahln.

Ziel: Zeige, dass f¨ur jedesn∈Ndie AussageA(n)gilt.

Ansatz: Nutze dasInduktionsprinzip:

Induktionsanfang:

Zeige, dassA(n)f¨ur die Zahl n= 0 gilt.

Induktionsschritt:

Zeige, dass f¨ur jede Zahln∈Ngilt:

FallsA(0), . . . ,A(n)

| {z }

Induktionsannahme

gelten, so auchA(n+ 1).

(13)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

FallsA(0), . . . ,A(n)gelten, so auchA(n+ 1).

Dann gilt:

A(0) ist wahr gem¨aßInduktionsanfang.

A(1) ist wahr da A(0)gilt und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 0. A(2) ist wahr da A(0)undA(1)gelten

und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 1. A(3) ist wahr da A(0),A(1) undA(2)gelten

und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 2.

A(4) . . . und so weiter.

F¨ur allen∈Ngilt also:

A(n+ 1) ist wahr da A(0), . . . ,A(n)gelten und wegen demInduktionsschritt f¨urn.

(14)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Dann gilt:

A(1) ist wahr da A(0)gilt und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 0. A(2) ist wahr da A(0)undA(1)gelten

(15)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Dann gilt:

A(1) ist wahr da A(0)gilt und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 0.

A(2) ist wahr da A(0)undA(1)gelten

(16)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Dann gilt:

A(3) ist wahr da A(0),A(1) undA(2)gelten und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 2.

(17)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Dann gilt:

A(3) ist wahr da A(0),A(1)und A(2)gelten und wegen demInduktionsschritt f¨urn= 2.

(18)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Dann gilt:

(19)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N : Grundidee

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Dann gilt:

(20)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N

Aufgabe 4:

Zeige, dass f¨ur allen∈Ngilt:

n

X

i=0

2ⁱ = 2ⁿ⁺¹−1.

Aufgabe 5:

Zeige, dass f¨ur allex∈Rmitx≥ −1 und allen∈Nmitn≥1 gilt: (1 +x)ⁿ ≥ 1 +n·x.

(21)

Beweis durch vollst¨ andige Induktion ¨ uber N

Aufgabe 4:

Zeige, dass f¨ur allen∈Ngilt:

n

X

i=0

2ⁱ = 2ⁿ⁺¹−1.

Aufgabe 5:

Zeige, dass f¨ur allex∈Rmitx≥ −1 und allen∈Nmitn≥1 gilt:

(1 +x)ⁿ ≥ 1 +n·x.

(22)

Programm f¨ ur heute

Induktion ¨uberN

(23)

Koinzidenzlemma f¨ ur AL

Notation:

F¨ur eine Menge M schreiben wir2^M oderP(M)um die Potenzmenge von M zu bezeichnen, d.h. die Menge aller Teilmengen von M.

Aufgabe 6:

Gib die rekursive Definition einer Funktionas: AL→ P(AS) an, so dass f¨ur alleϕ∈AL gilt:

as(ϕ) ={X:X ist ein Aussagensymbol, das inϕvorkommt}.

Aufgabe 7: (“Koinzidenzlemma f¨ur AL”)

Zeige, dass f¨ur alleϕ∈AL gilt:

SindI₁,I₂: AS→ {0,1}Interpretationen mit

I1(X) = I2(X) f¨ur alleX ∈as(ϕ), dann istJϕK

I1 =JϕK

I2.

(24)

Koinzidenzlemma f¨ ur AL

Notation:

F¨ur eine Menge M schreiben wir2^M oderP(M)um die Potenzmenge von M zu bezeichnen, d.h. die Menge aller Teilmengen von M.

Aufgabe 6:

Gib die rekursive Definition einer Funktionas: AL→ P(AS) an, so dass f¨ur alleϕ∈AL gilt:

as(ϕ) ={X:X ist ein Aussagensymbol, das inϕvorkommt}.

Aufgabe 7: (“Koinzidenzlemma f¨ur AL”)

Zeige, dass f¨ur alleϕ∈AL gilt:

SindI₁,I₂: AS→ {0,1}Interpretationen mit

I1(X) = I2(X) f¨ur alleX ∈as(ϕ), dann istJϕK

I1 =JϕK

I2.