4.1 Grundlegende Strukturen

4.1 Grundlegende Strukturen

4.1.1 Gruppen und K¨ orper

Gruppe

Menge G mit bin¨arer Operation :G×G7−→G

• Assoziativit¨at: (ab)c=a(bc)

• Neutrales Element: ∃!e ∈G: ea=ae=a

• Inverses Element: aa⁻¹ =a⁻¹a=e

kommutativ oder abelsch ⇔ ab=ba Untergruppe

Teilmenge U einer Gruppe G

abgeschlossen unter der Gruppenoperation von G, d.h.

a, b∈U =⇒ ab∈U, a∈U =⇒ a⁻¹ ∈U

Permutationen und symmetrische Gruppe Gruppe Sn der Bijektionen auf {1,2, . . . , n}

π =



 1 2 3 . . . n

π(1) π(2) π(3) . . . π(n)





n! Elemente

Zyklenschreibweise von Permutationen

Zyklus: Bilder eines Elementes bei mehrfacher Ausf¨uhrung der Permutation Zerlegung von π ∈Sn, z.B.

π=



 1 2 3 4 5 6 4 3 2 6 5 1



≡(1 4 6) (2 3) (5) bzw. π = (1 4 6) (2 3)

Transposition und Signum einer Permutation

τ = (j k): Vertauschung von j und k Produktdarstellung von Permutationen

π =τ1◦ · · · ◦τm

Vorzeichen (Signum) einer Permutation: σ(π) = (−1)^m

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K¨orper

Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation · definiert sind

• (K,+): abelsche Gruppe mit neutralem Element 0

a+b = b+a (a+b) +c = a+ (b+c)

a+ 0 = a a+ (−a) = 0

• (K\{0},·): abelsche Gruppe mit neutralem Element 1

a·b = b·a (a·b)·c = a·(b·c)

a·1 = a a·a⁻¹ = 1

• Distributivgesetz: a·(b+c) =a·b+a·c

Primk¨orper

Zp ={0,1, . . . , p−1}, p: Primzahl K¨orper unter Addition und Multiplikation modulo p

Chinesischer Restsatz

Kongruenzen

x = a1 mod p1

. . .

x = an modpn

eindeutige L¨osung x∈ {0, . . . , P −1}, P =p1· · ·pn, f¨ur teilerfremde Zahlen p1, . . . , pn

x= Xn k=1

akQk(P/pk) mod P, Qk(P/pk) = 1 mod pk

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